CC BY
7
УДК 621.396.677.861
А.Л. Ахтулов, *Л.Н. Ахтулова, ** П.А. Малыгин Омский государственный университет путей сообщения, г. Омск *Омский государственный аграрный университет, г. Омск ** Оснабрютекий университет, г. Оснабрюк, Германия
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ИСПЫТАНИЯМИ АВТОМАТИЧЕСКОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПО ОЦЕНКЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Существенным этапом в реализации имитационного подхода к изучению надежности космических аппаратов (КА) и больших космических систем (БКС) является анализ законов распределения измеряемых параметров при проведении наземных испытаний [1, 2].
В настоящее время оценка экспериментальной функции обычно производится на основе построения гистограмм, а анализ ее соответствия теоретической функции оценивается по различным критериям [3]. Однако такой подход возможен в тех случаях, когда объем полученной информации достаточно велик. На практике же, чаще всего число объектов испытаний мало и объем информации весьма ограничен [4].
В данной работе предлагается при вычислении оценки локальной абсолютной ошибки построения теоретической функции распределения плотности вероятности использовать оценки моментов или самих инвариантов [5].
Моменты распределения к-го порядка относительно математического ожидания (или центральные моменты к-го порядка) определяется по выражению:
} = I (х - x )
N
к k 14 = Е{(х - Х0 )
Дх^х
(1)
Выборочные моменты определенной выборки объемом п из генеральной совокупности определяются как:
м к =
К
(2)
По формуле (2) можно сделать заключение о виде кривой распределения. Если функция плотности вероятности симметрична относительно среднего арифметического (центра
распределения), то все нечетные центральные моменты
0
1
П
)
к
/и2к+1 равны нулю.
При аппроксимации ортогональными полиномами исходным является разложение [5]:
да
/п(г) = а(г)Ъ С, • о, (г)
,=0
(3)
где Qi(z) - полиномы, ортогональные относительно весовой функции а(г) , ъ - нормированная случайная величина, вычисляемая по формуле:
X - X 0
а
г =
0
117
Коэффициенты С определяются как
(4)
С, =
да
I// г) -а (, где дп(г)
п
т
Ъ,Ч г
1 п, т
, (5)
к:
I —да
к
следовательно, С п
Ъ
т=0
(6)
^Чп ,т тт
т=0
Формула (6) устанавливает связь коэффициентов разложения (5) с моментами распределения Ш|, которые можно представить через центральные моменты распределения fлi экспериментальных наблюдений. Скорость сходимости ряда (5) зависит от вида плотности распределения, а также от выбора весовой функции. При принятой гипотезе нормального распределения - весовая функция определяется по формуле (1).
При разложении в ряд Лапласа-Шарлье функция распределения для нормированной случайной величины г имеет вид:
да
/П(г) = а(г) ЪС, • Н,(г) , (7)
1
п
1
т=0
т
с =
где I ,
п!
| /ц( г) • Нп(г)аг
—ад
(8)
2
И Н (2) = ( —1) П в
ап (в
— 2 2
)___________
, п = 0,1,...
(9)
п агп
Выражение (9) представляет собой полиномы Эрмита. Разложение Лапласа-Шарлье имеет вид [5]:
/ г г
А ш
г
п( ) = Фо( ) — ^ Ф
6
( ; + ф ( ;
24
(10)
и учитывает только первые четыре коэффициента разложения С;, которые связаны с центральными моментами разложения соотношениями, приведенными, в таблице 1.
Недостатками разложения Лапласа-Шарлье являются: неудовлетворительное выравнивание распределений таких случайных величин, коэффициент асимметрии которых сильно отличается от нуля и при г >>> 1.
Применение ряда Грамма-Шарлье устраняет частично недостатки разложения Лапласа-Шарлье, учитывая десять коэффициентов разложения (табл. 1).
Путем перегруппировки получаем ряд Эджворта. Который для нормированной случайной величины имеет вид:
Коэффициенты разложения в ряды Грамма-Шарлье и Эджворта Таблица 1
а
а
к С к по Эджворту С к по Грамму-Шарлье
1 1 1
2 0 0
3 й3 й3
118
Окончание табл. 1
-10 •
Iа5 а3)
-10 •
I I
3
-280 •
4 й 4 - 3 а4 й 4 - 3 а4
5 1 й 5 й 3 ^ 1 й 5 Й3 ^
6 10. Гй3V 1а3 ) Й6 -15 • Й4 + 30 6 4 а а
7 -35 • й •' й - ' а3 1 а4 ) 1 Й7 Й5 Й3 ^ -| - 21- +105 • I V а7 а5 а3)
8 56 Й8 - 560 • Й6 - 210 • Й4 - 105 8 6 4 а а а Й8 - 28 • Й6 - 210 • Й4 - 315 а8 а6 а4
9 Г Ц 3 ] 3 ц9 ц5 |і3 - 36 + 378 • - 1260 • 9 7 5 3 а а а а
10 - 2100Г - 3Ї Й3 ) V а4 ) V а3 ) ^10 - 45 ^8 + 630 • ^6 - а1 0 а8 а 6 - 3150 • ^4 - 3780 а 6
/ (г) = а(2)[1 + 3 Н п 3!
(2 ) +
к
4 3
4!
10к2
Н (г ) +
3 4
6!
Н6 (г ) +
+
к
Н (2 ) + 35кз к4 6
7!
^ 280к3 7 Н (2 ) + 3 7
9!
Н (2 ) + кб 9
Нб (2 ) +
(11)
6!
+
51к5 к3 + 35к 4
8!
^ 2100к 4 к 3
Н (2 ) + 4 3
Н
10
10!
(2 ) + ...]
Нормированный ряд Эджворта отличается от ряда Грамма-Шарлье только начиная с шестого коэффициента. Поэтому, если фиксируется максимальный порядок используемых куммулянтов, то ряд Эджворта, как правило, обеспечивает лучшую аппроксимацию одномерной плотности вероятности, чем ряд Грамма-Шарлье.
Применение разложений в ряды по Грамму-Шарлье и Эджворту показывает в некоторых случаях хорошие результаты, а иногда неудовлетворительные. Встречаются два типа
3
2
8
нерегулярностей: во-первых, сумма конечного числа членов рядов может привести к отрицательным вероятностям, особенно в ветвях, во-вторых, применение к членов ряда может привести к худшим результатам, чем применение к-1 членов. Эти обстоятельства хорошо известны и предпринимаются попытки, чтобы иметь возможность отличать случаи ухудшения и выводить улучшенные разложения в ряды.
Для этой цели многими исследователями предлагаются критерии применимости разложений в ряды: критерий сходимости Крамера и диаграммы Шентона. По Крамеру, если
плотность вероятности У(х) случайной величины стремится к нулю, когда х ^ да , т. е.:
119
2
“ г 2 х
Нт
/ (х)=0 , и интеграл вида
іІХ )
, сходится, то функция
плотности вероятности Д(х) может быть представлена в виде разложения в ряд.
На основании анализа результатов испытаний установлены математические зависимости влияния на выходные характеристики систем КА различных факторов.
Эффективность метода подтверждена проведенным машинным экспериментом со случайными величинами разного вида для выборок объемом 3<^<2800.
Таким образом, получены оценки точности плотностей распределения с малой дисперсией. Алгоритм реализован в виде пакета прикладных программ для ПЭВМ, являющийся основой для создания методики проектирования систем автоматизированных испытаний КА и БКС, а так же их отдельных конструктивных элементов.
Кроме того, предложенный метод имитации на ЭВМ позволяет получать иерархическую структуру статистических оценок.
Библиографический список
1. Оценка значений параметров вибрации сложных механических систем по результатам стендовых испытаний / Е. В. Абрамов // Повышение эффективности испытаний приборных устройств : материалы семинара. - Суздаль : ВлПИ, 1989. - С. 83-85
2. Гаскаров, Д. В. Малая выборка / Д. В. Гаскаров, Д. В. Шаповалов. - М. : Статистика, 1978. - 248 с.
3. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер ; пер. с англ.; под ред. А. Н. Колмогорова. - М. : Мир, 1975. - 648 с.
4. Малахов, А. Н. Куммулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их пре-
Є
2
образование / А. Н. Малахов. - М. : Советское радио, 1978. - 376 с.
5. Малышев, Г. В. Проектирование автоматических космических аппаратов. Вероятностные методы анализа / Г. В. Малышев, Х. С. Блейх, В. И. Зернов. - М.: Машиностроение, 1982. - 152 с.
