CC BY
17
УДК 621.316.13
АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ ЧАСТОТНОРЕГУЛИРУЕМОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ ПРИ ПОЗИЦИОНИРОВАНИИ
ВОЛКОВ В. А. канд. техн. наук, докторант Национального горного университета, г. Днепр, Украи-
на, e-mail: [email protected]
Цель работы. Получение аналитических зависимостей для расчета основных электромагнитных потерь энергии частотнорегулируемого асинхронного двигателя в режимах позиционирования с малыми перемещениями при различных видах (линейном, параболическом и квазиоптимальном) изменения его скорости.
Методы исследования. Методы подобия, дифференциального и интегрального исчисления, аналитической интерполяции, математического анализа.
Полученные результаты. Получены аналитические зависимости для расчета текущих электромагнитных потерь мощности и основных электромагнитных потерь энергии частотнорегулируемого асинхронного двигателя в режимах позиционирования с малыми перемещениями при различных видах (линейном, параболическом и квазиоптимальном) изменения его скорости. Получен универсальный вид аналитической зависимости для расчета оптимальных времен разгона и торможения частотнорегулируемого асинхронного двигателя при позиционировании с малыми перемещениями, соответствующий минимизации основных электромагнитных потерь энергии этого двигателя при указанном позиционировании для различных видов (линейном, параболическом и квазиоптимальном) изменения его скорости. Выполнена сравнительная количественная оценка изменения: оптимальных значений основных электромагнитных потерь энергии частотнорегулируемого асинхронного двигателя и соответствующих им максимальных значений скорости и оптимальных времен разгона и торможения, - в функции отрабатываемых заданных малых перемещений для рассматриваемых разных видов траекторий скорости двигателя.
Научна новизна. Впервые получены аналитические зависимости для расчета основных электромагнитных потерь энергии частотнорегулируемого асинхронного двигателя при позиционировании с малыми перемещениями в функции заданных значений перемещений вала двигателя и заданных значений его времен разгона и торможения при отработке упомянутых заданных перемещений. Впервые получены зависимости для количественной оценки минимальных основных электромагнитных потерь энергии асинхронного двигателя и соответствующих им максимальных значений скорости и оптимальных времен разгона и торможения в функции отрабатываемых заданных малых перемещений для линейной, параболической и квазиоптимальной траекторий скорости двигателя при позиционировании.
Практическая ценность. Полученные расчетные аналитические зависимости предназначены для количественной оценки основных электромагнитных потерь энергии частотнорегулируемого асинхронного двигателя в режиме малых перемещений. Посредством определения с помощью предложенных аналитических зависимостей максимальных значений скорости и оптимальных времен разгона и торможения частотнорегулируемого асинхронного двигателя достигается минимизация его основных электромагнитных потерь энергии при позиционировании для линейной, параболической и квазиоптимальной траекторий скорости.
Ключевые слова: асинхронный двигатель, частотное регулирование, электромагнитные потери энергии, позиционирование.
I. ВВЕДЕНИЕ
Исходя из происходящего широкого применения во всех отраслях хозяйства частотнорегулируемых асинхронных электроприводов и наблюдающегося удорожания электрической энергии, в мире и Украине стала актуальной и остро востребованной практикой задача оценки и повышения энергоэффективности указанных электроприводов. Для этого необходимо осуществление количественной оценки в них непроизводственных потерь энергии (из которых, как известно, наибольшая часть приходится на основные электромагнитные потери энергии в асинхронном двигателе, вызванные основными гармоническими составляющими фазных статорных токов и потокосцеплений). Для выполнения упомянутой количественной оценки энергоэффективности, в свою очередь,
требуется наличие расчетных зависимостей для основных электромагнитных потерь энергии в частотнорегулируемом асинхронном двигателе (ЧРАД). Причем полученные в аналитическом виде такие зависимости не только упрощают количественные расчеты потерь энергии, но и позволяют решить (с использованием методов математического анализа) в последующем оптимизационную задачу по минимизации непроизводительных потерь энергии в ЧРАД.
II. АНАЛИЗ ИССЛЕДОВАНИЙ И ПУБЛИКАЦИЙ
Из известных в отечественной и зарубежной научно-технической литературе публикаций, посвященных расчету энергетических режимов и потерь энергии для ЧРАД, в подавляющем большинстве рассматриваются расчеты применительно к установившимся режимам работы: для средних значений потребляемой
© Волков В. А., 2017
DOI 10.15588/1607-6761-2017-2-3
мощности и потерь мощности указанного двигателя [1] - [6] либо текущих (мгновенных) значений этих величин без учета [2], [7] или с учетом [2], [8] несинусоидальной формы фазных статорных токов ЧРАД (при питании от статических преобразователей частоты). При этом лишь в небольшой части из известных работ рассматриваются потери энергии для ЧРАД в динамических режимах: в пускотормозных режимах [9], [10] либо при позиционировании данного двигателя с малыми перемещениями [11] - [13].
Причем в последних упомянутых работах [11] -[13] проводимые в них исследования потерь энергии ЧРАД при позиционировании ограничиваются только нахождением электрических потерь энергии (от действия протекающих токов в статорной и роторной обмотках) двигателя, а магнитные потери энергии в двигателе - не учитываются. Это, очевидно, не позволяет количественно оценить общие электромагнитные потери в ЧРАД (а, следовательно, - дать объективную оценку энергоэффективности функционирования этого двигателя). Кроме того, в работах [11] - [13] определение значений электрических потерь энергии при позиционировании осуществляется путем численного интегрирования потерь электрической мощности данного двигателя, находящейся из соответствующей ей аналитической зависимости. Однако использование численных методов расчета (например, из [14] - [16]), которые стали широко применятся с развитием компьютерной техники, и полученных с их помощью численных результатов расчета потерь энергии имеет свой недостаток. А именно - они не позволяют (по сравнению с аналитическими зависимостями) провести с применением методов математического анализа последующую оптимизацию (минимизацию) указанных потерь энергии.
III. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью статьи является получение аналитических зависимостей для расчета основных электромагнитных потерь энергии частотнорегулируемого асинхронного двигателя в режимах позиционирования с малыми перемещениями при различных существующих видах (линейном, параболическом и квазиоптимальном) изменениях его скорости.
IV. ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО МАТЕРИАЛА И АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
При дальнейших исследованиях приняты исходные допущения, идентичные рассмотренным в [16]. При этом объектом исследования являются режимы малых перемещений ЧРАД, характеризующиеся отсутствием ограничений основных рабочих координат (статорного тока, электромагнитного момента и скорости) двигателя (величины которых полагаются находящимися в пределах допустимых для них значений). Значения статического момента Mc и момента инерции J привода (приведенные к валу двигателя) в исследуемых режимах малых перемещений принимаются неизменными. Значение модуля потокосцеп-
ления ротора ЧРАД также полагается неизменным и равным своему номинальному значению lFrH . Все
последующие аналитические зависимости и расчеты приводятся в общепринятой для машин переменного тока системе относительных единиц [2], [6].
С учетом вышеизложенного в качестве исходных математических зависимостей для нахождения основных электромагнитных потерь мощности АРэм и потерь энергии AWp и AWm в режимах малых перемещений используются следующие [16]:
АРэ
AWp
= a + b • [Mc + J • (а”/ \2+c •(а)13
tp tm
= \АРэм • dt, AWm II
0 0
(1)
где a, b , c - коэффициенты, определяемые через параметры двигателя в виде [9]:
a = (н /Lm )2 •( + 0,005 • Рн / пн ) b = ( + k2Rr + 0,005 • Рн / пн )/), >
c = АРС,
(2)
В данных зависимостях применяются обозначения: AWp и AWm - основные электромагнитные потери энергии (ОЭПЭ) двигателя, соответствующие отработке малого перемещения при режимах разгона (от нулевой до максимальной скорости, обозначенные индексом «р») и торможения (от максимальной до нулевой скорости, обозначенные индексом «т»);
а' = da/dt и а" = d а/d t - соответственно первая и вторая производные по времени t от текущего значения положения а вала двигателя; Рн и цн - номинальные значения соответственно полезной мощности на валу и коэффициента полезного действия двигателя; АРст н и ¥гн - номинальные значения соответственно потерь в стали и модуля обобщенного вектора потокосцепления ротора двигателя; Rs и Rr - активные сопротивления соответственно статорной и роторной (приведенной к статору) фазных обмоток двигателя; Lm и kr - соответственно индуктивность намагничивания и коэффициент связи ротора ЧРАД.
После нахождения из (1) упомянутых составляющих ОЭПЭ AWp и AWm (соответствующих режимам разгона и торможения двигателя) значение AW£ общих ОЭПЭ для ЧРАД при отработке малого перемещения определяется для всех траекторий изменения скорости двигателя в виде суммы указанных составляющих [16]:
AWs=AWp + AWm . (3)
На первом этапе выполним для ЧРАД аналитический расчет составляющих ОЭПЭ, соответствую-
щих в режиме малых перемещений линейному виду изменения скорости а двигателя [16]:
f , \
(О а p (О Мр
t t
tn V P ) и а ат амт * Vt т )
(4)
при разгоне и торможении соответственно.
Здесь и далее: ар и ат - текущие значения положения вала ЧРАД (измеряемые от нулевых положений, соответствующих началу наступления режимов соответственно разгона и торможения); а'р и а'т
- производные по времени от указанных выше текущих значений ар и ат положения; аМр и амт -
максимальные значения текущих скоростей ЧРАД соответственно в режимах разгона и торможения при малых перемещениях его вала; текущее время t при разгоне и торможении, отсчитываемое от начала и на протяжении интервалов разгона или торможения соответственно: 0 < t < tp и 0 < t < ґт (где tp и ґт -
длительности времен разгона и торможения двигателя соответственно).
Взяв определенные интегралы от правых частей соотношений из (4) в пределах от нуля до текущего значения времени t, получим зависимости для нахождения текущих положений ар и ат вала двигателя
при линейном виде изменения его скорости:
( t Л
а р I амр
t„
V р
а.
dt = -М^ • t2 2t„
(5)
при разгоне или
( t —1 Л
1 т 1
V т )
• dt = °мт_
( Л \
t тt
t
(6)
ат I амт
2
t
т
- при торможении.
Для линейного вида изменения скорости заданные (конечные) перемещения ар и ат определяются при подстановке в интегральные соотношения из (5) и (6) величин верхних пределов: t = tp и t = tni
соответственно и вычисляются из выражений:
* 1
а р = 2 амр •t р
и ат 2 Омт • tт
(7)
Обратим внимание на то, что при исходно принятом законе частотного управления (с постоянством потокосцепления ротора: *Fr = lFrH = const) ЧРАД для всех видов изменения скорости (линейного, параболического и квазиоптимального) ее максимальные значения амр и амт должно находиться при отработке малых перемещений в следующих диапазонах: 0 < амр < 1 о.е. и 0 < амт < 1 о.е., - что обусловлено
возможностью практической реализации упомянутого
закона частотного управления [2].
Для всех траекторий изменения скорости ЧРАД суммарное отрабатываемое положениеа£ вала двигателя при малом перемещении находится в виде:
а£ = ар + а
(8)
Подставив в правые части соотношений (5) и (6) значения максимальных скоростей амр и амт, выраженные из (7) через значения заданных положений ар и ат, получим зависимости для нахождения текущих значений положений ар и ат вала двигателя при линейном виде изменения его скорости:
а
р
( Л2
t
t„
V р
= а
(9)
при разгоне или
( 2tт • t —12 Л t2
(10)
- при торможении.
Рассчитаем из (9) и (10) значения первых а'р и а'т и вторых а”р и а"" производных по времени t от текущих значений положений ар и ат :
ат ат
2а р • t 2ар
а’р =~^ и а’’р=-^р
tr
tr
(11)
2ат ' (tт t)
— 2а
и а" = т pi іЛт 2
(12)
ат =
t
соответствующие режимам разгона (обозначены индексом "р") и торможения (обозначены индексом "да") ЧРАД при линейном виде изменения скорости.
После подстановки вычисленных из (11) и (12) первых а’р и а’т и вторых а", и а"" производных в
первое соотношение из (1) получим аналитическую зависимость для нахождения текущих значений ЛРэм р и АРэм т основных электромагнитных потерь
мощности ЧРАД в режиме малых перемещений:
АРэм.р = a + b
( 2Іа* ^
Mc + --р
V
t
2
( * У-2
c I 2а р • tl
2,6
(13)
)
при разгоне или
АРэм.т = a + b
2 Іа
Mc —
*2
c2 t2
V т )
1,2
c і s 8 <4
2 6
(14)
при торможении.
+
Подставив выражения (13) и (14) соответственно во второе и третье соотношения из (1) и вычислив в них определенные интегралы в пределах от нуля до значения времени разгона (или торможения) tp т,
получим аналитическую зависимость для расчета ОЭПЭ при разгоне (или торможении) ЧРАД в режиме малых перемещений:
р,т
(а + ЬМр )
AWp т =1 а + ЬМс I tрт ± 4bMcJ
а
р,т
р,т
t
+ 4bJ
(ар,т )2 с(а*р,т •t)Л
р т 5
t
5
р,т
2,3 ■ t
0,3 р , т
(15)
+
соответствующую линейному виду изменения скорости двигателя. В данной зависимости индекс "р" соответствует режиму разгона, а индекс "т" - режиму торможения; из двойных знаков перед третьим слагаемым в квадратные скобках: знак "+" соответствует разгону, а знак "-" торможению.
Анализ выражения (15) свидетельствует о том, что ОЭПЭ в режимах разгона и торможения при отработке ЧРАД малых перемещений содержат четыре слагаемых (составляющих), из которых: первая -прямо пропорционально зависит от значения времени tp т разгона (или торможения), а вторая, третья и
четвертая составляющие зависят обратно пропорционально соответственно от первой и третьей степени, а также от степени, равной 0,3, от значения времени tp,т разгона (или торможения) двигателя. Такой для
выражения (15) математический вид (когда при значительном уменьшении или увеличением значений времен tp т происходит увеличение величины ОЭПЭ
AWp т ) вызывает наличие экстремума (миниммума)
ОЭПЭ при определенных (оптимальных) значениях времен разгона (или торможения) двигателя.
Для нахождения экстремального (минимального) значения ОЭПЭ в режимах разгона и торможения при отработке малых перемещений ЧРАД возьмем производную от выражения (15) по времени tp,т разгона
(или торможения) и приравняем к нулю:
У л + 4bMcJ
а
^ р,т 1 p ,т
-12bJ2
t
4
p№
0, (16)
где у л = а + ЬМу
3с
Уз
t
1,3 p ,т
(17)
Преобразуем выражение (16) к виду уравнения второго порядка относительно переменной t2p т :
t
4
p ,т
+
( * Л 4ЬМ^ар т ^ to 3 1 12Ы2 (а*р,т )2
У л У л
V )
0.(18)
Из решения уравнения (18) получим аналитическое расчетное выражение для определения оптимальных времен разгона (или торможения) двигателя:
t
о
prn
V Ул
± 2ЬМс +
V(УЬМс )2 + 12Ь ■ у л
0,5
,(19)
соответствующих отработке малых перемещений
*
а р ,т при линейном виде изменения скорости ЧРАД.
При этом для примененых двойных знаков в формулах (15), (16), (18), (19): верхний знак соответствует режиму разгона, а нижний знак - режиму торможения двигателя. Оптимальные (минимальные)
значения составляющих ОЭПЭ AWp,т в режимах разгона (или торможения) ЧРАД при отработке заданного малого перемещения ар,т находятся путем подстановки рассчитанного из (19) оптимального значения времени разгона (или торможения) t°p т в зависимость (15).
На eMoppM этапе проведем для ЧРАД аналитический расчет составляющих ОЭПЭ, соответствующих в режиме малых перемещений параболическому виду изменения скорости ю двигателя [10]:
ю ap ю Mp
1 -
t p -1
t p V p
т -12
ю ат юмт
t
(20)
при разгоне и торможении соответственно.
Взяв определенные интегралы от правых частей соотношений из (20) в пределах от нуля до текущего значения времени t, рассчитаем текущие положения ар и ат вала двигателя при параболическом виде
изменения его скорости:
ар I (^Mp
1 -
( \2 1 t -1 ' р
V Р )
■ dt = юмр ■
tp
2t t t -
р
з Л
(21)
при разгоне или
ат J юмт
0
( 2 2 Л
t -1
V т )
■ dt =^mm.
з Л
2t t t-
(22)
з
t
- при торможении.
* *
Заданные (конечные) перемещения ар и ат для параболического вида изменения скорости опре-
деляются при подстановке в соотношения (21) и (22) величин верхних пределов: t = tp, t = t т и вычисляются соответственно из выражений:
*2 *2 ар = 3тмр ' tp и ат = 3тмт ' tm . (23)
Подставив в правые части соотношений (21) и (22) значения максимальных скоростей соМр и сомт,
выраженные из (23) через значения заданных положений а"р и а", получим аналитические зависимости
для нахождения текущих значений положений ар и ат вала двигателя при параболическом виде изменения его скорости:
а
р
1,5 • tp • t2 - 0,5 • t3
t
3
р
(24)
при разгоне;
1,5 • t" • t - 0,5 • t3
ат = ат
t
(25)
при торможении.
Определим из (24) и (25) значения первых а", и а'т и вторых а’’, и а", производных по времени t от текущих значений положения а, и ат :
+ с ■
/ \1,3
' 3ар v
2tp
V р
1 -
( \2 t -1
р
V tn I
V р у
-\1,3
(28)
- при разгоне или
+ с •
= a + Ъ Мс * 3Jаm
4
(3а л ju, т 1,3 і t2 -121 lm 1
2t V т у t2 V m у
-| 2
(29)
+
эм.т
- при торможении.
Подставив выражения (28) и (29) соответственно во второе и третье соотношения из (1) и вычислив в них определенные интегралы в пределах от нуля до значения времени разгона (или торможения) tp т,
получим аналитическую зависимость для расчета ОЭПЭ при разгоне (или торможении) ЧРАД при режиме малых перемещений:
А\¥рт = (a + bM2c ) tprn ± 3ЪМCJ О"
t р ,т
+ 3bJ
( * )
\ар,т )
2 (0 * ^ 13 3а
^^р ,т
t
3
р ,т
- + C
2 • t
V р,т
• И
р,т >
+
(30)
ар =■
d(аp) 3а
dt
2tr
(
1 -
tp -1
tr
d(аm) 3ат
V р I (t2 -12 ^
dt
2tm
m
V m |
d2(аp) 3а*р(tр -1)
ар=- 2
P d2t
ат 2
7^
d (ат ) =-3ат • t
dt
(26)
(27)
2
=
t
t
соответствующие разгону (обозначены индексом "р") и торможению (обозначены индексом "т") ЧРАД или параболическом виде изменения его скорости.
После подстановки вычисленных из (26) и (27) первых а'р и а’т и вторых а'р и а" производных в
первое соотношение из (1) получим аналитические зависимости для нахождения текущих значений АРэм р и АРэм т основных электромагнитных потерь
мощности ЧРАД в режиме малых перемещений:
АРэм. р a + Ъ
Мс +
3Jаp (1р -1)
з 2
+
t
соответствующую параболическому виду изменения скорости двигателя. В данной зависимости индекс "р" соответствует режиму разгона, а индекс "т" - режиму торможения; из двойных знаков: верхний знак соответствует разгону, а нижний знак - торможению.
Входящий в последнее слагаемое из (30) сомножитель Ир т вычисляется из соотношений:
Ир=
1-
(t - Л
1 р 1
V 1р I
V р у
2113
• dt - (31)
при разгоне или
^т f 2 ?\1,3
Ит = т і ^
0 V tm
dt -
(32)
t
при торможении.
Вычисленные из (31) и (32) в функции времени 1р т и равные между собой (при одинаковых величинах времен разгона и торможения 1р = tm = 1р т ) значения сомножителя Ир = Ит = Ир т показаны
сплошной линией в виде графика на рис.1. На этом же рисунке пунктиром был показан график интерполированной кривой (совпавший со сплошной линией), рассчитываемой из аналитической зависимости:
Ир,т ~ 0,6127 ■ tр,т (33)
Выявлено, что отклонения между вычисленными из (31), (32) и интерполированными из (33) значениями Ир,т не превышают 0,001 о.е.
ные (минимальные) значения составляющих ОЭПЭ AW°m в режимах разгона (или торможения) ЧРАД при отработке заданного малого перемещения а*р т находятся путем подстановки рассчитанного из (37) оптимального значения времени разгона (или торможения) t°p т в зависимость (30).
На третьем этапе осуществим для ЧРАД аналитический расчет составляющих ОЭПЭ, соответствующих в режиме малых перемещений квазиоптимальному виду изменения скорости ю двигателя [10]:
ю-а’р =аМр< ю = ат = юмт
1 -
1 -
sh[?4K(tp -1)
sh; (■1\) shpp ■ tm )J
(38)
Для нахождения экстремального (минимального) значения ОЭПЭ в режимах разгона и торможения при отработке малых перемещениях ЧРАД возьмем с учетом (33) производную от выражения (30) по времени t р ,т разгона (или торможения) и приравняем ее нулю:
d (р ,т ) d (t р,т )
Уп + 3bMcJ
(У
^ р,т р , т
- 9bJ2
t
4
р , т
0, (34)
где
при разгоне и торможении соответственно.
Взяв определенные интегралы от правых частей соотношений из (38) в пределах от нуля до текущего значения времени t, рассчитаем текущие положения ар и ат вала двигателя при квазиоптимальном виде
изменения его скорости:
а р юмр
t + *
[#VK(tp -1) - ch[f4K ■ t (rVK)■ ■ tp)
(39)
2 (3 *
yn — a + bMc + c 'I 2ар,т
a + bMC2 - 0,1838 ■ c ■
1,3
d
d рр,т)
p,5 а*р,т
И р , т при разгоне или
Р ) V р,т/ [ ch а - ю it - ч—г—1 f4K ■ t
(р,т )
0,3
(35)
( * Л 3bMcJ&p т *33 Kj 3 1 9bJ2 (а*р,т )2
Уп Уп
V У
Ja
t
р,т
р,т
Уп
± 1.
5bMc +yl(1,5bMc )2 + 9b ■ yn
0,5
ch\ %ylK ■ t\-1
(*jK)■ sh(f4K ■ tm) _
- (40)
Преобразуем выражение (34) к виду уравнения второго порядка относительно переменной 12р т :
( * Л 21 * \ 2
4 3bMcJanm 2 9bJ \апт
t4 + -----c—рРт_ ■ t2--------У Р’т> = 0 (36)
1р,тт- 1 р ,т и-
Из решения уравнения (36) получим аналитическое расчетное выражение для определения оптимальных времен разгона (или торможения):
при торможении.
* *
Заданные (конечные) перемещения ар и ат
для квазиоптимальной тахограммы определяются при подстановке в соотношения из (39) и (40) значений t — tp и t — tm и вычисляются из выражений:
** ар — Zр 'Юмр *tр и ат — 1т 'юмт *tт , (41)
где значения коэффициентов zp и 2 т равны:
2р = 1 +
■ tr
1 - ch[ Z*4K ■ ^ ((■ tp )■ sh(( ■ tp) ’
,(37)
Іт 1 +
1 - ch
t*4K ■ t„
((■ tm )■ sh(( ■ tm )
\ . (42)
соответствующих отработке малых перемещений
*
ар,т при параболической тахограмме ЧРАД.
При этом для двойных знаков в формулах (34), (36) и (37): верхний знак соответствует режиму разгона, а нижний знак - режиму торможения. Оптималь-
При этом, в отличие от постоянных значений коэффициентов (равных 1/2 и 2/3) согласно зависимостям (7) и (23) для линейного и параболического изменения скорости, при квазиоптимальном изменении скорости ЧРАД коэффициенты Zp и іт в зависимо-
стях (41) и (42) переменны и зависят от длительностей времен разгона tp и торможения tm двигателя. На
рис.2 построена рассчитанная из (42) для параметров электродвигателя АДО-2000-6000-12У1 графическая зависимость указанных коэффициентов:
zp.m — Zp — zm (равных между собой при одинаковых
значениях времен разгона и торможения) в функции изменения указанных времен tp m или параметра:
4* 4K ■ tp m . В последнем случае данная зависимость
является, очевидно, универсальной для всех типов ЧРАД, с помощью которой определяются из (41) максимальные значения скоростей ® и wMm при квазиоптимальной траектории скорости двигателя.
Подставив в правые части соотношений (39) и (40) значения максимальных скоростей ю и wMm,
выраженные из (41) через значения заданных положе-
ний ap и am, получим аналитические зависимости для нахождения текущих значений положений ap и am вала двигателя при квазиоптимальном изменении его скорости:
ch
ap =
z p I ^ p
fy[K .(tp -1)]-ch[^*yfl- tp
(( ■ tp )• ■ tp)
- (43)
ap I t
+
Рисунок 2. Расчетная зависимость zp,m (tp,m)
магнитных потерь мощности ЧРАД при разгоне и торможении в режиме малых перемещений (из-за чрезмерной сложности и громоздкости полученных зависимостей они не приводятся).
Путем последующего интегрирования из второго и третьего соотношения из (1) в пределах от нуля до заданных времен разгона tp и торможения tm с применением численных методов интегрирования [17] (вследствие упомянутой сложности и громоздкости полученных зависимостей для АРэм.р и ЛРэмш) рас-
при разгоне или
am I ±_
Zm I tm
ch
-1
\£4k ■ t . .
(P tm)• • tm)) -< '
при торможении.
Вычислив из (43) и (44) первые a'p и a'm :
ap
ap =
z p ■ p
am — *
am
і -
и -
sh[%*4k •( tp -1) sh( ■ tp)
sh ■ t 'I
shpp ■ tm )j
I (45)
и вторые производные a"p и a'm :
"(л )} ch\4* 4k -pp - 4 _ sh(p ■ tp) }’
ap
ap = -
zp * tp
(к)ch\44K ■ t }shpp ■ m
z ■ t
mm
I (46)
am —
z ■ t
mm
a
am —
по времени t от текущих положений a p и am и подставив их первые соотношения из (1), получим аналитические зависимости для нахождения при квазиоптимальном виде изменения скорости двигателя текущих значений ЛРэм.p и ЛРэмш основных электро-
считываются численные значения составляющих ЛWp и ЛWm ОЭПЭ для ЧРАД в режиме малых перемещений, соответствующие разгону и торможению при квазиоптимальном виде изменения скорости двигателя. По причине отмеченной сложности аналитических выражений для текущих потерь мощности ЛРэм. и ЛРэмш и вынужденного использования численного расчета составляющих ЛWp и AWm ОЭПЭ
для ЧРАД становится невозможным аналитически (с применением методов математического анализа) точно определить оптимальные значения времен разгона и торможения при малых перемещениях вала двигателя, соответствующие экстремальным (минимальным) значениям его указанных составляющих ОЭПЭ.
На чеmвеpmом эшапе предложено, исходя из предыдущего, упрощенное аналитическое определение оптимальных времен разгона и торможения ЧРАД в режиме малых перемещений при квазиоптимальном виде изменения его скорости. Оно основано на использовании метода подобия [18]. В данном случае подобие аналитических зависимостей (19) и (37) для расчета оптимальных значений времен разгона
(или торможения) t°p m в режиме отработки малых
перемещений при линейном и параболическом видах изменения скорости ЧРАД состоит в схожести общего вида этих зависимостей, какие могут быть представлены следующими универсальными выражениями:
t
о
р,т
1 у
і---------------10,5
± pbMc +-\J (bMc ) 2 + qb ■ у
у = a + bM2c
[ (47)
В формулах (47) из используемых двойных знаков: верхний знак соответствует режиму разгона, и нижний знак - режиму торможения.
Отличие между собой в указанных зависимостях (19) и (37) или в (47) заключается только в различных численных значениях коэффициентов p, q и s. В частности, для линейного вида изменения скорости двигателя присущи значения: p = 2, q = 12, s = 3/23; а для параболического: p = 1,5, q = 9, s = 0,1838.
Данное подобие, очевидно, объясняется общими свойствами исследуемого объекта - ЧРАД. Исходя из метода подобия будем полагать, что универсальный вид зависимостей (47) сохранится и в случае определения из нее оптимальных времен разгона (или торможения) tp т при квазиоптимальном виде изменения скорости двигателя, а отличие при этом будет состоять лишь в других численных значениях коэффициентов p, q и s в зависимостях (47).
Предлагается следующая методика нахождения указанных коэффициентов применительно к квазиоптимальному виду изменения скорости ЧРАД при отработке малых перемещений:
1) подставив ранее расчитанные из первого соотношения в (1) текущие значения основных электромагнитных мощностей ЛРэм р и ЛРэм т во второе и
третье соотношения из (1) и варьируя значения времен tp т, вычислим численными методами для режима холостого хода (при Mc = 0), при половине номинальной нагрузки (для Mc = 0,5MH ) и для номинальной нагрузки (при Mc = Mн ) соответствующие
заданному отрабатываемому положению ар,т и этим
значениям времен и нагрузок величины составляющих ОЭПЭ AWp ( tp) и Л\¥т ( tт) ЧРАД;
2) в результате указанного варьирования значений времен tp т находим такие их оптимальные значения (t°p тхх - для режимов разгона и торможения
на холостом ходу; t°p т - для режимов разгона и торможения с половинной номинальной нагрузкой; tp,т.н - для режимов разгона и торможения с номинальной нагрузкой), при которых рассчитанные составляющие ОЭПЭ AWp и ЛWт минимальны (то
есть, равны своим оптимальным значениям);
3) подставив в левую и правую части первой за-
висимости из (47) значения оптимального времени
t°p,m.Ух и статического момент Mc = 0 (соответствующие холостому ходу) и повторив аналогичные подстановки в левую и правую части первой зависимости из (47) для: оптимального времен t°p т и статического момента: Mc = 0,5MH (соответствующих
половине номинальной нагрузки), а также оптимального времени t°p,тн и статического момента
Mc = Mн (соответствующих номинальной нагрузке), - получим алгебраическую систему нелинейных уравнений третьего порядка, в которой неизвестными переменными величинами являются искомые коэффициенты: p, q, s;
4) преобразуем полученную алгебраическую систему уравнений к виду, удобному для вычисления искомых коэффициентов:
( ° V 2
\ tp,т.н / Ун J2 {a*p,т )2
+ q ■b ■ Ун
J ■а
p,rn
2Mн ■ b ■(tp,т.н ) ■ ун
1
b ■ у
J ■а
pp ,т ) у 2p(0,5M н )■b ■(t p,m ) ■;
j2 p‘*prn У
'■ b ■ j2 (ap,т )
( )4
yprn.xx j
p ,т 1,3
(t° )
\l p ,т.хх J
'■{p -аР,т У’3
q
(48)
где значения параметров у и ун рассчитывались из второй зависимости в (47) для значений статического момента Mc, равных 0,5Mн и Mн соответственно.
При этом обратим внимание на то, что анализ расчетных для оптимальных времен tp т зависимостей (19), (37), (47) и (48) свидетельствует о том, что данные алгебраические уравнения и системы уравнений содержат переменные величины в левой и правой частях уравнений, а потому они решаются с использованием численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений (метода итераций) [17].
В результате сравнения между собой значений оптимальных времен разгона (или торможения) tp т,
вычисленных из аналитических зависимостей (19), (37), (47), и рассчитанных численными методами (при варьировании времен разгона и торможения, определении из (1) значений ОЭПЭ и нахождении соответствующих минимуму ОЭПЭ оптимальных времен разгона (торможения) для электродвигателя АДО-2000-6000-12У1 мощностью 2000 кВт), установлено, что их среднеквадратичное отклонение (при изменении значения статического момента Mc в диапазоне от нуля до номинального значения двигателя) не превышает 2%, что на практике вполне допустимо для инженерных расчетов.
На пяm°м этапе с использованием полученных
а)
г)
ж)
б)
д)
з)
в)
е)
и)
Рисунок 3. Зависимости: а,б,в - оптимальных времен t°p т ; г,д,е - основных электромагнитных потерь энер-
гии AWp° т ; ж,з,и - значений максимальных скоростей юмр т ЧРАД, - при отработке малых перемещений (а,г,ж - при разгоне и торможении для Mc = 0; б,д,з - при разгоне для Mc = Мн ; в,е,и - при торможении для Mc = Мн ; Л, П, К - линейный, параболический и квазиоптимальный виды изменения скорости соответственно)
аналитических зависимостей (1), (15), (30) определим изменения оптимальных значений AW° т ОЭПЭ, а с применением соотношений (19), (37), (47) - соответствующих им оптимальных времен t°p т разгона (торможения) в функции отрабатываемых малых пе-
* * w _
ремещений ар и ат при линейном, параболическом
и квазиоптимальном изменении скорости ЧРАД. На этом же этапе после подстановки найденных значений
оптимальных времен tp,т = tp т в полученные аналитические зависимости (7), (23), (42) определим максимальные значения <пмр и сомт скоростей ЧРАД в
функции отрабатываемых перемещений ар и ат
при линейном, параболическом и квазиоптимальном видах изменения его скорости.
На рис.3 представлены построенные на основе выполненных расчетов (для параметров электродвигателя АДО-2000-6000-12У1) графические зависимости упомянутых величин: AW'°° т , t°p,т, <пмр и сомт ,
- в функции отрабатываемых заданных перемещений
**
ар и ат (показанных в оборотах (об.), где 1об. =
37,7 о.е.) соответственно при разгоне и торможении двигателя. Для нахождения абсолютных значений представленных на рис.3 величин следует умножить полученные значения в относительных единицах на
ISSN 1607-6761 (Print)
ISSN 2521-6244 (Online)
соответствующие базисные величины (равные: 0,01/ п рад./с - для времени; 8,5885 кДж - для энергии; 50п / 3 рад./с - для скорости).
V. ВЫВОДЫ
1. Полученные в аналитическом виде зависимости (13) - (15) и (28) - (30) позволяют осуществить расчеты основных электромагнитных потерь мощности и энергии ЧРАД при отработке малых перемещений для линейного и параболического видов изменения скорости двигателя.
2. Полученные аналитические зависимости (45), (46) для вычисления значений первой и второй производных от текущего положения вала двигателя при квазиоптимальном виде изменения скорости ЧРАД позволяют путем подстановки их в соотношения из
(1) рассчитать численными методами основные электромагнитные потери мощности и энергии этого двигателя при отработке малых перемещений с указанным видом изменения скорости.
3. На основе упомянутых полученных аналитических зависимостей для расчета основных электромагнитных потерь энергии ЧРАД определены в аналитическом виде математические соотношения (19), (37) и (47), позволяющие рассчитать оптимальные значения времен разгона и торможения ЧРАД, при которых обеспечиваются минимальные значения ОЭПЭ при отработке малых перемещений в режимах разгона и торможения для линейного, параболического и квазиоптимального видов изменения скорости этого двигателя.
4. На основе полученных аналитических зависимостей впервые выполнено для линейного, параболического и квазиоптимального изменения скорости двигателя сравнительная количественная оценка изменения: оптимальных значений ОЭПЭ двигателя и соответствующих им максимальных значений скорости и оптимальных времен разгона и торможения, - в функции отрабатываемых заданных малых перемещений, что позволяет выбрать рациональный вид та-хограммы ЧРАД при режимах его позиционирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] . Булгаков А.А. Частотное управление асинхрон-
ными электродвигателями / А.А. Булгаков. - М.: Наука 1996. - 298с.
[2] . Пивняк Г.Г. Современные частотно-регулируемые
асинхронные электроприводы с широтно-
импульсной модуляцией / Г.Г. Пивняк, А.В. Волков. - Днепропетровск: Национальный горный университет, 2006. - 470с.
[3] . Поляков В.Н. Экстремальное управление элек-
трическиим двигателями / В.Н. Поляков, Р.Т. Шрейнер .-Екатеринбург:УГТУ-УПИ,2006- 420с.
[4] . Радин В.И. Электрические машины: асинхронные
машины: Учеб. для электромех. спец. вузов / В.И. Радин, Д.Э. Брускин, А.Е. Зорохович: Под.ред.
И.П. Копылова. - М.: Высш.шк., 1988. - 328с.
[5] . Сандлер А.С. Автоматическое частотное управле-
ние асинхронными двигателями / А.С. Сандлер, Р.С. Сарбатов. - М.: Энергия, 1974. - 328с.
[6] . Шрейнер Р.Т. Оптимальное частотное управле-
ние асинхронными электроприводами / Р.Т. Шрейнер, Ю.А. Дмитренко. - Кишинев: Штиин-ца, 1982. - 224с.
[7] . Ковач К.П., Рац И. Переходные процессы в ма-
шинах переменного тока / Пер. с нем. яз. -М.:Госэнергоиздат, 1963. - 744с.
[8] . Мэрфи Дж. Тиристорное управление двигателями
переменного тока / Дж. Мэрфи. - М., Энергия, 1979. - 256с.
[9] . Волков А.В. Энергосберегающее управление ско-
ростью частотно-регулируемого асинхронного двигателя в пускотормозных режимах / А.В. Волков, А.А. Колесников / Электротехника. - 2013. -№ 5. - С.2 - 9.
[10] . Волков В.А. Энергосбережение в частотнорегулируемых асинхронных электроприводах посредством оптимизации времен их разгона и торможения / В. А. Волков / Вісник Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут». - 2017. - № 27 (1249). - С.258 -263.
[11] . Петров Ю.П. Оптимальное управление электроприводом / Ю.П. Петров. - М.-Л.: Госэнергоиз-дат, 1961. - 187с.
[12] . Петров Ю.П. Оптимальное управление электроприводом с учетом ограничений по нагреву / Ю.П. Петров. - Л.: Энергия, 1971. - 144с
[13] . Толочко В.И. Оптимизация электропотребления позиционного электропривода с векторным управлением асинхронным двигателем / В.И. То-лочко, П.И. Розкаряка, Г.С. Чекавский // Наукові праці Донецького національного технічного університету. - 2011. - № 11 (186). - С. 396 - 406.
[14] . Тиховод С.М. Усовершенствование итерационных методов решения систем нелинейных уравнений состояния магнитоэлетрических схем замещения / С.М. Тиховод // Електротехніка та електроенергетика.- 2015.- № 1. - С.30 - 46. DOI: http://dx.doi.org/ 10.15588/1607-6761-2015-1-8
[15] . Тиховод С.М. Метод ускоренного численного расчета переходных процессов в электрических цепях на основе аппроксимации решения алгебраическими полиномами / С.М. Тиховод, Т.М. Корнус, Д.Г. Паталах // Електротехніка та електроенергетика. - 2015. - № 2. - С.48 - 54. DOI: http://dx.doi.org/10.15588/1607-6761- 2015-2-7
[16] . Волков В.А. Оптимальное и квазиоптимальное
энергосберегающее управление положением частотнорегулируемого асинхронного двигателя / В. А. Волков // Електротехніка та електроенергетика. - 2016.- № 1. - С. 25-34. DOI:
http://dx.doi.org/10.15588/1607-6761- 2016-1-4
[17]. Кальницкий Л.А. Специальный курс высшей математики для вузов. Учеб. пособие / Л.А. Кальницкий, Д.А. Добротин, В.Ф. Жевержев. - М.: Высш.шк., 1976. - 389с.
[18]. Веников В. А. Теория подобия и моделирования / В.А. Веников. - М.: Высш.шк., 1976. - 479с.
Стаття надійшла до редакції 07.12.2017
АНІЛІТИЧНИЙ РОЗРАХУНОК ОСНОВНИХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ВТРАТ ЕНЕРГІЇ ЧАСТОТНОРЕГУЛЬОВАНОГО ДВИГУНА ПРИ
ПОЗИЦІЮВАННІ
ВОЛКОВ ВО. канд. техн. наук, докторант Національного гірничого университету, г. Дніпро,
Україна, e-mail: [email protected]
Мета роботи. Отримання аналітичних залежностей для розрахунку основних електромагнітних втрат енергії частотнорегульованого асинхронного двигуна в режимах позиціонування з малими переміщеннями при різних видах (лінійному, параболическому і квазіоптимальному) зміни його швидкості.
Методи дослідження. Методи подібності, диференціального та інтегрального числення, аналітичної інтерполяції, математичного аналізу.
Отримані результати. Отримано аналітичні залежності для розрахунку поточних електромагнітних втрат потужності і основних електромагнітних втрат енергії частотнорегульованого асинхронного двигуна в режимах позиціонування з малими переміщеннями при різних видах (лінійному, параболічному і квазіоптимальному) зміни його швидкості. Отримано універсальний вид аналітичної залежності для розрахунку оптимальних часів розгону і гальмування частотнорегульованого асинхронного двигуна при позиціонуванні з малими переміщеннями, яка відповідає мінімізації основних електромагнітних втрат енергії цього двигуна при зазначеному позиціонуванні для різних видів (лінійному, параболічному і квазіоптимальному) зміні його швидкості. Виконана порівняльна кількісна оцінка зміни: оптимальних значень основних електромагнітних втрат енергії частотнорегульованого асинхронного двигуна та відповідних їм максимальних значень швидкості і оптимальних часів розгону і гальмування, - в функції заданих малих переміщень, що відпрацьовуються, для розглянутих різних траєкторій швидкості двигуна.
Наукова новизна. Вперше отримано аналітичні залежності для розрахунку основних електромагнітних втрат енергії частотнорегульованого асинхронного двигуна при позиціонуванні з малими переміщеннями в функції заданих значень переміщень вала двигуна і заданих значень його часів розгону і гальмування при відпрацюванні згаданих заданих переміщень. Вперше отримані залежності для кількісної оцінки мінімальних основних електромагнітних втрат енергії асинхронного двигуна і відповідних їм максимальних значень швидкості і оптимальних часів розгону і гальмування в функції заданих малих переміщень, що відпрацьовуються, для лінійної, параболічної і квазіоптимальної траєкторії швидкості двигуна при позиціонуванні.
Практична цінність. Отримані розрахункові аналітичні залежності призначені для кількісної оцінки основних електромагнітних втрат енергії частотнорегульованого асинхронного двигуна в режимі малих переміщень. За допомогою визначення з використанням запропонованих аналітичних залежностей максимальних значень швидкості і оптимальних часів розгону і гальмування частотнорегульованого асинхронного двигуна досягається мінімізація його основних електромагнітних втрат енергії при позиціонуванні для лінійної, параболічної і квазіоптимальної траєкторій швидкості.
Ключові слова: асинхронний двигун, частотне регулювання, електромагнітні втрати енергії, позиціонування.
ANALYTICAL CALCULATION OF THE BASIC ELECTROMAGNETIC LOSSES OF THE ENERGY OF THE FREQUENCY-REGULATED ASYNCHRONOUS ENGINE IN POSITIONING
VOLKOV V.A. PhD., Associate Professor, Doctoral Candidate of National Mining University, Dnepr, Ukraine, e-mail: [email protected]
Purpose. Obtaining analytical dependencies for the calculation of the main electromagnetic energy losses of a frequency-controlled induction motor in positioning modes with small displacements for various types (linear, parabolic and quasi-optimal) of its velocity variation.
Methodology. Similarity methods, differential and integral calculus, analytical interpolation, mathematical analysis.
Findings. Analytical dependencies for calculation of current electromagnetic power losses and basic electromag-
netic energy losses of a frequency-controlled asynchronous motor in the modes ofpositioning with small displacements for various types (linear, parabolic and quasi-optimal) of its velocity are obtained. A universal form of the analytical dependence for calculating the optimal acceleration and deceleration times for a frequency-controlled asynchronous motor for positioning with small displacements, corresponding to minimization of the main electromagnetic energy losses of this engine with the indicated positioning for various species (linear, parabolic and quasi-optimal), is obtained. A comparative quantitative assessment of the change is made: the optimum values of the main electromagnetic energy losses of the frequency-controlled asynchronous engine and the corresponding maximum speed and optimal acceleration and deceleration times, in the function of the set prescribed small displacements for the various engine speed trajectories under consideration.
Originality. For the first time, analytical dependencies for the calculation of the main electromagnetic energy losses of a frequency-controlled asynchronous motor are obtained for positioning with small displacements as a function of the set values of the movement of the motor shaft and the set values of its acceleration and deceleration times for the specified specified displacements. For the first time, dependences are obtained for a quantitative estimate of the minimum fundamental electromagnetic energy losses of an induction motor and the corresponding maximum speed and optimal acceleration and deceleration times in the function of the set given small displacements for a linear, parabolic and quasi-optimal trajectory of the engine speed during positioning.
Practical value. The calculated analytical dependencies obtained are intended for a quantitative estimation of the main electromagnetic energy losses of a frequency-controlled induction motor in the small-displacement mode. By determining, using the proposed analytical dependencies of the maximum speed values and the optimum acceleration and deceleration times of the frequency-controlled asynchronous motor, minimization of its main electromagnetic energy losses is achieved by positioning for linear, parabolic and quasi-optimal velocity trajectories.
Keywords: asynchronous motor, frequency regulation, electromagnetic energy losses, positioning.
REFERENCES
[1] . Bulgakov A.A. (1966). Chastotnoye upravleniye
asin-khronnymi elektrodvigatelyami, Moscow, Nauka, 1966, 298.
[2] . Pivnyak G.G., Volkov A.V. (2006). Sovremennyye
chastotno-reguliruyemyye asinkhronnyye elektropri-vody s shirotnoimpulsnoy modulyatsiyey, Dnepropetrovsk: Natsionalnyy gornyy universitet, 470.
[3] . Polyakov V.N. (2006). Ekstremal'noye upravleniye
elek-tricheskimi dvigatelyami, Yekaterinburg: UGTU-UPI, 420.
27 (1249), 258-263.
[11] . Petrov YU.P. (1961). Optimal'noye upravleniye elek-troprivodom, Moscow-Leningrad, Gosenergoiz-dat, 187.
[12] . Petrov YU.P. (1971). Optimal'noye upravleniye elektroprivodom s uchetom ogranicheniy po nagrevu, Leningrad, Energiya, 144.
[13] . Tolochko V.I., Rozkaryaka P.I., Chekavskiy G.S. (2011). Optimizatsiya elektropotreble-niya pozitsion-nogo elektroprivoda s vektornym upravleniyem as-inkhronnym dvigatelem, Naukovi pratsi Donets'kogo natsional'nogo tekhnichnogo universitetu, 11 (186),
[4] . Radin V.I., Bruskin D.E., Zorokhodich A.Ye. (1988).
Elektricheskiye mashiny: asin-khronnyye mashiny: Ucheb. dlya elektromekh. spets. Vuzov, Pod red. N.P. Kopylova, Moscow, Vyssh.shk., 328.
[5] . Sandler A.S., Sarbatov R.S. Avtomaticheskoye chas-
totnoye upravleniye asinkhronnymi dvigatelyami, Moscow, Energiya, 1974, 328.
396 - 406.
[14]. Tikhovod S.M. (2015). Usovershenstvovaniye it-eratsionnykh metodov resheniya sistem nelineynykh uravneniy sostoyaniya magnitoeletricheskikh skhem zameshcheniya, Elektrotekhnika ta elektroenergetika, 1, 30 - 46. DOI: http://dx.doi.org/10.15588/ 16076761-2015-1-8
[6] . Shreyner R.T., Dmitrenko YU.A. (1982). Opti-
mal'noye chastotnoye uprav-leniye asinkhronnymi elektroprivodami, Kishinev: Shtiintsa, 224.
[7] . Kovach K.P., Rats I. (1963). Perekhodnyye protsessy
v mashinakh peremennogo toka, Per. s nem. yaz., Moscow: Gosenergoizdat, 744.
[8] . Merfi Dzh. (1979). Tiristornoye upravleniye dvigate-
lyami peremennogo toka, Moscow, Energiya, 256.
[9] . Volkov A.V., Kolesnikov A.A. (2013). Energosbe-
regayushcheye upravleniye skorost'yu chastotno-reguliruyemogo asinkhronnogo dvigatelya v pusko-tormoznykh rezhimakh, Elektrotekhnika, 5, 2 - 9.
[10] . Volkov V.A. (2017). Elektrosberezheniye v chas-totno-reguliruyemykh asinkhronnykh elektroprivo-dakh posred-stvom optimizatsii vremen ikh razgona i tormozheniya, Visnik Natsional'nogo tekhnichnogo uni-versitetu «Kharkivs'kiy politekhnichniy institut»,
[15] . Tikhovod S.M., Kornus T.M., Patalakh D.G. (2015). Metod uskorennogo chislennogo rascheta perekhod-nykh protsessov v elektricheskikh tsepyakh na os-nove approksimatsii resheniya algebraicheskimi poli-nomami, Elektrotekhnika ta elektroenergetika, 2, 48 -54. DOI: http://dx.doi.org/10. 15588/1607-6761-
2015-2-7
[16] . Volkov V.A. (2016). Optimalnoye i kvazioptimal-noye energosberegayushcheye upravleniye polozhe-niyem chastotnoreguliruyemogo asinkhronnogo dvigatelya, Elektrotekhnika ta elektroyenergetika, 1, 25 - 34. DOI: http://dx.doi.org/10.15588/1607-6761-2016 -1-4.
[17] . Kalnitskiy L.A., Dobrotin D.A., Zheverzhev V.F. (1976). Spetsialnyy kurs vysshey matematiki dlya vuzov, ucheb. Posobiye, Moscow, 389.
[18] . Venikov V.A. (1976). Teoriya podobiya i modeliro-vaniya. Moscow, 479.
