Альтернативные методики проведения фрактального анализа Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

В.А. Даниленко

АЛЬТЕРНАТИВН1 МЕТОДИКИ ПРОВЕДЕННЯ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛ1ЗУ

Останшм часом набувають

популярносп дослiдження, спрямованi на врахування ефекпв нелiнiйностi у функцiонуваннi систем рiзномаштно! природи, зокрема соцiально-економiчних систем. У результат синтезу наукових знань у цьому напрямi дослiджень почала формуватися мiждисциплiнарна наукова течiя - синергетика. Один iз напрямiв дослiдження в рамках синергетики спрямований на вивчення ефекпв нелшшносп в динамiцi часових рядiв, зокрема таких, що пов'язаш з вiдхиленням характеру розподiлу випадкових величин вiд нормального. Цей напрям називасться фрактальним аналiзом.

Фрактальний анатз мiстить проведення кiлькох метричних теспв, якi видiляються в роботi Л.Н. Сергеево!: «...обчислення кореляцшно! розмiрностi, яка е нижньою оцiнкою фрактально! розмiрностi; обчислення максимального показника Ляпунова; оцiнка К-ентропп Колмогорова; обчислення показника Херста; тест залишюв Брока; BDS-

тест ...» [1, 6].

У рамках даного дослщження акцентовано увагу саме на обчисленш показника Херста, який визначаеться в результат проведення R/S-аналiзу. Процедура R/S-аналiзу розглядаеться в роботах С. Федера [2, 152-154]; Е. Петерса [3, 107-109; 4, 69-70]; Н.К. Максишко, В.О. Перепелищ [5, 99-100];

О.В. Михайловсько! [6, 220] та шших дослщниюв. При цьому застосовуються рiзнi системи позначень, що формалiзують рiзнi алгоритми проведення цього аналiзу. До того ж застосування рiзних алгоритмiв може призводити до ютотно вiдмiнних результата обчислення числових значень показника Херста. Усе це ускладнюе сприйняття й iнтерпретацiю значень показника Херста, а можливi розбiжностi значень цього показника, обчисленого за рiзними

методиками, до того ж викликають сумшви в надiйностi результатiв такого анатзу.

Метою статтi е дослiдження альтернативних методик проведення фрактального аналiзу при визначеннi показника Херста, виявлення спшьних та вiдмiнних рис окремих методик, сфери !х застосування.

Розглянемо методики проведення Я.^-аналiзу, який дозволяе визначити фрактальш характеристики часового ряду, таю як показник Херста та показник фрактально! розмiрностi. Найбшьш вiдомi модифiкацi! вказаних методик наведеш в роботах Е. Петерса [3, 107-109; 4, 69-70], де пропонуються дуже схожi методики, що в^^зняються способом подiлу загального часового ряду на дослщжуваш пiдiнтервали. Детальнiше сутнють цiе! вiдмiнностi буде розглянута шзшше. Задля iдентифiкацi! базово! методики проведення R/S-аналiзу домовимося називати !! методикою Петерса. Для забезпечення кращого порiвняння сутностi дано! методики з альтернативними пiдходами при !! розглядi використаемо систему позначень, наведену в робот Н.К. Максишко, В.О. Перепелищ [5, 99-100].

Отже, нехай розглядаеться часовий ряд Z, що складаеться з елеменпв z1:

Z = г = 1, 2, ..., т, (1)

де т - кшьюсть спостережень, що формують ряд.

Першим кроком процедури Я.^-аналь зу, за методикою Е. Петерса, е перехщ вщ вихiдного ряду Z до ряду Y, що складаеться з т-1 елементiв у, кожен з яких отримуеться за формулою

уг = ^ ) / г = 1, 2, т-1. (2)

Проте в робот Н.К. Максишко, В.О. Перепелищ, де наводиться ця ж методика, перший крок пропускаеться. Дшсно, доцшьнють переходу вiд вихiдних елементiв ряду до вщношення логарифмiв наступного та попереднього рiвнiв ряду не е незаперечною i залежить вiд специфши дослiджуваних даних. Ураховуючи

© Даниленко В'ячеслав Анатолшович - acnipaHT. Кшвський нацiональний унiверситет iMeHi Тараса Шевченка.

ISSN 1562-109X

зазначене, теж пропустимо першии крок, маючи на уваз^ що вказана процедура е рiзновидом додатково! обробки вихщних даних, i в разi необхщносп до вихiдного ряду може бути застосована рiзного роду попередня обробка, а не лише така, як наведена у формулi (2).

Етап 1. Отже, першим етапом буде визначення величини кроку Д>1 та формування послщовносп довжин в^^зюв, на яю розбиваеться вихщний ряд:

П1, П2, ..., Пк, ..., П1, (3)

де пк+1 = пк + Д, для всiх к вщ 1 до 1-1. Максимальне значення I визначаеться за формулою: п1 < [га/2]. Ця вимога означае, максимальна довжина в^^зка п1 мае дозволяти розподiлити загальний ряд довжини т хоча б на два в^^зки однаково! довжини (з однаковою кiлькiстю елементiв).

Такий пщхщ до формування послiдовностi довжин в^^зюв (3) пропонуеться в роботi Е. Петерса [3, 107108]. Проте шзшше вiн вводить додатковi обмеження на значення пк., а саме пропонуе емтричним шляхом отримане правило, що пк > 10, тобто мшмальна довжина вiдрiзка мае бути не менше 10. Крiм того, пропонуеться обирати лише и значення пк з набору (3), яю е дiльниками числа т, тобто т мае бути кратне пк [4, 70]. Саме такi вщмшносп вiдрiзняють бiльш ранню й бшьш пiзню модифшаци методик R/S-аналiзу, що пропонуються в роботах Е. Петерса.

Надалi домовимося пiд методикою Петерса мати на увазi бiльш шзнш варiант, який передбачае врахування додаткових обмежень на значення пк (що пк>10, а т мае бути кратне пк).

Подальшi етапи реалiзуються для всiх значень к вщ 1 до I.

Етап 2. Для чергового значення шдексу к ряд Х розбиваеться на в^^зки довжини пк, кiлькiсть яких гк визначаеться за спiввiдношенням: гк = т/пк. Позначимо такi в^^зки Х'к, !х елементи { },у = 1, 2, ..., пк;

1 = 1, 2, ... гк. В^^зки Х'к мають таку властивiсть, що вони не перетинаються (тобто мютять унiкальнi елементи вихiдного ряду). Для кожного вiдрiзка Хк визначаеться середне значення г за формулою

1 пк _ =- ,'=

п

(4)

к у=1

Етап 3. Для кожного в^^зка Х1к обчислюеться ряд накопичених вiдхилень,

елементи якого

визначаються

формулою

= ± (г; - г'), у = 1, пк.

за

(5)

Формула для визначення накопичених вщхилень (5) у робой Н.К. Максишко, В.О. Перепелищ наводиться дещо в шшому виглядi. Ними задаеться додатковий шдекс, який виконуе таю ж функци, що й шдекс у у формулi (5). Проте нижне значення дiапазону змiни цього шдексу починаеться не з 1, а з 3 [5, 100]. Тобто першi два елементи кожного в^^зка мають пропускатися. Це не вщповщае алгоритму, наведеному в робот Е. Петерса, ^ оскшьки це окремо не пояснюеться, то нами залишаеться шдексащя, яка запропонована Е. Петерсом [4, 69-70]. На основi значень накопичених вщхилень для кожного в^^зка Х'к визначаеться величина розмаху за формулою

(6)

Як = тах х. - тт х., V' = 1, гк .

к 1^Пк 1 1<}<пк 3 к

Етап 4. Для кожного в^^зка Х1к обчислюеться його середньоквадратичне вiдхилення за формулою

^ =

(г. - г')2, V ' = 1,гк

(7)

'к у=1

Пiсля цього для кожного в^^зка визначаеться нормоване (на

середньоквадратичне вiдхилення) значення розмаху:

Я Г = Я, V'=й.

5)к ,к

(8)

Етап 5. Для кожного к обчислюеться середньоарифметичне значення нормованих розмахiв, визначених за формулою (8):

Я1 = ^ ± ( Я ], V к=м.

5 )к гк '=1 V 5 )к

(9)

Етап 6. Для кожного к обчислюеться логарифм довжини в^^зка пк, що становитиме абсцису точки при подальшш побудовi графiка (хк), а також логарифм

г

г

к

х

х

усередненого значення нормованих розмахш (R/S)k, обчисленого за формулою (9). Останнш становитиме ординату зазначено! точки (yk). У символьному вигляд1 це таю формули:

Xk = lg nk, Ук = lg fR1 , k = Ü . (10)

Етап 7. Використовуючи отримаш за формулою (10) значення хк та yk, методом найменших квадратв будуеться р1вняння лшшно! регреси:

y = ax + b. (11)

Коефщент а в побудованому на основ1 фактичних даних xk та yk р1внянн1 (11) становить усереднену ощнку показника Херста Н для часового ряду Z.

Н.К. Максишко та В.О. Перепелиця, коментуючи отриману за наведеною методикою ощнку показника Херста, пщкреслюють, що ця ощнка являе собою саме усереднене для цього ряду значення показника Херста.

У робот О.В. Михайловсько! наводиться бшьш проста методика визначення показника Херста, яку вона називае «швидкий алгоритм» [6, 220]. Розглянемо ïï докладшше i при цьому будемо використовувати вже задану нами рашше систему позначень, згщно з якою аналiзуеться часовий ряд Z, що складаеться з елементв z, юльюсть яких дорiвнюе m.

Етап 1. Визначаються середнi значення для iнтервалiв часового ряду, що послiдовно збшьшуються вiд 1 елементу до m, за формулою

1

= Zj, i = 1,m .

' j=1

Етап 2. Обчислюються накопиченi вiдхилення для кожного штервалу i за формулою

_i _

xi = Z (zj - zi ), i = 1, m.

j=1

Етап 3. Визначаеться максимальне та мшмальне вiдхилення X для кожного з m можливих iнтервалiв, позначимо ï^

max(x1, x2,..., xi ) та min(x1, x2,..., xi )

i i

вщповщно. Також визначаеться розмах накопиченого вщхилення при рiзних значеннях довжини штервалу i за формулою:

R = max(x1,x2,...,xi) -min(x1,x2,...,xi),i = 1,m .

i i

Етап 4. Для кожного штервалу знаходиться середньоквадратичне

вщхилення:

S =

1 i _

. л1 Z (Zj - z" )2, i = 1, m . VP

Етап 5. Розмах накопиченого вщхилення (R) для кожного штервалу i нормалiзуеться шляхом дшення на Si. У результат отримуемо ряд значень (Ri/SSi) для кожного штервалу i.

Етап 6. Значення (Ri/Si) та i логарифмуються й будуеться графш залежност lg(R/S) вiд lg(i).

Етап 7. Методом найменших квадратв будуеться рiвняння лiнiйноï регресiï, коефiцiент при незалежнш змiннiй якого й буде показником Херста.

Слiд зазначити, що етапи 6 i 7 обох розглянутих методик е щлком тотожними. Якщо ж порiвнювати складшсть цих двох алгоритмiв визначення показника Херста, то варто погодитися, що другий iз них значно простший. Хоча, можливо, ця простота не очевидна, осюльки формально ми отримали також им етатв. Проте в дшсност другу методику можна реалiзувати взагалi без допомоги програмування, просто

скориставшись формулами електронних таблиць. Тодi як розглянута рашше методика Петерса доволi трудомютка, а без програмування ïï реалiзувати практично неможливо.

Також е роботи, у яких наводиться дуже схожа на «швидкий алгоритм» методика визначення показника Херста. Так, у робот С. Федера розглядаеться методика, яка охоплюе етапи 1-5 «швидкого алгоритму» [2, 152-154]. Пюля цього пропонуеться формула для обчислення показника Херста, що мае такий вигляд:

Ri

si 12,

Хоча це не вказано явно, для того щоб отримати ощнку показника Херста для всього ряду в щлому, слщ прийняти i=m. Також у робот Л.Н. Сергеевоï наводиться формула для визначення показника Херста за щею методикою [1, 55]:

z

H =

ln(R / S)

1п(т / 2)

Те, що в данiИ формулi ф^урують натуральнi логарифми, а не десятков^ як у попереднiх методиках, не е принциповим i на значення показника Херста не впливае.

Крiм простоти з точки зору техшчно! реатзацп, «швидкий алгоритм» мае ще й таку перевагу, що вш не висувае жорстких вимог до кшькост спостережень в аналiзованому рядi даних. Проте перш нiж аналiзувати вiдноснi переваги та недолiки наведених вище методик, варто зазначити, що в робот Н.К. Максишко та В.О. Перепелиц пропонуеться вдосконалення методики Петерса, головною перевагою якого е кращi результати, якi дае вдосконалена методика при визначенш тривалост циклiв. Розглянемо змiст ще1 методики, домовившись для зручност називати и «методикою Максишко» [5, 105]. Самi автори називають цю методику «алгоритмом послщовного R/S-аналiзу».

Як i в попередньому випадку, при розглядi ще! методики будемо використовувати вже задану нами ранiше систему позначень, згщно з якою аналiзуеться часовий ряд Х, що складаеться з елементв г, загальна кiлькiсть яких дорiвнюе т.

Етап 1. Для заданого часового ряду Х розглядаються його початковi вiдрiзки Хт = г1, ..., гт, т = 3, 4, ..., т. Для кожного з них обчислюеться !х середне значення за формулою

_ 1 *

г = —Vг. ,* = 3,4,...,т ,

Т / , 1 ' ' ' ' '

* 1=1

а також знаходиться накопичене вщхилення:

S. =.-

1 - I

' 1=1

Vi = 3,m .

x , =У (z. - z ), Vt = 1, i .

I t / , V 1 I '

Етап 2. Для кожного B^pi3Ka ZT вiдповiдно до формули (6) обчислюеться розмах. 1з врахуванням специфiки iндексiв, бiльш точно ця формула матиме такий вигляд:

R = max хг t - min хг t, V i = 3, m .

i<t<i i<t<i

Також для цього ж в^^зка ZT визначаеться середньоквадратичне

вiдхилення за формулою

Пюля цього знаходиться нормований розмах шляхом дшення розмаху ЯТ на середньоквадратичне вщхилення £т.

Як певне пояснення до перших двох крокiв слiд зазначити, що вони в цшому вiдповiдають першим шести етапам «швидкого алгоритму», наведеного в роботi О.В. Михайловсько!. Вiдмiннiсть у кiлькостi етатв пояснюеться рiзною глибиною деталiзацil по суп тiеl само! процедури. Сдина змiстовна вiдмiннiсть полягае у виборi мiнiмальноl довжини початкових вiдрiзкiв Хт. За методикою Максишко пропонуеться мшмальне значення т обрати на рiвнi 3, тодi як у робот Михайловсько1 мiнiмальна довжина вiдрiзка становить 1. Коментуючи цю розбiжнiсть, слщ зазначити, що з обчислювально1 точки зору обирати мшмальну довжину в^^зка на рiвнi 1 недоцiльно. Оскшьки в такому випадку розмах Ят та середньоквадратичне вiдхилення гарантовано будуть нульовими. Разом iз тим, якщо обираеться значення бшьше 2, то такий пщхщ теж потребуе пояснень. Узагалi у методицi фрактального аналiзу е ряд правил, яю носять емпiричниИ характер i не мають вщповщного теоретичного обгрунтування. Проте в даному випадку вибiр авторами мшмального значення т на рiвнi 3 мае пояснення, яке буде наведене при розглядi етапу 3.

Етап 3. Спираючись на наведений у робот Е. Петерса «емтричний закон Херста», будуеться #-траекторiя шляхом розрахунку значень Н(т) за формулою [3, 99]:

Н( * ) = ( 1g(Я(*)/ 5( * )) /1g(т /2).

При побудовi Н-траекторil

обчислюеться ордината точки ут = Н(т) за наведеною вище формулою, а також абсциса точки хт = ^(т/2) для всiх т = 3, 4, ..., т.

Як видно з наведено1 формули для обчислення Н(т), у И знаменнику знаходиться вираз ^(т/2). При т = 2 знаменник перетворюеться на нуль i виникае вiдповiдна арифметична помилка дшення на нуль. Для уникнення цього за методикою Максишко i пропонуеться обирати т > 3.

2

Етап 4. Будуеться R/S-траекторiя шляхом формування послщовносп точок (хт, y°° ). Координата хт для кожно1' точки визначаеться за формулою x°° = lg(r/2), а координата за формулою yT = lg(R(r)/S(r)).

До переваг методики Максишко, або алгоритму послщовного R/S-аналiзу, слiд вiднести те, що вона, як i швидкий алгоритм, допускае реалiзацiю з використанням лише стандартних можливостей електронних таблиць. Крiм того, ця методика може бути ефективно використана для визначення тривалосп циктв i квазщиктв.

Висновки. Розглянуто три

альтернативних тдходи до проведення фрактального аналiзу шляхом обчислення показника Херста. Перша з розглянутих методик, яку умовно названо методикою Петерса, попри свою обчислювальну трудомiсткiсть i вибагливють до обсягiв iнформацiйних масивiв, е найкращою з точки зору отримання абсолютного значення показника Херста для ряду даних у цшому.

Друга методика, що названа «швидким алгоритмом», мае перевагу, яка полягае у простотi реалiзацiï та технiчнiй можливосп обчислення показника для обмежених за кiлькiстю спостережень iнформацiйних масивiв. Проте точнють таких обчислень е недостатньо високою.

Перевагою третьо1' методики, умовно названо!' «методикою Максишко», е також вщносна простота обчислювальних процедур, а також можливють iдентифiкацiï з ïï допомогою тривалосп циклiв та квазiциклiв.

Перспективи подальших дослiджень у цьому напрямi полягають у розробщ методiв фрактального аналiзу, якi дозволяють iдентифiкувати атрактори, потрапляння в зону ди яких призводить до ефекту «втрати пам'ятi», наявнють якоï дiагностуеться за допомогою обчислення показника Херста. Це важливо для прогнозування катастрофiчних змiн у динамщ систем, що характеризуються радикальною змшою минулих тенденцiй i втратою ними стшкосп.

Лiтература

1. Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономических систем методами

нелинейной динамики (теории хаоса) / Л.Н. Сергеева. - Запорожье: Запорожский гос. ун-т, 2002. - 227 с.

2. Федер Е. Фракталы: пер. с англ. / Е. Федер. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

3. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: пер. с англ. / Э. Петерс. - М.: Мир, 2000. - 333 с.

4. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике / Э. Петерс. - М.: Интернет-трейдинг, 2004. - 304 с.

5. Максишко Н.К. Анализ и прогнозирование эволюции экономических систем / Н.К. Максишко, В.А. Перепелица; Запорожский национальный ун-т. -Запорожье: Полиграф, 2006. - 236 с.

6. Михайловська О.В. Самооргашзащя свггового швестицшного процесу в умовах глобалiзацi!: можливосп фрактального аналiзу / О.В. Михайловська // Актуальш проблеми економши. - 2009. - № 1 (91). - С. 218-228.