Аналитические структуры электрических обобщенно-однородных спектрографических сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2014, том 24, № 1, c. 50-58

РАБОТЫ ШКОЛЫ ПРОФ. Ю.К. ГОЛИКОВА: -

РАБОТЫ С НЕПОСРЕДСТВЕННЫМ УЧАСТИЕМ Ю.К. ГОЛИКОВА

УДК 537.21:537.29

© Ю- К. Голиков|, Н. К. Краснова

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОБОБЩЕННО-ОДНОРОДНЫХ СПЕКТРОГРАФИЧЕСКИХ СРЕД

В статье развивается аналитический аппарат представления электрических спектрографических сред с гармоническим обобщенно-однородным потенциалом вида ф(х, у, z) = Р (х, у, z) 1пЯ (х, у, z) + Q (х, у, z), где Р, Q, R — однородные по Л. Эйлеру функции с целочисленной кратностью. На базе комплексного потенциала Донкина для однородных функций нулевой кратности строится точный алгоритм синтеза таких потенциалов, содержащих в качестве свободного варьируемого элемента произвольные функции комплексного переменного. Анализируются эквипотенциальные портреты подобных полей и обсуждаются варианты их применения в электронной спектроскопии.

Кл. сл.: обобщенно-однородные по Л. Эйлеру функции, электрический спектрограф, электронная спектроскопия, комплексный потенциал Донкина, сферо-конические координаты

ВВЕДЕНИЕ

Спектрографическими электронно-оптическими средами мы будем называть электрические поля особой структуры, обладающие свойством пространственно разделять электронные или ионные потоки на систему изоэнергетических струй, сфокусированных на плоский либо прямолинейный позиционно-чувствительный детектор (ПЧД) [1].

Такой способ фиксации энергетических спектров одновременно в большом диапазоне изменения энергий имеет большие преимущества по сравнению с последовательным процессом измерения энергий, который лежит в основе работы большинства традиционных электронных спектрометров. В частности, спектрографы незаменимы при исследовании быстропротекающих физических и химических процессов на поверхности эмиттера (образца) средствами электронной спектроскопии. Идеальную спектрографическую среду образуют поля с потенциалом ф, однородным по Л. Эйлеру. Они характеризуются функциональным тождеством [2]

ф (kх,ky,kz ) = кпф (х,у^ ). (1)

В таких полях действует специальный принцип механического подобия, который как раз и обеспечивает струйное разделение потока, причем струи оказываются взаимно подобными, а сфокусированные пятна разной энергии распределяются вдоль луча, проходящего через начало координат х = у = z = 0 — центр гомотетии. Теория таких

сред, включающая задачу Коши для симметричных потенциалов, построена в наших работах [3, 4] при помощи комплексных потенциалов Дон-кина общего вида, что позволило строить широкое многообразие нужных потенциалов с элементарным представлением, выводящее далеко за пределы стандартной теории сферических функций [5]. Этот прием в литературе не встречается. В данной работе мы распространяем наши методы на класс трехмерных потенциалов, которые удобно назвать обобщенно-однородными. Их форма такова

ф ( х, у, 2 ) = Р ( х, у, 2 ) 1пЯ ( х,у,2 ) + д ( х, у, 2 ). (2)

Здесь Р, 2 — однородные функции одинаковой кратности п, а Я — однородная функция кратности т . Числа т и п могут быть любыми вещественными, но мы предпочтем только целые числа, положительные и отрицательные, включая 0. В классе этих структур также действует принцип подобия, но не абсолютно точный, а с некоторыми искажениями, что, впрочем, не мешает синтезировать на их базе весьма эффективные спектрографы

[6]. К сожалению, потенциалы типа (2) за редчайшим исключением не позволяют проинтегрировать уравнения движения в замкнутой аналитической форме, и здесь приходится полагаться на компьютерное моделирование. Оно позволило выявить скрытую природу движения, в которой замаскированы правила подобия, столь ярко видные в случае чисто однородных полей. В работе

[7] мы построили подкласс потенциалов типа (2), обладающих осевой симметрией вида

ф (г) = Р (г) 1пг + Q (г),

(3)

V2 2

х + у , z — цилиндрические координаты, а Р, Q — однородные полиномы. Потенциалы (3) удовлетворяют осесимметричному уравнению Лапласа

1 8 8ф 82ф

.--г —+ —2 = 0.

г 8г 8г 8z

(4)

Дф :

д2ф д2ф д2ф д2 ~ду2 ~82

0

(5)

или в развернутой форме

ДР ■ 1пЯ + 2УР-ЧШ + Р-ДШ + ДQ = 0, (6)

^8 8 8 где ¥ = +^12 +

8х 8у 82

Подбирать (конструировать) тройки функций Р^,Я с учетом однородности, обращающие (6) в тождество слишком сложно, и это хочется упростить. Первый шаг в этом направлении состоит в обыгрывании условия Л. Эйлера (1) для однородных функций.

РЕДУКЦИЯ СТРУКТУР (2)

С помощью свойства (1), выбирая подходящий множитель k , нам выгодно привести однородную функцию Я (х,у,г) к трем типам представления:

Я

■ S |х,у|;

г г

(7)

Я = гт ■ S(Х,21, г = ^х2 +у2; (8) ^ г г )

р = 4хГ+/+?. (9)

Я = рт ■ S

рр

Подставим, например, Я из (7) в (2) и преобразуем, получим

Множитель Р сам является гармонической функцией, как и 1п г , но функция Q (г, г) заведомо не гармоническая и к ней можно "подмешивать" гармонический полином той же кратности п . Это свойство позволяет расширить класс (3). Он оказался чрезвычайно эффективен в поиске осесим-метричных спектрографических сред с высоким качеством фокусировки полых конических пучков с осевой симметрией, но все-таки нужной свободы при постановке обратных задач механики здесь недостает, т. к. в составе потенциала отсутствуют свободные варьируемые функциональные элементы. Задача нашей работы сейчас состоит именно в том, чтобы ввести подобные элементы в общую структуру (2) с помощью все тех же потенциалов Донкина, которые так удачно вплелись в общую теорию однородных по Л. Эйлеру потенциалов [1].

Подчиним структуру (2) трехмерному уравнению Лапласа

Ф=Р ■ т ■ 1п г +

Р 1пSI Х,У | + Q

гг

Р*1пг + 0'. (10)

Квадратная скобка, очевидно, — однородная функция п кратности как Р^ . Следовательно, форма (10) принадлежит тому же классу (2). Аналогичным образом, встраивая (8) и (9) в (2), можно получить родственные формулы. Опуская значок "*", запишем эти редуцированные к некому каноническому типу выражения для потенциалов (2), ничего не теряя в общности:

ф = Р ( х,у,2 ) 1п Z + Q ( х,у,2 ), ф = Р ( х,у,2) 1п г + Q ( х,у,2 ), ф = Р ( х,у,г ) 1п р + Q ( х,у,г ).

(11) (12) (13)

Математически в общем смысле все эти формы эквивалентны и лежат в классе (2), но конструктивно они разные, и каждая порождает свой подкласс спектрографических сред. Выбранный способ редукции, отнюдь, не единственный, и можно брать другие варианты функции Я , кроме (7), (8), (9), но на данном этапе мы пока никаких явных преимуществ не усматриваем и потому ограничимся формулами (11), (12), (13). Поскольку типы функции Я вполне конкретизировались, то на нашем усмотрении остались функции Р^ в уравнении (6). Одну из них мы вправе задать по своему усмотрению, тогда другая должна определяться из (6) как решение соответствующего уравнения Пуассона. Желание построить простой и эффективный метод синтеза искомых потенциалов приводит нас к очевидной мысли, что функцию Р (х,у,г) выгодно брать в классе гармонических функций

ДР = 0.

(14)

и тогда для Q (х,у,г) образуется уравнение типа Пуассона

ДQ = -(2ЧР ■ У1пЯ + Р ■ Д1пЯ), (15)

где в качестве Я следует брать одну из функций: д/х2 + у2; р = т^х^Ту^Щ2. Общее решение

г; г -

т

г

К этим выражениям добавим третью координату

(25)

А-1

р

вместо простых сфер; А — потенциал кулонов-ского центра и, следовательно, это гармоническая функция.

Вычислим лапласиан произвольной функции Ф (х,у,г), выражая его в координатах иу,А . Имеем:

УФ = Ф, У и + Ф,. Vv + Ф, УА,

(26)

(28)

Система (32) вполне легко, но несколько длинно разрешается относительно х,у,г . Опуская эти выкладки, сразу же запишем результат:

2 и х — —

У

А 1 + и2 +v2,

2 V

А 1 + и2 +v2'

1 1 - и2 - V2

(33)

г — — ■

2

ДФ — У(УФ) — Фии (Уи)2 + Фт (Уу)2 + Фа (УА)2 + + 2ФиАУи ■ УА + 2ФУ ■ У А + 2ФиуУи ■ Vv + (27) + ФиДи + ФуДу + ФаДА.

Функции и,у,А гармонические, и кроме того их градиенты взаимно ортогональны, поэтому

Vv ■УА — У и ■Уу— У и ■Уу = 0, Ди — Дv — ДА — 0.

А 1 + и + у

С помощью выражений (32), (33) преобразуем коэффициенты в (31) и после простых вычислений запишем окончательно

ДФ — А2 \

(1 + и2 + V2

)2

4

(Ф +Ф )+ А2Ф,

\ ии уу/ А

(34)

Кроме вещественных координат Донкина и,V имеет смысл ввести еще комплексные координаты Донкина

Вследствие этого выражение (27) принимает наиболее простой вид:

ДФ — Фии (Уи)2 + Фу (Уу)2 + Фа (УА)2. (29)

Вычисляя градиенты функций и,у,А с помощью выражений (24), (25), получим

22 Уи = Уу =-

1

( г + Р)

К=Л. р

(30)

Выражение (29) запишется теперь так:

ДФ

(г+р)

1-(Ф +Ф ) + — Ф,,

ч 2 ^ ^ии ^уу ) 4 АА •

р

(31)

Остается выразить коэффициенты через новые координаты и,у,А . Для этого запишем систему:

г + т^2 + у2 + г2 У

— и,

г + ,[х2 + у2 + г2

(32)

— А.

оз —и + IV

ш — и - IV —

х+у г + р

х - 1у г + р

(35)

Производные по о ш выразим с помощью, т. н. операторов Г.К. Колосова[14]

8о 2 \8и 8у

8 _ 1 +. 8ш 2 \8и 8у

(36)

Тогда двумерный оператор Лапласа выразится формулой

82Ф 82Ф л 82Ф

-+-— 4-.

8и2 8у2 8о8ш

(37)

В переменных о ш А лапласиан (34) примет вид, особенно удобный для наших исследований:

ДФ — А2 ^(1 + ош^)

2 82Ф 2 82Ф

-+ А —2"

8о 8ш 8А 2

(38)

Теперь настал момент вернуться к уравнению компенсатора (23). Подставляя Д из (38) и выра-1 2

жая справа в (23) — — А , мы получим равенство р2

х

у

1

54

|Ю. К. ГОЛИКОВ, Н. К. КРАСНОВА

Я2 <|(1 + юш)

2

дюдш

+ Х

д2& дХ2

-Х2/(ю). (39)

Общий множитель Х2 сокращается, и для Q остается комплексное уравнение Пуассона с произвольной аналитической функцией / (ю) справа

л ч2 д^ ,2 д2Q ,

(1 + юш) -— + = -/(ю).

2

дюдш

дХ

(40)

Q = Q (ю,ш).

(41)

(1 + юш)

2 д2Q дюдш

-/(ю).

(42)

Q = -шГ/М^ + р^) + ^(ш), (43) 1+ юш

где р (ю) и g (ш) — произвольные аналитические функции комплексных аргументов ю,ш , т. е., по сути, свободные донкинские потенциалы. В дальнейшем они будут играть важную роль при решении задачи Коши для симметричных полей, а на данном этапе их можно опустить. Негармонический интегральный член в (43) — также однородный нулевой кратности, является главной частью компенсатора Q . В итоге мы можем записать формулу потенциала нулевой кратности из класса (13)

Фо

/ (ю) 1пр-шГ~

/ ( ю) 4,

ю

+ юш

(44)

и = ±1, ± 2, ± 3,—

ГЕНЕРАЦИЯ НОВЫХ РЕШЕНИИ

(45)

на) [15]:

"Если в любом гармоническом потенциале Ф (х,у^) преобразовать переменные по формулам

X У

X2 + У2 + 22

У:

X2 + У2 + 22

(46)

z =

X2 + У2 +22

и домножить его на множитель

1

то

Поскольку справа в (40) координаты Х нет, то резонно предположить, что искомое частное решение Q также не должно зависеть от Х, тогда следует положить

получится новый гармонический потенциал Ф (X,У,2) в переменных X,У,2 вида

Для Q (ю,ш) образовалось легко интегрируемое уравнение

Ф

хФ

1

^2 + У2 +22

X

2

X2 + У2 + 22' X2 +У2 + 22' X2 +У2 + 22

.(47)

Интегрируя его сначала по ш , потом по ю, после простых преобразований получим формулу для Q(ю,ш) общего вида

В геометрическом смысле преобразование координат (46) отвечает инверсии в единичном шаре, "выворачивающем" пространство х,у^ наизнанку, поскольку внешность единичного шара, включая бесконечно удаленную точку, переходит внутрь шара, а его внутренность, напротив, переходит во внешность шара, причем центр уходит на бесконечность. Инверсия (46) не меняет отношений

у = У_ z 2 z 2

(48)

Поскольку все однородные функции нулевой кратности зависят только от отношений координат, то они также сохраняют свою аналитическую форму. Поэтому нет необходимости в дальнейшем менять обозначения х,у^ на X,У,2, достаточно

только изменить 11

Р = т[х2 +у 2 + Z2

на

Р ^2 +У2 + 22

. Сказанного достаточно, чтобы

Он является порождающим элементом для множества потенциалов класса (13) с целочисленными кратностями

из основной функции ф0 (44) при помощи преобразования Кельвина построить новый гармонический потенциал кратности (-1) вида

Ф-

-1

Р

/ ( ю ) 1пр + ш] ю) 4

+ юш

(49)

Мы будем часто пользоваться следующей замечательной теоремой У. Томсона (лорда Кельви-

Как вполне очевидно, частные производные от произвольной гармонической функции Ф (х,у^) любого порядка по х,у^ сами являются гармоническими функциями. Таким способом из потен-

X

X

циалов (44) и (49) можно образовать великое множество новых гармонических потенциалов. К сожалению, этот процесс уже через несколько шагов начинает так ветвиться, что мир этих функций становится практически необозримым и ценность их для теории спектрографов становится неуловимой. На самом деле нам нужны достаточно простые и математически прозрачные структуры. Их мы сможем получить, пользуясь только операто-

8

ром —. Запишем (49) в более удобной форме

8г

ф-

- f (о ) 1пр + Q ( о,ш)

р

(50)

С помощью выражений легко найти следующие величины, которые будут постоянно возникать в наших аналитических конструкциях:

8о _ -о 8г р

8ш _ -ш 8г р

г 1 - ош

р

1 + юш

(51)

Дифференцируя (50) по г, с учетом формул (51) получим потенциал ф-2 кратности (-2) по формуле

1

ф-2

р2

оГ ( о) + f ( ю ) 1

1 -шоо

+ ош

1пр -

р

г, Л -шсо -шсо

f ( о) ^-+12~-+ дао + даш

+ ош 1 + ош

(52)

ф+1 — - р

< ( о) + f (о ) 1

1 -шоо

+ ош

1пр -

р

г, Л-шоо -шсо

f (о)--+д--+ дао + даш

1 + ош

1 + ош

(53)

щиеся новые структуры с учетом всех упрощений, которые будут возникать по ходу дела.

РЕКОНСТРУКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СТРУКТУР КЛАССА (2)

Теперь рассмотрим несколько конкретных примеров потенциальных структур данного класса трехмерных потенциалов (2). Если Р и Я определены, то необходимо найти функцию-компенсатор Q

Q (а,ш) —

f (о) а

о

+ ош

(54)

Благодаря комплексным донкинским переменным о, ш аналитические структуры довольно компактны. Но уже при разбиении полученных структур на вещественную и мнимую части количество новых гармонических структур удваивается, и, вот, они будут действительно очень громоздкими. Для генерации новых структур, помимо дифференцирования по координате, мы можем применять и преобразование Кельвина (47); из (52) образуем очень интересный физически содержательный потенциал кратности (+1) с помощью преобразования Кельвина

Несмотря на кажущуюся простоту, этот интеграл берется в элементарных функциях только для f (о) в виде конечных полиномов, либо отношения полиномов; иных вариантов, по-видимому, нет. Ограничимся только целыми степенями

f — юn,n —1,2,3,-. (55)

Из таких элементов складываются полиномы, и класс интегрируемых вариантов f (о) становится достаточно богатым.

Пример 1. f — о .

д — -I-= -т +—1п (1 + ош). (56)

J 1 + ош ш

Несущественную гармоническую составляющую о можно отбросить, и полный потенциал по формуле (44) предстанет в виде

ф0 — о1пр +—1п (1 + ош). ш

(57)

Пример 2. f — о2 .

_ го/шйоз о о2 1 , , , ....

д — -=-------г]п (1 + ош). (58)

-1 1 + ош ш 2 ш

о

И здесь, отбрасывая , получим

ф0 —а>21пр + - —1^1п (\ + а>ш) ш ш

Пример 3. f — о3 .

(59)

Таким образом, мы проиллюстрировали общий аналитический алгоритм создания новых структур, но при конкретном выборе производящей f (о)

более выгодно делать реальные выкладки, начиная со структуры (44), и далее вычислять получаю-

_ го3шао о о2 о3 1 , , ч.

д — -I-=--2+---+—-1п(1 + ош). (60)

■> 1 + ош ш2 2ш 3 ш3 у '

Снова игнорируя гармонический член

У 3 )

1

56

Ю. К. ГОЛИКОВ, Н. К. КРАСНОВА

получим потенциал

Фо

©

¡1 © © 1 . [Л

V--2 + ^ + —3ln (1 +

— 2— —

©—

). (61)

С ростом п число членов растет, но не слишком быстро, при этом в структуре выражения потенциала наблюдается некое единообразие. Каждый из этих потенциалов служит зародышем для целой цепочки потенциалов с отрицательными и положительными кратностями. Размножение этих конкретных структур происходит чрезвычайно быстро, и всех их обозреть практически невозможно. Ограничимся самыми лаконичными иллюстрирующими примерами.

Подвергнем преобразованию Кельвина потенциал (57)

-©lnp 1

Ф-1 =-- + -

рр

1

—ln (1+ ©— )

—

(62)

Ф-2 = -1--ю— |21пр - 3 + юш + 21п (1 + юш)}. (63)

р 1 + юш

Это выражение можно снова продифференцировать по z и получить потенциал кратности (-3) и так далее. Преобразованием Кельвина потенциал (63) можно превратить в потенциал кратности (+1):

Ф+1 =Р •

©

1 + ©—

{-2lnp - 3 + ©— + 2ln (1+ ©— )}. (64)

Чтобы понять физическую природу этих потенциалов, перейдем от абстрактных донкинских координат ю,ш к обычным декартовым. Пользуясь формулой

1 + ©— = 1 +

x2 + y2

2р

(z + р)2 z + p'

получим

Воспользуемся далее формулой (52) и построим потенциал кратности (-2). Даже в этом простейшем случае последовательность формул неожиданно оказывается весьма нетривиальной. Опуская алгебраические выкладки, запишем окончательный результат

(65)

Ф2 = 4 • X+yJ lnp - 2 + ^ + ln^U (66)

Р Р I z+P z+PJ

у 0.5 7 0.0

-1.0

Рис. 1. Эквипотенциальные поверхности структуры

+

yz

Ф+1 =У1п ( z + Р )

z + p

Ф+1 = C = const = -1. 0. 1

Рис. 2. Эквипотенциальные по- Рис. 3. Эквипотенциальные поверх-

верхности структуры

Ф-2 = -y J 2lnp + —Р

Р I z + P Ф-2 = C = const = -5. -2. 0. 2. 5

- ln (z + p)

ности структуры

2xy

Ф0 =-т x

i 2 , 2\2 (x +y )

x {(z + p )2 ln (z + p ) - 4zplnp} +

+ 2xy

x2 +y2' Ф=С = const = -2. 0. 2

Преобразуем (66) по Кельвину, тогда получится выражение

= ( x + iy )Jln--2 ^ + ln I Р z + P

z + p

= ( x + iy ):

х\-\пр - 2 + р + 2 2 + 1п2 + 1пр - 1п ( 2 + р)\ =

[ г + р \

= ( х + .у )|( 1п2 -1)- - 1п ( г + р)|. (67)

Отбрасывая тривиальный двумерный гармонический член (х + .у)(1п2 -1) и меняя знак, мы напишем, отнюдь, нетривиальный обобщенно-однородный гармонический потенциал с кратностью (+1) вида

ф+1 = ( x + iy) ln ( z + p ) +

z (x + iy ) z + p

(68)

На рис. 1-3 представлены эквипотенциальные поверхности потенциальных структур изучаемого класса с разной кратностью.

ВЫВОДЫ

Подведем итоги. С помощью комплексных потенциалов Донкина мы можем строить огромное многообразие обобщенно-однородных гармонических потенциалов с целочисленными кратностями и затем изучать их с той или иной степенью подробности либо чисто аналитическими способами, либо компьютерным моделированием, но лучше комбинацией того и другого. Меняя f (о) только в классе полиномов и отношения полиномов, мы образуем очень пестрый и богатый мир спектрографических сред с неограниченными возможностями.

3. Габдуллин П.Г., Голиков Ю.К., Краснова Н.К., Давыдов С.Н. Применение формулы Донкина в теории энергоанализаторов. I // ЖТФ. 2000. Т. 70, № 2. С. 91-94.

4. Габдуллин П.Г., Голиков Ю.К., Краснова Н.К., Давыдов С.Н. Применение формулы Донкина в теории энергоанализаторов. II // ЖТФ. 2000. Т. 70, № 3. С. 44-47.

5. Левин В.И., Гросберг Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М., Л.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1951. 576 с.

6. Read F.H. The parallel cylindrical mirror electron energy analyzer // Rev. Sci. Instrum. 2002. V. 73, N 3. P. 1129-1139.

7. Голиков Ю.К., Григорьев Д.В., Соловьев К.В., Уткин К.Г. Новый базисный ряд осесимметричных гармонических потенциалов для синтеза энергоанализаторов // Тез. докл. 4 Всерос. сем. "Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики". Москва, 1999. C. 11-12.

8. Голиков Ю.К., Краснова Н.К. Электрические поля, однородные по Л. Эйлеру, для электронной спектрографии // ЖТФ. 2011. Т. 81, № 2. С. 9-15.

9. Уиттекер Э., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. В 2 т. Т. 2. М.: Физматгиз, 1963. 516 с.

10. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2 т. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958. 930 с.

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1968. 720 с.

12. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970. 712 с.

13. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. 618 с.

14. Голиков Ю.К., Краснова Н.К. Теория синтеза электростатических энергоанализаторов. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. 409 с.

15. Томсон У., Тэт П. Трактат по натуральной философии. Ч. II. М., Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2010. 592 с.

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голиков Ю.К., Краснова Н.К. Обобщенный принцип подобия и его применение в электронной спектрографии // Прикладная физика. 2007. № 2. С. 5-11.

2. Кельман В.М., Явор С.Я. Электронная оптика. Л.: Наука, 1968. 487 с.

Контакты: Краснова Надежда Константиновна, [email protected]

Материал поступил в редакцию 10.01.2014

58 [ra. K. ro^HKÖel H. K. KPACHOBA

ANALYTICAL STRUCTURES OF ELECTRIC SPECTROGRAPHS THE FIELDS OF WHICH ARE EXPRESSED IN A UNIFORM GENERALIZED FORM

Yu. K. Golikov, N. K. Krasnova

Saint-Petersburg State Polytechnic University, Saint-Petersburg, RF

In the article an analytical representation of the fields for electric spectrographs expressed in an uniform generalized form is developed. The potentials of such fields are of Laplace's type and presented as f (x,y,z) = P (x,y,z) lnR (x,y,z) + Q (x,y,z), where P,Q,R — are uniform functions in Euler's sense with an

integer multiplicity. It is built an accurate algorithm to synthesize such potential structures exploiting a complex Donkin's potential of null multiplicity. In these constructions one can use any function of complex variables. Some surfaces of equal potential of these fields are demonstrated and analyze. The different variants to use in electron spectroscopy are discussed.

Keywords: uniform generalized in Euler's sense functions, electric spectrograph, electron spectroscopy, complex Donkin's potential, spherical conical coordinates

REFERENCES

1. Golikov Yu.K., Krasnova N.K. Obobshchennyy printsip podobiya i yego primeneniye v elektronnoy spek-trografii // Prikladnaya fizika. 2007. № 2. S. 5-11. (in Russian).

2. Kelman V.M., Yavor S.Ya. Elektronnaya optika. L.: Nauka, 1968. 487 s. (in Russian).

3. Gabdullin P.G., Golikov Yu.K., Krasnova N.K., Da-vydov S.N. Primeneniye formuly Donkina v teorii energoanalizatorov. I // ZhTF. 2000. T. 70, № 2. S. 91-94. (in Russian).

4. Gabdullin P.G., Golikov Yu.K., Krasnova N.K., Da-vydov S.N. Primeneniye formuly Donkina v teorii energoanalizatorov. II // ZhTF. 2000. T. 70, № 3. S. 44-47. (in Russian).

5. Levin V.I., Grosberg Yu.I. Differentsialnyye uravne-niya matematicheskoy fiziki. M., L.: Gos. izd-vo fiz.-mat. lit-ry, 1951. 576 s. (in Russian).

6. Read F.H. The parallel cylindrical mirror electron energy analyzer // Rev. Sci. Instrum. 2002. V. 73, N 3. P. 1129-1139.

7. Golikov Yu.K., GrigoryevD.V., SolovyevK.V., Utkin K.G. Novyy bazisnyy ryad osesimmetrichnykh garmoni-cheskikh potentsialov dlya sinteza energo-analizatorov // Tez. dokl. 4 Vseros. sem. "Problemy teoreticheskoy i prikladnoy elektronnoy i ionnoy optiki". Moskva, 1999. C. 11-12. (in Russian).

8. Golikov Yu.K., Krasnova N.K. Elektricheskiye polya, odnorodnyye po L. Eyleru, dlya elektronnoy spek-trografii // ZhTF. 2011. T. 81, № 2. S. 9-15. (in Russian).

9. Uitteker E., Vatson Dzh.N. Kurs sovremennogo analiza. (2 t). T. 2. M.: Fizmatgiz, 1963. 516 s. (in Russian).

10. Mors F.M., Feshbakh G. Metody teoreticheskoy fiziki. (2 t). T. 1. M.: Izd-vo inostr. lit-ry, 1958. 930 s. (in Russian).

11. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya na-uchnykh rabotnikov i inzhenerov. M.: Nauka, gl. red. fiz.-mat. lit-ry, 1968. 720 s. (in Russian).

12. Arfken G. Matematicheskiye metody v fizike. M.: Atomizdat, 1970. 712 s. (in Russian).

13. Madelung E. Matematicheskiy apparat fiziki.

M.: Izd-vo fiz.-mat. lit-ry, 1960. 618 s. (in Russian).

14. Golikov Yu.K., Krasnova N.K. Teoriya sinteza elek-trostaticheskikh energoanalizatorov. SPb.: Izd-vo Poli-tekhn. un-ta, 2010. 409 s. (in Russian).

15. Tomson U., Tet P. Traktat po naturalnoy filosofii. Ch. II. M., Izhevsk: NITs "Regulyarnaya i khao-ticheskaya dinamika", Izhevskiy institut kompyu-ternykh issledovaniy, 2010. 592 s. (in Russian).