CC BY
54Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2019, 12(1), 41-63
yflK 681.327.12
Algorithm of Simultaneous Assessment of Functionally Related Aircraft Pricipal Axes and Clustered Air Target State Based on Linear Model with Markovian Structure
Alexander V. Bogdanova, Alexander A. Kuchin*a, Alexander Yu. Fedotova, Andrey A. Filonova and Andrey A. Skrynnikovb
aMilitary Academy of Aero-Space Defense named after the Marshal of Soviet Union G.K. Zhukov 50 Zhigareva Str., Tver, 170022, Russia bState Research Institute of Aviation Systems 7 Viktorenko Str., Moscow, 125319, Russia
Received 27.05.2018, received in revised form 16.08.2018, accepted 12.10.2018
The goals of functionally related aircraft principal axes filtration and clustered air target state identification are considered for the purpose of extended capabilities and increased accuracy characteristics of fighter onboard radars. The generalized model of clustered air target as random jump structure system is developed. Based on this model, the dynamic model of aircraft flight flying in case offormation mode and distance change is improved. The quasioptimal algorithm of phase coordinate and aircraft flight state simultaneous assessment is driven, including assessment of their formation mode and distance.
Keywords: clustered air target, identification, random jump structure system, dynamic model.
Citation: Bogdanov A.V., Kuchin A.A., Fedotov A.Yu., Filonov A.A., Skrynnikov A.A. Algorithm of simultaneous assessment of functionally related aircraft pricipal axes and clustered air target state based on linear model with markovian structure, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2019, 12(1), 41-63. DOI: 10.17516/1999-494X-0093.
© Siberian Federal University. All rights reserved
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0). Corresponding author E-mail address: [email protected], [email protected]
Алгоритм совместного оценивания функционально связанных координат и состояния групповой воздушной цели на основе линейной модели с марковской структурой
А.В. Богданова, А.А. Кучина, А.Ю. Федотова, А.А. Филонова, А.А. Скрынниковб
аВоенная академия воздушно-космической обороны им. Маршала Советского Союза Г.К. Жукова Россия, 170022, Тверь, ул. Жигарева, 50 Государственный научно-исследовательский институт
авиационных систем Россия, 125319, Москва, ул. Викторенко, 7
Рассматривается задача фильтрации функционально связанных координат и распознавания состояния групповой воздушной цели в интересах расширения функциональных возможностей и повышения точностных характеристик бортовой радиолокационной станции истребителя. Разработана обобщенная модель групповой воздушной цели как системы со случайной скачкообразной структурой. На ее основе усовершенствована динамическая модель полета звена самолетов на случай смены форм боевых порядков и дистанций в них. Получен квазиоптимальный алгоритм совместного оценивания фазовых координат и состояния самолетов звена, в том числе формы их боевого порядка и варианта выдерживаемых дистанций.
Ключевые слова: групповая воздушная цель, распознавание, система со случайной скачкообразной структурой, динамическая модель.
Введение
Анализ современных вооруженных конфликтов отмечает групповой характер применения авиации. При этом значительный вклад в эффективность истребителя при решении задач перехвата и уничтожения групповых воздушных целей (ГВЦ) вносят функциональные возможности и точностные характеристики его бортовой радиолокационной станции (БРЛС) по обнаружению, разрешению, сопровождению и распознаванию воздушных целей (ВЦ) различных типов и классов.
Под ГВЦ в рамках решаемой задачи понимается определенным образом функционально связанное в пространстве расположение средств воздушного нападения (самолетов, ракет, вертолетов, беспилотных летательных аппаратов), находящихся в главном луче диаграммы направленности антенны БРЛС истребителя и действующих по единому тактическому замыслу.
В работах [1-4] предлагается расширение информационных возможностей БРЛС за счет реализации на борту истребителя новых алгоритмов распознавания таких состояний ГВЦ, как ее численного и типового (классового) составов, функционального назначения самолетов в группе по принципу «ведущий - ведомый», формы боевого порядка (БП) (пеленг, клин и т. д.), характера ее полета по принципу «стационарный полет - маневр группой - маневр в группе»,
видов оказываемого информационного противодействия (уводящие по скорости и/или по дальности помехи), а также фактов и количества пущенных ракет.
Основу этих алгоритмов составляет многогипотезная многомерная линейная калманов-ская фильтрация [3], строящаяся на априорных сведениях в виде динамических моделей (ДМ) функционально связанных координат (ФСК) по двухэтапной схеме «прогноз - коррекция». При этом под ФСК понимают дальности до элементов ГВЦ, радиальные скорости и ускорения взаимного сближения самолетов группы и истребителя - носителя БРЛС, а также дистанции между самолетами в БП.
Однако примененная в вышеупомянутом подходе калмановская фильтрация имеет ряд ограничений:
не позволяет учитывать априорные сведения о динамике распознаваемых состояний ГВЦ, а как следствие, и возможность влияния ФСК на состояние ГВЦ;
не позволяет учитывать дополнительную статистическую взаимосвязь между ФСК и состоянием ГВЦ;
линейность моделей полета ГВЦ и БРЛС как системы наблюдения, положенных в основу синтезированных алгоритмов;
при решении задачи фильтрации не рассмотрены такие реальные динамические свойства измерителей, как инерционность, форсирование и запаздывание;
не рассматривается возможность комплексирования информации от индикаторов состояния ГВЦ;
не рассматривается возможность комплексирования информации от измерителей ФСК и индикаторов состояния ГВЦ (теплопеленгаторов, индикаторов помех, огневого противодействия и т. д.), отличных по физическим принципам от радиолокационных;
не позволяет учитывать влияние управления истребителем и его состоянием на ФСК и состояние ГВЦ.
В свою очередь, на практике имеет место:
возможность выявления и описания закономерностей смен различных состояний ГВЦ во времени;
зависимость численного состава ГВЦ, функционального назначения самолетов группы, формы ее боевого порядка, характера полета, вида помех, фактов пуска ракет, их количества и направления полета от радиальных дальностей, скоростей и ускорений;
ограничение допустимых диапазонов скоростей и ускорений летательных аппаратов, образующих ГВЦ, летно-техническими характеристиками их типов или классов;
ограничение возможных видов огневого и информационного противодействия, а также функционального назначения самолетов в группе их типами и классами;
наличие и возможность учета значительных нелинейностей в динамике фазовых координатах полета ГВЦ, в частности состоящих из сверхманевренных летательных аппаратов, и в БРЛС при измерении ФСК в условиях интенсивного информационного противодействия;
проявление в реальных измерителях инерционности, форсирования и запаздывания; возможность комплексирования измерений ФСК, получаемых от БРЛС, с показаниями индикаторов (например, информационного или огневого противодействия).
Отсутствие возможности учета этих особенностей при калмановской фильтрации в целом отрицательно сказывается на адекватности используемых при оценивании и распознавании моделей, а как следствие, снижает функциональные возможности и точностные характеристики БРЛС по сопровождению и распознаванию ВЦ различных типов и классов.
Возможным путем устранения отмеченных ограничений признано моделирование полета ГВЦ и смены ее состояний как системы со случайной скачкообразной структурой (ССС) и применение в «многогипотезном» подходе вместо фильтра Калмана рекуррентных алгоритмов [5], по отношению к которым линейная калмановская фильтрация является частным случаем.
Цель статьи - разработать алгоритм совместной фильтрации радиальных функционально связанных координат самолетов звена и распознавания формы их боевого порядка и варианта выдерживаемых дистанций в интересах расширения функциональных возможностей и повышения точностных характеристик бортовой радиолокационной станции истребителя по сопровождению и распознаванию групповых воздушных целей.
Для этого необходимо решить следующие частные задачи:
формализовать систему «ГВЦ - истребитель» как систему со ССС;
усовершенствовать ДМ полета звена самолетов как линейную систему с марковской структурой для случая смены форм БП и дистанций в них;
синтезировать квазиоптимальный алгоритм совместной фильтрации ФСК и распознавания состояния ГВЦ на основе линейной модели с марковской структурой и метода двухмо-ментной параметрической аппроксимации.
Групповая воздушная цель как система со случайной скачкообразной структурой
Под системой со ССС понимаются стохастические динамические системы, структура которых (т.е. состав элементов и связи между ними) имеют конечное число возможных состояний, сменяющих друг друга в случайные моменты времени [5].
Так, группу воздушных целей при решении задачи их совместного сопровождения-распознавания в БРЛС истребителя можно представить системой со ССС, в которой ФСК соответствуют фазовым координатам, а состояния ГВЦ - состояниям структуры системы.
Тогда под случайной скачкообразной сменой структуры понимается изменение численного состава ГВЦ (рис. 1) в результате отделения от нее самолетов или их поражения, смена форм боевого порядка (рис. 2), переход от стационарного полета к выполнению маневра в группе или составом группы, начало постановки помех, смена их вида (по скорости, по дальности) (рис. 3), изменение количества пущенных ракет (рис. 4), а также смена направления их полета по принципу «на меня» - «не на меня» (рис. 5), происходящие в случайные, заранее не известные моменты времени.
Функциональная схема совместного траекторного сопровождения-распознавания ГВЦ на основе модели со ССС представлена на рис. 6.
На вход обобщенного объекта управления, под которым понимается ГВЦ и противоборствующий ей истребитель - носитель БРЛС, кроме управляющих сигналов ик, вк поступают неуправляемые случайные возмущения £>к.
9ndk->2)
к
Рис. 1. Скачкообразнс^е рзменкниечислакногоносанааГВЦ:1 -звено; 2 - пара ; внизу, справа - граф состоянийГВЦ
Fig. 1. Spa^smodic change ofnumerical sfructoreofe^ttered airtairget 1 - link; 2 - pair; below, on the right -state graph effrouparrlarget
1 - клин
Рис. 2. Смана форма^аевогепертдкнГВЦ: 1 - ккип; 2 в пеаенг; в ; paM°
Fig. 2. Spasmodic change of a form of a fighting order of clustered air target: 1 - wedge; 2 - bearing; 3 - rhom-
к
Рис. 3. Смена внда информационного противодействия со стороны ГВЦ: 1 - помехи отсутствуют; 2 - ставихсд овхяищая по спорости помех-; П - ставивояувивнщая попальнонхипрмевп
Fig. 3. Spasmodic chnnge ofinformation counteraction from cluntered air target: 1 - títere are no interferences; 2 - a distraction that distracts by speed is set; 3 - an disturbship distractor is placed
Чк 1 xk > 4)
Рис. 4. Скачкообразное изменение количества пущенных ракет Fig. 4. Spasmodic change of quantity of the started-up rockets
Рис. 5. Скачкообразное изменение направления полета ракеты: 1 - «на меня»; 2 - «не на меня» Fig. 5. СсРвавоРЫч ohn-ge оКthy PiracKion о»fligh- оН га rockеt by the principle: 1 - "on me"; 2 - "not on me"
Состояние объекта «ГВЦ - истребитель» в дискретный момент времени характеризуется енкоорами в* и о*. Сослняние зц р« ik«беюдае—ст с помощнее БРЛС, иамюряющей ФСК, п нсотн-ом выходнаах сигналов ар к с оаманцаю индикртюлоа сосаоянииГВЦ с взатором е>н;^ юигна-
нЕяонн гк. айнформяюня о «аерсянаи «<ГВЦ - иакр»0ктель» , содержащаяся в сигналах zk, rk, является неполной и искаженной помехами Zu-
Оценивание текущего (мгновенного) состояния ГВЦ и истребителя как системы со ССС -это распознавание состояния их структуры 5к и оценивание ФСК xk на осноеании наблюдений 5 и л
Оазнк« ымян»аполягги Хе,~н фрльнрмции x к,$а и инеорлояяазаи ооЦц.,sa^k могут использо-ватьсядлявыработкисигналовуправления uu, Ok.
В задаче синтеза системы обработки информации предполагаются известными модели системы «ГВЦ - истребитель», системы наблюдения и управления, а алгоритм совместного траекторного сопровождения-распознавания подлежит определению. Так как зависимости ub
- 46 -
Обобщенный объект управления;
Рис. 6. Функциональная схема совместного траекторного сопровождения-распознавания ГВЦ на основе модели со ССС: ЧС - численный со став с ФН - функциональное назначение; БП - боевой порядок; ХП -характер полета; ТС - типовой аостав; КО - классовый состав; ПО - помеховая обстановка; РП - ракетное противодействие
Fig. 6. Function chart ofjoint trajectorymaintenancecrecognitionsofclusteredairtarget оn the basis of random jump structure model: ES-lhenTmberofoPOTle;HN-CnncBio-elpTryTse;BP-Kpttle order; HP - the nature of the flight; TC - typical composiato-;KS -nleaaromposition; ON-jnmmingennéroemgft; RP-rnnketcoen-teraction
вк от оценок ФСК и сосгеяния ГВЦпреи полаг;дни детерминированными ai aeoecngerM-i ч аоми оценки ищут в класпеачвирминир ованпыхаависимостеи отичЧшоденпиг^о/п^ас маеематиче-ские модели можно зап-скнь в следтющемвиде: для ФСК
fo+i (stt+i> хк > sk )' * = , (l) для измерений БРЛС
Ba+1 = ^(Л+Ъ^НЫо -к+1о o o ва o Zn ) o (2)
- m -
где k - дискретный момент времени; хк - вектор ФСК; sк - вектор состояний ГВЦ; гк - вектор измерений ФСК; гк - вектор индикации состояния ГВЦ; 4 - вектор возмущений, действующих на объект (дискретный белый шум); Ск - вектор помех измерению.
Размерность векторов равна соответственно пх, п„ п2, я„ п{, пс.
Возмущения £к и помехи Ск - последовательности векторных случайных величин, независимых при разных к.
Индекс состояния ГВЦ и выходной сигнал индикатора гк - условно марковские цепи с конечным числом состояний,заданные условными вероятностями переходов (графы состояний представлены на рис.3-50:
4еОе+1 К^е), (3)
( к + 1( +-+1 \Хк+1> 50+1, Хк, 5 к, 2 к, Гк )• (4)
Таким образом, влияние ик, вк в (1), (2) учтено с помощью функций фк(), ук(), а влияние возмущений и помех в РяВ (оВ з р помощью ф°нкций р(-) и — 15 нтятной фоума.
Для индикатора! состояния структуры хтргонорно принттио реФения по рнаультатзм за-блюдения без учета априорной снформтции (Р) о днсамоке яостовний ГВЦ.
Известны такжк:
фк() и ук() - векторные детермеивсооанныр футиоои длтзаЯзых тргумонтов; совместная функция распределения возмущений к помех
фе (Де Вн)» (5)
начальное совместное распределениевероятностей ФСК исостоянияГВЦ
/о ( \о О 50). (6)
Зависимость qk(•) от хк отражадт хот (.^о^т, что измененияхостояния ГВЦ се оекекс приих-ходят под влиянием ннешниххотимйнттис,»а изевизтт отФСК,чтоо срщеяс^чхе отражает «переход количествивгнчествт».
Как следует из (1)-(4) временная последовательность векторов мгновенного (текущего) обобщенного состояния ГВЦ и системы наблюдения
[ря о о 2я о И ]
является марковскимпроцессом.
Теоретическая особенность представления ГВЦ как системы со ССС в отличие от случая калмановского фильтрапри«многогипотезном»подходесостоитв следующем[5].
Несмотря на то что вектор состояния [хк, sk] марковский, поскольку фк() и ук() не зависят от вектора наблюдений [т,к, гк], его составляющие в отдельности (вектора ФСК хк и состояний ГВЦ sk) марковским свойством не обладают. Они являются условно марковскими: при фиксированном состоянии ГВЦ = /; вектор хк(/) - марковский процесс, а при фиксированном хк = ] индекс состояния ГВЦ sk(y) -марковскаяцепь.
В свою очередь, вектор наблюдения [рк, гк], как целиком, так и каждая его компонента в отдельности, представляют собой условные марковские процессы. Однако вектор состоя-
ния обобщенной системы «ГВЦ - индикатор - БРЛС» [хк, sk, гк, гк] является марковским, что обуславливает рекуррентную форм— алгор—тмов, удобнаю дляреасизации в БЦВМ истфе-бителя.
Таким образом, разработана в общем виде матемаяосеская модель (1)—(Д6) ГВЦ таг системы со ССС, позволяющая:
учитывать априорные сввденид о ддятмиве ранпоинаваемын состояний ДВЦ в зваиь^^з исаов-ных вероятностей пе]э^х^0,^0]в (И—
учитывать дополнительны. статисончесе) 10 кзеимосвязе междо ФСК исостояаием ГВЦ: в выражение (1) ФСК 0°+! ытвисят от мослотнив ЗТ'ЗЗЛб з^ ео е в вьвражнниз (3) вероятнрсти перехода qk() зависят от ФСК х^;
описывать в (1) и (В) ааданигм конкрвтнгго «идасовтвеоаматваофункций фк() и ук() нелинейные модели динамики ФСК и измерений БРВС;
отражать в (2), (Р)такиервальныединамическиесввйиявааемиивселей и индикаторов, как инерционность, форси(ование и напаядывание;
рассматривать ддполниррльодаю инфо(1мацию, аостуяающую ои индикатор)) со статистической характеристиаой а0) (ведоязногнию правильнерыложнол идянтнфнкации);
представлять в (2), (4) информацию, поступающум ои ыемериаелей ФСК и нндокаеоров состояния ГВЦ, отличных се физичесоам гцзвснацгизг^гиу!: ят ридсвлооасиотшб1й, и ймлаю зе последующего комплеосщлоаакия с идЛо°мацооО( зтгдавсемейБйЛС
Определение кнскрееных вви^аотв саедсомостос В1)_(6С позеолоев пояучить в^а орнаве известных результатов тетяси агсис'сгевза ло ССС [30] с(отз>(з опииоапиныв в- тросиопзимальнове аооср> рентные алгоритмы ока решения зтдочи еовлротноес оопроаождесит и роспоснертнит ГВЦ е БРЛС истребителя, лтливзющиас« пвммвоь.иеос^ноноЕи: торносфью.
Однако для этого нооЗхадимо усовершенствивать дянлмн—оиние модети, ртортботанныс для калмановской филенрации.
Динаиичоовгоя модель стационщоного полета ьа теиа
В работе [6] пряоедсна ДМ стесноннрногя асиита , опиеемаемаямледтю-
щей системой уравнений:
Vi(t) = Vo + AVt(t) ; (7)
V (0) = Д V V) = a, (t), Д V (0) = ДУ01; (8)
= a,(0) = аор (9)
d3(t) = Д V, ((it) - AV2 (t), d3 (0) = d12, (l0)
V2© = Vo + AV2(t); (11)
V(t) = A V (t( = а 2 (t), AV (0) = AV°2 ; (12)
a2 (t) = -a2a2(t)-p2AV2(t) + yd3(t), a^t/)) = a°o (13)
гдеVl(t), V и AVl(t) - скорость стационарного полета ведущего (ВЩ) самолета, ее постоянная и флюктуационная составляющие соответственно;
ДУ01 - начальное значение флюктуационной составляющей скорости ВЩ;
а^) и а01 - флюктуационная составляющая ускорения ВЩ и ее начальное значение соответственно;
а1, рь ст2а1 - параметры модели ВЩ, вычисляемые по формулам
а1 = 1/хь Р1 = (2п fl)2; ст2^ = ст2У1 (а21 + РО; (14)
т1, f1 и сту1 - соответственно время корреляции, частота и среднеквадратическое отклонение скоростных флюктуаций полета ВЩ;
п@) - формирующий белый гауссовский шум (БГШ) с нулевым математическим ожиданием и единичной интенсивностью (спектральной плотностью);
dз(t) - текущее значение выдерживаемой ведомым (ВМ) самолетом дистанции относительно ВЩ;
d1 2 - заданная дистанция, выдерживаемая ВМ самолетом относительно ВЩ;
У2© и ДV2 - скорость стационарного полета ВМ и ее флюктуационная составляющая соответственно;
ДУ02 - начальное значение флюктуационной составляющей полета ВМ;
а2© и а02 - флюктуационная составляющая ускорения ВМ и ее начальное значение соответственно;
а2, у - параметры ДМ полета ВМ, вычисляемые по формулам
а2 = X (сту1 + Дст) / 4©; у = р2 а2 / К; (15)
р2, Дст и К - параметры ДМ полета ведомого самолета, зависящие от заданной для выдерживания ВМ дистанции d1)2;
р2 - квадрат частоты скоростных флюктуаций ВМ;
Дст - приращение среднеквадратического отклонения скоростных флюктуаций ВМ относительно среднеквадратического отклонения скоростных флюктуаций сту1 ВЩ;
К - коэффициент устойчивости управления ВМ при выдерживании им заданной дистанции.
Под стационарностью полета звена в настоящей работе понимается постоянство детерминированной составляющей У) радиальных скоростей взаимного сближения самолетов группы с истребителем - носителем БРЛС.
Структура описанной ДМ представлена на рис. 7.
Недостатком данной ДМ стационарного полета пары самолетов является отсутствие возможности с ее помощью адекватно описать стационарный полет звена из четырех самолетов с учетом динамики смены форм БП и задаваемых для выдерживания дистанций между самолетами группы.
Данная неадекватность негативно влияет на качество разрабатываемых алгоритмов сопровождения ВЦ и распознавания функционального назначения самолетов группы по принципу «ведущий - ведомый» и формы их БП, а также на качество моделирования таких алгоритмов с целью получения их характеристик.
При этом выражения (7)-(15) недостаточны для применения аппарата теории систем со ССС.
Рис.7. Структура модели с тационарногополетапарысамолетов Fig. 7.Structure of model ofstationory flightofc ouple of planus
Динтмическаямоделопалееа зв ена еосменой формНартыопорядковидирттнций поила
С целью ч^^'^^ано^р^сс отмеченноВ неорс^^£1тности OHM стационарного потото пары отмаред тов обобщена на случай поле тазвена сзчеты рех самолетон,ат акжл в ней тчтена аизможно сть смены форм БП и выдерживаемых дистанций между самолетами группы. Пррдлагарпрдмоделттароипснприо ледующихдокнщссив х:
— i^O^^^^^1 полет а ГВЦв одшИ фдемм БП звaнирилрoо о oлрoлнoпид времс ви пмрсовроепвяв
форму БП;
- время полетазвенапаавыдерживании его самолетами одного варианта заданных дистанций значительно превосаорит время наборе эземи намоветама нтоого варранта кис-танций.
Сделанные допущения позволяют моделировать смены форм БП и вариантов выдерживаемых дистанций меж^самаиваам и группы случайными скачкообразными процессами.
Усовершенствованная ДМ стацаанартого полета звена опмтнелат описывается зооовщи-ми выражениями:
для ФСК (фазовых координат)сизтеоойиллоааний
V^bVo+AV^); (16)
= a
01'
4(1 ) = ДУХ (-) = (), ДУТОМУ,»; а!() = -да^-р^-^) д2}^), а^О) ¿т;,; (I) = Д Ут 1 )а) - Д X ()+ ( 1,1 )0) = а) т1,1; ^ (1) = У0+Дт1 (а); )Д1 (() =ДУ. (() = а;(() АЛ^.(о)= ДУ01;
Д; (() = -ауД1 ()-Р^Д()+а1 (0) = а°;
1 =2,3,4; ш; = 1, 2,3, т = (т2,тз,т4), ] = для смены форм БП звена и вариантов выдерживаемых дистанций (структуры звена)
(17)
(18)
(19)
(20) (21) (22) (23)
W = tk + min{rh^,f: j ф h,,}, h
ТьЛ' T ~Exp{ Xl}};
j : j ' hkJ , hk+1 = arg mm{rhk,
Jф ht
xn +1 = xn + min{ 14^j : j ф rn}, rn+1 = arg min^}}, rji, ~ Exp{ } ;
j*r„
Si(t) =
h0,t0 < t < ti; hi,ti < t < t2;
s^(t) =
hk,tk <t <t
k+1'
r0,x0 < t < X1; ri,xi < t < X2;
rn, Xn < t < tn + 1;
(24)
где наряду с ранее введеннымиобозначениями,
У(0 - радиальная скоростььгосамолетазвена относительно БрЛС(т=1сооырнтсооуео ВЩ);
у флюктуационная состовуоющая кадиальной скоростиьго самолета звена; а© - радиальное ускорение ьто самолето звена относитетьоо носитсро БРЛС; dшima) - текущее значение дистанции между 1-м и шгм самолетами;
<С,т;к(а) -о заданная длк выдертисонии дистанция между 1-м и т1-м самолетами, соответ-ствующая]-му варианоу ных дистанций;
У0>Рч,Уч, - коэффициолты дл я 1-го самолета звена при _|-м варианте заданных дистанций;
0iij = K ij (Civi + Да^)/ djm., i; Yij = в ij a ij / K j
(25)
а01, Ашт,о, аv0i, ай, - начальные значения соответственно флюктуационнойсоставляющей скорости ВЩ, ускорения ВЩ, заданной дистанции между 1-м и т1-м самолетами, соответствующей >му варианту заданных дистанций, флюктуационной составляющей скорости ьгоВМсамолета,ускорения ьгоВМсамолета;
1 -условныйпорядковыйномер ЛАвзвене(1 = 1соответствует ВЩ); т1 - условный порядковый номер ЛА, относительно которого выдерживает заданную й^Ш1)1(а)дистанцию1-йсамолетзвена;
т = (т2, т3, т4) - вектор, задающий форму БП (например, для БП «пеленг» т = (1,2,3), а для - «клин» т = (1,1,3));
^ - случайные моменты смены формы БП звена;
^ - номер индекса формы БП (1 - пеленг, 2 - клин), в который звено перестраивается в момент
X ~ р,(0) - начальное значение формы БП, заданное рядом распределения р,(0);
ту ~ Ехр{Ху} - случайные интервалы времени между сменами форм БП звена, распределенные по экспоненциальному закону с параметрами Ху (Ху - интенсивность перестроения звена из ,-й формы БП в у-ю);
s1(t) - марковский случайный скачкообразный (импульсный) процесс смены форм БП;
хк - случайные моменты смены задаваемых для выдерживания дистанций при ^-й форме БП звена;
гк - ном ер варианта задаевамых длнвещержндания диет анциНприБк-й фовме БП звена, на которыйв момннтхкмтняется теку щий вариант;
У ~ qi(0) - начальное значение варианта задаваемых для выдерживания дистанций, заданное рядом распределения q¡ (0);
Цу ~ Еы^/ы,-,-} - ны° чайный тнтервтзы времени между именами нариннтыв задаваемых для выдемжывБниа нтмеанций, нылеределднные и^ы, эеспонендиальному закону с параметрами ^у (р.у - интенсивность замены ¡-го варианта задаваемых дистанций на у-й);
s2(t) - марковский случайный скачкообразный (импульсный) процесс смены вариантов вы-даиживаемыа дистанций.
Коэффициенты аь щ и ввличыбв характеризуют соответственно ширину спектра и дис-персиюускоренияведущего самолета.
Коэффициенты р^, ограничивающие рост дисперсий скоростей во времени, зависят от типа объектаиусловий движения.
Структурная схема разработанной ДМ представлена на рис. 8. Так, в структуру известной модели добавлены два вычислителя скорости ведомых самолетов, два вычислителя дистанций, вычислитель формы БП звена, вычислитель варианта выдерживаемых дистанций и переключатель структуры модели. Помимо этого, в блок памяти добавились распределение р,(0) начальной формы БП звена, распределение q¡(0) начальных вариантов, задаваемых для выдерживания дистанций, интенсивности Ху и Цу соответственно перестроения звена в различные формы БП и смены вариантов дистанций, начальные значения скоростных флюктуаций ДУ03 и флюктуаций ускорения а03 третьего самолета, начальные значения скоростных флюктуаций ДУ04 и флюктуаций ускорения а04 четвертого самолета; блок выбора параметров ДМ расширился для хранения параметров полета ведомых самолетов рч, р^, рф Дст. и К^, для различных вариантов у, заданных для выдерживания БП дистанций dj ш.,2, dj ш.,3, dj ш.,4; вычислитель параметров ДМ дополнительно стал рассчитывать аф уф а^, Y3j, а2j, y2j, также зависящие от вариантов у, заданныхдлявыдерживания БПдистанций.
Для проверки функционирования разработанной ДМ рассмотрен частный случай смен форм БП «пеленг» и «клин» и трех вариантов задаваемых дистанций.
При этом система дифференциальных уравнений (17)-(19) и (21), (22), описывающих полет звена в векторно-матричной форме, примет следующий вид:
= А(s)Х=( + в'NN(6), Х(0) = Хо, (26)
где X^) = (А VI,V <азА, ЬУА,а4)Т - вектор фазовых координат
звена;
т
N^) = ^2,п3,/?4,п5,/76,/?7,п8,/79,/710,пп) -матрира формирующих БГШ с нулевыми средними значениями и единичнымиинтенси-н-стями;
4 (л) - матрица коэффициентов, зависящих от формы БП и задаваемых дистанций; G' - матрица коэффициентов размерности 11р 11, тмеющаяслеррющийнерулевойэле-мент:
g 22=72^; (27)
Х0 - начальное значение вектора фазовыхкоординат.
Отличительной теоретической особенностью матричного уравнения (26) от представленного в [3] является зависимость коэффициентов матрицы 4(5) от состояния 5 структуры звена самолетов (рис. 9), что обуславливает наличие не одной матрицы, а такое их количество, кото-
Рис. 8. Сттуктура модели атационарного попета звена со кменой ф орм КПП и выдержикаемых между самолетами гиулты дистарцее
Fig. 8. 8!тиС: иге оГто (Се1 оПеОайопагу о! а Нпк \vith сИап ge оПТогтеСсоп тоё е 1е1се сИпОапсег по г^атеё НтОхаееп р1ааеэ о оТ д^г^оир
{ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ^
-ßx -а, 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 \r2i -Ai 0 0 0 0 0 0
■ 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 Ун - ßr, - a3i\ 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
1 о 0 0 0 0 0 0 0 -Äi -«4/|J
Рис. 9. Обобщенный вид мат рицы коэффициентов Fig. 9. Generalized view of a matrix ofcoefficients
рое соответствует числу всевозможных наборов сменяемых состояний структуры звена, для рассматриваемогочастного cnnc^^^ii^^ их число равно шести (по коиичеству вариантов форм БП и задавасмыхдистанций).
Послл певехоца от непрерывного времени к дискретному уравнение (26) примет вид
Х(к + 1) = Ф())X(k)+GN(k), X(1) = X0, (28)
где Ф(в) - переходнаяматрноа достоенвя,дявисящяяоя фор мы ВП и дадаврсмывдистан-
G - матрицт коэффициентов рстмерности ll—l;
N (() = (n ((Тв N (()в пз (()в (()в П ((к пе (()в Пу ((к П ((), % ((), П о (()в n 1 1 ((к)ТГ - матрица центрированныхдискретныхБГШ сединичными дисперсиями.
Для нахождения матрицы Ф(в) необходимо решить следующее дифференциальное уравнение, полученное из(26)опутканием сву чайного в латаемого:
е^ее = ФШ)2Д(0,ло(0к=вд).
at
Решением этого уравнения является матричная экспонента, онределяемая матричным степенным рядом
Ф(s) = exp{A(s)T} = I + А(s)T + + А(s)T3 + ..., (29)
где / - единичная матрица; T -интервалдискретизации.
В результате согласования определения дискретного БГШ при переходе в выражении (26) от непрерывного времени к дискретному (28)матсица G Ирдет иоеть слодующий отличнишот нуля элемент:
g 22 = ^а^Г.
Моделирование стационарного полета звена из четырех самолетов со сменой форм БП и задаваемых для выдерживания дистанций между самолетами группы проводилось при следующих исходных данных.
1. Сменяемые формы БП - «пеленг» / «клин».
2. Сменяемые вариантызадаваемыхдистанций:
- 55-
1-й вариант - dl ш 2 = dl ш 3 = dl ш 4 = 60 м;
2-й вариант - d2 ш., 2 = d2 ш., 3 = d2 ш., 4 = 200 м;
3-й вариант - d3 ш 2 = d3 ш 3 = d3 ш 4 = 400 м.
3. Начальное распределение вероятностей р1(0) = р2(0) = 0,5 форм БП.
4. Интенсивности Л12 = 0,01 с-1, Л21 = 0,007 с-1 перестроения звена соответственно из БП «клин» в БП «пеленг» и обратно.
5. Начальное распределение вероятностей ^(0) = 0,2, д2(0) = 0,3, q3(0) = 0,5 вариантов, задаваемых для выдерживания дистанций.
6. Интенсивности /12 = 0,0067, /13 = 0,0059, /21 = 0,0071, /23 = 0,0053, /31 = 0,0063, /31 = 0,0067 смены вариантов, задаваемых для выдерживания дистанций.
7. Постоянная составляющая скорости полета звена - V = 200 м/с.
8. Реальные численные значения характеристик скоростных флюктуаций ведущего самолета: т1 = 5,32 с; Г = 0,1 Гц; су1 = 0,12 м/с.
9. Для ВЩ рассчитаны параметры: а1 = 0,188 с-1; р1 = 0,394 рад2 с-2; оа1 = 0,079 м/с.
10. Для вариантов задаваемых дистанций 60/200/400 м выбраны значения параметров ДМ ведомых самолетов в соответствии с табл. 1.
11. Шаг дискретизации - Т = 0,2 с.
12. Число итераций - п = 1000.
13. Моделирование проводилось при нулевых начальных условиях флюктуаций ведущего и ведомых самолетов звена, т. е.
ДУ(0)=^2(0)=^3(0)=^4(0)=0, а1(0) = а2(0) = а3(0) = а,(0) = 0.
Результаты моделирования одной реализации представлены на рис. 10-14.
Проверка полученной модели осуществлялась путем нахождения автокорреляционной функции (АКФ) ускорения ведомого самолета при варьировании параметрами его модели (рис. 15-20) для частного случая пары самолетов и фиксированных форме БП и варианте выдерживаемых дистанций. Характер полученных зависимостей не противоречит результатам летно-экспериментальных исследований [7].
Таблица 1 Table 1
№ самолета Вариант дистанций
1 - 60 м 2 - 200 м 3 - 400 м
2 а21 = 0,1 с-1 ßi = 0,2 рад2с-2 у21 = 0,01 рад2 с-3 а22 = 0,216 с-1 ß22 = 0,47 рад2с-2 у22 = 0,017 рад2 с-3 а23 = 0,25 с-1 ß23 = 0,6 рад2с-2 у23 = 0,001 рад2 с-3
3 а31 = 0,2 с-1 ß31 = 0,3 рад2с-2 у31 = 0,02 рад2 с-3 а32 = 0,256 с-1 ß32 = 0,57 рад2с-2 у32 = 0,027 рад2 с-3 а33 = 0,3 с-1 ß33 = 0,7 рад2с-2 Y33 = 0,002 рад2 с-3
4 а41 = 0,3 с-1 ß41 = 0,4 рад2с-2 у41 = 0,03 рад2 с-3 а42 = 0,296 с-1 ß42 = 0,67 рад2с-2 у42 = 0,037 рад2 с-3 а43 = 0,4 с-1 ß43 = 0,8 рад2с-2 у43 = 0,003 рад2 с-3
Рис.10.СменыформБП Fig.10.Changes ofthe formationmodeforms
Рис. 11. Сменывариантовдистанций Fig. 11. Changesofthesetoptionsofdistances
Рис. 12. Зависимость выдерживаемых дистанций в БП звена от времени
Fig. 12. Dependence of the maintained distances in link formation mode from time
Рис. 13. Зависимость флюктуационных составляющих ускоренийсамолетовот времени
Fig. 13. Dependence of flyuktuatsionny components accelerations of planes of a link from time
Рис. 14. Зависимость радиальных скоростей самолетов звена от времени Fig. 14. Dependence of radial speeds of planes of a link on time
Таким образом, усовершенствована ДМ полета четырех самолетов для случая смены форм БП и дистанций в них, что позволяет повысить адекватность моделирования полета ГВЦ и получить новый квазиоптимальный алгоритм совместного сопровождения и распознавания ГВЦ в БРЛС истребителя, отличающийся повышенной точностью.
RJ
Рис. 15. Семейство АКФ ускорения ведомого самолета при варьировании параметром а2 от 0,138 до 0,238 с шагом0,01
Fig. 15. Autocorrelated function of acceleration of the conducted plane at variation by parameter from 0,138 to 0,238 with a step 0,01
Рис. 16. Семейство АКФ ускорения ВЩ самолета при варьировании параметром р2 от 0,245 до 0,545 сшагом0,03
Fig. 16. Autocorrelated function of acceleration of the leading plane at variation by parameter from 0,245 to 0,545 with a step 0,03
R.(t)
"600 5 10 15 20 25 t
Рис. 17. Семейство АКФ ускорения ведущего самолета при варьировании параме^ю м у2 от - 0,015 до 0,015 с шагом 0,003
Fig. 17. Autocorrelated function of acceleration of the leading plane at variation by parameter from - 0,015 to 0,015 with a sOep 0,003
Алгоритмсовместнойфильтрации функциональносвязанныхкоординат и распознаваниясостояниягрупповойвоздушной цели на основе линейной модели с марковской структурой
Рассмотрим частный случай модели (1)-(4), когда динамика ФСК иБРЛС пра ихизкерении описываются лонайными ураонениямк, а сменд состояний ГВЦ и индикааор - карковсод-ми цепями, вероятносфиперехооа котарыо не зависят от фаиомык коороинат.
Тогдавыражения(1)-(4) примурслеруюацийвио[У]: для динамики ФСК
хк+ц = A +ц, sk )хк + Fk (sk _+ц, sk )¿;k, (30)
дляихизмеренийв БРЛС
= Ск (Sfc )Хк + Ek (Sfc )Zk, (31)
для динамики состоянийГВЦ
Чк (^+11 хк, 8к) - ук ^к+11 як),
для идентификации состояния ГВЦ на основе«многогинотезного»подхода
(32)
пк+Лгк+i1 rk, sk+i)
(33)
при известномзаконе рас преде ле ния (5) возмущение и по мех изаданных яоно льных условонх (6), где Лк(яш,як), Fk(sk+1,sk), Ck(sk), £,k(sk) - известные матрицы детерминированных функций случайных аргументов и
Отметим, что дьх о-шени- плстино зодычи распозналлниы фермы ДПЬ евыяа и нхрианта выдерживаемых в; нем дисттнциД хырыжению (30) сооовытствует дряель (28) или эквиваиентыая ейелтовмвуравноныр (]Х)и(НЗ), впоы(33)можев полиосться веатисти-ческая харарьевысьткоиняикформы БП, оыдичневспе принцииам фтнкциониродаоия от «многогипотезногы».
Тогда на основе известных результатов теории систем со ССС с использованием методо двухмоментной параметрической аппроксимации [5] применен я в качестве индикатора состояния ГВЦ (структуры) многогипотезного оценивания [3] алгоритм квазиоптимальной совместной фильтрации ФСк и спознаван я состояния ГВЦ, а в частности формы БП варианта выдерживаемых внем дистанций, примет вид (рис. 18)
Pk+1 (sk+1 В -
(34)
хк+1 (^+i) = ft*C)k+i)^qk(s k+1 I sk)Pk (S))Ak (sk+1 ,sk)xk (sk ),
(35)
Rk+1 (Sk+i) - ~k 11 )s=+1 к (sk+i 1 sk )pk(sk) W (sk+1, sk )Rk (sk)Ak ( sk+1, sk) +
+ Fk (sk+1 , sk )GkFk (skk+1, sk + + [xk (sS-1) Ak (sк+1, slc1)X( (sk )] x
(36)
(37)
Ak+1 к+1 Rk+1 (sk+1 )Ck+1 (sk+1)®-+1(sk+1) ^к+1 (sk+1) ,
(38)
лк+1 S+1) = лк+1 (Sk+1) - Rk+1 (Sk+1 )Q+1 (Sk+1 )®-+1 (sk+1 )Ck+1 (sk+1)Rk+1 (sk+1) , (39)
с учетом введенных обозначений
а+^ш) = Pk+1(sk+1 к (rk+11 rk, Sk+1)[det ®k+1(Sk+1)] 1/2 exp[-^k+1 (Sk+1 ® k+1 (sk+1) = Ck+1 (sk+1 )Rk+1 (sk+1 )Ck+1 (sk+1) + Ek+1 (sk+1 )Qk+1Ek+1 (sk+1) ,
h(sk+1) = 2 4+ (Sk+1Э-+1 (sk+1)Ak+1(sk+1) >
^ k+1 (sk+1) = Zk+1 - Ck+1(sk+1)X (sk+1) >
Рис. 18. Структурная схема квазиоптимального алгоритма совместной фильтрации ФСК и состояния ГВЦ Fig. 18. Block diagram of quasioptimal algorithm of phase coordinate and clustered air target state
где р ++)) и /¿++((¿+1) - со ответственно прог но зируемая на один шаг дискретностивпе-ред и апостерзорнаявероятносив нахождения ГВЦ в состоянии ;
и ХожИНеи) - соответствхоио прогнозирусмаона одив ш,аг дискретностввпе -ред условная оценка и апостериорное усиевное мутоматичатооа ожидание (МО) ФСК ори фиксированном состоянии ГВЦ;
Ла+1 (%+1) и &к+1(ак+1)) _ ооответственно п;р<^:гнозируенаая нн один шаг дискретности вперед и апостериорная условные ковариационные матрицы (КМ) вектора ФСК при фиксирован-номсостоянииГВЦ;
Gk, Qk - КМсоответствууно вгктороо шумов ввеууждении . х помик (и
©мС^+О - условная КМ иомеренот прр фоарервврнном рссооении НВО-
Приэтом идентификация оавпознанвюга сосзоянив ГНЦ п бедусловные оценки ГНК и Rk вычисляютсяпоформулаус:
оптимальнаяпокритерию моксимуиа ахоскортортой веровттдсте ацеяки состояния ГВЦ
Гк = аг8таосГсРо ); (соа
математическое ожиданиеФСК
^Х^ЫрЫ; (41)
ковариационная матрица ФСК
НкнТ, [Н<Шк3 -и Од X 0ОВ ^Я 3] РО* 3 - ОЯОШ . (42)
С
Результаты моделирования [8, 9] аналогичного алгоритма, основанного на моделях со ССС, в задаче оценивания дальности при сопровождении маневренной воздушной цели в сравнении с алгоритмом, основанным на линейной калмановской фильтрации, свидетельствуют о повышенииточностифильтрации.
Заключение
Таким образом, разработан алгоритм совместной фильтрации радиальных функционально связанных координат самолетов звена и распознавания формы их боевого порядка и вари-антавыдерживаемыхдистанций.
Для этого построена обобщенная модель системы «ГВЦ - истребитель» как системы со случайной скачкообразной структурой, позволяющая устранить ряд ограничений линейных моделей при калмановской фильтрации и применять результаты теории систем со ССС в ин-тересахсовершенствованияалгоритмовсовместногооценивания ФСК исостояниягрупповой воздушнойцели.
Усовершенствована динамическая модель полета звена самолетов для случая смены форм БП и дистанций в них. Новым признаком, обладающим существенным отличием, является случайная и скачкообразная смена структуры модели, которая позволяет повысить адекватность описаниядинамикиполетаГВЦ.
-Г-
Синтезирован алгоритм совместной фильтрации ФСК и распознавания состояния ГВЦ на основе линейной модели с марковской структурой, отличающийся от известных использованием дополнительных априорных сведений о динамике распознаваемых состояний ГВЦ, а также комплексированием информации, поступающей от измерителей и индикаторов.
В совокупности реализация полученных результатов на борту истребителя позволит расширить функциональные возможности БРЛС и повысить ее точностные характеристики по сопровождению и распознаванию групповых воздушных целей.
Дальнейшим направлением исследований по оптимальной обработке информации о ГВЦ в БРЛС истребителя является синтез на основе моделей со ССС и с учетом перспективных алгоритмов [8-11] системы оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов совместного траек-торного сопровождения ГВЦ и распознавания таких ее состояний, как численный и типовой (классовый) составы, характер полета по принципу «стационарный полет - маневр группой -маневр в группе», вид оказываемого информационного противодействия, а также количество пущенных ракет.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-08-00464а).
Список литературы
[1] Богданов А.В., Бондарев В.Н., Васильев О.В., Гарин Е.Н., Закомолдин Д.В., Корот-ков С.С., Лютиков И.В., Ляпоров В.Н. Синтез оптимальных алгоритмов распознавания групповых воздушных целей в радиолокационных системах воздушного базирования. Журнал СФУ. Техника и технологии, 2017 10(2), 155-168. [Богданов А.В., Бондарев В.Н., Васильев О.В., Гарин Е.Н., Закомолдин Д.В., Коротков С.С., Лютиков И.В., Ляпоров В.Н. Synthesis of optimum algorithms of recognition of group air targets in radar-tracking systems of air basing. Journal of SFU. Engineering and technologies, 2017 10(2), 155-168. (in Russian)]
[2] Богданов А.В., Коротков С.С., Кучин А.А., Бондарев В.Н., Лютиков И.В. Концепция распознавания воздушных целей в авиационном радиолокационном комплексе. Журнал СФУ. Техника и технологии, 2016 9(3), 320-331. [Богданов А.В., Коротков С.С., Кучин А.А., Бондарев В.Н., Лютиков И.В. The concept of recognition of air targets in an aviation radar complex. Journal of SFU. Engineering and technologies, 2016 9(3), 320331. (in Russian)]
[3] Богданов А.В., Голубенко В.А., Княжев А.И., Филонов А.А. Алгоритм совместного траекторного сопровождения-распознавания функционального назначения самолетов, летящих в сомкнутом боевом порядке. Системы радиоуправления. М.: Радиотехника, 2018 5, 169174. [Богданов А.В., Голубенко В.А., Княжев А.И., Филонов А.А. Algoritm of joint trajectory maintenance recognition of functional purpose of the planes flying in a close fighting order. Systems of radio control. M.: Radio engineering, 2018 5, 169-174. (in Russian)]
[4] Богданов А.В., Филонов А.А., Ковалев А.А., Кучин А.А., Лютиков И.В. Методы самонаведения истребителей и ракет класса «воздух-воздух» на групповую воздушную цель. Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2014. 168 с. [Богданов А.В., Филонов А.А., Ковалев А.А., Кучин А.А., Лютиков И.В. Methods of homing offighters and rockets of the class «air-air» on a group air target. Krasnoyarsk: Siberian federal university, 2014. 168 p. (in Russian)]
[5] Бухалев В.А. Оптимальное сглаживание в системах со случайной скачкообразной структурой. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 188 с. [Bukhalev V.A. Optimum smoothing in systems with casual spasmodic structure. M.: FIZMATLIT, 2013. 188 p. (in Russian)]
[6] Богданов А.В., Закомолдин Д.В., Иванов И.М., Миронович С.Я., Мухаммад Ф.Н., Си-даченко К.Ф. Распознавание характера полета пары самолетов в РЛС на основе калмановского подхода, Материалы XXV науч.-техн. конф. «Обработка, передача и отображение информации о быстропротекающихпроцессах», М.: РПА «АПР», 2014, 98-104. [Богданов А.В., Закомолдин Д.В., Иванов И.М., Миронович С.Я., Мухаммад Ф.Н., Сидаченко К.Ф. Recognition of nature of flight of couple of planes in radar station on the basis of kalmanovsky approach, Materials XXV of conference «Processing, transfer and display of information on the fast-proceeding processes», M.: RPA «APR», 2014, 98-104. (in Russian)]
[7] Богданов А.В., Филонов А.А., Ибрагим А.К. и др. Методы распознавания одиночных и групповых воздушных целей в наземных радиолокационных системах на этапе оценки воздушной целевой обстановки. Тверь: ВА ВКО, 2012. 92 с. [Богданов А.В., Филонов А.А., Ибрагим А.К. и др. Methods of recognition of single and group air targets in land radar-tracking systems at an evaluation stage of an air target situation. Tver: WA VKO, 2012. 92 p. (in Russian)]
[8] Шатовкин Р.Р., Данилов С.Н. Алгоритм оценивания дальности при сопровождении маневренной воздушной цели на основе модели со случайной скачкообразной структурой. Системы радиоуправления. М.: Радиотехника, 2018 5, 30-36. [Шатовкин Р.Р., Данилов С.Н. Algoritm of estimation of range at maintenance of a maneuverable air target on the basis of model with casual spasmodic structure. Systems of radio control. M.: Radio engineering, 2018 5, 30-36. (in Russian)]
[9] Данилов С.Н., Шатовкин Р.Р. Сопровождение маневрирующей цели при подавлении канала измерения скорости. Системы радиоуправления. М.: Радиотехника, 2018 5, 37-40. [Данилов С.Н., Шатовкин Р.Р. Maintenance of the maneuvering purpose at suppression of the channel of measurement of speed. Systems of radio control. M.: Radio engineering, 2018 5, 37-40. (in Russian)]
[10] Богданов А.В., Васильев О.В., Филонов А.А., Жиронкин С.Б., Кучин А.А., Черва-ков В.О., Лютиков И.В., Анциферов А.А., Когтин А.В. Обнаружение и распознавание пущенной противником ракеты в бортовой радиолокационной станции истребителя. Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2015. 160 с. [Богданов А.В., Васильев О.В., Филонов А.А., Жиронкин С.Б., Кучин А.А., Черваков В.О., Лютиков И.В., Анциферов А.А., Когтин А.В. Detection and recognition of the rocket which is started up by the opponent in onboard radar station of the fighter. Krasnoyarsk: Siberian federal university, 2015. 160 p. (in Russian)]
[11] Богданов А.В., Закомолдин Д.В., Лютиков И.В., Бондарев В.Н., Кочетов И.В., Федотов А.Ю., Докучаев Я.С., Черваков В.О. Метод повышения помехозащищенности бортовой радиолокационной станции истребителя. Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2018. 182 с. [Богданов А.В., Закомолдин Д.В., Лютиков И.В., Бондарев В.Н., Кочетов И.В., Федотов А.Ю., Докучаев Я.С., Черваков В.О. Method of increase in noise immunity of onboard radar station of the fighter. Krasnoyarsk: Siberian federal university, 2018. 182 p. (in Russian)]
