Аналитический расчёт резинокордного патрубка Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.3

С.А. Корнеев, З.Н. Соколовский, В.С. Корнеев, М.И. Трибельский, И.А. Пеньков Омский государственный технический университет, г. Омск

АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ РЕЗИНОКОРДНОГО ПАТРУБКА

Математическая модель резинокордного патрубка (РКП) по безмоментной теории сетчатых оболочек вращения с растяжимыми нитями включает в себя [1] систему четырёх дифференциальных уравнений

dTm

1 + 8

Tmsm9m (tg2« “О

cosa

a

= (1 + 8)

cosa

a

sin9m,

dz0 r

ёф

cosa

cos 0 dz

dz0 cosa

cos 0

(1)

m

dz0

= -(1 + 8)Km

cosa0

dz0

=(1+г)

cosa

о

cos9„

которая дополняется уравнениями

T

m

C0s9m + „2

tg a .

r

P = as + Ьг , Tt

= Tm

(2)

r /л \ sina к = (1 + г) .

о

P

sin2a

= Tm

m

tga .

ro

h0 1+ г

Здесь

srna

о

(3)

и г , 2 - соответственно цилиндрические координаты материальных точек оболочки вращения до и после нагружения внутренним избыточным давлением р

(рис. 1); тт , ^

- удельные (на единицу длины) меридианное и тангенциальное усилия;

«0 >

О, - углы наклона нитей корда к меридиану (до и после нагружения);

Фт , ^т

- угол накло-

m

Г

о

на касательной к меридиану и кривизна меридиана в нагруженном состоянии; Р , 8 - усилие

и относительное удлинение нитей корда; ко

- первоначальный шаг между нитями корда;

к - число слоев корда одного направления; а, Ь - материальные параметры.

г М о

О _

0

а)

(

г

о

г

о

г

Р Г

1о

I

Рис. 1. Форма оболочки вращения: а - до нагружения; б - после нагружения

Из-за нелинейности уравнений (1)-(3) аналитическое решение можно получить только приближёнными методами. С этой целью примем ограничение, что избыточное давление р

в РКП настолько мало, что можно пренебречь всеми членами в (1)-(3), кроме тех, которые линейно зависят от величин

Р , Тт , фда , иг = г - Го , и2 = 2 - %о , Аа = а - «о

37

и их производных по независимой переменной 2о . При линеаризации системы (1)-(3) в первом приближении получаются следующие уравнения:

ал

tg2а

т

(^а

1)

ёф

tg2а

(

Г

2

к

ё2о

о

Г

2

о

т

^о = А + о

о I

2 I

ф

cos2а

о

Р,

akcos ао &ыГ

= фт >

дм2

—1 \ыГ —

7

tg2а

о

о

0 иг +

к0г0

(4)

^0 ^0 Г0

2а&Бт2а0

Т

т

р

^а0

Т

Г0

Тт

т

tg2а0

г

г

tgаo

Аа = 0 и

0

И0г0 а£Бт2а0

Р, £ =

к^Р

2а£вт2а0

Р = ае . (5)

Здесь А - величина первого порядка малости, определяемая выражением

___ Р ^2

а0

- А, (6)

Тт г0

к

При жёстком креплении торцов (рис. 1) имеют место граничные условия

7

иг

= °- и0

г

= 0, и

70 =0 70 =10

= 0 , и7 70 =10 = 0.

При этом для системы уравнений (4) получается решение

где

Фт = Фт Р , иг = иг Р , и7 = и7 Р,

С

А = Ар , (7)

С

Фт = С1сЬ(А70 )+ С2^^-(^70 ), иг

1 ) +

X

2 [сММ))-1],

X

tg

и = -

0

a0

Г

C ch Àz -1 + C

sh ÀZ

1 Г tg

+

0

2aa

a

2

C +

tg2

a0 +1

À2ro

1

h r Z

I 1[ ( 0) ]

1 L Àro

2

2aksin

A = ho

+ ÀC2

+ tg

2ao(tg

a0-1)

2

0 0 I 0

0

4

і Clsh(Àz0

) + C2 [ch(Àz0 І

)-1]>,

akcos a0

Àro I

2

_ holo th|

З 2

3 h l

Cl = -

1 2

і ; o I o I Г l л

C2 =

2 2

0 0

Г Г Àl л

akcos4a

r2th| À 0 I - Àl 1

akcos4a

, I 2th|

1 - Àlo I

o

1

J

Г Àlo Л

Zo l0

1.0

г)

0.5

0 0.1 0.2 0.З 0.4

Фт > град

15

д)

10

0 0.1 0.2 0.З 0.4 Z0 l0

к

20

т , 1/м

15

е)

10

5

58

Z0 l0

5

0 0.1 0.2 0.З 0.4

Z0 l0

54

52

ao

ж) zo l0

Tm , кН

25

20

з)

zo l0

50 0 0.1 0.2 0.З 0.4

0 0.1 0.2 0.З 0.4

60

50

40

и) zo lo

0.09

0.08

P P

B

к)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.07

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Рис. 2. Сравнение результатов аналитического и численного решения: а - радиальные параметры формы; б - осевые параметры формы; в - радиальные перемещения; г - осевые перемещения; д - угол наклона касательной к меридиану; е - кривизна меридиана; ж - угол наклона нитей корда к меридиану; з - меридианное усилие; и - тангенциальное усилие; к - усилие в нитях корда _ - численное решение; • - приближённое аналитическое решение

значения соответствующих величин при единичном давлении в выбранной системе единиц

(например, в международной системе СИ - при р = 1 Па) и X = нии этого по уравнениям (5) имеем

39

7Т ГТ7 ГТ7 ГТ7 ГТ7

т = Ттр, = Т1р , Тт

(8)

Р = Р р, 8 = 8 р ,

2квт 2а0

, 8 =

2ак бш 2а0

(9)

г

Ла = Аа р, Ла = и

к°г° а£Бт2а°

(1°)

Формулы (8)-(1°) описывают в явном виде зависимость соответствующих величин от давления и конструктивных параметров сетчатой оболочки. Согласно ним в первом приближении по давлению меридианное и тангенциальное усилия (8), усилие и относительная деформация нитей корда (9) не зависят от материальной координаты 2° . Данный результат,

прогнозирующий равномерное распределение перечисленных параметров по длине оболочки, не согласуется с результатами, полученными ранее численным интегрированием полной системы уравнений [1]. Поэтому формулы (8), (9) подлежат уточнению с целью повышения их точности. В частности, во всех формулах первого приближения вместо упругой постоянной а следует использовать эффективный модуль упругости а , которая входит в закон Гука

Р = ас , принимаемого взамен нелинейной силовой характеристики нитей корда в (2).

Более высокое приближение удаётся получить с помощью формулы (6), которая совместно с формулами (2), (3), (1°) приводит к соотношениям

Т

т

г° Р 2 ^ а° - г°А

2 г° р tg2а° - г°А

tg2 (а°

(11)

Р с = .

Р =

а&Бт2а°

A)- h°г°tg(а°

+ Лаp)p a

В качестве примера рассмотрим резинокордный патрубок типоразмера РКП-1°° с кордовой капроновой тканью 23 КНТС [2], имеющему следующие параметры: г° = 55 мм,

^ = 218 мм,

а° = 54.5°,

И° = 1.°64 мм, к = 2, a = 467.6 Н (при С < °.1). Усилие и относительное удлинение нитей корда при разрыве имеют значения PB = 23° Н, sB = °.27 (индекс

от немецкого слова ЬгжЬ - разрушение). По отношению к результатам численного интегрирования полной системы уравнений (1)-(3) аналитические зависимости (7), (11), (12) дают приемлемую точность расчётов (рис. 2), несмотря на достаточно большую величину рабочего давления p = 1 МПа.

Предложенный метод построения приближённого решения полной системы уравнений (1)-(3) может быть использован для расчёта резинокордных оболочек разной конструкции. Тем самым, исследования по теории сетчатых оболочек [3, 4] обобщаются на случай растяжимых нитей корда.

4°

Библиографический список

1. Корнеев, С. А. Расчётная модель сетчатой оболочки вращения для резинокордного патрубка / С. А. Корнеев, М. И. Трибельский // Омский научный вестник. - Сер. Приборы, машины и технологии. - 2°12. - № 1(1°7). - С. 1°1-1°9.

2. ГОСТ 24221-94. Ткань кордная капроновая. Технические условия. - Минск : Межгосударственный совет по стандартизации метрологии и сертификации, 1996. - 16 с.

3. Бидерман, В. Л. Механика тонкостенных конструкций / В. Л. Бидерман. - М. : Машиностроение, 1977. - 488 с.

4. Расчётно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций / И. А. Трибельский [и др.]. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2°11. - 24° с.