CC BY
46
С. Т. Бобров
АНАЛИТИЧЕСКИЙ И КОМПЬЮТЕРНЫЙ РАСЧЕТ АБЕРРАЦИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
4. ОРГАНИЗАЦИЯ РАСЧЕТА АБЕРРАЦИЙ СИСТЕМЫ
В предыдущих статьях были получены коэффициенты волновых аберраций тонких оптических элементов на асферических поверхностях вращения [1] и формулы преобразования этих коэффициентов при переходе с одной из таких поверхностей на другую [2]. Полученные соотношения обеспечивают расчет аберраций центрированной оптической системы, однако необходимо увязать их в единую методику, позволяющую осуществить расчет наиболее удобным образом.
Установим вначале набор параметров, которые должны быть известны для каждой оптической поверхности системы (или для каждого оптического элемента: поскольку рассматриваются тонкие элементы, то эти два термина означают одно и то же). К первой группе необходимых параметров относятся прежде всего параметры формы поверхности: радиус г в вершине поверхности и коэффициенты асферичности где 1 - номер элемента. Предпочтительно пользоваться обратным радиусом, т.е. кривизной поверхности с.( - 1/Г|, которая равна нулю для плоскости. Что касается коэффициентов асферичности, то более универсальными (т.е. пригодными для любой асферической поверхности, включая планоид) являются размерные коэффициенты [1], но оперировать удобнее с нормированными [1], величины которых, как правило, ближе к единице.
Кроме того, в эту группу параметров входят расстояния вдоль оси между вершинами поверхностей: расстояние <!_! от предыдущей поверхности до рассматриваемой и <1 от рассматриваемой поверхности до последующей (см. рис. 1), а также показатели преломления среды до и после поверхности п( и (напомним, что для дифракционных линз принимается = п| = 1).
Ко второй группе параметров (в отличие от первой рассчитываемых, а не задаваемых изначально) относятся отрезки оптической поверхности 8., которые определяются по следующим формулам (с учетом правила знаков, принятого в оптике):
1 _ Щ-1 .
Ч;
0)
Первое из соотношений (1) представляет собой тривиальное геометрическое соотношение = (см.
рис. 1), но преобразованное таким образом, чтобы использовались только обратные отрезки, т. к. сами отрезки мо-
Рис. 1. Параметры ¡-го оптического элемента в осесимметричной оптической системе. Показан ход предметного нулевого луча
гут быть бесконечными для некоторых поверхностей. Второе из выражений (1) является обобщенной формулой отрезков, которая может применяться как к преломляющим поверхностям, так и к дифракционным линзам. В первом случае заднее фокусное расстояние рассчитывается как
1 п.' - п.
г;
(2)
что следует из первого соотношения (8) в работе [ 1 ].
Во втором случае оба показателя преломления принимаются равными 1, а заднее фокусное расстояние равно:
1 _ тЛ / 1
(Ч--
1
(3)
в соответствии с первым из соотношений (12) в [1], где г-х, - отрезки записи дифракционной линзы; А0. X -длина волны записи и рабочая длина волны; ш - порядок дифракции.
Формулы (1) носят рекуррентный характер и могут использоваться в различной последовательности в зависимости от постановки задачи. Если известен передний отрезок системы 5, то он же является и передним отрезком первой поверхности в,, с которой и следует начинать расчет. Если известен задний (выходной) отрезок системы в', то он же является задним отрезком последней к-й поверхности, и расчет следует вести в обратной последовательности. Наконец, возможен случай, когда заданы оба отрезка системы, а в ее составе предусмотрен дифракционный корректор, т.е. дифракционная линза, обеспечивающая оптическое сопряжение предмета и изображения. В этом случае необходимо вести расчет отрезков от первой и последней поверхностей до корректора, заканчивая вычислением его отрезков.
Теперь рассмотрим форму представления аберрационных коэффициентов оптических элементов, составляющих систему. В соотношениях (9-10, 13-14) работы [1] эти коэффициенты даны для случая, когда аберрации выражены в координатах изображения, формируемого самим элементом (х|, у|). Для разных поверхностей системы эти координаты не совпадают, кроме того, для какой-либо поверхности они могут оказаться бесконечными. Чтобы избежать указанных трудностей, преобразуем аберрационные коэффициенты всех поверхностей системы, выразив аберрации каждой из них через координаты изображения, формируемого системой в целом (х', у1).Для 3-го порядка, например, новые коэффициенты будут выражаться через старые следующим образом:
=
С* = СА31 = А3.(-1)2;
(4)
Из формул работы [1] нетрудно убедиться, что коэффициенты полевых аберраций тонких оптических элементов содержат величину пГ/в| (для дифракционной линзы 1 степени, соответствующей степени полевой координаты в данной аберрации. В итоге во все коэффициенты полевых аберраций в указанной степени войдет величина
(5)
*( г г • »¡У
которая является инвариантом для данной поверхности, т. е. сохраняет свое значение при замене 8|, у| на п,,у,.
(7)
Расчет инвариантов X ведется по рекуррентной формуле:
8.' . е. + с1. . <1. ,
X. = Хм -Ь!- = Х._, = Х._, (1 +_Ь±). (6)
Ч Ч Ч
начиная с последней поверхности, для которой эта величина, как следует из (5), равна Х)с = п^/^ = п'/ь'. Ясно, что в
качестве единой полевой координаты можно выбрать и координату предмета или любого промежуточного изображения в системе. В этом случае меняются только стартовая точка и направление расчета инвариантов X.
Описанное преобразование коэффициентов аберраций позволяет представить их в форме, симметричной относительно п.', Приведем в качестве примера выражения для модифицированных коэффициентов 3-го порядка преломляющей асферической поверхности, которые имеют вид (ср. с формулами (9) в [1], индекс 1 и тильду опускаем):
53 = -I* (Л-__!_)_ .!*>(„•_„);
л П Б П5 Г
с, = X • 1А (- Л); А3 = -X2 (4т - —);
л П 5 Пв П5П5
рз = -х2'а(-т --т): сз = х3(4 - 4* -» л п 2 п2 3 п2 п2
Напомним, что величина 1д = (п'/ь - п'/г) является инвариантом поверхности (инвариант Аббе), что следует хотя бы из выражения (8) работы [ 1 ].
Полученная форма аберрационных коэффициентов обеспечивает возможность расчета аберраций как в прямом, так и в обратном ходе лучей. В последнем случае следует только поменять местами п', б' и п, в, что приведет к смене знака у всех коэффициентов.
Поскольку теперь аберрации поверхностей системы выражены в единых полевых координатах, то, пересчитав аберрационные коэффициенты одной поверхности на другую, их можно складывать с коэффициентами этой другой поверхности без каких-либо дополнительных преобразований. Необходимо, однако, модифицировать формулы пересчета, полученные в работах [2, 3].
Во-первых, следует определить смысл величин г и I, фигурирующих в этих формулах. Напомним, что г - это расстояние от вершины исходной поверхности до плоскости, в которой располагается центр кривизны аберрированной сферической волны, распространяющейся между поверхностями. Отсюда ясно, что при расчете в прямом ходе лучей, когда требуется перейти с 1-й поверхности на р + 1)-ю, таким расстоянием является выходной (задний) отрезок 1-й поверхности Величина ( в этом случае очевидным образом равна расстоянию между вершинами поверхностей В обратном ходе лучей при пересчете аберраций с ¡-й поверхности на 0 -1)-ю в качестве г следует использовать отрезок (причем с обратным знаком), а в качестве I - расстояние ¿¡_[ •
Необходимо также скорректировать формулы преобразования аберраций с учетом замены обычных коэффициентов на модифицированные [см. (4) ]. В качестве примера приведем выражение для пересчета коэффициента дисторсии 7-го порядка из плоскости в плоскость в прямом ходе лучей (ср. с последним из выражений (11) в работе [2]):
о7 = ти [О, - Тп + 6А7) + ЗТ2. (ЗС7(3) + 4г?)
- (387(3) + 24Р7(2) + 8В7> + 5111(ЗС7(2) + 4М7> "
" ЗТ21 (57(2) + 6Р7(2)) + 7Т1С7(П - Т2А(1)1 - (8)
3<1. 2(1? ^ (4А'03 + Р'0з+20'Аэ + 05РЗ)--!-(ЗС3032 +
5п:ти
6Т,
+ 4Аз203 + 4А3Р303 + - ^ [Т3;(2А303 + - ].
Индекс 1 при аберрационных коэффициентах опущен, поскольку, вообще говоря, речь идет о преобразовании не аберраций 1-й поверхности, а суммарных аберраций всех предшествующих поверхностей. Вспомогательные величины в выражении (8) равны:
г-1
Т,; =
г -1
Т =
31 У
1 - <1,/$; _ у| = хд
У' п|
V'
(9)
Аналогичным образом надо скорректировать и формулы преобразования аберраций при изменении формы поверхности. Так, соотношение для пересчета коэффициента первой птеры 7-го порядка из плоскости на сферу будет иметь вид (ср. с соответствующей формулой (10) из [3]):
р = р
7(1) 7(1)
5«|г,
(Т31С5(1)-2Р5)-
155? Г?
(зтзА-
(Ю)
- 14Т31С3 + 5А3) - ^ (Т3;С3 - А3) (^ + 2С]).
Таким образом, введение единых полевых координат и соответствующая модификация выражений для аберрационных коэффициентов и формул пересчета устраняют все трудности, связанные с возможным положением какого-либо промежуточного изображения в системе на бесконечности. Форма представления всех соотношений позволяет, кроме того, легко осуществлять расчет аберраций как в прямом, так и в обратном ходе лучей. В результате становится возможным создание достаточно эффективной программы анализа аберрационных свойств оптических систем.
В качестве иллюстрации тех сведений о системах, которые можно получать с помощью этой программы, приведем результаты исследования свойств весьма простого фокусирующего объектива для лазерного проигрывателя [3], схема которого представлена на рис. 2. Объектив состоит из плосковыпуклой рефракционной линзы и дифракционного корректора аберраций, который расположен со стороны сферической поверхности линзы. Со стороны корректора падает лазерный пучок, фокусируемый объективом. В работе [3] представлены результаты численных расчетов качества фокусировки, которые показывают, что с увеличением оптической силы корректора это качество растет, но при достижении определенного предела оно резко ухудшается, и объектив становится неработоспособным. Использование программы расчета аберраций позволяет дать этому факту наглядное объяснение.
2 1
-^ 1 /—
1-- 1 1
(1
{
Рис. 2. Оптическая схема фокусирующего объектива: 1 - рефракционная линза; 2 - дифракционный корректор
Поскольку фокусирующий объектив работает в пределах небольшого поля зрения, то качество фокусировки зависит прежде всего от комы 3-го и 5-го порядков. На рис. 3 даны графики изменения этих аберраций (в долях длины волны) в зависимости от расстояния с1 между рефракционной линзой и дифракционным корректором для трех соотношений между фокусными расстояниями корректора и объектива. Приведены также и зависимости критерия Марешаля (т. е. общего качества фокусировки) от этого расстояния.
Нетрудно видеть, что при наименьшей оптической силе корректора из трех представленных характер изменения комы 3-го и 5-го порядков таков, что при определенном расстоянии (1 они равны и противоположны по знаку
1.0 1.1 и 1.3 АН
в
Рис. 3. Зависимости комы 3-го порядка (1), первой комы 5-го порядка (2, величина аберрации отложена с обратным знаком) и критерия Марешаля М (3) от отношения расстояния между компонентами объектива (с!) к его фокусному расстоянию (О-Отношение фокусных расстояний объектива и корректора составляет 0,25 (а) ; 0,30(6) и 0,35 (в)
(максимум критерия Марешаля лежит несколько в стороне в силу влияния других аберраций). При увеличении оптической силы корректора равенство абсолютных величин двух ком уже не достигается, но они достаточно близки друг к другу, что обеспечивает высокое качество фокусировки. При дальнейшем увеличении оптической силы корректора величины двух ком значительно отличаются, и качество фокусировки падает.
В приведенном примере аберрационный анализ изменения качества фокусировки не позволил каким-либо образом улучшить объектив в силу его предельной простоты, однако в более сложных случаях расчет аберрационных коэффициентов оптических систем несомненно поможет оптимизировать их конструкции.
Литература
\. Бобров С. Т. Аналитический и компьютерный расчет аберраций высших порядков: 1. Общие положения и аберрации тонких элементов//Компьютерная оптика: Сб./МЦНТИ, М., 1992, вып. 10-11.
2. Бобров С. Т. Аналитический и компьютерный расчет аберраций высших порядков: 2. Преобразование аберраций из плоскости в плоскость//Компьютерная оптика: Сб./МЦНТИ, М., 1992, вып. 10-11.
3 .Бобров С. Т., Туркевич Ю. Г. Объектив с дифракционным корректором для лазерного проигрывателя//Компьютерная оптика: Сб./МЦНТИ, М., 1990, вып. 7.
