CC BY
39
Constructive schemes of a cylindrical capacity and ring as its most perspective substitute, constructive and technological comparisons of these products are carried out are considered, their shortcomings and advantages are revealed.
Key words: ring gas capacity, cylindrical gas capacity, feedwell, design.
Nazarov Konstantin Arkadievich, postgraduate, SMSKNazarov@yandex. ru, Russia, Tula, Tula state University
УДК 539. 374
АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОЛЯХ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ, МОДЕЛИРУЮЩИХ ПРОЦЕССЫ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Г.В. Панфилов, С.В. Недошивин, И. А. Гаврилин
Установлены правила использования полученных ранее интегральных соотношений для расчета средних напряжений вдоль линий скольжения при осесимметрич-ном пластическом течении для различных траекторий этого расчета. Разработаны графические схемы, позволяющие по направлению вектора траектории расчета и направленности изменения характеристического угла заранее качественно оценить характер и интенсивность изменения указанных средних напряжений.
Ключевые слова: осесимметричное пластическое течение, аналитический метод линий скольжения, расчет средних напряжений.
В работе [1] приведены интегральные зависимости для определения значений среднего напряжения вдоль линий скольжения в случае осесим-метричного пластического течения деформируемого материала, аналогичные интегралам Генки, полученным для плоского деформированного состояния. Указанные зависимости установлены путем совместного решения дифференциальных уравнений равновесия при осевой симметрии в цилиндрических координатах и условия «полной пластичности» с гипотезой Хаара - Кармана [2, 3]. При режиме B «полной пластичности» (vr > 0 -
радиальная составляющая скорости материальных частиц направлена от оси симметрии) для двух расчетных точек вдоль линий скольжения эти зависимости, содержащие интегралы в общей форме, имеют следующий вид:
j
r0 - í Ra (j)'sin j'd j jo__i
s = s0 - 2 • k • ( j0 - j) - k •
j
r0 + í Ra ( j) •cos j-d j
jo
вдоль a- линий; (1)
О = О0 + 2 • к • (ф0 - ф) - к
Ф
г0 + | Щ$(ф)^С08Ф^^ф
Фо
ф
-1
вдоль / - линий, (2)
г0 + | Яр( ф)^т ф^dф
фо )
где: О0 и о - начальное и текущее значение нормального среднего напряжения; ф0 и ф - начальное и текущее значение характеристического угла; Г0 - радиальная координата начальной расчетной точки (от которой должно вестись интегрирование); к - пластическая постоянная материала; ^а(ф), ^р(ф) - радиусы кривизны линий скольжения, участвующих в
расчетах.
Указанные соотношения можно привести к более простому виду, используя вместо интегралов их символически вычисленные значения, представляющие собой осевую Д2 и радиальную Дг проекции участка рассматриваемой линии скольжения между исходной (нулевой) и текущей точками. Важно, что указанные проекции подставляются в данные формулы с положительным или отрицательным значением своей величины (т. е. со знаком «+» или «-») независимо от соответствующего знака в формуле, но с учетом последнего:
о = о0 - 2 • к • (ф0 - ф) - к
г0-Дг
° = °0 + 2 •к • (ф0-ф)
г - 2П и Дг
к •
Г) + Дг г0 + Дг V г0 +Дг
1
1
вдоль а- линий; (3)
вдоль / - линий, (4)
где: Дг = г - 20 и Дг = г - г0 - проекции вектора, соединяющего начальную и конечную точки расчета на линии скольжения; 20 и - координаты точки, имеющей минимальную радиальную координату в правосторонней системе координат; 2 иг - координаты другой точки линии скольжения.
При расчете напряжений в правосторонней системе координат, начиная от исходной (начальной) точки с минимальным значениям радиальной координаты, этой точке принадлежат все расчетные данные с нижним индексом «0» - Од, ф0, 20, В противном случае, когда расчет производится от точки с большей радиальной координатой, ей принадлежат расчетные данные с индексом «0» только в первых двух слагаемых правых частей уравнений (3) и (4) - О0 и ф0. Значения 20 и г0, по прежнему, представляют собой координаты точки с наименьшим (из двух, участвующих в расчетах) значением радиальной координаты, и при этом требуется сменить на противоположный знак арифметического действия перед третьим слагаемым правой части.
Для правильного применения зависимостей (3) и (4) (с учетом указанного правила подстановки в них исходных данных) необходимо использовать только правую систему прямоугольных координат zor, при которой кратчайший поворот от положительного направления оси z до положительного направления оси г осуществляется по часовой стрелке (рис. 1).
Сравнительное сопоставление зависимостей (1) - (4) с соответствующими зависимостями для плоского деформированного состояния (интегралами Генки) показывает, что два начальных алгебраически слагаемых в правой части первых зависимостей и правая часть вторых равны и отражают изменение среднего напряжения (при перемещении вдоль линий скольжения), связанное с изменением характеристического угла. Очевидно, что третье алгебраическое слагаемое в выражениях (1) - (4) связано с изменением среднего напряжения вследствие соответствующего изменения радиальной ( Дг ) и аксиальной (Дг) координат второй расчетной точки вдоль линии скольжения относительно исходной (нулевой) точки.
В работе [4] установлено, что формулы (3) и (4) справедливы для треугольных полей прямых линий скольжения, которые в частном порядке возникают в случаях осесимметричного пластического течения, когда эти поля примыкают к прямолинейным свободным границам, ориентированным ортогонально направлению радиальной координаты [2].
Анализ зависимостей (3) и (4) показывает, что при схематизации пластических областей полями линий скольжения (в меридиональных сечениях) процессов осесимметричного пластического течения, характер изменения части среднего напряжения, связанной с изменением координат, при расчетах вдоль линий скольжения полностью определяется положением вектора, соединяющего начальную и конечную точки, участвующие в расчете, относительно координатных осей г и г, с учетом режима «полной пластичности» (А или В) и семейства этой линии скольжения (а или Ь). При этом наиболее важную роль играют сочетания арифметических знаков («+» или «-») и модулей проекций Дг и Дг этого вектора на указанные координатные оси. Также эта интенсивность будет тем больше, чем больше будет разница в модулях проекций вектора на координатные оси.
В результате можно утверждать, что максимальное изменение части среднего напряжения, связанного со сменой координат при перемещении вдоль линии скольжения, наступает в случаях, когда приращение координаты Дг будет наибольшим, а приращение Дг - соответственно наименьшим и в результате общего учета знаков приращение Дг в числителе дроби последнего слагаемого правой части зависимостей (3) и (4) будет вычитаться из наименьшей радиальной координаты г0.
4 "4
Рис. 1. Схема для расчета и анализа изменения части среднего напряжения, связанного со сменой координат при перемещении вдоль
линий скольжения
При равенстве модулей проекций Аг, Аz и определенном сочетании их знаков, изменение координат при перемещении вдоль линии скольжения не будет вызывать изменения среднего напряжения, как, например, это происходит в треугольных прямолинейных участках полей линий скольжения, когда их «гипотенузы» (наиболее длинные стороны) расположены параллельно одной из осей указанных координат.
Также очевидно влияние величины г0 - радиальной координаты точки (начальной или конечной) с наименьшим (из двух указанных) значением этой радиальной координаты. Чем меньше модуль |г0|, тем интенсивнее изменение среднего напряжения вдоль расчетной траектории от начальной точки линии скольжения к конечной.
На основании анализа установленных выше закономерностей изменения среднего напряжения при различных вариантах направлений перемещения вдоль линий скольжения разработана графическая схема, позволяющая до проведения соответствующих расчетов качественно оценить характер и интенсивность изменения величины указанных средних напря-
83
жений. Это производится путем подбора для каждого из своих анализируемых отрезков перемещений вдоль линий скольжения одного из восьми возможных вариантов траектории перемещения, представленных на рисунке 1. После определения идентичного варианта, с рисунка 1 снимается требуемая информация.
Информация на схеме, представленной на рисунке 1, расшифровывается следующим образом.
1. Показаны четыре основных варианта траекторий расчета среднего напряжения от точек Л^ до точек В/ или С/, обозначенные цифрами 1
... 4 в кружке. Эти варианты векторов отличаются комбинациями увеличения или уменьшения радиальных и осевых координат при перемещении от начала каждого вектора к его концу. При этом начало вектора соответствует исходной (начальной) точке расчета, а конец - точке, в которой среднее напряжение определяется.
2. Два вектора, исходящих из точек Л^ (Л^В^ и Л^С^) в каждом варианте, различаются тем, что у вектора ЛВ изменение радиальной координаты (по модулю) |Дг| превышает изменение аксиальной координаты (также по модулю) |Д^|. У векторов Л^С^ - противоположное соотношение
изменений координат. В определенных случаях именно характер этого соотношения определяет знак приращения среднего напряжения (увеличение или уменьшение).
Рис. 2. Схема для расчета и анализа изменения части среднего напряжения, связанного с изменением характеристического угла при перемещении вдоль линий скольжения
z
О
3. Вблизи концов указанных векторов проставлены присущие им знаки изменения среднего напряжения: «+Аа» - увеличение среднего напряжения при перемещении от начала вектора к его концу; «-Аа» -уменьшение среднего напряжения. Знаки « +Аа» или «-Аа», проставленные в кружках, справедливы для а- линий скольжения, а знаки, проставленные в квадратиках, справедливы для ¡- линий скольжения. Кружки и квадратики, выполненные тонкими линиями, предсказывают небольшое увеличение или уменьшение среднего напряжения, а они же, выполненные жирными линиями, показывают интенсивное изменение среднего напряжения.
4. Для всех векторов на схеме отмечены форма записи и общий знак каждой его проекции на координатные оси для их последующей подстановки в зависимости (3) или (4).
5. Как уже отмечалось в пояснениях к зависимостям (3) и (4), некоторую сложность в правильной записи исходных данных, которые подставляются в указанные зависимости, возникают в случаях, когда расчет среднего напряжения начинается от точки, имеющей большую радиальную координату. Чтобы не ошибиться в выборе начальной радиальной координаты го, последние также обозначены на схеме для каждого из векторов. Также показана правильная форма записи проекций на координатные оси таких отрезков линий скольжения.
Полезно составить и аналогичную схему для расчета и анализа изменения части среднего напряжения, связанной с изменением характеристического угла при перемещении вдоль линий скольжения (рис. 2) в рассматриваемых полях, построенных для процессов осевой симметрии. Эта составляющая изменения среднего напряжения определяется вторым слагаемым в правой части интегральных соотношений (3) и (4). Данная схема также устанавливает полные качественные градиенты изменения исследуемых средних напряжений в процессах плоского пластического течения, где, в соответствии с интегральными соотношениями Генки, эти изменения связаны только с соответствующими изменениями характеристических углов р.
Как и на предыдущей схеме, для каждого из четырех возможных вариантов, в кружках проставлены градиенты изменения среднего напряжения, справедливые для а- линий скольжения, а в квадратиках - для ¡-линий скольжения.
Разработанные схемы могут быть весьма полезны при построении полей линий скольжения для схематизации пластических областей в меридиональных сечениях процессов осесимметричного деформирования, при оценке характера изменения средних напряжений на отдельных участках пластического течения, а также для качественной проверки правильности расчета этих напряжений.
Список литературы
1.Панфилов Г.В., Недошивин С.В. Построение методом линий скольжения полей, примыкающих к прямолинейным свободным границам, в задачах осевой симметрии // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ. 2014. С. 107-117.
2. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // Сб. переводов «Механика». М.: ИИЛ, 1957. № 1. С. 102-122.
3. Панфилов Р.Г., Парамонов Р. А., Хвостов Е.Ю. Условие полной пластичности в осесимметричных задачах теории пластичности // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ. 2010. С. 119-127.
4. Панфилов Г.В. Аналитическое описание поля линий скольжения при осадке цилиндра с вырезом // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 12. Тула: Изд-во ТулГУ. 2014. С. 107-117.
Панфилов Геннадий Васильевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Недошивин Сергей Владимирович, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Гаврилин Иван Александрович, магистрант, gavrilinivan@yahoo. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ANALYTICAL CALCULATION OF TENSION IN FIELDS OF THE LINES OF SLIDING MODELLING PROCESSES OF AXISYMMETRIC DEFORMA TION
G. V. Panfilov, S. V. Nedoshivin, I.A. Gavrilin
Rules of use of the received earlier integrated ratios for calculation of average tension along lines of sliding at an axisymmetric plastic current for various trajectories of this calculation are established. The graphic scheme allowing to estimate in advance qualitatively in the direction of a vector of a trajectory of calculation character and intensity of change of the specified average tension is developed.
Key words: axisymmetric plastic current, analytical method of lines of sliding, calculation of average tension.
Panfilov Gennady Vasilyevich, doctor of technical science, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Nedoshivin Sergey Vladimirovich, candidate of technical science, docent, arc-hon80@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Gavrilin Ivan Aleksandrovich, magistrant, gavrilinivan@yahoo. com, Russia, Tula, Tula State University
