Алгоритм решения задачи определения фильтрационно-емкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:532:519.711.3 ББК 22.181 Ш 96

М.М. Шумафов, Р. Цей

Алгоритм решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций

(Рецензирована)

Аннотация

В работе приводится общая схема решения задачи определения фильтрационноёмкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций. Применение метода иллюстрируется на примере решения обратной задачи для дифференциального уравнения, описывающего процесс неустановившейся фильтрации газа в пористой среде.

Ключевые слова: обратная задача, математическое моделирование, идентификация, дифференциальные уравнения, модулирующие функции, теория фильтрации, фильтрационные и ёмкостные параметры, газоносный пласт.

Введение

Как хорошо известно, одним из эффективных способов изучения математическими методами процессов, протекающих в окружающем нас мире, является моделирование этих процессов в виде дифференциальных уравнений. При этом, как правило, получаемые дифференциальные уравнения содержат коэффициенты, связанные с физическими характеристиками (параметрами) среды, в которой протекают эти процессы.

Подавляющее большинство существующих методов определения этих параметров (и, вообще, параметров систем, описываемых дифференциальными уравнениями) основано на использовании решений уравнений. В частности, это относится и к обратным задачам теории фильтрации.

Однако всем этим методам присущи серьезные недостатки (см., например, [1,2]). К недостаткам следует отнести следующее: низкая точность определяемых параметров, трудности обработки опытных данных, большое количество расчетных схем и формул, сложная структура формул, неохватность расчетными формулами сложных случаев фильтрации. Главный из недостатков - низкая точность определяемых параметров.

Одной из актуальных задач теории фильтрации является задача определения параметров нефтегазоносного пласта по натурным наблюдениям значений давления, насыщенности и др. с помощью контрольных скважин. Задаче определения фильтрационных и емкостных параметров газоносного пласта было посвящено немало работ. Обзор этих работ можно найти в [2].

В настоящей работе приводится общая схема решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций (далее, М-метод).

Идея применения М-метода для решения обратных задач восходит к работам Дж. Лоэба и Г. Кахена (I. ЬоеЬ, О. СаЬеп) [3, 4]. Возможность применения М-метода для решения задач нефтегазовой науки впервые была высказана В.Б. Георгиевским и им были разработаны унифицированные алгоритмы для решения обратных задач подземной гидрогазодинамики [1]. В работах [5,6] сделана программная реализация на основе унифицированных алгоритмов, разработанных в работах В.Б. Георгиевского [см., например, 1]. В работе [7] метод модулирующих функций обобщен на случай любой степени полиномов разложения неизвестных параметров газоносного пласта.

М-метод позволяет определить параметры модели без использования решения краевых задач. Идея М-метода состоит в том, что дифференциальное уравнение умножается на специальные «модулирующие» функции и интегрируется по частям. В результате, происходит «освобождение» от операции дифференцирования решения (исходного дифференциального уравнения) и «переход» этой операции к модулирующим функциям, которые можно выбирать достаточно гладкими. В итоге, исходное дифференциальное уравнение заменяется его интегральным аналогом.

Особо отметим, что в полученных выражениях отсутствуют производные от экспериментальных функций, что позволяет ликвидировать трудности, связанные с непосредственным дифференцированием экспериментальных функций. Эти трудности проистекают из-за того, что операция дифференцирования экспериментальных функций является некорректной.

Приведем общую схему решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных параметров пласта методом модулирующих функций на примере решения обратной задачи для дифференциального уравнения, описывающего процесс неустановившейся фильтрации газа в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде.

Дано дифференциальное уравнение (1), описывающее процесс неустановившейся фильтрации газа в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде (в безразмерном виде) [8]

ницаемости, т(х,у) - коэффициент пористости, И(х,у) - эффективная толщина пласта, а(х,у) - коэффициент газонасыщенности, р(х,у,£) - давление в точке пласта (х,у) в момент времени ^ ц(р) и г(р) - соответственно коэффициенты динамической вязкости и сверхпроницаемости газа при давлении р и пластовой температуре, Q(x,y,t) - объемный расход газа, отнесенный к единице площади пласта в точке пласта (х,у) в момент времени t крат (атмосферное давление) и Гпл (пластовая температура).

Требуется определить коэффициенты А(х,у,р) и В(х,у) - «обобщенные» фильтрационные параметры.

Шаг 1. Разложить искомые функции А(х,у,р) и В(х,у) по формуле Тейлора. Отбросив остаточные члены, получаем следующее приближенное равенство

Здесь Ыа и Ыв - степени аппроксимации параметров А(х,у,р) и В(х,у) многочленами Тейлора. Тогда имеем

Алгоритм определения фильтрационно-ёмкостных параметров

д Г д 2 1 д Г д 2 1 д ( \

— A(x,у,р)+ — А(х,у,р)-д— = В(х,у) — + 20(х,у,ф(х,у)рат, (1)

дх _ дх _ ду _ ду _ ді ^ г(р) )

где А( х, у, р) =

к ( х, у)И( х, у)

м(р)г(р) ’

В( х, у) = 2а( х, у)т( х, у)И( х, у), к(х,у) - коэффициент про-

(2)

з*,2 Ыа о д„к+2

Далее следует заменить выражения в квадратных скобках в (1) соответственно их приближенными значениями (3).

Шаг 2. Умножить полученное уравнение (1) на гладкие, непрерывные функции -модулирующие функции р*, (х) , р*, (у) , р*, ^) (причем р*, (х) и р*, (у) - дважды непрерывно дифференцируемые функции и р*, ^) - непрерывно дифференцируемая функция). Модулирующие функции р*, (х) , р*, (у) , р*, ^) можно, например, в виде

Далее следует проинтегрировать полученные уравнения в соответствующих пределах. Степень точности определения искомых параметров А(х,у,р) и В(х,у) определяется числом членов разложения А(х,у,р) и В(х,у) в степенные ряды. Для увеличения точности определения А(х,у,р) и В(х,у) следует брать многочлены более высокой степени (т.е. увеличить верхние границы аппроксимации Ыа и ЫВ). Тем самым увеличится и верхнее значение индекса 5, нумерующего модулирующие функции р*, (х), р*, (у), р*, ^).

Шаг 3. Применить формулу интегрирования по частям к тем интегралам, в которых присутствуют производные экспериментальной функции р{х,у,() необходимое число раз, что приведет от дифференцирования экспериментальной функции (которая является некорректной операцией) к дифференцированию гладких модулирующих функций. Имеем:

Шаг 4. Получить систему алгебраических уравнений относительно неизвестных аф, Ьтп - коэффициентов разложения А(х,у,р) и В(х,у).

р* (х) = х* (х - х1)2(х2 - х)2, х1 < х < х2,

Р* (у) = у5 (у - у 1)2 (у2 - у)2, у1 < у < у2, Р* (t) = ^ ^ - t1)(t2 - ^ t1 < t < ^.

+ £ ьтп \-^хтупР,(хр(у)р(t)ёу =21"Q(x,y, 11Жху)рр(хр(ур(tЖ,

т,п=0 V 2(р) V

т,п=0 V ) V

(i, j,к = 0,1,...,Ыа; 0 < г + ф + к < Ка), (т,п = 0,1,...,Ыв; 0 < т + п < Ыв),

(* = 0,1,..., 5),

V = [х1, х2 ] х [у1, у 2 ] х [^, 12 ], dV = ёхёуШ.

(л j, к = Ыа ;0 <г+Ф+к < Ка ),

(т,п = 0,1,...,Ыв; 0 < т + п < Ыв),

(* = 0,1,..., 5).

Шаг 5. Вычислить тройные интегралы J - коэффициенты системы уравнений (4)

V

сведением их к повторным и применением к последним квадратурных формул (например, Ньютона-Котеса, Гаусса, Монте-Карло, метод сплайнов и др.).

Шаг 6. Решить систему уравнений (4) хорошо известными методами (прямыми методами: Ньютона, исключения Гаусса, или итерационными методами: Якоби, Гаусса-Зейделя и др.).

Шаг 7. Записать найденные значения неизвестных коэффициентов агфк, Ътп в разложениях (2) искомых «обобщенных» фильтрационных параметров А(х,у,р) и В(х,у).

Заключение

В статье приведен алгоритм решения задачи определения фильтрационноёмкостных параметров пласта методом модулирующих функций на примере решения обратной задачи для дифференциального уравнения, описывающего процесс неустано-вившейся фильтрации газа в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде.

Следуя данной схеме, можно построить алгоритмы для решения и других обратных коэффициентных задач. Следует напомнить, что при применении М-метода отсутствует принципиальный источник погрешности - использование решений прямых краевых задач. Теоретически, М-метод не имеет погрешности в том смысле, что все используемые в нем преобразования эквивалентны. Источником погрешностей могут служить численные методы решения интегралов, а также аппроксимация экспериментальной функции. Но эти погрешности можно свести к минимуму, повысив точность вычислений с использованием вычислительных мощностей современных ПЭВМ.

Описанный выше алгоритм, основанный на М-методе, эффективен и прост для решения различных прикладных задач.

Примечания:

1. Георгиевский В.Б. Унифицированные алгоритмы для определения фильтрационных параметров. Справочник. - Киев: Наукова думка, 1971. - 328 с.

2. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов ММ., Бахти-

. . -газодобычи. Нелинейность, неравновес-ность, неопределенность. - Москва-

Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 368 с.

3. Loeb J., Cahen G. Extraction, a partik des enregistrements de mesures, des parametres dynamiques d um system. // Automatisme. -1963. - № 12. - PP. 17-28.

4. Loeb J., Cahen G. More about process identification. // Trans. on Automatic Control. - 1965. - PP. 359-361.

5. Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделирование геофильтрации. - М.: Недра, 1976. - 407 с.

6. Трофимов ВБ., Батищева ГА. Реализация на ЭВМ унифицированных алгоритмов

. . . - . . . -НИИгидротех. и мелиор., 1976, вып. 9. - С. 111-114.

7. . ., . . -

онно-ёмкостных параметров по промысловым данным эксплуатации газового месторождения // Термодинамика кооперативных процессов в гетерогенных средах. Тюмень, 1985. - С. 80-85.

8. Закиров С.Н., Лапу к Б. Б. Проектирование и разработка газовых месторождений. - М.: Недра, 1974. - С. 39.