Алгоритмы обнаружения сигналов на фоне негауссовских помех Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

график помехоустойчивости ФМ-сигналов с райсовскими замираниями при однопозиционном приеме, а кривая 2 — при двухпозиционном приеме по разработанному алгоритму.

Анализ показывает, что синтезированный алгоритм уменьшает вероятность ошибки по сравнению с существующим методом приема и обработки ФМ-сигналов при однопозиционном приеме.

Литература: 1.Мареха А.С. Оптимальная фильтрация фазоманипулированных сигналов с замираниями // Радиотехника и электроника. 1986.Т.31, №12. С.2426 — 2430. 2. Ершов Л.А., Коренной А.В., Литвин С.А. Пространственно-временная обработка широкополосных сигналов в системах связи // Научно-методические материалы по статистической радиотехнике/Под ред. В.А.Смирнова,М.:ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского, 1987. С.48 —58. З.ХарисовВ.Н. Нелинейная фильтрация при многомодальном апостериорном распределении // Техническая кибернетика. 1986. №6. С. 147 —155. 4.Со-сулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов.М.: Сов. радио,1978. 320с.

УДК 621.37:621.391 '

АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ

ПАЛАТИН В.В. * 1

Описывается построение оптимальных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне негауссовских помех по моментному критерию асимптотической нормальности. Показывается, что учет тонкой структуры негауссовской помехи, а именно коэффициентов асимметрии, эксцесса помехи, кумулянтных коэффициентов более высоких порядков может привести к улучшению качественных характеристик обнаружения сигналов.

1. Введение

Задача обнаружения, обработка сигналов на фоне помех является одним из важных направлений среди многих приложений. Известно немало подходов к решению данной задачи, которые основаны на проверке простых статистических гипотез. В их основе лежит решающая функция, представленная в виде сравнения отношения правдоподобия с тем или иным порогом, который выбирается по какому-либо из критериев качества (критерий Байеса, критерий идеального наблюдателя, критерий Неймана-Пирсона и т.д.). Такие критерии назовем вероятностными, так как в их основе лежат вероятности ошибок первого и второго рода.

Случайные величины в теории вероятностей и математической статистике количественно можно охарактеризовать двумя способами: с помощью установления вероятности осуществления того или иного события или с помощью более грубой количественной меры числовых характеристик случайных величин, таких как математическое ожидание, дисперсия и т.д. Критерии, основанные на использовании моментов решающей функции, назовем моментными.

32

Поступила в редколлегию 05.03.2001

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Поповский В.В.

Литвин Сергей Андреевич, канд. техн. наук, доцент кафедры авиационных средств связи Харьковского института ВВС. Научные интересы: теория радиосвязных систем, прием взаимозадержанных сигналов. Адрес: Украина, 61118, Харьков, пр-кт 50-летия ВЛКСМ, 61, кв.5.

Мареха Анатолий Семенович, канд. техн. наук, доцент, начальник кафедры авиационных средств связи Харьковского института ВВС. Научные интересы: методы синхронизации в системах передачи информации. Адрес: Украина, 61165, Харьков, ул. Клочковская, 228, каф. №306, тел. 30-82-16.

Петрищев Александр Васильевич, старший преподаватель кафедры авиационных средств связи Харьковского института ВВС. Научные интересы: обработка сигналов в декаметровом канале радиосвязи. Адрес: Украина, 61165, Харьков, ул. Клочковская, 228, каф. №306, тел. 30-82-16.

Построение алгоритмов обнаружения сигналов на фоне негауссовских помех по вероятностным критериям вызывает определенные трудности, поэтому представляет интерес рассмотрение иных подходов к решению данной задачи.

В работах [1,2] развивается метод обнаружения сигналов, когда в качестве решающей функции используется стохастический полином 2 -й степени, а для выбора решающих функций применяется критерий отклонения (the deflection criterion). Согласно этому критерию оптимальное решающее правило задается в виде полинома конечной степени, коэффициенты которого находятся из условия минимума функционала

Di =

(Ті -т0Г Go

где T; — математическое ожидание решающей функции при гипотезе H;; G; — дисперсия решающей функции при гипотезе H;, i = 0, 1 .

Использование данного критерия вызывает некоторое неудовлетворение, так как не показана его связь с хорошо известными вероятностными критериями. Поэтому в данной работе предлагается разработка нового критерия качества проверки простых статистических гипотез — критерия асимптотической нормальности, основанного на момен-тном и кумулянтном описании случайных величин [3-5].

2. Общие положения о построении критерия асимптотической нормальности

Предположим, что решающее правило (РП) для проверки простых статистических гипотез имеет вид

РИ, 2001, № 2

Hi

f(i) = у(х) - ко ^ 0 H о

где y( х) — некоторая функция от выборочных значений; ко — константа.

Он имеет ясный физический смысл. В качестве оптимальной решающей функции берется та, для которой расстояние между математическими ожиданиями решающей функции при гипотезах Н0 и Hi наибольшее, а дисперсии при этом минимальные. Полученный критерий тесно связан с вероятностными критериями и отличается от критерия

отклонения Di , который приведен выше.

Предположим, что функция у(х) распределена (или асимптотически распределена) по нормальному закону. РП должно быть таким, чтобы минимизировать один из вероятностных критериев. Критерием качества выберем критерий суммы вероятностей ошибок

R = а + р. (2)

РП (1) необходимо подобрать так, чтобы данная функция R была минимальной.

В работе [5] показано, что асимптотически в общем виде вероятностный критерий (2) запишется так:

R(a, р)

J ехР

Vo I

2 )

1 V1

dz + ,— J exp

ґ

л/ 2Л

2

,2 A

dz

2

(3)

Для оптимального РП константа ко и функция

у(х) должны быть такими, чтобы выбранный критерий принимал минимальное значение. Константа ко , которая минимизирует (2), имеет вид

к0 =-

W +ТоОі

о,5

со’5 + G1

0,5

(4)

Показано, что при статистически независимых выборочных значениях логарифм отношения правдоподобия, согласно 1-й теореме Вейерштрасса о приближении функции, можно представить в виде ряда. Тогда РП общего вида можно представить как полином степени s:

Hi

/ \ N n s j >

A(4nN = E ЕЕкІуХуг + ко ^ о (6)

r=1v=1i=1 < , (6)

Но

где xvr — выборочные значения из объема n и ансамбля реализаций N.

Неизвестные коэффициенты ко и kiv РП (6), которые минимизируют сумму вероятностей ошибок (2), находятся из минимума критерия асимптотической нормальности (5).

Получена система уравнений для нахождения коэффициентов kiv, где априорной информацией являются начальные моменты случайной величины при гипотезе H0 и альтернативе Н .

Для коэффициентов k iv, найденных из минимума (5), имеет место равенство

Для этой константы пределы интегрирования V0 и V равны V0 = Yu_0’5, V1 =-Yu_0’5, где

Yu [у( х)]

(gQ’5 + gQ’5)2

(Т1 -tJ2

(5)

Из (3) и (5) видно, что значение вероятностного критерия R(a, Р) зависит только от функционала Yu , причем чем меньше его значение, тем меньше вероятности ошибок первого и второго рода, а следовательно, меньше значение критерия R(a, Р).

Поэтому функционал Yu[y(x)] можно взять как критерий качества выбора РП.

Определение 1. Примем функционал Yu[y(x)] за критерий качества выбора РП вида (1) и будем считать наилучшим то правило, которое при ко , равном (4), минимизирует по всем возможным у(х)

функционал Yu[y(х)]. Этот критерий будем называть критерием асимптотической нормальности.

^YusNn _ N Е Е Екjvkiv [p(ij)v(Н011 + r] + v=1j=l i=1

+F(i,j)v (Н111+VrJ=N ЕЕ ki4m-iv - uiv), (7)

v=1i=1

i = 1, S , j = 1, S , v = 1, n ,

где ujv, miv — начальные моменты случайной

величины при гипотезе Н0 и Н1, r = (G1/G0)05 ,

F(ij)v(Ho) = u(i+j)v _uivujv , F(ij)v(H1) = m(i+j)v _ mivmjv .

Определение 2. Величину lYuSNn примем за количество извлекаемой информации о различии гипотез Hq и Н1 в пачке объемом N выборочных значений размерностью n с помощью РП в виде стохастического полинома (6).

На основе приведенного критерия асимптотической нормальности возможно построение обнаружителей радиосигналов на фоне негауссовских помех.

РИ, 2001, № 2

33

3. Построение алгоритмов обнаружения радиосигналов на фоне негауссовских помех

При разработке практических алгоритмов обнаружения сигналов основное внимание уделялось случаю, когда помеха имеет гауссовский закон распределения. На практике такая модель не всегда отображает реальные процессы, а является удобной математической идеализацией. Большинство внешних помех техническим и информационным системам являются случайным процессом с негауссовским законом распределения вероятности мгновенных значений, поэтому в последнее время появился значительный интерес к разработкам новых методов обнаружения именно таких моделей сигналов и помех.

В статье предлагается разработка и исследование оптимальных алгоритмов обнаружения радиосигналов на фоне негауссовских помех по критерию асимптотической нормальности.

Рассмотрим аддитивную модель принимаемой случайной величины |, которая равна сумме полезного сигнала s и помехи ц:

| = s + ц.

Пусть при осуществлении гипотезы H принимается пачка независимых выборочных значений

X = {хW,X, где XW = {x1bx2l,...,xnl} , l = 1, N , имеющих вид

xvr = sv +Й v , V = 1, n , Г = 1,N ,

здесь sv = aev , ev = rVcos(ro0v + Фо) — принимаемый радиосигнал в момент времени v; a, rv — амплитуда и огибающая сигнала в момент времени v; ц v — помеха, которую будем считать случайной величиной с негауссовским законом распределения, с нулевым математическим ожиданием и кумулянтами % k , k = 1,n ; а при осуществлении гипотезы Но

xv —Лv , v = 1, П .

Во многих прикладных работах принимают, что помеха имеет гауссовский закон распределения, т.е. является гауссовской. Гауссовскую помеху можно описать не только с помощью плотности распределения, но и с помощью кумулянтов. Известно, что только у гауссовской помехи отличными от нуля могут быть кумулянты 1-го и 2-го порядка. Таким образом, при использовании моментно-кумулянт-ного описания помехи, когда кумулянты 3-го и высших порядков не равны нулю, имеется возможность описывать негауссовскую помеху.

Используя линейное РП при степени полинома s= 1 (6), запишем

л(x )ы =

H1

1 N n a n2 >

Z Zevxvr z ev

N r=1v=1 2 v=1 <

H 0

0

(8)

Сумма вероятности ошибок первого и второго рода определяется выражением (3). Показано, что асимптотически при n и q (q —

отношение сигнал/шум по мощности) сумма вероятности ошибок первого и второго рода РП (6) будет стремиться к нулю.

РП при степени полинома s=1 не учитывает негауссовское распределение выборочных значений. Поэтому рассмотрим случай увеличения степени полинома решающего правила до s=2 и выше.

В общем виде нелинейное РП при степени полинома s=2 запишем так:

A(x) 2n =

N

z

n

Z k1vxvr

r v=1

Nn

+ Z Z k 2vx vr r v=1

N

(Ї7Г)

*

*

r Z k2v X 2 + Z (k1vsv + k2v(s2 +X 2))

. v=1 v=1 _

H1

>

0

<

H 0

(9)

Выборочные значения xv кроме линейного преобразования подвергаются нелинейному, а именно возводятся в квадрат и суммируются.

В неопределенные коэффициенты k1v и k2v входят параметры, характеризующие негауссовский закон распределения помехи — коэффициенты асимметрии (уз) и эксцесса (у4) помехи, т.е. кумулянты третьего и четвертого порядков.

Нелинейное РП (9) при степени полинома s=2 будет равно линейному (8) в предположении, что принимается сигнал в смеси с помехой, которая имеет симметричный закон распределения (у3=0).

Аналогично получены решающие правила при степени полинома s=3. Кроме этого, с учетом моментного описания случайных величин и критерия асимптотической нормальности (5) синтезированы РП для обнаружения радиосигнала со случайными параметрами — случайной амплитудой и фазой.

На рис. 1 приведены графики зависимости отношения М21 (отношение суммы вероятности ошибок РП при s=2 к сумме вероятностей ошибок РП при s= 1) от коэффициента асимметрии у3 при различных значениях коэффициента эксцесса у4. Для коэффициента у3 справедливо неравенство

У2 ^ У4 + 2 . (10)

Максимальный учет негауссовского распределения помехи получается при равенстве выражения (10).

34

РИ, 2001, № 2

Синтезированное РП (9) при s=2, где учитываются асимметрия и эксцесс помехи, дает возможность уменьшить суммы вероятности ошибок обнаружения сигналов по сравнению с линейным (8) при s=1, который построен в предположении гауссовских помех. Эффективность обнаружения имеет место как при несимметричном распределении помехи (рис.1), так и при симметричном (рис.2).

На рис. 1 представлены зависимости отношения М21 для РП при s=2 к РП при s=1 (n=100, q=0,1) от g4, которое принимает значения: 1)-1,8; 2)0; 3)1,8. Для симметричной негауссовской помехи (у3=у5=0) представлены отношения М34 для РП при s=3 к РП при s=1 от у4 при уб: 1) -5; 2) 0; 3) 5 (рис.2).

ІУІ21

І4,

X

\

1 2І_

0 1 2 уз

Рис.1

При степени полинома s=3 эффективность обнаружения сигналов на фоне негауссовских помех еще больше увеличивается (в том числе и для симметричной помехи), и конкретные значения зависят от параметров сигнала и тонкой структуры помехи.

Результаты исследований показывают, что наибольшее преимущество нелинейного обнаружителя сигналов на фоне негауссовских помех при степени полинома s=2 (9) и выше по сравнению с линейным (8) достигается при несимметричном распределении помехи. С увеличением параметра q, выборочных значений n значения отношения М24 и М34 уменьшаются, что свидетельствует об увеличении эффективности синтезированных нелинейных обнаружителей на фоне негауссовских помех по сравнению с гауссовскими.

4. Заключение

В данной работе показано построение РП на основе представления отношения правдоподобия в виде стохастического полинома, оптимальные коэффициенты которого находятся по критерию асимптотической нормальности при использовании моментного и кумулянтного описания случайных величин. Данный подход позволяет получить более простые выражения при разработке алгоритмов обнаружения сигналов на фоне негауссовских помех.

Разработаны линейные и нелинейные алгоритмы обнаружения радиосигналов на фоне негауссовских помех по критерию асимптотической нормальности. Сравнительный анализ полученных результатов показал, что при учете тонкой структуры негауссовской помехи имеется возможность увеличить эффективность разработанных обнаружителей сигналов на фоне негауссовских помех. Показано, что эффективность нелинейных обнаружителей при степени полинома s=2 имеет место при несимметричном распределении помехи. Наибольшая эффективность обнаружения достигается при граничных условиях коэффициентов асимметрии и эксцесса помехи (10).

Литература: 1. Baker. On the deflection of a quadratic-linear test statistic // IEEE Trans. Infor. Theory, 1969. Vol IT-15. Р.16-21. 2. Picinbono B., DuvautP. Optimal Linear-Quadratic systems for detection and estimation // IEEE Trans. Infor. Theory. 1988. Vol. 34. Р.304-311. 3. Kunchenko Y.P. A Moment Performance Criterion of a Decision Making for Testing Simple Statistical Hypothesis / / IEEE, International Symposium on Information Theory, Ulm, Germany, June-July, 1997. Р.407. 4. Кунченко Ю.П., Па-лагин В.В. Синтез алгоритмов проверки простых статистических гипотез, основанных на использовании стохастических полиномов, оптимальных по критерию асимптотической нормальности // Тез. докл. 51-й научной сессии, посвященной дню радио. №2. Москва, 1996. С. 128-129. 5. Кунченко Ю.П, Палагин В.В. Критерий асимптотической нормальности проверки простых статистических гипотез // Труды УНИИРТ, №3. Одесса. 1998. С.66-70.

Поступила в редколлегию 24.11.2000

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Кунченко Ю.П.

Палагин Владимир Васильевич, канд. техн. наук, доцент кафедры радиотехники Черкасского инженернотехнологического института. Адрес: Украина, 18006, Черкассы, бульв. Т.Шевченко, 460, тел. (0472) 43-51-71, 43-20-07, (0472) 63-32-86. E-mail: [email protected]

РИ, 2001, № 2

35