CC BY
7
I и 11111 м I м 11 и т и и I Ш ш н и 111 и и I и и и I' ^ АНАЛИТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ СТАЦИОНАРНОГО ОБЪЕКТА СО СКАЛЯРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
В. В. АФОНИН, кандидат технических наук
Задача оптимальной стабилизации линейных стационарных объектов управления считается хорошо изученной. В данной работе выносятся на обсуждение некоторые результаты, позволяющие косвенно проверять расчет оптимального регулятора и являющиеся обобщением ранней работы автора [1], в которой рассматривались объекты с последовательным соединением типовых динамических звеньев.
Сформулируем следующую оптимальной стабилизации:
задачу
dx dt
Ах + Bu;
(1)
00
J = / (xTQx + ru2)dt;
(2)
о
x(0) * 0; x(oo) = 0,
(3)
n-мерныи вектор состояния с
хп; u — скаляр-
постоянная мат-
• ♦ »
где х
элементами х^ х2>
ное управление; А рица размера пхп с элементами ау, 1
в 1,2, ...,п, j = 1,2,...,п; В — постоянная матрица размера п х 1 с элементами Ь^ Ь2,...,ЬП; (2 — диагональная положительно-определенная матрица размера пхп с элементами
г — положительное чис-
41, 42
• • •
qn;
ло; т — символ транспонирования.
Требуется определить управление в функции координат объекта и(х), чтобы минимизировать квадратичный функционал (2) на решениях системы (1) при граничных условиях (3).
Если система (1) полностью уцрав-ляема, то поставленная задача имеет решение в виде [2]
и(х) = кр1Х! + кр2х2 + ... + крпхп =
КрХ
[kpi kp2, kpn ]
Xl x2
n
(4)
где Kp = -г *ВТР, а матрица P размера n x n является положительно-опреде-
ленным решением нейного уравнения
матричного Риккати
нели-
РА + АТР - РВг-1ВтР + Q = 0. (5)
Как видно, основные вычисления связаны с численным решением уравнения Риккати. В принципе особых проблем в его решении нет. Но всегда заслуживают внимания аналитические способы и приемы анализа поставленных задач и их решения. В этой связи была проведена работа по косвенной оценке решения задачи оптимальной стабилизации. Например, если по ка-кому-то методу было решено уравнение Риккати и рассчитаны коэффициенты оптимального регулятора, то правильности расчета можно оценить косвенным образом, по аналитической формуле. Приведем теперь результат, вынесенный в заголовок статьи:
qiA? + + ... + qnAn +
+ г(Д + kplAi + kp2A2 + ..
+ kpnAn)
2
гД2,
(6)
где
Д = det [А + ВКр ]
(aii+b1kp1)(a12+b1kp2)...(ain-fb1kpn) (а214- b2kp i) (а22+b2kp2).. .(a2n+b2kpn)
(anl+bnkpl)(an2+bnkp2)...(ann-hbnkpn)
© В. В. Афонин, 1998
д
1
Д2
А,.
(-1)1 (а 12 + Ь1кр2)...(а1п + ^крп) (~Ь2(а22 + Ь2кР2)--.(а2п + Ьгкрп)
Ь„(а„2 + Ьпкр2)...(апп + Ьпкрп)
(аи + ^крО-Ь^.^ахи + Ь х крп)
(а21 + Ь2кр1)-Ь2...(а2п + Ь2крп)
♦ ♦
(аП1 + Ьпкр1)-Ь
+ Ь„крп)
♦ • • •
(ап + Ь1кр1)(а12 + Ь!кр2) ..-Ь1
(а21 + Ь2кр!)(а22 + Ь2кр2) ..-Ь2
• •
(а„1 + Ьпкр1)(ап2 + Ьпкр2) ...-Ьп
Если коэффициенты оптимального регулятора кр1| кр2, крп рассчитаны
неверно, то левая часть формулы (6) не будет равна правой в пределах, превышающих заданную погрешность расчета аналитических выражений формулы (6).
Таким образом, имеем конструктивный прием аналитического контроля решения задачи оптимальной стабилизации линейного стационарного объекта общего вида (1) со скалярным управлением.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Афонин В. В. Некоторые аналитические соотношения в задаче оптимальной стабилизации объектов последовательной структуры // Расчет и конструирование преобразовательных устройств / Мордов. ун-т. Саранск, 1989. С. 71 — 75.
2. Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. С. 475 — 514.
ОПТИМАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ ДВОЙНОГО ПИТАНИЯ ПО ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ И ПЕРЕГРУЗОЧНЫМ
ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Ю. П. СОНИН, доктор технических наук, И. В. ГУЛЯЕВ, кандидат технических наук, В. В. АСТАШКИН, аспирант, Д. В. ТОЛСТИ КОВ, аспирант
Одним из вариантов обобщенной электромеханической системы [2] является частотно-регулируемый асинхронный двигатель двойного питания (АДДП) (рис. 1), у которого, как и у
обычного асинхронного двигателя (АД), ведущим звеном является обмотка статора, питающаяся от преобразователя частоты (ПЧ8) с выходным автономным инвертором тока с двухступенчатой искусственной коммутацией. Ведомое звено АДДП — обмотка
ротора, питающаяся от ПЧГ с выходным инвертором напряжения с широт-но-импульсной модуляцией (ШИМ), управляемым от датчика фазы напряжения указанной обмотки. Таким образом, частота напряжения ротора АДДП, как и у АД, задается вращающимся магнитным полем статора, а величина результирующего магнитного потока в воздушном зазоре машины поддерживается неизменной за счет регулирования амплитуды напряжения
© Ю. П. Сонин, И. В. Гуляев,
В. В. Асташкин, Д. В. Толстиков, 1998
