CC BY
39
АНАЛИТИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РОСТКОВ ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ С НЕИЗОЛИРОВАННЫМИ НЕПОДВИЖНЫМИ ТОЧКАМИ И ПОСТОЯННЫМИ МУЛЬТИПЛИКАТОРАМИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ *
С М Воронин
Челябинский государственный университет
В работе построена аналитическая классификация ростков голоморфных отображений (С",0) —► (Сп, 0) с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами В качестве приложения получена орбитальная ана литическая кла(сификация ростков голоморфных векторных полей с неизолированными особыми точками и постоянными характеристическими показателями, а также решаются многочисленные классификационные задачи контактной и симплектической геометрии
Ключевые слова: Аналитическая классификация, ростки голоморфных ото бражений, симплектические структуры, контактные структуры
Содержание и структура работы
Основной объект исследования в настоящей работе — ростки голоморфных отображений (С",0) —У (С",0), удовлетворяющие следующим двум условиям
1 Неподвижные точки ростка образуют гладкую гиперповерхность
В (С'\0)
2 Мультипликаторы (собственные значения линеаризации ростка в особой точке) постоянны вдоль гиперповерхности неподвижных точек
Каждое из этих условий налагав! на коэффициенты тейлоровского разложения росгка в нуле бесконечно много условий; однако, как это будет показано ниже, ростки указанного вида естественным образом возникают в некоторых геометрических задачах в случаях конечной коразмерности Собственно говоря, именно ради этих приложений и было предпринято исследование классификации ростков отображений в рассматриваемом случае, имеющем бесконечную коразмерность
Аналитическая и формальная классификации ростков указанного вида рассматриваются в разделе 1 Основное внимание здесь уделяется клас-
* Работа частично поддержана грантами С1ШР БМ 1 229, РФФИ 98-01-00821 и Министерства образования 97-0-1 8-57
сификации ростков, являющихся в некотором смысле резонансными (именно такие ростки и возникают в рассматриваемых затем приложениях). Методами, аналогичными использованным в [12], удается построить аналитическую классификацию таких ростков. Эта классификация, оказывается, имеет функциональные модули и не совпадает с формальной.
В разделе 2 рассматривается задача об орбитальной аналитической классификации ростков голоморфных векторных полей в (Сп,0), особые точки которых образуют гладкое подмногообразие коразмерности 2 в (С", 0), а характеристический показатель (отношение ненулевых собственных значений линеаризации ростка в особой точке) постоянен на подмногообразии особых точек. Ростки векторных полей такого типа возникают в тех же приложениях, о которых шла речь выше. Используя преобразование мо-нодромии, стандартными методами (см. [9]) удается свести эту задачу к задаче, рассмотренной в разделе 1.
Следующие два раздела посвящены приложениям полученных результатов в симплектической и контактной геометрии. Рассматриваемые здесь задачи решаются по следующей схеме. Симплектическая (контактная) структура порождает на рассматриваемых геометрических объектах так называемую скрытую динамику: инвариантно определенное поле направлений. Оказывается, что возникающая динамическая система содержит, как правило, всю существенную для классификации информацию о соответствующем геометрическом обьекте Это позволяет сводить геометрические классификационные задачи к задачам, рассмотренным в разделах 1 и 2.
В разделе 3 рассматриваются задачи о классификации геометрических обьектов в симплектическом пространстве. В пункте 3.1 показано, как такого сорта геометрические задачи возникают в классической задаче об обходе препятствия [2].
В пункте 3 2 рассматривается задача о классификации пар гиперповерхностей в симплектическом пространстве по действию (локальной) группы симплектоморфизмов (задача Мельроза, см [2,4,10]). Аналитическая классификация типичных пар гиперповерхностей проста и совпадает с формальной [10] В случае коразмерности 1 ранее были получены формальная и (в вещественном случае) гладкая классификации (Мельроз, [10]). В пункте 3.2 рассматривается аналитическая классификация пар гиперповерхностей, формально эквивалентых модели Мельроза.
В пункте 3.3 рассматривается задача о классификации пар (гиперповерхность, ее подмногообразие коразмерности 1) в симплектическом пространстве по действию группы локальных симплектоморфизмов (задача Арнольда, [2]). В случаях малой коразмерности аналитическая классификация таких пар совпадает с формальной, в случае коразмерности 3 приводимость к нормальной форме была получена ранее только на формаль-
ном уровне (Арнольд, [2]). Соответствующая аналитическая классификация рассматривается в пункте 3.3. Связь этой задачи с так называемой задачей Дарбу-Уитни (см [2,12]) обсуждается здесь же.
В пунктах 3 4 и 3 5 рассматриваются аналоги задачи Мельроза о классификации пар гиперповерхностей в симплектическом пространстве. Эти аналоги происходят из исходной задачи об обходе препятствия при нарушении условий общности положения Именно, пункт 3.4 посвящен анали-аической классификации типичных троек гиперповерхностей в симплектическом пространстве, а пункт 3 5 — аналитической классификации пар гиперповерхностей в почти симплектическом пространстве (т е , в пространстве, структура которого задается замкнутой, но не обязательно невырожденной 2-формой).
В разделе 4 исследуются вырождения почти симплектических и почти контактных структур Как известно, в случаях малой коразмерности замкнутая 2-форма локальным голоморфизмом приводится к нормальной форме Дарбу или Мартине [4] В случае коразмерности 3 приводимость к некоторой простой нормальной форме получена только в формальном и гладком случаях (Руссари, см. [3,14]). В пункте 4.1 исследуется аналитическая классификация замкнутых 2-форм, формально эквивалентых модели Руссари. Аналогично, локальная классификация почти контактных структур была получена Житомирским (в случаях коразмерности 1 и 2 — аналитическая, в случае коразмерносхи 3 — формальная и вещественно-гладкая, см. [14]). Аналитическая классификация почти контактных структур, формально эквивалентых модели Житомирского, исследуется в пункте 4 2
Все основные результаты работы снабжены схемами или набросками доказательств; полные доказательства опущены ввиду их тривиальности, с тандартности и (или) громоздкости.
Автор пользуется случаем выразить искреннюю признательность В.И Арнольду и М Я Житомирскому за постановку задач и Ю.С. Ильяшенко вообще
1. Ростки голоморфных отображений с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами
Пусть В — пространство обратимых ростков голоморфных отображений (СГ1,0) —> (Сп,0), п > 2, неподвижные точки которых образуют I ладкую гиперповерхность в (СГ1,0), а мультипликаторы постоянны вдоль гиперповерхности неиодвижных точек. Пусть IV — гиперповерхность неподвижных точек ростка Р € В, — собственное значение линеаризации
ростка Р в нуле, соответствующее собственному вектору, трансверсально-му IV (положим Ар = 1, если такой вектор отсутствует)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 1 Росток Р е В будем называть
- В-резонансным, если А|, = 1 для некоторого д 6 N (и В-нерезонансным ^ в противном случае),
- ростком типа Пуанкаре, если ф 1,
ростком типа Зигеля , если |А_р| — 1
Росток Р типа Зигеля назовем диофантовым, если Ар = ехр(27ггг>) для диофантова числа 1/£К (это значит, что ряд Чй1 <?п+ъ составленный по последовательное!и {<?п} подходящих дробей числа и, расходится,
см [6])
Отметим, чю все ростки из В являются в классическом смысле [1] резонансными спектр линейной части ростка Е £ В в его неподвижной точке содержит единицу
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 2 Ростки £ б называются аналитически (формально) эквивалентными, если для некоторой голоморфной (формальной) замены координат Н в (С", 0) имеет место равенство НоР = йоН, замену Н при этом будем называть сопрягающей для ростков ^ и С
1 1 Формальная классификация
ТЕОРЕМА 1 1 £>-нерезонансный росток формально эквивалентен своей линейной части ^-резонансный росток общего положения формально эквивалентен ростку вида
РчХ {х,у,2)^{Хх,у + х(1,г), х,у 6 С, геСп'2,
такому, чю Xя — 1
Эта теорема есть простое следствие классической теоремы Пуанкаре-Дюлака [1]
1 2 Классы Вч \ Полуформальные отображения
ЛЕММА 1.1. В-резонансный росток общего положения формальной заменой координат приводится к виду
{х,у,г)^ РЧ]Л(х,?/,2) -1- о(хг). (1)
Класс всех ростков вида (1) обозначим через ДООПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Полуформальным рядом (отображением) будем называть степенной ряд по переменной х, коэффициенты которого являются (вектор-] функциями, голоморфными в некоторой окрестности нуля в С"^1, одчой и гой же для всех коэффициентов.
Для полуформального отображения Н его тп-ю частную сумму будем обозначать Н1П (так что II га голоморфно в (С",0)).
Следующая теорема (вместе с леммой) дает усиленный вариант второго утверждения теоремы 1.1.
ТЕОРЕМА 1.2 Росток F £ Вч>д полуформальной заменой координат приводится к нормальной форме Р^д. Сопрягающая ростки Р и Р(1>\ полуформальная замена координат Я, нормированная условиями
Я(ж,0) = (х,0), П'{0) = Е, существует и единственн;
Теорема 1.2 доказывается стандартным методом последовательных тгриближений (см. доказательство соочветствующей теоремы о полуформальной нормализации в [12]). Лемма 1.1 есть простое следствие теоремы 1 2
1.3. Аналитическая классификация: общие результаты
ТЕОРЕМА 1.3 Росток Р € В чипа Пуанкаре аналитически эквивалентнен 1Воей линейной части. Диофантов росток аналитически эквивалентнен своей линейной час1И. Аналитическая классификация Б-нерезонансных недио-фантовых рос-] ков тина Зигеля нетривиальна и не совпадает с формальной. Аналитическая классификация й-резонансных ростков из В не совпадает с формальной. Росток Р € л, вообще говоря, не эквивалентнен аналитически своей формальной нормальной форме Р(1г\.
Все утверждения теоремы 1.3 есть простые следствия соответствующих результатов Брюно [6] и Иоккоза [13] (см. также ссылки в [9]).
Вся остальная часть этого пункта посвящена росткам класса Вч\ и параллельна соответствующей части работы [12], в которой рассматривался случай Л = ].
1 4 Секториальная нормализация
Область V вида
{ж е С 0 < \х\ < Н., а < а^ж < /3} х {и> € С"-1 |ги| < Д}
будем называть векториальной областью радиуса Д, направления [а,/3] и раствора 0 — а Назовем (д, А)-расширением секториальной области V
область
Полуформальное отображение Н будем называть асимптотическим в {/ С С" для юломорфного отображения Я II -» Сп, если 0 е £/, и
для любого т. € N нри (х,ю) £ С/, х —> 0 равномерно по ги
ТЕОРЕМА 1 4 Для любого ростка Р е Д^д, любого направления [а, (5} с раствором, меньшим и любой секториальной области V с этим направлением и достаточно малым радиусом, существует голоморфное инъективное оюбражение Я, определенное на некотором открытом множестве и, содержащем (д, А)-расширение Уд \ области V, такое, что
1) Я сопрягает Р и д Я о р1 = А о Я на Учд,
2) полуформальная нормированная нормализующая замена Н из теоремы 1 2 является асимптотической для Я на У^д
Для доказательства этой теоремы построим в соответствии с теоремой о секториальной нормализации из [12] на области V отображение Я, сопрягающее д-е итерационные степени ¥ и д, с асимптотическим рядом ЯМ Продолжая это отображение на остальные сектора (д, А)-расширения с помощью уравнения сопряжения, получим требуемое
] 5 Аналитическая классификация ростков класса Вя д
ТЕОРЕМА 1 5 Аналитическая классификация ростков класса Д^д имеет функциональные модули существуют бесконечномерное (функциональное) пространство Мч д и отображение Ф Р н-> тр е М^д такие, что
Я(х, ги) - Нт(х,ги) = о(жт)
1) ростки 6 В,1\ аналитически эквивалентны, если и только если
ту = тс;
2) для любого т € существует Р € /3 такой, что тп = тп^;
3) для любого аналитического семейства ростков {Рь} С Вд>\ семейство гпщ является аналитическим.
Пространство модулей М9)д строится аналогично случаям, рассмотренным в [9,12]. Именно, возьмем конечное число секториальных областей малого радиуса и раствора, меньшего таких, что их (д, А)-расширения покрывают окрестность нуля в (Сп,0), из которой удалены неподвижные точки ростка Р £ Вд,\- На этих расширениях в соответствии с теоремой 1.8 построим нормализующие росток Р замены координат. Полученный обьект назовем нормализующим атласом ростка Р. Система функций перехода этого атласа состоит из отображений, коммутирующих с РЧлх и имеющих тождественное отображение асимптотическим. Назовем 1-коциклом любую систему отображений, обладающих этими двумя свойствами, и пусть Тдд — пространство всех 1-коциклов. Назовем 0-коцепью произвольный нормализующий атлас ростка ^д, пространство 0-коцелей является группой с операцией суперпозиция. На пространстве 1-коциклов естественным образом определяется действие группы 0-коцепей Орбиты этого действия и являются элементами пространства д; модуль тр ростка Р 6 Вдьд есть орбита, содержащая систему функций перехода некоторого нормализующего атласа этого ростка.
Бесконечпомерность пространства модулей доказывается аналогично случаю А = 1, см. [12]. Все остальные утверждения теоремы 1.5 вытекают из соответствующих утверждений теоремы об аналитической классификации для случая А = 1 работы [12].
1 6. Геометрические структуры
Геометрической структурой в (С",0) будем называть один из следующих трех обьектов:
1) (п — четно) симплектическую структуру
<У() = йх\ Л ¿Х2 + . ■ • + 1 Л йхп\
2) (п — четно) пару (/0,01), где /0 ■ (х,у,г) (-х,у,г), х.у ? С, г е С" 2,
ах — хйх Л йу + йг^ Л йг2 + ... + ¿гп_з Л йгп-2\
3) (п — нечетно) контактную структуру, определяемую 1-формой
(3 ~ + хйу - уйх + г2<1гъ + ... + х, у е С, г е. Сп~2.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Вторая геометрическая структура есть в некотором смысле поднятие первой отображением с особенностью типа " складка".
Соответственно этим трем структурам определим пространства В^ л, состоящие из всех ростков Р : (Сп,0) —(С",0) класса В9д, согласованных с соответствующей структурой й в следующем смысле:
1) Р"а0 = «о;
2) Р^сп = «1 и /0 о р = Р-1 о 70;
3) Р'ДЛ/З-О.
Пусть, далее, группа Бг£[3 состоит из всех локальных голоморфных замен координат Я в (С",0), сохраняющих структуру я:
1) Я*«о = а0)
2) Н*а\ = и /о о Я = Я о /о;
3) Я*/ЗЛ/? = 0.
Требуется получить классификацию ростков класса В^ Л по действию группы ** (соответствующая формальная классификация тривиальна, см. [12])
ТЕОРЕМА 1.6. Классификация ростков класса по действию группы 0$6 имеет (в случае Вьц Л / 0) функциональные модули.
Обозначим через М* Л пространство модулей из теоремы 1 6. Это пространство строится точно так же, как и пространство М^д: надо только дополнить определения 1-коциклов и 0-коцепей соответствующими условиями сохранения геометрической структуры л.
Полное доказательство теоремы 1.6 проводится аналогично случаю А = 1, см. [12]
2. Орбитальная аналитическая классификация ростков голоморфных векторных полей с неизолированными особыми точками и постоянными характеристическими показателями
Пусть V — пространство ростков голоморфных векторных полей в (С",0), удовлетворяющих следующим двум условиям
1 Особые точки ростка образуют гладкое подмногообразие коразмерности 2 в (С",0).
2 Характеристический показатель (т.е. отношение двух ненулевых собственных значений линеаризации ростка в его особой точке) постоянен на подмногообразии особых точек.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Ростки ь,и) 6 У называются орбитально аналитически (формально) эквивалентными, если для некоторой голоморфной (формальной) замены координат Н в (С",0) и некоторого обратимого ростка голоморфной функции (формального степенного ряда с ненулевым свободным членом) к имеет место равенство V о Н = к ■ Н' ■ ю. Это означает, что сопрягающая ростки замена Н переводит фазовый портрет одного ростка в фазовый портрет другого.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Росток у 6 У с характеристическим показателем и = уи называется:
- У-резоиансным, если у = — 2, £ или V 6 Г^Г, или и-1 € 1М, и У нерезонансным в противном случае;
- ростком типа Пуанкаре, если V ^ Я или V € К, и > 0;
ростком типа Зигеля, если ¡/ёЯ, V < 0.
Росток и типа Зигеля называется диофантовым, если вещественное число —Ру диофантово (см начало раздела 1).
ТЕОРЕМА 2.1 У-нерезонансный росток формально орбитально эквивалентен своей линейной части. У-резонансный росток общего положения формально орбитально эквивалентен одному из ростков
щ = гп{х,у,г) - + (1у + х1)^, I е N. ж, у е С, 2 € Сп~2 = vPlq{x,гJ,z,u) = -рх£ +цущ + р,д х,у,г 6 С, ив С""3.
ТЕОРЕМА 2.2. Росток из V типа Пуанкаре орбитально аналитически эквивалентен своей формальной нормальной форме. Диофантов росток орбитально аналитически эквивалентен своей линейной части. Орбитальная аналитическая классификация V-нерезонансных недиофантовых ростков типа Зигеля нетривиальна и не совпадает с формальной. Орбитальная аналитическая классификация У-резонансных ростков из У не совпадает с формальной.
Все утверждения теоремы 2 2, как и в п 13, есть простые следствия соответствующих результатов Брюно [6] и Иоккоза [13]
Последнее утверждение теоремы 2 2 можно значительно усилить
ТЕОРЕМА 2 3 Пространство модулей орбитальной аналитической классификации ростков, формально орбитально эквивалентных ростку vp>q при р ф q совпадает с пространством M4t\ из теоремы 1 5, А = ехр(27гг^)
Эта теорема доказывается в соответствии со следующей схемой Пусть росгок v € V имеет формальную нормальную форму vpq Пусть Ai и А2 — ненулевые собственные значения линеаризации ростка v в нуле, ^ = — и пусть в\ и е2 — соответствующие им собственные вектора По теореме Бибикова (см [3]) существует голоморфное одномерное инвариантное многообразие Sv ростка v, касающееся в нуле вектора е\ Преобразование моно-дромии ростка v, соответствующее однократному обходу в положительном направлении особой точки 0 на сепаратрисе SV) принадлежит классу Bq¿, А = ехр(27гг|) Теперь теорему 2 3 можно получить из теоремы 1 5, используя стандартные методы "сдвиг вдоль вспомогательного слоения" [7,9] — для доказательства того, что аналитическая эквивалентность преобразований монодромии влечет орбитальную аналитическую эквивалентность ростков векторных полей, и почти комплексные структуры [9,11,12] — для проверки реализуемости каждого из ростков класса Bq¡\ в качестве преобразования монодромии ростка класса V
ЗАМЕЧАНИЕ 2 1 Теорема 2 5 будет справедлива и в случае р = q, если у каждою из классифицируемых ростков отметить одну из сепаратрис, а в определении орбитальной эквивалентности потребовать, чтобы со-пря! ающая ростки замена координаа переводила отмеченную сепаратрису в отмеченную
3. Гиперповерхности в симплектическом пространстве
Эюа раздел посвящен аналитической классификации геометрических обьектов в симплектическом пространстве В пункте 3 1 показано, как такого сорта задачи возникают в вариационном исчислении Формулировки соответствующих задач приведены в п 3 1 3, а их решения — в п 3 2-3 6
Задача об обходь препятствия
3.1.1. Постановка задачи и ее редукция к задаче о парах
гиперповерхностей в симплектическом пространстве Рассмотрим препятствие (множество, ограниченное гладкой гиперповерхностью Г) на римановом многообразии V. В задаче об обходе препятствия требуется исследовать особенности функции "расстояние в обход препятствия от произвольной точки V до фиксированной типичной начальной точки ".
Фазовое пространство этой задачи M = T*V имеет естественную симплектическую структуру — интегральный инвариант Пуанкаре (дифференциал формы действия /3 = pdq): lo — dp A dq, см. [4]. Наличие римано-вой метрики позволяет отождествить касательное и кокасательное расслоения многообразия V; потому точки из yVÎ будем называть векторами.
Риманова метрика на V определяет на фазовом пространстве M гиперповерхность Fi, состоящую из векторов единичной длины. Гиперповерхность Г (граница препятствия) определяет вторую гиперповерхность Г2 С М, состоящую из векторов, приложенных в точках из Г. Изоморфизм пар (риманово многообразие, его гладкая гиперповерхность) определяет изоморфизм пар (симилектическое многообразие, упорядоченная пара его гладких гиперповерхностей). Это позволяет свести исходную задачу об обходе препятствия к задаче о классификации пар гиперповерхностей в симплектическом пространстве.
Мы будем рассматривать локальный вариант задачи об обходе препятствия. Поскольку любая симплектическая структура локально эквивалента стандартной симплектической структуре ао из п. 1.6, см. [4], то вышеприведенные замечания сводят (локальную) задачу об обходе препятствия к задаче о классификации упорядоченных пар (ростков) гиперповерхностей в (С",0), п — четно, по действию группы локальных диффеоморфизмов (С", 0), сохраняющих стандартную симплектическую структуру.
3.1 2. Канонические проектирования
Пусть ш = dp Adq — росток стандартной симплектической структуры в (С'\0), и (ГЬГ2) — пара гладких гиперповерхностей в (Сп,0). В случае общего положения гиперповерхности Fi и Г2 пересекаются трансверсально, так что S = Tj ПГ2 — гладкое подмногообразие в (Сп,0) коразмерности 2.
Гиперповерхность в симплектическом пространстве .локально расслоена на характеристики — интегральные кривые поля косоортогональных дополнений касательных плоскостей к гиперповерхности относительно ко-соскалярного произведения ш Обозначим через Х3 пространство характеристик гиперповерхности Г^ и рассмотрим естественное проектирование Г^ lia Xj, ставящее в соответствие точке из Г^ проходящую через эту точку
характеристику. Сужение этого проектирования на подмногообразие 5" назовем каноническим проектированием.
ЛЕММА 3.1 [2,10,12] Особенности канонического проектирования в типичном случае — произведение стандартной уитнеевской особенности [5] на плоскость. Особенности обоих канонических проектирований типичной пары гиперповерхностей совпадают.
ПРИМЕР 1. Для пары гиперповерхностей из задачи об обходе препятствия первое каноническое проектирование либо невырождено, либо является складкой Это следует из положительной определенности квадратичной формы, задающей риманову метрику. В евклидовом случае особенности канонических проектирований состоят из векторов единичной длины, приложенных на границе препятствия и касающихся её.
3 13 Постановка геометрических задач
Нормализация пары гиперповерхностей по действию группы локальных симплектоморфизмов влечет нормализацию всех дочерних объектов пары Такими объектами являются:
1) пара (гиперповерхность, её подмногообразие коразмерности 1), где подмногообразие есть след (пересечение с) другой гиперповерхности исходной пары;
2) множество критических значений канонического проектирования в соответствующем пространстве характеристик.
В каждой из этих двух задач нормализация рассматривается по действию группы локальных симплектоморфизмов (симплектическая структура на пространстве характеристик наследуется из симплектической структуры фазового пространства).
Таким образом, задача об обходе препятствия приводит к следующим классификационным задачам симплектической геометрии
1 Задача о классификации пар гиперповерхностей (задача Мельроза
[Ю])
2 Задача о классификации пар (гиперповерхность, её подмногообразие коразмерности 1 (задача Арнольда [2])).
3. Задача о классификации гиперповерхностей с особенностями (следуя Арнольду [2], эту задачу будем называть задачей Дарбу-Уитни, мотивировку см. в [2,12]).
В случае, когда в задаче об обходе препятствия граница препятствия состоит из пары гладких гиперповерхностей, а исследуемая точка лежит на их пересечении, в соответствии с 3.1.1 получим следующую задачу:
4. Задача о классификации упорядоченных троек гиперповерхностей (обобщенная задача Мельроза).
Наконец, забыв о происхождении задачи Мельроза, рассмотрим и её вырожденный вариант:
5. Задача о классификации пар гиперповерхностей в пространстве, симплектическая структура которого имеет особенности.
Эти 5 задач рассматриваются в пунктах 3.2-3.6.
3.2. Задача Мельроза о классификации пар гиперповерхностей в
симплектическом пространстве
В этом пункте рассматривается задача Мельроза: получить классификацию упорядоченных пар голоморфных гиперповерхностей в ((С", 0), ш) по действию группы локальных симплектоморфизмов. Здесь и) = ¿р а — стандартная симплектическая структура в (С",0), (р,я) — координаты Дарбу в (Сп,0). Мы будем рассматривать формальный и аналитический варианты этой задачи.
В случае, когда оба канонических проектирования невырождены (типичный случай) пара гиперповерхностей локальным голоморфным симплек-томорфизмом приводится (см. [2,10]) к нормальной форме
(91 = 0,рг = 0). (2)
13 случае коразмерности 1 оба канонических проектирования являются складками. Пусть См — пространство всех таких пар.
ТЕОРЕМА 3.1. [2,10] (Мельроз). Любая пара из См формально эквивалентна нормальной форме Мельроза
(<?1 =0,(/1 =Р2+Р1)-
ТЕОРЕМА 3.2. Аналитическая классификация пар из б« имеет функциональные модули; пространством модулей является пространство М{д, где
5 = (/о,с*1)-
3 3 Задачи Арнольда и Дарву-Уитни
Для нары (гиперповерхность Г, ее подмногообразие 5 коразмерности I) в симплектическом пространстве ((С",0), ш) определим, в соответствии с п 3 1.2, каноническое проектирование подмногообразия 5 на пространство характеристик X гиперповерхности Г. Ниже мы приведем известные результаты о классификации таких пар в соответствии с типом особенности канонического проектирования.
1) Складка. В этом случае формальная приводимость к соответствующей нормальной форме в задачах Арнольда и Дарбу-Уитни следует из теоремы Мельроза, а аналитическая получена в [2].
2) Сборка В этом случае аналитическая и формальная приводимость к соответствующей нормальной форме получены Арнольдом и Резником, см [2] и ссылки в [12].
3) Особенность типа Аз (см [5]) Пусть — пространство пар (Г, 5), для которых каноническое проектирование имеет в нуле особенность типа Аз
ТЕОРЕМА 3.3. [2] (Арнольд). Пара (Г, 5) из О а формально эквивалентна паре, имеющей (в координатах Дарбу) вид
(дг = 0, <?1 = р| + Р2 р1 + 92Р1 + рз = 0)
Отметим, что приводимость к нормальной форме в задаче Арнольда влечет приводимость к нормальной форме в задаче Дарбу-Уитни. Задачу Дарбу-Уитни можно трактовать как задачу о приведении к нормальной форме симплектической структуры локальными диффеоморфизмами, сохраняющими заданную гиперповерхность с особенностями (см [2])
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 1 [5] Стандартный ласточкин хвост — это гиперповерхность Ь С С3, состоящая из всех точек {А, В, С), таких, что многочлен х4 + Ах2 + Вх + С имеет кратные корни Расширенный ласточкин хвост есть произведение стандартного ласточкина хвоста и плоскости
ТЕОРЕМА 34 Дарбу-Уитни (Арнольд, [2]). Типичная симплектическая структура формальным диффеоморфизмом, сохраняющим расширенный ласточкин хвост, приводится к нормальной форме Дарбу
Пусть бди/ — пространство типичных симплектических структур из предыдущей теоремы.
ТЕОРЕМА 3 5 Аналитическая классификация пар из и а (симплектических структур из Сди') имеет функциональные модули; пространством модулей является пространство М^, где з = (/0,0:1).
3 4 Обобщенная задача Мельроза
Пусть Сд^ — пространство троек ростков голоморфных гиперповерхностей (Гх, Г2, Гз) в ((С'г,0), ш) Две тройки из С3М будем называть эквивалентными, (формально, аналитически), если одну из них можно перевести в другую локальным (формальным, аналитическим) симплектоморфизмом.
ТЕОРЕМА 3 6 Типичная тройка из G ''M формально эквивалента гройке ({Рг =0},{Я1 =0},{р2 =p1 + ii}).
Аналитическая классификация троек, формально эквивалентных указанной нормальной форме, имеет функциональные модули, пространством модулей является пространство М{ х, где s — «о
3 5 Задача Мельроза с особенностями
Как известно [5], типичная замкнутая вырожденная 2-форма локальным голоморфизмом (Сп,0) приводится к нормальной форме ai из п 16
Две пары гиперповерхностей в (Сп, 0) будем называть а\-эквивалентны;, (формально, аналитически), если одну из них можно перевести в другую локальной заменой координат Н, сохраняющей почти симплектическую структуру а; Н*а\ - ccj
ТЕОРЕМА 3 1 Типичная пара гиперповерхностей формально (^-эквивалентна нормальной форме Мельроза (2) Аналитическая aj-классификация пар гиперповерхностей, формально эквивалентных указанной нормальной форме, имеет функциональные модули, пространством модулей является прос транс тво М{ х, где ь = £*о
3 6 Схемы доказательств теорем 3 3-37
Теоремы 3 3 - 3 7 доказываются по единому плану, использованному в [12] Вначале строится так называемый индикатор геометрического объекта инвариантно определенный росток отображения класса ßsq л Затем проверяется равносильность эквивалентности индикаторов и эквивалентности соот ветствующих им геометрических обьектов Доказательство реализуемости любого ростка из В^ Л в качестве индикатора и применение теоремы 1 6 завершают доказательство Полное доказательство теоремы 3 4 для задачи Дарбу-Уитни приведено в [12], оно занимает 14 страниц текста, что и объясняет отсутствие здесь полных доказательств остальных четырех теорем
3 6 1 Индикаторы
Задача Мельроза Оба канонических проектирования являются складками Каждому из них соответствует инволюция (инволюция Мельроза), переставляющая прообразы точек при каноническом проектировании Эти
инволюции сохраняют ограничение симплектической структуры на пересечение гиперповерхностей; в подходящих координатах это ограничение совпадает с 2-формой ад, а одна из инволюций Мельроза (первая, например) — со стандартной инволюцией /о. Композиция инволюций Мельроза (она называется бильярдным преобразованием Биркгофа) и есть индикатор пары гиперповерхностей.
Обобщенная задача Мельроза. Пусть (Гх,Г2,Гз) — типичная тройка гиперповерхностей, Гг^ = Г, П Г^. Характеристические поля направлений на гиперповерхностях определяют отображения соответствия Гзд —> 2, Гх,2 Г2 з, Г2,з ~> Гзд. Их композиция (в координатах Дарбу для сужения симплектической структуры на Гзд) и есть индикатор тройки (Г1,Г2,Гз).
Точно так же строится индикатор в задаче Мельроза с особенностями в качестве третьей гиперповерхности надо использовать гиперповерхность особенностей почти симплектической структуры.
О построении индикатора в задаче Дарбу-Уитни см. [12].
Задача Арнольда. Индикатор пары (Г, 51) строится следующим образом. Рассмотрим подмногообразие С состоящее из точек касания характеристик гиперповерхности Г с подмногообразием 5". Рассмотрим подмногообразие ¿>2 С 5х, состоящее из точек, таких, что проходящая через них характеристика имеет ещё одну точку касания с подмногообразием 6'; первая инволюция Арнольда меняет местами эти точки касания. Вторая инволюция Арнольда меняет местами точки пересечения с 5*2 характеристик (= фазовых кривых поля ядер сужения симплектической структуры на Далее индикатор в задаче Арнольда строится так же, как в задаче Мельроза.
Согласованность индикаторов с возникающей геометрической структурой следует из Леммы о сдвиге вдоль характеристикам. [12, п 2.6]).
3 6 2 Эквивалентность геометрических объектов и их индикаторов
Эквивалентность геометрических объектов очевидным образом влечет эквивалентность соответствующих им индикаторов; обратное доказывается значительно труднее. Следуя [2,12], вначале нормализуем локальным голоморфизмом геометрический обьект (испортив при этом нормальную форму симплектической структуры). Затем продолжим голоморфизм, сопрягающий индикаторы, до голоморфизма соответствующих геометрических обьектов, сопрягающего ограничения на них полученных на предыдущем шаге симилектических структур; это удается сделать, "разнося" сопрягающий юломорфизм вдоль характеристик с помощью подготовительной теоремы Вейерштрасса [11]. Наконец, продолжение сопрягающего голоморфизма в полную окрестность нуля строится гомотопическим методом с
использованием относительной леммы Пуанкаре для рассматриваемого геометрического обьекта (которую, впрочем, также приходится доказывать).
3.6.3 Реализация
Реализуемость ростка из соответствующего класса В8 Л в качестве индикатора геометрической задачи доказывается аналогично [12] многократным применением подготовительной теоремы Вейерштрасса и прямыми выкладками.
4. Вырождения почти симплектических и почти контактных
структур
4 1. ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧБСКИБ СТРУКТУРЫ
Пусть и) — почти симплектическая структура на четномерном комплексном многообразии М (т.е. замкнутая, но не обязательно невырожденная 2-форма с голоморфными коэффициентами). Общая почти симплектическая структура в общей точке из М невырождена (является симплектической) и локальной голоморфной заменой координат приводится к нормальной форме Дарбу ао из п. 16 [5] Однако в точках некоторой гиперповерхности S^ (поверхности первого вырождения) форма со вырождается. В общей точке из двумерное ядро формы ш трансверсально голоморфной заменой координат форма и> приводится в окрестности такой точки к нормальной форме Мартине «1 из п 16 [5]. Далее, в точках некоторого подмногообразия 7Ш (поверхности второго вырождения), имеющего коразмерность 2 в Sw, ядро формы ш касается Sы В общей точке из 7Ш ядро формы ш трансверсально 7Ш, в окрестности такой точки форма ш формальной заменой координат приводится к нормальной форме Руссари [5]:
z^ z3
«2 = d(x — —) A dq\ -f d(xz — ty ——) A dt + dpi A dq\ + .. 2 3
Пусть O2 — пространство ростков замкнутых 2-форм с голоморфными в (С", 0) коэффициентами, формально эквивалентых модели Руссари 02 Пусть ш 6 ^2 В точках поверхности первого вырождения, не принадлежащих поверхности второго вырождения, двумерное ядро формы ш высекает на касательной плоскости к поверхности первого вырождения направление, которое мы будем называть характеристическим.
ЛЕММА 4 1 Существует ровно две гладких гиперповерхности в поверхности первого вырождения, инвариантных относительно характеристического поля направлений и содержащих поверхность второго вырождения.
Отметим одну из этих гиперповерхностей. Пусть Щ — пространство почти симплектических структур из Г22 с отмеченными гиперповерхностями на поверхности первого вырождения. Две почти симплектические структуры из Щ будем называть эквивалентными, если найдется локальный го-ломорфизм, переводящий одну из них (и ее отмеченную гиперповерхность) в другую (и ее отмеченную гиперповерхность).
ТЕОРЕМА 4-1- Аналитическая классификация ростков из Щ имеет функциональные модули; пространством модулей является пространство М(г из п 2 6, где 8 = «о-
Доказательство Поставим в соответствие почти симплектической структуре ее поле характеристических направлений на поверхности первою вырождения Это поле порождается векторным полем, формально ор-битально эквивалентым полю ьР Ч с р — с/ = 1 (почему и потребовались отмеченные элементы). Теперь методами, аналогичными использованным в разделе 3, (гомотопический метод + подготовительная теорема Вейер-штрасса) удается свести задачу о классификации почти симплектических структур т Щ к соответствующим задачам из разделов 1 и 2.
4 2 Почти контактные структуры
Почти контактной структурой в нечетномерном пространстве будем называть аналитически зависящее от точки поле гиперповерхностей. Локально почти контактная структура задается 1-формой 8 с аналитическими коэффициентами: равенство 5Х = 0 определяет контактный элемент в точке х (см. [5]) Локальная классификация почти контактных структур в случаях малой коразмерности была получена Житомирским [14]. Так, в случае коразмерности 3 Житомирский показал, что общая почти кон-хакгная структура (в комплексном случае) формальной заменой координат приводится к нормальной форме
¿2 = в.ух + Ж2Л/2 + ■ + Хкйук + Х1(1(у2 + х\ ~ и2),
здесь (хьуь ,Хк,Ук,и) — координаты в (Сп,0), п = 2к + 1
Пусть £>2 — пространство ростков голоморфных почти контактных структур, формально эквивалентных нормальной форме Житомирского <52. Аналогично п 4.1 определим отмеченные элементы почти контактных структур, пространство О^ почти контактных структур с отмеченными элементами и эквивалентность в нем (точные определения и их мотивировку можно найти в [12]).
ТЕОРЕМА 4.2 Аналитическая классификация ростков из В\ имеет функциональные модули; пространством модулей является пространство М*д из п. 1 6, где я = ¡3.
Доказательство этой теоремы аналогично предыдущей.
Список литературы
1 Арнольд В.И. Дополнительные 'главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М..Наука, 1978. 304 с.
2. Арнольд В.И. Особенности в вариационном исчислении // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т.22/ВИНИТИ. М., 1983. С.3-55.
3. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.1 / ВИНИТИ. М., 1985. С.7-150.
4. Арнольд В.И., Гивенталь А.В. Симплектическая геометрия // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.4 / ВИНИТИ. М . 1985. С.7-139.
5. Арнольд В.И., Варченко А.Н , Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.:Наука, 1982. 304 с.
6. Врюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды ММО. Т.25 (1971). С. 119-262; Т.26 (1972). С.199-239.
7 Воронин С М. Орбитальная аналитическая эквивалентность вырожденных особыз точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости // Труды Мат.ин-та им. В.А.Стеклова Т.213. 1997 С.35-55.
8 Ганнинг I5., Росси X Аналитические функции многих комплексные переменных. М .Мир. 1969. 395 с
9. Yu S П'уаьЬепко, Nonlinear Stokes Phenomena // Nonlinear Stokes Phenomena. Adv. in Sov.Math., 13, Amei. Math. Soc., Providence, 1992. P.l-55.
10. MehobC R. Equivalence of glancing hypersurfaces // Invent. Math. 37. 1976. P.165-191.
11 Newlandei A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds // Ann. of Math. 65 (1957). P.391-404.
12. Voronin S.M. Darbouj-Whitney's Problem and Related Questions // Nonlineai Stokes Phenomena. Adv. in Sov.Math., 13, Amer. Math Soc., Providence, 1992. P.139-233.
13. Yoccoz J. -C. Linearisation des germ.es de diffeomorphismes holomorphes de (C, 0), C. R. Acad. Sci Paris 306. P.55-58
14. Zhitoiniiskii M. Typical singularities of differential 1-forms and Pfaff equations. AMS, Piovidem.e, 1992
SUMMARY'
Analilic classification of germs of holomorfic maps (Cri,0) —> (Cn,0) with nonisolated fixed points and constant multiplicators is constructed. As its application, analytic classification of germs of holomorphic vector fields with nonisolated singular points and constant characteristic exponents is obtained, and numerous classification problems of symplectic and contact geometry are solved.
