CC BY
23
© Бодренко А.И., 2012
МАТЕМАТИКА
УДК 514.75 ББК 22.151
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОЧТИ АДС-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
А.И. Бодренко
В статье исследуется задача продолжения бесконечно малых почти ЛКО-деформаций поверхностей в аналитические деформации того же типа в евклидовых пространствах.
Ключевые слова: деформация поверхности, средняя кривизна, G-деформация, бесконечно малая деформация, аналитическая деформация.
Введение
Рассмотрим в евклидовом пространстве Еп+1, п > 1, замкнутую ориентируемую гиперповерхность Г. Введем в Еп+1 декартову прямоугольную систему координат (у 1,...,уп+1). Обозначим через г = г (М),М Е Г, радиус-вектор поверхности Г, п = п (М) — единичный вектор нормали к поверхности Г в точке М. Пусть на Г задана последовательность векторных полей г (к) = % (к) (М ),М Е Г, У к Е N функция
7 = 7(М),М Е Г. Пусть дано число А Е М. N и М — множества натуральных и действительных чисел.
Определение 1. Деформация {Ге} гиперповерхности Г, определяемая уравнением:
Г£ -Т (М) =~г (М)+ ~г (1) (М)е, УМ Е Г,
где £ — параметр деформации; Т — радиус-вектор поверхности Г£, называется бесконечно малой почти ареально-рекуррентной О-деформацией (коротко почти ЛЯО-дефор-мацией), если выполнены условия:
1) вариация 5(йа) элемента площади йа поверхности Г удовлетворяет соотношению: 8(йа) = Нп(Ас(1) + 7)йа, где А называется коэффициентом рекуррентности деформации, Н = Н(М), М Е Г — средняя кривизна Г в точке М, с(1) =<Т(1), Т>, < .,. > — скалярное произведение в Еп+1;
2) рассматриваемая деформация является С-деформацией (см. [2]), то есть при деформации сохраняется грассманов образ гиперповерхности Г в том смысле, что касательные плоскости переносятся параллельно.
Определение 2. Деформация |Г£} гиперповерхности Г, определяемая уравнением:
ГО
Г :Г£ (М)=г (М) + ^ г(к) (М)£к,УМ € Г,£ € [0,1), (1)
к=1
называется аналитической почти ЛЯС-деформацией, если ряды ^£=
z^k)sk,a = 1,'/?. + 1,
где через гак) обозначены компоненты вектора ~г (к) во введенной системе координат в Еп+1, сходятся на промежутке £ € [0,1) и выполнены условия:
1) изменение Д£(йа) элемента площади йа гиперповерхности Г удовлетворяет соотношению:
Де(йа) = Ии(\с£ + 7 £)йа, (2)
ЕГО к
к=1 с(к)£к, с(к) =<г(к), и>;
2) рассматриваемая деформация является С-деформацией в указанном выше смысле. В [7] исследовались свойства бесконечно малых ЛЯС-деформаций, в [1] и [9]
изучались свойства непрерывных почти ЛЯС-деформаций. Известна проблема продолжения бесконечно малых изгибаний в аналитические ([5]), состоящая в следующем. Для всякого ли поля бесконечно малого изгибания г (1) поверхности можно указать
поля "г (2), г (з),... такие, чтобы деформация вида (1) определяла аналитические изгибания поверхности? В такой постановке эта задача нашла положительное решение для некоторых классов поверхностей, например, в работах [4] и [3]. Поэтому естественно возникает вопрос о постановке аналогичной задачи для почти ЛЯС-деформаций: при каких условиях бесконечно малая почти ЛЯС-деформация допускает продолжение в аналитическую почти ЛЯС-деформацию? Исследованию этой задачи посвящена настоящая статья.
Рассмотрим евклидово пространство Еп. Введем в Еп декартову прямоугольную систему координат (я1,...,#”). Рассмотрим Ск'и(В),к > 0,0 < V < 1,— пространство Гельдера, где П — открытый шар в Еп, с центром в начале координат, радиуса 1. Функция /, определенная на И, принадлежит классу Ск'и(0) (см. [6]), если / имеет непрерывные частные производные до к-го порядка включительно и конечное значение величины:
||/н,т, = Е™р|зм/М1 + Е «Ч. |аМ/^Ьх|^"2)'
|.|=0 х€° |.|=кх1 ,х2е° IIх1 Х211
Символ д^/(х) означает частную производную функции /(х) вида , где |г| =
= %1 + ... + %п — порядок производной. Для х € Еп использовано обозначение ||х|| = = ЕП=1(хг)2)1/2, где (х1,..., хп) — координаты точки х.
Определение 3. Конечная совокупность {([/*, Ы)}{=^ карт F, с координатными окрестностями и. и координатными отображениями К., называется допустимым атласом класса Ск,и поверхности Г, если:
1) семейство множеств {(£^)}г=тлг образует открытое покрытие F;
2) К. есть гомеоморфизм и. на Б;
3) обратное отображение h~1(x) = (р(х),fn+1{x)), х G D, удовлетворяет условию /" G Ck'v(D), a = 1, п + 1;
4) при Ui П Uj = 0 отображение hj о h-1 есть диффеоморфизм гладкости k множества hi(Ui П Uj) на hj(Ui П Uj).
Пусть F имеет допустимый атлас {(Ui,hi)}i=Yjj класса С'3,1'. На поверхности F рассмотрим пространство Гельдера Cp,v(F),p > 0.
Определение 4. Функция /, определенная на F, принадлежит классу CP'U(F), если / о Л"1 g Cp'u(D)Vi = 1 ,N. Норму в пространстве CP'U(F) определяем так: || / \\P,U(F) ||p,v(F) maxi Ц f о hi ||p,v(D)-
Пусть y £ C0,v(F). Будем говорить, что поверхность F допускает аналитические почти АДС-деформации в классе Cl'v,l > 0, если G Cl'v(F),a = 1, /?.+ 1,VA: G N.
Пусть F не имеет действительных асимптотических направлений. Тогда, не нарушая общности, ориентируем поверхность F единичным вектором нормали n так, чтобы ее средняя кривизна H была положительной.
Теорема 1. Для гиперповерхности F существует не более чем счетное множество действительных чисел Л = (As,s = 1,2,... : —1 = А1 < А2 < не имеющее конечных предельных точек, такое, что при А ^ Л верны утверждения:
1) гиперповерхность F допускает единственную бесконечно малую почти ARG-деформацию с коэффициентом рекуррентности А, в классе C1,v;
2) существует такое число М > 0, зависящее от поверхности F, ее допустимого атласа, чисел v,n,A, что если функция y удовлетворяет условию ||y||(F)0v < M, то гиперповерхность F допускает единственное продолжение бесконечно малой почти ARG-деформации в аналитическую деформацию того же типа, с коэффициентом рекуррентности А, в классе C1,и.
1. Вывод уравнений почти ARG-деформаций
Пусть (U,h) — произвольная карта допустимого атласа {(Ui,hi)}i=поверхности F. Тогда F локально задается системой уравнений
//' f'ix'.....г"), (.г1.г") eD,f° G C3'v(D),a= 1,/г+1.
Будем пользоваться обозначениями, предложенными в книге [8]. Пусть y<a,ya,na — компоненты векторов r£, r,n во введенной системе координат в En+1, соответственно. Положим
~:(fc) = ^Ajt)V°i <-\k)^a 1 oi = 1, п -\-1, VA’ G N, где c(k) = C(k)(M),аг(к) = аг(к)(М) — неизвестные функции, знак i” означает ковариант-ную производную по переменной xi в метрике гиперповерхности.
Обозначим через gij — метрический тензор гиперповерхности F, bij — тензор второй основной формы гиперповерхности F. Получим
z{k), j = (a(k) j j — c(k)bjmgm%)ya, i + (alk)h + с(к), j)па. (3)
Так как F не имеет действительных асимптотических направлений и ориентирована так, что ее средняя кривизна H положительна, то ее вторая основная форма положительно определена. Обозначим через bij тензор, обратный тензору bij, то есть удовлетворяющий условию bijbkj = 5к, где 5гк — символы Кронекера. Тогда получим, что условие сохранения грассманова образа имеет вид:
о\к) = —bг:>дjCщ,i = 1, п, У к Е М, (4)
где символ ду означает частную производную по переменной х3.
Условие (2) эквивалентно следующей системе соотношений:
8кд = 2ЛиИс(к)д + Т(к), У к е N (5)
где д = ^е£||дгз- ||,£к д — вариация к-го порядка величины д при деформации |^£}, Т^) =
= 2иИ'уд,
к-1
Т(к) = (иИ)2д(2Л7С(к-1) + 72^(к-1) + Л2 £ С(г)С(к-г)), к > 2, (6)
1=1
где Ж(1) = 1, Ж(к) = 0 при к > 2.
Используя определение вариации к-го порядка, имеем:
Ькдц = (У“> г^'(к) > у + Ув > 3*“к), г) + Я(к)Ц, Ук е Н, (7)
где 5а/3 = 1, при а = в, = 0, при а = в,
к-1
Я(1)г3 = 0,Я(к)г3 = $а/зУ ] ^(7), г%(к-1), 3 ,к > 2 (8)
1=1
Используя свойства определителя, выразим вариацию £кд через вариации элементов дг3 :
^кд = 2ддг3^«вг^к)> 3 + дд3Я(к)гз + Р(к), Ук е Н, (9)
где для удобства введены следующие обозначения: Р(1) = 0,
Р(к) = £ £ (—^^Ии £ (Д ^дгрур),к > 2, (10)
s=2 1в,^в 1\+...+1в=к р=1
/1,...,г5>1
суммирование ведется по всевозможным размещениям индексов 1а = (г1, ...,г8) и всевозможным сочетаниям индексов З3 = (7^,...,^). Индексы г1,...,г8, ^ могут прини-
мать значения от 1 до и. Величина Ми есть минор (и — з)-го порядка матрицы ||дгз-||, получающийся вычеркиванием из нее строк и столбцов с номерами г1,...,г8 и ^, ...,^8, соответственно. (—l)sgra(/sJs) — знак, с которым входит в разложение определителя д
слагаемое вида И^Пр=1 дгрЗр .
Рассмотрим на ^ дифференциальный оператор Ь, записываемый в координатной форме в виде:
£ = -^^‘ад + 1-Учитывая формулы пН = дгтЬт, дг(\п у/д) = Г^-, где Гк- — символы Кристоффеля гиперповерхности ^ в метрике дгу, и полагая ^ = Л + 2, подставим (9) в (5). Получаем уравнения, описывающие аналитические почти АЯС-деформации гиперповерхности ^, с коэффициентом рекуррентности Л.
Ьс(р) = ^с(Р) + (т(р) — дд3 Яш — р(р))/(2иИд^ ур е Н> (11)
где Т(Р), Я(р)гз, Р(р) определены формулами (6), (8) и (10), с учетом формул (3), (4) и (7).
Уравнение бесконечно малых почти АЯС-деформаций гиперповерхности ^ описывается уравнением (11) при р =1.
2. Доказательство теоремы 1
Доказательство. Применяя результаты из [7] и [6], получим, что если поверхность ^ имеет допустимый атлас класса С3’^, то существует не более чем счетное множество действительных чисел П = {^3,3 = 1, 2,... : 1 = < ^2 < •••}, не имеющее конечных
предельных точек, такое, что при ^ € П операторное уравнение Ь/ = ^/ + ^ €
€ С°'и (^) на ^ относительно неизвестной функции / имеет единственное решение класса С2,и(^). Положим Л = {Л3 : Л3 = — 2,3 = 1, 2,...} и зафиксируем число
Л € Л. Тогда существует единственная бесконечно малая почти АДС-деформация с коэффициентом рекуррентности Л гиперповерхности ^ в классе С1,и. Утверждение 1) теоремы доказано.
Перейдем к доказательству второй части теоремы. Построим последовательность полей деформаций {г^)}^ по функции с^), которая является решением уравнения (11) при р =1. Найдем поле деформации 2(к)>к > 2, считая поля ^...г^^) известными из уравнений (4) и (11) при р = 1,2,..., к — 1. Получим, что если функции С(1),С(к-1), к > 2, принадлежат классу С2’^(^), то функции Т(к), ф(к)у, Р(к) определены и принадлежат классу С°’и(^). Последовательность искомых тензорных полей деформации 2(к) класса С1^(^) построена.
Лемма 1. Пусть функция / € С2’^(^) является решением уравнения Ь/ = ^/ + ^ при ^ = 1,<£ € С0^(^). Тогда имеет место оценка: ||/||(^)2^ < К0||^||(^)0^, где постоянная Ко определяется поверхностью F, числами /л,п,и и атласом {(£А,
Доказательство. В силу вида оператора Ь имеет место неравенство Шаудера (см. [6]):
II/ О \\(В)2,и < Кг{У° К || {В)0>1/ + ШЭХ | / О ^ | + ||/о^ || (ЗД)^) , * = 1, АТ.
Используя определения нормы в пространстве Гельдера (см. [6]), свойства атласа {{и%, Ы)}г=Ц]у и тот факт, что поверхность ^ является замкнутой, получим
° hi 1\\(dD)2,u < М0 max II/ о hj1\\{D)2,v,Vi = 1 ,N.
j=1,N
При этом постоянные M0,Ki,i = 1,N определяются поверхностью F, числами v и
атласом {(£/*, /^)}i=Tjv- Имеем неравенство ([6]):
|o h-i |
max | f о h~11 < max ( max | f о h~11; max —-------).
d г ' - \ г d |^ - 11 /
Так как F — компакт, то 3M* G F : |f (M*)| = maxF |f |. Значит, существует окрестность Ul такая, что M* G Ui. Но тогда получим оценку:
max | / о ft -11 < max | / о /г.Г11 < max , \/г = 1, iV.
d и г 1 - d и d |^ - 1|
Используя приведенные выше неравенства, получим доказательство леммы 1.
Покажем, что ряды ’ « = 1,« + 1 сходятся на промежутке е & [0,1).
Для норм функций С(к) в пространстве С2’^(F), используя лемму, получим оценки:
||С(1) ||(^)2^ < М111т Н(^)0^, ||С(2)||(^)2^ < 12^)0’^ >
1..................... 1 к 1
||С(А-)11(^)2,^ < К\К^\Ы\(Р)оАСк-1\\(Р)2,и + 9 £ ||С(/)||^)2^||С(А:-/) 11^)2,*/ +
1=1
П в 1р—1
+ Е £ П(»С(.,) ||(^)2,^ + £ |1с(г)|(^)2,^||с(гр—г)|(^)2,^^ ,к > 3.
в=2 11+...+1в—к р—1 1=1
гь...,гв>1
При этом постоянные М1,М2, К определяются поверхностью Р, числами ^,и,и и атласом {{Ui,hi)}i=-[л. Обозначим д = |7Г2. Введем в рассмотрение новую постоянную Б. Выберем постоянную Б достаточно большой, удовлетворяющей неравенствам:
2Ж+! < ! (25Л- + 1) V ~ <!)
(2,9ЛУд ' 53(2А')2(у — 1) - ' ' (
Пусть функция 7 такова, что ее норма в пространстве С0,и(Р) удовлетворяет следующему неравенству:
1Ы1(т, < пип(1/(2М^Кд), 1/(2БКд), 1/(^8М2БКд)).
Покажем, что в этом случае нормы функций С(р) в пространстве С2,и(Р) удовлетворяют следующему неравенству:
||с(р) ||(^)2^ < ‘2БКдр21 Ур Е М' ^
Очевидно, что нормы функций с(1) и с(2) в пространстве С2,в(Р) удовлетворяют неравенству (13). Предположим, что это неравенство выполняется для р = 1, А: — 1, к > 2, покажем, что оно выполняется при р = к.
Используя метод математической индукции, проверяем верность следующего неравенства при к > 2 для 1 < ^ < к:
1 ^в 1
Е р-р-н?- (14)
11 +...+1в—к 1 в
11,...,13>1
Принимая во внимание неравенства (12) и (14), получим:
и и Т^( 1 ^ V- 1 (2БК + 1 \*\
Цс(А-) 11(^2,^ < х{^2БК)2дк2 +£ 2^ 12...1:Л(2БК)2д) )-
в—2 11+... +1^ —к
11,...,1в>1,в<к
< к(-----------+ (23к +1)2 ^ ~ ^ ) <
~ \(2БК)2дк2 \(2БК)2д) (д-\)к2) ~
1 К 1
<---------1--------<
<<
4БКдк2 4БК2д2 ~ 2БКдк2
Поэтому ряд ^ь=1 Нс(к) ||(^)2,^єк сходится на промежутке є Є [0,1). Следовательно, силу формулы (4), сходятся и ряды « = 1) п + 1, на промежутке є Є [0,1).
Теорема 1 доказана.
в
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бодренко, А. И. Непрерывные почти ARG-деформации гиперповерхностей в евклидовом пространстве / А. И. Бодренко // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1996. — № 2. — C. 13-16.
2. Зубков, А. Н. Непрерывные почти ARG-деформации гиперповерхностей в евклидовом пространстве / А. Н. Зубков, В. Т. Фоменко // Математические заметки. — 1989. — T. 45, № 1. — C. 20-27.
3. Исанов, Т. Г. О продолжении бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны / Т. Г. Исанов // Сибирский математический журнал. — 1979. — T. 20, № 6. — C. 1261-1268.
4. Колегаева, Е. М. О продолжении бесконечно малых изгибаний поверхностей в аналитические изгибания при внешних связях / Е. М. Колегаева, В. Т. Фоменко // Математические заметки. — 1989. — T. 45, № 2. — C. 30-39.
5. Кон-Фоссен, С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом / С. Э. Кон-Фоссен. — М. : Физматгиз, 1959. — 304 с.
6. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1973. — 576 с.
7. Фоменко, В. Т. ARG-деформации гиперповерхностей в римановом пространстве / В. Т. Фоменко // Ред. Сиб. мат. журн. Деп. в ВИНИТИ 16.11.1990. — 1990. — № 5805. — C. 1-22.
8. Эйзенхарт, Л. П. Риманова геометрия / Л. П. Эйзенхарт. — М. : Изд-во ин. лит.,
1948. — 316 с.
9. Bodrenko, A. I. Some properties of continuous almost ARG-deformations / A. I. Bodrenko // Russian Mathematics. — 1996. — V. 40, № 2. — P. 11-14.
ANALYTIC ALMOST ARG-DEFORMATIONS OF SURFACES IN EUCLIDEAN SPACES
A.I. Bodrenko
The problem of analytic continuation of infinitesimal almost ARG-deformations of surfaces in Euclidean spaces is studied in this article.
Key words: deformation of surface, mean curvature, G-deformation, infinitesimal deformation, analytical deformation.
