CC BY
187
Управление. Моделирование. Информатика
References
1. Antonov A.V., Voytyuk M.M. Lesnaja infrastruktura: analiz, strategija i novye podhody [Forest infrastructure: analysis, strategy and new approaches]. Inform.bjull - Inform.bull, no. 8, 2010, 34 p. (In Russian).
2. Zakirov A.I., Selikhova O.E. Proizvodstvennaja infrastruktura promyshlennogo uzla: vo-prosy ipraktiki [Production infrastructure of industrial center: issues and practices]. Moscow, 2004, 162 p. (In Russian).
3. Kozhukhov N.I. Formirovanie infrastrukturnyh klasterov v lesnyh regionah - put' k ustoj-chivomu razvitiju lesnogo sektora i smezhnyh otraslej [Formation of infrastructure clusters in forest regions - the path to sustainable development of the forest sector and related industries]. Lesnoj vestnik - Forest Bulletin, 2010, no. 2 (71). (In Russian).
4. Lesnoj kodeks RF. Komentarii [Forest Code of the Russian Federation. Comments]. Moscow, 2007. (In Russian).
5. Lesnoj fond Rossii [Forest Fund of Russia]. Moscow, 2003, 637 p. (In Russian).
6. Sovremennyj jekonomicheskij slovar' [Modern Dictionary of Economics]. Moscow, 2005, 349 p. (In Russian).
Сведения об авторах
Кожухов Николай Иванович - академик РАН, профессор кафедры Мировой экономики ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет леса», доктор экономических наук, профессор, г. Мытищи-5, Российская Федерация; e-mail: [email protected]
Information about authors
Kozhukhov Nikolai Ivanovich - Academician of RAS, Professor of International Economics department, FSBEI HPE «Moscow State Forest University», Doctor of Economics, Professor, My-tischi-5, Russian Federation; e-mail: [email protected]
DOI: 10.12737/8515 УДК 004.02
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАБОТ В СЕТЕВЫХ КАНОНИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
кандидат технических наук Т. П. Новикова1 кандидат технических наук А. И. Новиков1 1 - ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия», г. Воронеж, Российская Федерация
Предложен управляемый фронтальный алгоритм решения задачи распределения работ по исполнителям, позволяющий найти оптимальное распределение, которое укладывается в
Лесотехнический журнал 4/2014
309
Управление. Моделирование. Информатика
заданное время и минимизирует общую стоимость. Решение задачи о распределении работ классическими методами (сетевого планирования, ветвей и границ, Ганта) не представляется возможным, так как время исполнения работы зависит от исполнителя, назначение исполнителя на конкретную работу происходит только после оптимального распределения предыдущих работ и зависит от времени выполнения предыдущих работ, также практически всегда существует возможность выполнения работ другими исполнителями. В основе предложенного фронтального алгоритма лежит идея «жадных» алгоритмов (зависимость последующих работ от предшествующих). Оперируя понятием фронта работ, понимаем совокупность работ, для которых предшествующие работы уже распределены по исполнителям. Строгий линейный порядок работ из фронта работ обеспечивается динамическими (время) и статическими характеристиками (количество работ, коэффициенты приоритетности работ). Математическая модель и алгоритм оптимального распределения работ по исполнителям позволяют не только эффективно распределять трудовые ресурсы, но и давать оценку стоимости выполнения проекта с учетом всех возможных вариантов исполнения работ. Предложенный алгоритм позволил разработать программное обеспечение, которое направлено на автоматизацию процесса и обеспечение поддержки принятия управленческих решений.
Ключевые слова: алгоритм, математическая модель, фронт работ, распределение работ, сетевые канонические структуры, блок-схема алгоритма, программное обеспечение, управление, планирование, конечный ориентированный граф.
ALGORITHMS FOR SOLVING PROBLEMS OF OPTIMUM DISTRIBUTION WORK IN
NETWORK CANONICAL STRUCTURES
PhD in Engineering T. P. Novikova1 PhD in Engineering A. I. Novikov1
1 - FSBEI HPE «Voronezh State Academy of Forestry and Technologies», Voronezh, Russian Federation
Control front algorithm for solving the distribution of works by performers is suggested, which allows finding the optimal allocation, which fits into a specified time and minimizes total cost. Solution of the problem of the distribution of works by classical methods (network planning, branch and bound, Gantt) is not possible, since the execution of the work depends on the performer, the appointment of the performer for a particular job takes place only after the optimal allocation of previous work and depends on the time you complete the previous works, and almost always there is the possibility of performance of works by other performers. Proposed algorithm is based on the idea of the front "greedy" algorithms (the dependence of subsequent works from the previous ones). In terms of the scope of work, we understand the totality of the work for which previous work has been distributed to performers. Strict linear order of works from the scope of work provides dynamic (time) and static characteristics (number of works, the coefficients of priority of works). Mathematical model and algorithm for optimal allocation of work by performer can not only effectively allocate human resources, but also to assess the cost of the project, taking into account
310
Лесотехнический журнал 4/2014
Управление. Моделирование. Информатика
all possible variants of execution of works. The proposed algorithm is allowed to develop software that aims to automate the process and provide support for management decision-making.
Keywords: algorithm, mathematical model, scope of work, work distribution, network canonical structures, flowchart, software, management, planning, finite oriented graph.
Введение
В связи с высокой наукоемкостью современных проектов, быстрой сменой технической и технологической баз, временными ограничениями разработки и вывода продукта на рынок возникает необходимость оптимального планирования и распределения работ по исполнителям [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9]. Исходя из этого была разработана математическая модель [7], направленная на нахождение распределения работ по исполнителям, укладывающегося в заданное время и минимизирующее при этом общую стоимость работы исполнителей путём уменьшения времени их работы.
Решение задачи о распределении работ классическими методами (сетевого планирования, ветвей и границ, Г анта) не представляется возможным, так как время исполнения работы зависит от исполнителя, назначение исполнителя на конкретную работу происходит только после оптимального распределения предыдущих работ и зависит от времени выполнения предыдущих работ, также практически всегда существует возможность выполнения работ другими исполнителями.
Таким образом, трудности постановки задачи распределения работ по исполнителям порождают новые трудности решения такой задачи.
Постановка задачи
Рассмотрим систему реализации каких-либо проектов в определенной конечной области техники. Пусть в рамках од-
ного проекта проводятся действия, направленные на изготовление только одного изделия, процесс производства которого включает выборку взаимосвязанных действий - работ. Для отображения взаимодействия данных работ логично использовать сетевую каноническую структуру, которая представляет собой конечный ориентированный граф без петель и циклических маршрутов (рис. 1). В таком случае, ни одна работа не может начаться раньше завершения реализации предшествующих работ - свойство каноничности.
Фронт работ - это совокупность таких работ, для которых все предыдущие операции распределены по исполнителям.
Под задачей распределения работ [6] подразумевается такое разделение n работ по m исполнителям, при котором учитывает, что каждая операция реализуется только одним исполнителем и выполняется следующая совокупность ограничений:
1) очередность реализации операций - работа может быть выполнена только после завершения предшествующих работ;
2) длительность операций;
3) соблюдение директивных сроков.
Под директивным сроком понимается некий предельный момент времени, позднее которого данная операция (работа) не может быть завершена. Чаще всего они устанавливаются для работ, завершающих проект - реализация конкретной работы говорит о завершении всего проекта.
Лесотехнический журнал 4/2014
311
Управление. Моделирование. Информатика
Математическая модель
Исходные данные:
etj - распределение операций по исполнителям;
х, и у..- моменты начала и завершения операций соответственно;
K(р)- совокупность операций, предшествующих работе i, K(р) с Iре I,p е I,p <i;
tmin и tmax- минимальное и макси-
j j
мальное время реализации операции исполнителем j соответственно;
h - первоначальные сроки, раньше которых i - я операция не может начаться;
d. - директивные сроки.
Ограничения:
j -й исполнитель может начать i -ю работу только после выполнения работ, предшествующих i - й работе.
min х, > max max у(. 1)k, i е I. (1)
/е/ У (i_1)eJmT кеК (р) (i 1)k
Ограничение на продолжительность реализации операций:
С — (у, _ Х,) — t”“, i е I, j е Iшт. (2)
Ограничение на порядок выполнения:
Xj > У ik , ЛИб0 Xk > Уj , i е [, j е Iшт, k е [шт (3)
Ограничения, учитывающие заданные начальные сроки (4) и директивные сроки (5) соответственно:
min х, > hi, i е IH, (4)
jeJ
max уij > d, i е ID . (5)
]е/
Введем условие: каждая i -я работа выполняется лишь одним исполнителем из R(i):
I еу = 1; (6)
JeR (г)
х, , У j е T . (7)
Любое решение, удовлетворяющее условиям (1) - (7), является допустимым. Таким образом мы имеем распределение работ по исполнителям.
Целевая функция
Путем введения в ограничение (5) штрафа за несоблюдение установленных директивных сроков получим:
f=II Л (di _ у, К. (8)
iее Je•/ш^
Целевая функция f ^ min при ограничениях (1)-(4), (6), (7).
Если в результате решения задачи
312
Лесотехнический журнал 4/2014
Управление. Моделирование. Информатика
(1)-(4), (6)-(8) получено оптимальное значение целевой функции f . < f , то все
работы могут быть выполнены штатными работниками и сторонних исполнителей привлекать не целесообразно.
Алгоритм решения
Поставленная задача распределения работ по исполнителям относится к классу NP-полных, для которых не существует точных эффективных (отличных от полного перебора) алгоритмов (рис. 2) [8].
Для ее решения был предложен эвристический алгоритм, в основе которого лежит разбиение работ по фронтам:
1. Пусть I - множество работ, i е I, i = 1..n. Для каждой, из которых установлены интервалы начала и окончания работ [хр, Уу ]. Jmt - множество взаимозаменяемых штатных исполнителей. Т]у - время,
необходимое штатным исполнителям для выполнения отдельных работ по проекту, его величина устанавливается исходя из опыта реализуемых ранее проектов. В алгоритме tT., t^ соответствуют tmm , tmax математической модели.
2. Построение фронта работ Ф1.
Под фронтом работ будем понимать
множество работ, для которых на данной итерации алгоритма могут быть рассчитаны интервалы времени начала и завершения работы. При построении фронта работ будем исходить из того, что работа i, для которой интервалы начала и завершения еще не определены, попадает во фронт работ при условии, что: K(i) = 0 v K(i) Ф 0 (все работы из множества K ^')уже выполнены).
При первом построении фронта ра-
бот Ф1 в него попадут работы, не имеющие предшествующих, а в следующий фронт - работы из предыдущего фронта.
3. Распределение по исполнителям работ из первого фронта Ф1.
Как правило, для фронта Ф1 характерно небольшое количество работ и исполнителей для каждой работы, поэтому представляется возможным использовать метод полного перебора для нахождения оптимального распределения. Просчитываем возможные варианты назначения Ек
исполнителей на работы, а так же определяем моменты начала х(к} и окончания у(к)
j Sy
работ. Для Ф1 характерно, что х]) = 0 . Необходимо подобрать некоторое назначение работ Е к> так чтобы время окончания последней работы из фронта работ будет наименьшим, то есть
У(к ) = min max у]).
к ieI 11
jeJ
4. Построение следующего фронта работ Фй, в который попадают все работы, выполняемые непосредственно после работ текущего фронта. В случае, когда все работы исчерпаны, необходимо обратиться к пункту 8.
5. Определение порядка назначения работ из фронта Ф^ Приоритет отдается тем работам, реализовать которые может ограниченное число специалистов (работников).
6. Выбираем работу из фронта работ Фй. Для каждой работы p известны предшествующие ей работы. Таким образом -х . > max yj ). Для каждого возможного
р ек (p) ]
исполнителя работы p известны интерва-
Лесотехнический журнал 4/2014
313
Управление. Моделирование. Информатика
начало
Сформировать первый фронт работ Ф1
У
Выбрать назначение исполнителей, при ^ котором yj ) = minmax yj)
j k iel J
jeJ
Сформировать следующий фронт работ Ф8
I J________
Упорядочить работы из Ф8 по возрастанию числа исполнителей
Выбрать 1 -ю работу из у поря доче нно го списка Ф8 (р= 1)
V j е R(p) определить
^=maxyj)+^
определить j
для которого
vpj
у * = min y p
pj jeR(p)
Перейти к следующей работе
Рис. 2. Пример блок-схемы алгоритма решения задачи оптимального распределения
работ в сетевых канонических структурах
лы его занятости на уже назначенных работах. В качестве исполнителя работы p выбирается исполнитель с наименьшим временем окончания работы ypj. Определение такого исполнителя можно производить следующим образом.
Для всех возможных исполнителей
j е R(p) работы p , взять за начало работы x . = max yj ). Определить возможные
p] iek (p) 1
моменты окончания работы
ypj = Xp] + tp], V ] е R (p). Таким образом,
имеем интервалы [xpj, ypj ]. Определить j , такое, что y , = min y . При условии, что
Jpj jeR (pГ p]
314
Лесотехнический журнал 4/2014
Управление. Моделирование. Информатика
интервал [х *,у *] не пересекается с интервалами выполнения уже назначенных работ для j*, назначить на работу p исполнителя j . В противном случае сдвинуть интервал выполнения работы для исполнителя J* на 1, т.е. [х , +1, у , +1].
Снова определить j*, у * = min у. и т.д.
Pj jeR (p) Pj
7. Если список работ из фронта Ф8 не исчерпан, перейти к следующей работе и пункту 6, иначе к пункту 4.
8. Конец работы алгоритма.
Заключение
Математическая модель и алгоритм оптимального распределения работ по исполнителям позволяют не только эффективно распределять трудовые ресурсы, но и давать оценку стоимости выполнения проекта с учетом всех возможных вариантов исполнения работ.
На основе предложенного алгоритма разработано программное обеспечение [10], позволяющее автоматизировать процесс и обеспечивающее поддержку принятия управленческих решений.
Библиографический список
1. Беляева, Т. П. Управление распределением работ в микроэлектронике [Текст] / Т. П. Беляева // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач: материалы междунар. молодеж. науч. шк. - Воронеж : ИПЦ «Научная книга», 2012. - С. 195-197.
2. Беляева, Т. П. Оптимальное планирование комплексных проектов создания электронной компонентной базы [Текст] / Т. П. Беляева, А. П. Затворницкий // Информационные системы и технологии: научно-технический журнал; ФГОУ ВПО «Госуниверситет-УНПК». -Орел, 2011. - № 3 (65). - С. 5-10.
3. Беляева, Т. П. Применение современных информационных технологий в области управления целевыми задачами предприятий микроэлектроники [Текст] / Т. П. Беляева // Моделирование систем и процессов: науч.-технич. журн.; ГОУ ВПО ВГЛТА. - Воронеж, 2012. - Вып. 1. - С. 19-22.
4. Беляева, Т. П. Экспертно-мониторинговый анализ на этапе выработки и поддержки принятия управленческих решений [Текст] / Т. П. Беляева, В. К. Зольников, К. А. Чубур // Моделирование систем и процессов: научно-технический журнал; ГОУ ВПО ВГЛТА. -Воронеж, 2012. - Вып. 1. - С. 22-27.
5. Беляева, Т. П. Оценка реализации специальных проектов в микроэлектронике [Текст] / Т. П. Беляева // Моделирование систем и процессов: научно-технический журнал; ГОУ ВПО ВГЛТА. - Воронеж, 2010. - Вып. 3-4. - С. 12-16.
6. Беляева, Т. П. Система управления формированием и реализацией проектов дизайн центра микроэлектроники [Текст] : дис. ... канд. техн. наук: 05.13.10: защищена 02.11.2012 / Т. П. Беляева. - Воронеж, 2012. - 145 с. - Библиогр.: с. 131-145.
7. Новикова, Т. П. Математическая модель оптимального распределения работ в сетевых канонических структурах [Текст] / Т. П. Новикова, О. В. Авсеева, А. И. Новиков // Фун-даментал. и приклад. проблемы техники и технологий. - Орел, 2013. - № 5 (301). - С. 48-53.
Лесотехнический журнал 4/2014
315
Управление. Моделирование. Информатика
8. Прилуцкий, М. Х. Задачи распределения разнородных ресурсов в сетевых канонических структурах [Текст] / М. Х. Прилуцкий, Е. А. Кумагина // Перспектив. информ. технологии и интеллектуал. системы. - 2000. - № 4. - С. 46-52.
9. Беляева, Т. П. Методы поддержки принятия решений в части оценки достаточности требований технического задания к микроэлектронным компонентам и возможности их реализации отечественными предприятиями электронной промышленности [Электронный ресурс] // Т. П. Беляева, В. К. Зольников // Политематич. сетевой электрон. журн. Кубан. гос. аграр. ун-та. - 2012. - № 75 (01). - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/01/pdf/29.pdf.
10. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2014610143. Программа поддержки принятия управленческих решений по выбору оптимального варианта распределения работ при планировании проектов дизайн-центра микроэлектроники [Текст] / Т. П. Новикова, В. К. Зольников, А. И. Новиков. - № 2013660071 ; заявл. 05.11.2013 ; зарег. 09.01.2014.
References
1. Belyaeva T.P. Upravlenie raspredeleniem rabot v mikrojelektronike [Management of the distribution of work in microelectronics]. Teorija i chislennye metody reshenija obratnyh i nekor-rektnyh zadach: materialy mezhdunar. molodezh. nauch. shk. [Theory and Computational Methods for Inverse and ill-posed problems: Proceedings of the international. youth. scientific. sch.]. Voronezh, 2012, pp. 195-197. (In Russian).
2. Belyaeva T.P., Zatvornitsky A.P. Optimal'noe planirovanie kompleksnyh proektov sozdani-ja jelek-tronnoj komponentnoj bazy [Optimal planning of complex projects for the creation of electronic components]. Informacionnye sistemy i tehnologii - Information Systems and Technology, 2011, no. 3 (65), pp. 5-10. (In Russian).
3. Belyaeva T.P. Primenenie sovremennyh informacionnyh tehnologij v oblasti upravlenija celevymi zadachami predprijatij mikrojelektroniki [Application of modern information technology in the field of microelectronics targets enterprises]. Modelirovanie sistem i processov - Simulation of systems and processes, 2012, Iss. 1, pp. 19-22. (In Russian).
4. Belyaeva T.P., Zolnikov V.K., Chubur K.A. Jekspertno-monitoringovyj analiz na jetape vy-rabotki i podderzhki prinjatija upravlencheskih reshenij [Expert monitoring analysis at the stage of making and supporting and managerial decision]. Modelirovanie sistem iprocessov - Simulation of systems and processes, 2012, Iss. 1, pp. 22-27. (In Russian).
5. Belyaeva T.P. Ocenka realizacii special'nyh proektov v mikrojelektronike [Evaluation of the implementation of special projects in microelectronics]. Modelirovanie sistem i processov - Simulation of systems and processes, 2010, Iss. 3-4, pp. 12-16. (In Russian).
6. Belyaeva T.P. Sistema upravlenija formirovaniem i realizaciej proektov dizajn centra mikrojelektroniki dis. kand. tehn. nauk [The control system for formulating and implementing projects in microelectronics design center: Dis. cand. tehn. Sciences]. Voronezh, 2012, 145 p. (In Russian).
7. Novikova T.P., Avseeva O.V., Novikov A.I. Matematicheskaja model' optimal'nogo ra-spredelenija rabot v sete-vyh kanonicheskih strukturah [Mathematical model of optimal allocation
316
Лесотехнический журнал 4/2014
Управление. Моделирование. Информатика
of works in network canonical structures]. Fundamental. i priklad. problemy tehniki i tehnologij -Fundamental and appl. problems of engineering and technology, 2013, no. 5 (301, pp. 48-53. (In Russian).
8. Prilutsky M.H., Kumagina E.A. Zadachi raspredelenija raznorodnyh resursov v setevyh ka-nonicheskih strukturah [Problems of distribution of heterogeneous resources in network canonical structures]. Perspektiv. inform. tehnolo-gii i intellektual. sistemy - Prospects. Inf. Technology and Intellectual. Systems, 2000, no. 4, pp. 46-52. (In Russian).
9. Belyaeva T.P., Zolnikov V.K. Metody podderzhki prinjatija reshenij v chasti ocenki dosta-tochnosti trebovanij tehnicheskogo zadanija k mikrojelektronnym komponentam i vozmozhnosti ih realizacii otechestvennymi predprijatijami jelektronnoj promyshlennosti [Methods for decision support in assessing the sufficiency of the requirements specification for microelectronic components and their possible implementation of the domestic electronics industry]. Politematich. setevojjelek-tron. zhurn. Kuban. gos. agrar. un-ta - Politematic electronic network journal of Kuban State Agrar. Univ, 2012, no. 75 (01). Available at: http://ej.kubagro.ru/2012/01/pdf/29.pdf. (In Russian).
10. Novikova T.P., Zolnikov V.K., Novikov A.I. Svidetel'stvo o gosudarstvennoj registracii programm dlja JeVM №2014610143. Programma podderzhki prinjatija upravlencheskih reshenij po vyboru optimal'nogo varianta raspredelenija rabot pri planirovanii proektov dizajncentra mikroje-lektroniki [Certificate of state registration of computer programs №2014610143. Program to support management decision making in selecting the best options for distributing works in project planning of design center in microelectronics]. 09.01.2014. (In Russian).
Сведения об авторах
Новикова Татьяна Петровна - преподаватель кафедры вычислительной техники и информационных систем ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия», кандидат технических наук, Воронеж, Российская Федерация; e-mail: [email protected].
Новиков Артур Игоревич - доцент кафедры автомобилей и сервиса ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия», кандидат технических наук, Воронеж, Российская Федерация; e-mail: [email protected].
Information about authors
Novikova Tatyana Petrovna - Lecturer, Department of Computer Engineering and Information Systems of FSBEI HPE «Voronezh State Academy of Forestry and Technologies», PhD in Engineering, Voronezh, Russian Federation; e-mail: [email protected].
Novikov Arthur Igorevich - Associate Professor of Machines and Service department of FSBEI HPE «Voronezh State Academy of Forestry and Technologies», PhD in Engineering, Voronezh, Russian Federation; e-mail: [email protected].
Лесотехнический журнал 4/2014
317
