Алгоритмы получения несмещенных оценок при действии неизвестных внешних возмущений algorithms of deriving of unbiased estimates under unknown external perturbations Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 312.1:444

АЛГОРИТМЫ ПОЛУЧЕНИЯ НЕСМЕЩЕННЫХ ОЦЕНОК ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕИЗВЕСТНЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Н.Н. Тарасов, М.Г. Тахтамышев

Рассмотрен алгоритм фильтрации, в обратной связи которого используются не только текущие невязки, но и интегралы этих невязок. Показано, что интегральные невязки позволяют получать несмещенные оценки фазовых координат даже в случае неизвестных возмущений.

Ключевые слова: математические модели движения и возмущения, калмановские алгоритмы фильтрации, интегральные невязки, несмещенность оценок координат.

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается задача фильтрации и восстановления координат движения для класса морских подвижных объектов в условиях действия внешних возмущений. Для ее решения наибольшее распространение получили калмановские алгоритмы фильтрации [1, 2], использующие текущие невязки в обратной связи. Известно, что данные алгоритмы позволяют получать удовлетворительное качество оценок координат движения лишь при хорошем знании математических моделей движения, измерения и возмущений, а также статистических характеристик входных помех и шумов измерения. Построение точных математических моделей для рассматриваемого класса подвижных объектов является сложной и дорогостоящей задачей, требующей больших временных и материальных затрат. Неточность же задания математических моделей движения и измерения, отсутствие полной информации о реальном объекте управления, а также всякого рода упрощения приводят не только к ухудшению качества получаемых оценок, но и к неустойчивости самого фильтра. Кроме того, неустойчивость могут вызывать ошибки, связанные с моделированием вероятностных характеристик шумов и неизвестных входных воздействий. А это, в свою очередь, влияет на качество и эффективность применяемых на практике законов управления, формируемых с помощью получаемых оценок. В настоящей работе предлагаются алгоритмы, позволяющие устранить этот недостаток, т. е. получать несмещенные оценки координат

движения морского подвижного объекта как в случае действия неизвестных возмущений, так и в случае неточной информации о параметрах модели движения. Предлагаемые алгоритмы основаны на использовании не только текущих невязок, но и интегралов этих невязок.

1. МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА

Полное и точное описание реального объекта управления с учетом действующих внешних возмущений математическими методами практически невозможно. Создаваемые же разработчиками систем управления модели движения лишь приближенно описывают поведение реального объекта в конкретных режимах плавания. Точность и полнота описания объекта управления во многом зависят от опыта, знаний и воли разработчика конкретной системы управления. Модель пространственного движения объекта управления, как правило, описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений вида х = /(х, и, а, Д ?), где х, и, а и И — векторы состояния, управления, гидродинамических параметров и внешних возмущений соответственно. Структура вектор-функции /(х, и, а, И, ?), как уже отмечалось, во многом зависит от воли и опыта разработчиков системы управления, а гидродинамические параметры определяются опытным путем сначала в гидродинамических трубах, а затем уточняются в реальных режимах плавания. Удовлетворительное качество ряда параметров при выбранной структуре модели движения практически получить невозможно. При

этом ошибки могут достигать 50 % и более. Использование на практике в реальном времени таких моделей нецелесообразно из-за их невысокой точности и сложности реализации на бортовых ЭВМ.

Для исследования отдельных режимов плавания обычно пользуются более простыми линеаризованными моделями. В данной работе рассматривается линейная модель движения морского подвижного объекта в вертикальной плоскости при действии наиболее распространенных внешних возмущений. Такая модель в общем виде описывается системой дифференциальных уравнений

= Лх + Ви + АЛх + V Р. + д,

¿и

1 = 1

(1)

где л = (V, юг, у, п) — вектор состояния, Уу и ю^ — линейная и угловая скорости движения, у — дифферент, п — глубина погружения, и = (ик,

и/ —

вектор управлений кормовыми и носовыми рулями, т

Р. = (Р, М) — неизвестные векторы внешних сил Р. и моментов М, матрица АЛ имеет такую же структуру что и матрица Л и характеризует погрешность гидродинамических параметров, отдельные элементы которой могут составлять до 50 % от значений

элементов матрицы Л, д = (д^ дшг, V ^ — случайный процесс с нулевым средним М[д(1)] = 0 и кот

вариационной матрицей соу(д(1)д (т)) = (2(1)8(1 — т),

— известные

матрицы состояния и управления, зависящие от скорости движения.

Для непосредственного измерения доступна, как правило, лишь часть координат. Измеряемыми координатами движения объекта в вертикальной плоскости являются глубина погружения п и дифферент у. С достаточной степенью точности математическая модель измерения представляется в виде [3]

а11 а12 0 0 Ьп Ь12

Л = а21 а22 а23 0 и В = Ь21 Ь22

0 1 0 0 0 0

1 1 0 V 0 у 1 0 0 )

У = Сх +

(2)

где у = (у^, уп) — вектор измеряемых координат

у и п, С =

0 0 10 0 0 0 1

— матрица наблюдений,

^ = (^ , ^ ) — случайный процесс с нулевым средним М[^(1)] = 0 и ковариационной матрицей соуШ^(т)) = Л(1)8(1 - т).

Поскольку матрица АЛ и внешние возмущения Рр входящие в выражение (1), известны с некоторыми погрешностями, выберем приближенную модель в виде

X = Лх + Ви +

др,

(3)

где др = (дР1, дР2, дР3, дР4) — случайный процесс с неизвестным средним значением, определяемым внешними возмущениями и погрешностями модели движения и ковариационной матрицей

соу(д^) дТ(т)) = ^1)5(1 - т).

В данной работе ставится задача определения несмещенной оценки модели объекта (3) по результатам измерения (2) с минимальной средне-квадратической ошибкой.

2. МОДЕЛЬ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Из встречающихся на практике возмущений можно выделить медленно меняющиеся, кусочно-линейные и волновые возмущения.

Медленно меняющиеся (постоянно действующие) возмущения возникают при различных течениях, дрейфах и т. п. Такие возмущения описываются уравнениями вида [1]

дРш

(4)

где дРш — случайный параметр, характеризующий медленное изменение входного возмущения, причем М [дрш(/)] = 0 и соу(дрш(?) дрш (т)) = )5(Г - т).

Кусочно-линейные возмущения возникают при изменениях плотности моря. Такие изменения могут возникать либо из-за неоднородности моря, либо в режимах погружения и всплытия. Любая случайная функция может быть представлена в виде [4]

п

Д!) = т() + V ^(1),

I = 1

где тх(1) = М [Х(1)] — математическое ожидание случайной величины Х(1), фг(1) — неслучайные функции времени, V. — случайные величины с

М[ V] = 0, М[ V V] = 0 при I * ] и М[ VI ] = Б, при

11} I

этом корреляционная функция и дисперсия случайной функции Х(1) имеют вид Рх(11, 12) =

пп

= V фМФ^Р Бх(1) = КД 1) = V К^Ч 1 = 1 1 = 1 Если в качестве функций фг(1) выбрать функции

вида фг(1) = 1', то величину Х(1) можно представить

п

в полиномиальном виде [5] Х(?) = £ Ц?г, где

и —

г = 1

случайные величины с ненулевыми математическими ожиданиями М[Ц] = тг, дисперсиями

= М [\Ц — тг\2] и корреляционными моментами

Я.. = М [(Ц. — т,.)(Ц. — т.)]. Вероятностные харак-

гу 11))

теристики случайной функции Х(?) определяются

п п

в виде М[Х(?)] = £ т?г, Ях(?1, ?2) = £ Я..?1 ^,

г = 0

г, У = 0

ЗД = £ V4

г, У = 0

В результате получим

Х(?) = £ Ц?г = £ т/г + £ V?г. (5)

г = 0 г = 0 г = 0

При каноническом разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайными величинами. Например, производная и интеграл случайной функции Х(?) определяются в виде

сСХ( ?) = ¿тх( ?) + £ ^с/Фг< ?) = С? С? £ 1 С?

г = 0

пп

= £ тг - 1 + £ V/ - 1,

г = 0 г = 0

* * п *

рГ(х)Сх = |тх(т)Ст + £ V |фг(х)Сх =

0 0 г = 0 0

п г + 1 п ? г + 1

= £ тг ?—т + £ V -,

^ г I + 1 ^ г I + 1

г = 0 г = 0

что позволяет представить выражение (5) в виде системы дифференциальных уравнений.

Модель волновых возмущений РЪ = (РЪу, МЪг) задается как совокупность гармоник со своими амплитудами, частотами и случайными фазами, которые, в свою очередь, зависят от балльности, скорости хода и курсового угла и определяются, как правило, по данным натурных испытаний:

п

РЪу = КЪ £ 81п(Юг? + ^^

г = 1

п

МЪг = КЪ £ ^г'^К'? + ^

(6)

г = 1

где РЬу и МЪг — сила и момент, действующие на объект управления, а^., а1П^ и Кь — постоянные па-

раметры, получаемые, как правило, экспериментальным путем в реальных режимах плавания, ю; — частоты колебаний, ф^. и фтгг. — случайные начальные фазы колебаний.

3. АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ

Фильтр Калмана. Для получения оценок х фазовых координат объекта (3) с измерениями (2) обычно применяется фильтр Калмана [6]

.п

х = Ах + А А х + £ Рг + ви + К0(у - СхХ), (7)

г = 1

х (?0)=М[х(?0)], еоу(х(?0), = соу(х(<0), 5(?)) = 0,

где Рг и А А — оценки неизвестных возмущений Д и матрицы АА. Коэффициенты усиления обратной связи К0 определяются из уравнения Риккати

Р = АР + РАТ - РСТЯ-1СР + 0Р,

К = (Ку) = РСТЯ-1,

Р(?0) = М[(х(?0) - х (?0))(х(?0) - х (?0))Т].

Данный алгоритм позволяет получать несмещенные оценки фазовых координат только в том

^ п - п

случае, если А А х- + £ Рг = М [ААх + £ Д]. При

г = 1 г = 1

этом невязки V = у - Сх представляют собой центрированные случайные процессы. При неточной же информации о параметрах модели АА или внешних возмущающих воздействий И. оценки возму-

^ п ~

щений А А х + £ ¥1, да и оценки начальных ус-г = 1

ловий х (?0) неизвестны. При этом невязки перестают быть центрированными, что подтверждается моделированием.

На рис. 1 представлены текущие невязки по

дифференту ^ = уу - у и глубине погружения V = у - п, а также интегралы этих невязок V . =

П ^ п уг

= 1 (Уу - V )Ст и Vnг. = |(уп - п- )сТ в случае действия на объект управления внешних возмущений (медленно меняющиеся возмущения) при известной информации о модели движения.

На рис. 2 изображены те же самые невязки в случае неточной информации о гидродинамичес-

п

п

п

п

п

Рис. 1. Текущая V и интегральная V. невязки по дифференту (а) и глубине (б): алгоритм (7) при медленно меняющихся возмущениях

ких коэффициентах модели движения в отсутствие внешних возмущений.

Визуально смещение текущих невязок у^ и у^ по данным, представленным на рис. 1 и 2, определить практически невозможно. Поэтому в работе рассмотрены интегралы этих невязок у^. и у^, которые и позволяют определять смещение текущих невязок. Из рисунков видно, что в данном случае невязки по дифференту и глубине являются смещенными, так как величины у^. и уп/ не центрированы.

Алгоритмы с интегральными невязками. Для устранения смещения невязок и, соответственно, повышения качества оценок предлагаются алгоритмы, включающие в обратную связь не только

текущие невязки по дифференту у^ = у^ — у и глу-

бине у^ = уп — п, но и накапливаемые интегральные невязки

V = I (у^ - у ^ = Я(у, - у ^^ ..., = |... I (уV - У а также

V = I (Уп - п )dт, У

л/2 1 1К - П)dт1dт2, ..., п = |... I (уп " П^Г^п

цт

В этом случае алгоритм фильтрации принимает вид

X

= ЛХ + ви + к0(у - СХ) + к11(у - СХ )йт + ... ... + Кп |... I (у - СХ )йтг.Лт, (8)

Рис. 2. Текущая V и интегральная vi невязки по дифференту (а) и глубине (б): алгоритм (7) при неточной информации о модели движения

п

п

п

Рис. 3. Текущая V и интегральная V. невязки по дифференту: алгоритм (9) при медленно меняющихся возмущениях

где коэффициенты усиления в обратной связи выбраны в виде К = агК0. При этом коэффициенты аг подбирались опытным путем. Проведенное моделирование доказывает существование значений

коэффициентов К, * = 1, п, гарантирующих устойчивость алгоритма фильтрации (8). Оптимальный же выбор коэффициентов К, а также вопрос устойчивости данного алгоритма представляет собой отдельную задачу и требует дополнительных исследований.

Минимальное значение п в выражении (8) зависит от вида возмущений. Так, например, при действии постоянных или медленно меняющихся возмущений для устранения смещения в обратную

связь достаточно ввести невязки вида V = у - Сх ,

и vi = 1 (у - Сх )Ст, тогда алгоритм фильтрации примет вид

х = Ах + ви + К0(у - Сх) + К11 (у - Сх )Ст1. (9) На рис. 3 представлены как текущая невязка

по дифференту V

у

' у

V , так и ее интеграл

vу/ = 1 (уу - V )Ст при медленно меняющихся внешних возмущениях (4). Текущая невязка по глубине и ее интеграл выглядят аналогично. Видно, что полученные невязки отличаются от невязок фильтра (7). Данные невязки, как видно из рисунков, несмещенные. Это достигается благодаря компенсации внешних возмущений интегральными слагаемыми алгоритма (9).

При моделировании алгоритма фильтрации (9) с неточной информацией о гидродинамических коэффициентах модели движения получены ана-

логичные результаты. Разброс элементов матрицы АА рассматривался такой же, как и в алгоритме (7), в пределах от 30 до 50 %.

Из рисунков видно, что введение интегральных невязок позволяет устранить смещения в оценках координат движения и тем самым повысить их качество.

При действии кусочно-линейных возмущений (5) одной интегральной невязки в обратной связи, как показывают результаты моделирования, недостаточно. На рис. 4 изображены как текущие невязки по дифференту vу = уу - V и глубине погружения vn = уп - п, так и интегралы этих невязок

V = 1 (уу - V )Ст и vпi = 1 (уп - П)Ст в случае действия кусочно-линейных возмущений в алгоритме фильтрации (9). Видно, что алгоритм (9) не может обеспечить центрирование текущих невязок для данного класса возмущений.

Рис. 4. Текущая V и интегральная vi невязки по дифференту (а) и глубине (б): алгоритм (9) при кусочно-линейных возмущениях

Рис. 5. Текущая V и интегральная vi невязки по дифференту:

алгоритм (10) при кусочно-линейных возмущениях

Для устранения этого недостатка введем в структуру фильтра (9) невязку вида ¡¡(у — Сх В результате получим алгоритм фильтрации

х

АХ + Ви + К0 ¡(у - СХ) + К ¡(у - СХ )йт +

+ К2 ¡¡(у — СХ

(10)

что невязки V = у

Моделирование данного алгоритма показывает, у , vn = уп — г\, а также

V = ¡(Уу — У )л и = ¡(Уп — 11 )Ж становятся центрированными и несмещенными. На рис. 5 представлены результаты моделирования алгоритма (10) в случае кусочно-линейных возмущений — текущая и интегральные невязки по дифференту. Соответствующие невязки по глубине выглядят аналогично.

Видно, что введение дополнительного слагаемого ¡¡(у — Сх )ёт1ёт2 в структуру фильтра (9) устраняет смещенность невязок vу и vn даже в случае действия кусочно-линейных возмущений.

При действии более сложных возмущений структура фильтра усложняется путем введения в обратную связь дополнительных интегральных невязок, и алгоритм фильтрации принимает вид (8). Отметим, что более сложная структура фильтра работоспособна и для простых возмущений, например, фильтр (10) позволяет получать несмещенные оценки как для возмущений (5) и (6), так и для возмущений (4).

Введение очередного интеграла в обратную связь позволяет сделать невязки более центрированными и несмещенными, что, в свою очередь, говорит о повышении качества оценок исследуемых параметров движения. Повышение же качества оценок приводит к повышению качества управления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренный подход позволяет расширить возможности применения калмановских алгоритмов фильтрации для объектов, на которые действуют неизвестные внешние возмущения. Он основан на включении в обратную связь алгоритмов фильтрации не только текущих невязок, но и интегралов от этих невязок. Сравнительный анализ обычного фильтра Калмана и фильтра с интегральными невязками в случаях действия медленно меняющихся, кусочно-линейных и волновых возмущений показал, что при случайном гауссовском процессе на входе качество оценок практически одинаково. Однако если на вход системы управления подаются низкочастотные неизвестные возмущения, то качество оценок, получаемых с помощью фильтра с интегральными невязками, превосходит качество оценок, получаемых с помощью фильтра Калмана. Повышение качества оценок параметров движения достигается благодаря уточнению моделей движения и возмущения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М.: Мир, 1977. — 650 с.

2. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. — М.: Машиностроение, 1968. — 762 с.

3. Евланов Л.Г. Контроль динамических систем. — М.: Наука, 1979. — 430 с.

4. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Наука, 1979. — 496 с.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Высшая школа, 1999. — 576 с.

6. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. — М.: Связь, 1974. — 494 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Н. Афанасьевым.

Тарасов Николай Николаевич — канд. техн. наук,

ст. науч. сотрудник, @ (495) 334-92-20, И [email protected],

Тахтамышев Михаил Георгиевич

канд. техн. наук,

вед. науч. сотрудник,

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва.