CC BY
33
УДК 517.9
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ШОУОЛТЕРА -СИДОРОВА ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА
А.В. Келлер
THE ALGORITHM FOR SOLUTION OF THE SHOWALTER -SIDOROV PROBLEM FOR LEONTIEF TYPE MODELS
A.B. Keller
Работа посвящена задаче Шоуолтера - Сидорова для моделей леон-тьевского типа. Представлен алгоритм решения этой задачи в виде блок-схемы программы, написанной на языке C++. Представлены результаты вычислительных экспериментов для моделей леонтьевского типа.
Ключевые слова: задача Шоуолтера - Сидорова, модели леонтьевского типа, алгоритм программы.
The paper is devoted to the Showalter - Sidorov problem for Leontief type models. We describe an algorithm for that problem as flowchart of programme written by C++. The experimental results for Leontief type models are presented.
Keywords: the Showalter-Sidorov problem, Leontief type models, an algorithm of programm.
Введение
Пусть Ь и М - квадратные матрицы порядка п, причем (1еЛЬ = 0. Будем рассматривать задачу Шоуолтера - Сидорова
(аЬ - МУ1 ьУ {и(0) -«о) =0 (0.1)
для вырожденной системы уравнений
Ьй = Ми + /, (0.2)
где Я^(М) — (аЬ — М)~1 Ь - правая ¿-резольвента матрицы М, в отличие от ее левой Ь -резольвенты Ь^, (М) — Ь(аЬ — М)~1, а / : [0,Т] —> Мп - некоторая вектор-функция
(здесь и далее терминологию см. в [1]. Одним из важных случаев системы (0.2) являет-
ся динамическая балансовая система В.В. Леонтьева «затраты-выпуск» с учетом запасов (см. в [2]), поэтому в [3] было предложено такие системы уравнений называть «системами леонтьевского типа». При решении конкретных прикладных задач, сводящихся к системам леонтьевского типа, полученную модель будем называть моделью леонтьевского типа.
В [3] предложен алгоритм решения задачи Коши п(0) = и о для системы леонтьевского типа (0.2). Несмотря на высокое качество программного продукта, основным недостатком этого алгоритма является ограничение на размер матриц, входящих в состав системы. Это ограничение обусловлено необходимостью построения множества допустимых начальных значений, понимаемых как фазовое пространство системы (0.2), и наложением условия согласования ¡{1) с начальным значением щ. Рассмотрение в качестве начальных условий
(0.1) позволит избежать этих трудностей. Именно поэтому начальные условия Шоуолтера
- Сидорова рассматирваются при исследовании различных прикладных задач [4-6]. Основная цель данной статьи - построение алгоритма численного решения задачи Шоуолтера
- Сидорова в виде блок-схемы. Статья состоит из введения и трех параграфов. В первом приводится теорема о численном решении задачи Шоуолтера - Сидорова и основных этапах алгоритма, во втором - блок-схема алгоритма, в третьем - результаты численных экспериментов для двух моделей леонтьевского типа.
1. Численное решение задачи Шоуолтера - Сидорова
Пусть Ь и М - квадратные матрицы порядка п, причем (1еЛЬ = 0. Следуя [7], гл. XII, п.2, пучок матриц рЬ — М назовем (Ь, р)-регулярным, если существует число А € С такое, что ёеЬ(ХЬ-М) ф 0 и оо - полюс порядкар 6 Ни{0}. Заметим, что условие (£,^-регулярности пучка матриц эквивалентно условию (Ь}р)-регулярности матрицы М [8]. Решением системы (0.2) называется вектор-функция щ € С1 ((0; Т); М") ПС([0;Т];Е11) , удовлетворяющая уравнениям системы. Решение системы (0.2) называется решением задачи (0.1), (0.2), если оно вдобавок удовлетворяет условию (0.1). Имеет место
Теорема 1. [[1], гл.4] Пусть матрица М (Ь,р) -регулярна, вектор-функция / : [0,Т] —►
Ср ([0; Г]; М"). Тогда при любом щ £ К” существует единственное решение задачи (0.1), (0.2), которое к тому же имеет вид
контур 7 = {р Є С : \р\ = г > а} .
Контурные интегралы не очень удобны в численных расчетах, поэтому в [3] предложен другой подход, основанный на аппроксимациях типа Уиддера-Поста [[1], гл. 2]. Именно справедлива
Теорема 2. Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, зафиксируя Т Є Ые +,£ Є (0,Т) ,к Є N положим
Тогда при любых щ € М" и вектор-функции / 6 Ср+1 ((0;Т) ;ЖП) П Ср ([0;Т] ;МИ) приближенное решение задачи (0.1) и (0.2) имеет вид
Мп такова, что [Ь1а{М)Уї Є С([0;Т];Е"), а I- (М))р/ Є С?+1 ((0;Т) ;К") П
«(*) = - V нт^1 (/ - <2) /(9) (*) + и*т + / (з) ¿8. (1.1)
■'о
Здесь
X И к(р+1)
ь
Щ № = - Е я?мо-111 - <Эь) /(9) (<) + и1и° + / яҐ<Зь/ (*) (І-2)
л_п »'О
д=0
При построении алгоритма принимается допущение о том, что (кЛМ ф 0. Оно не ограничивает общности предыдущих рассуждений. Действительно, при условии регулярности пучка цЬ — М можно сделать замену и — ехгь в уравнении (0.2) и перейти к уравнению
ЬЬ = (М - \Ь)ь + е~х\у + Ви) (1.3)
того же вида, что и (0.2), но (1еЬ{М — \Ь) ф О.Обратный переход от решений системы (1.3) к решениям системы (0.2) очевиден.
2. Блок-схема алгоритма численного решения задачи Шоуолтера - Сидорова
Алгоритм численного решения реализован на языке С++ [9]. Он является современным языком программирования, позволяющим удобно писать эффективные программы. Большинство известных компиляторов других языков значительно проигрывают в скорости выполнения программ известным компиляторам С++. Приведем блок-схему алгоритма (см. рисунок).
На первом этапе алгоритма нужно найти числа а 6 Я и р € {0} и N. Рассмотрим многочлен
с?е£(/л2у — М) = йп^п + ап—11^п ^ + а4- его-
СП — I
п ___
Поскольку ап = ¿еИ,, то коэффициент щ = (—1)п-г ^2 = 0, п), А^__г - определите-
Г = 1
ли, получаемые из определителя матрицы Ь путем замены п — 1 столбцов соответствующими столбцами матрицы М, г - порядковый номер определителя, д < гапк£. Итак,
йе^цЬ — М) = аяцч + ад-1[лч~~1 + ... + а\ц + ао,
где д = йедсЬе^цЬ — М) < гапкЬ. Поэтому, если взять число а £ Л таким, что
а > тах < 1, |а9|~ -1 Х>1
то с?е£(а£ —М) ф 0 , и, значит, существует матрица (аЬ — М)~1. Далее, считая, что матрица М обратима, представим с1еЬ(цЬ — М) — <1сЛМ(1еЬ(цМ~1 Ь — I). Зная, что порядок полюса в точке оо резольвенты (ц1 — М~1Ь)~л равен нулю, легко найти, что порядок полюса 1^-резольвенты матрицы М в точке оо равен п — д. Итак, числа а и р — п — д найдены.
Далее будем находить значение к, с которого можно начинать считать приближенные проекторы, получим, что мы не сможем оказаться даже вблизи точки ¿-спектра оператора М при к = тах {к\ \ А^}, где £ € [0,1]
1 ч 1 я
к\ > Т—г V"' \щ\ + 1, &2 > і 1—Г ^2 1 1*1 ■*"
1а<?1 1=0 'ач'р 1=0
Далее вычисляются матрицы, входящие в состав (1.2), при численном интегрировании применяется квадратурная формула Гаусса, вычислется прилиженное решение задачи (0.1), (0.2).
Расчет к
Бит1 =0, Зит2 = 0
! = 0
| Расчет р
Расчет коэфс эициентов а[1]
О II О. , ¡ = п
( Конец расчета р
Расчет X
I = 1
АКа1 = зит1 / аЬэ (а[п - р]) Ма2 = эит2 / аЬз (а[п - р] )*ре
к1 = [а№а1 +1] + 1, к2 = [а№а2 +1] + 1
к = тах
к1, к2}
Расчет к
Блок-схема алгоритма
3. Примеры моделей леонтьевского типа
Пример 3.1. Рассмотрим модель модернизированного устройства, приведенную в [10]. Редуцируя ее к модели леонтьевского типа, как предложено в [11], получим
/1 0 0\ /-44 0 0\ /15ат2тг< 0 0\
0 1 0 \ я = [ -117 -16 0 \х + 0 0 0, (3.1)
\0 0 0/ \ 0 1-1/ V 0 0 0/
где 2 = (х1^),х2(¿),у(£)), го = (0,0,0). В табл. 1 приведено численное решение системы (3.1).
Таблица 1
Приближенное решение задачи динамического измерения
1 XI Х2 У
0 0 0 0
1/12 -0,013771 0,029312 0,029312
1/6 -0,066267 0,237938 0,237938
1/4 -0,146596 0,674819 0,674819
1/3 -0,233314 1,253692 1,253692
5/12 -0,303189 1,827654 1,827654
1/2 -0,337497 2,245077 2,245508
7/12 -0,327046 2,394683 2,394683
2/3 -0,274635 2,236538 2,236538
3/4 -0,194309 1,813055 1,813055
5/6 -0,107590 1,237718 1,237718
11/12 -0,037715 0,664689 0,664689
1 -0,003407 0,247513 0,247513
В [12] представлено точное решение системы (3.1), расхождения в точном и приближенном решении порядка не более 10-3.
Пример 3.2. Для небольшого предприятия составлена модель леонтьевского типа. Порядок составления модели для экономических приложений описан в [13]
/0,492 0 0 0 0 0 0 0 0 0 о\
0 0,467 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0,319 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1,667 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 17,142 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 7,667 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1,25 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 66,47 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 9,091 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V
( 0,96 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-0,38 0,97 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-0,08 0 0,95 0 0 -0,5 0 0 0 0 0
-0,04 0 0 0,93 0 0 0 -0,01 0 0 0
-0,05 0 0 0 0,86 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 -0,99 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
-0,02 -0,02 -0,03 -0,33 -0,11 -0,03 -0, 01 -0,03 0,95 1 50 1 200
-0,19 -0,03 -0,06 -0,13 -0,11 -0,33 -0, 25 -0,66 0 1 0
^ 0 -0,07 -0,96 -0,1 -0,1 -0,5 -0 ,1 о 0 0 1
F = col(500, 398, 103,5, 500, 50, 300, 900, 309, 0, 0, 0).
X0 = col{52, 600, 313,5, 90, 87,5, 300, 1200, 309, 110, 880, 2167,5).
Решение задачи Шоуолтера - Сидорова представим в табл. 2.
Таблица 2
Численное решение задачи Шоуолтера - Сидорова
t Ul щ из «4 Щ Щ и7 т ид ^10 ип
0 52 600 313,5 90 87,5 300 1200 309 110 880 2167,5
I 1,2 179,1 807,38 393,4 94,2 88,1 309,2 1340,5 301,8 109,8 951,6 2592,1
1 fi 302,6 1024,6 482,7 98,45 88,7 317,5 1474,2 302,5 109,5 1031,1 2965,0
1 4 448,1 1274,2 592,7 102,4 89,2 325,9 1617,1 303,3 109,1 1119,5 3388,3
I 619,3 1560,8 728,5 106,4 89,7 334,4 1769,8 304,0 108,4 1217,9 3870,8
12 820,8 1889,3 896,8 110,1 90,1 343,0 1933,0 304,7 107,6 1328,1 4422,6
ъ 1057,9 2265,4 1105,9 113,6 90,5 351,8 2107,4 305,5 106,5 1457,1 5056,3
7 1337,2 2696,1 1366,5 116,8 90,9 360,6 2294,4 306,3 105,3 1591,1 5787,1
J 1666,0 3188,1 1692,0 119,5 91,2 369,6 2493,1 307,1 103,7 1748,2 6632,7
| 2053,1 3749,5 2099,6 121,7 91,3 378,7 2706,1 307,8 101,6 1927,8 7617,7
в 2508,8 4389,1 2610,8 123,1 91,4 388,0 2933,6 308,6 99,3 2131,9 8766,8
11 12 3045,5 5116,7 3252,6 123,6 91,4 397,3 3177,0 309,3 96,4 2365,5 10115,5
1 3677,5 5943,0 4063,1 123,1 91,2 406,8 3437,1 310,1 92,9 2633,9 11705,0
Алгоритм эффективен при численном решении моделей леонтьевского типа, у которых размер входящих в них матриц более 10.
Литература
1. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semi-groups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
2. Леонтьев, В.В. Межотраслевая экономика /В.В. Леонтьев,- М.: Экономика, 1997.
3. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / С.В. Бры-
чев, Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Матем. - 2003. - № 8. - С. 46 - 52._________
4. Загребина, С. А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С А. Загребина / / Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22 - 28.
5. Замышляева, A.A. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболев-ского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // Вычислит, технологии. - 2003. -Т. 8, № 3. - С. 45 - 54.
6. Манакова, H.A. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / H.A. Манакова // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 9. -С. 1185 - 1192.
7. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - 4-е изд. - М.: Наука, 1988.
8. Келлер, A.B. Системы леонтьевского типа: классы задач с начальным условием
Шоуолтера-Сидорова и численные решения / A.B. Келлер // Изв. Иркут, гос. ун-та, Серия «Математика». - 2009. - Т. 2. - С. 30 - 43.
9. Showolter - Sidorov problem (shosid problem): свидетельство 2010616865 / Келлер
A.B.(RU); правообладатель ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет». - 210615137; заявл. 16.08.2010; зарегестр. 14.10.2010, Реестр программ для ЭВМ.
10. Бизяев, М.Н. Динамические модели и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов измерительных систем в скользящем режиме: дис. ... канд. тех. наук / М.Н. Бизяев. - Челябинск: ЮУрГУ, 2004.
11. Шестаков, A.JI. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / A.JT. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. ЮУрГУ, сер «Мат. моделирование и про-грамммирование». - 2010. - № 16(192), Вып. 5. - С. 116 - 120.
12. Келлер, A.B. Свойство регуляризуемости и численное решение задачи динамического измерения / A.B. Келлер, Е.И. Назарова // Вестн. ЮУрГУ, сер «Математическое моделирование и программмирование». - 2010. - № 16(192), Вып. 5. - С. 32 - 38.
13. Келлер, A.B. Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера - Сидорова для систем леонтьевского типа / A.B. Келлер // Методы оптимизации и их приложения: труды XIV Байкальской школы-семинара, Иркутск - Северобайкальск. - 2008. - С. 343 - 350.
Келлер Алевтина Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Общеобразовательные дисциплины», Южно-Уральский государственный университет, [email protected].
Поступила в редакцию 15 ноября 2010 г.
