CC BY
18
где через р ид обозначены р* и дк для фиксированного значения к. При этом векторы ч=1кЦьР=11Рк (¿=1,2,3) и скаляр у2{рк) определяют эти волны в случае их независимого распространения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 .Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Гостехиз-дат, 1950.
3. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
4. Борн М, Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.
5. Гурьянов В.В. Взаимодействие плоских нелинейных сейсмических волн // Изв. АН СССР. Сер. физика Земли. 1990, № 11. С. 57 - 71.
6. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972.
7. Гурьянов В В. Монотипные плоские изоэнтропические волны конечных деформаций//Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1993. Вып. 1.С. 149- 157.
УДК 624.131+5539.215 А. А. Контарев, А. Г. Маркушин, Е. В. Садовничая
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИСТЕЧЕНИЯ СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА
Рассмотрим движение сыпучего тела при разгрузке бункера в форме параллелепипеда с горизонтальным выпускным отверстием в виде щели во всю длину днища бункера, расположенным у одной из его боковых стенок, и воспользуемся, при этом моделью истечения сыпучего тела [1], основанной на теории пластического течения при переменных нагружениях.
Предположим, что длина бункера достаточна для того, чтобы в каждом поперечном сечении, удаленном от торцевых стенок можно было бы считать движение сыпучего тела одинаковым. Это позволяет ограничить рассмотрение движения материала его исследованием только в одном из этих сечений.
Отнесем выделенное сечение бункера к декартовой системе координат согласно рисунку. Для определения плоского напряженно- деформированного состояния материала и его движения при
рассмотрении процесса разгрузки бункера в квазистатической постановке имеем уравнения теории упругости в приращениях напряжений [2] :
^ + ^ = ^ + ^ = (1) дх ду дх ду
В основе уравнений состояния пластически деформируемого материала лежат, как правило, условия пластичности, условия упрочнения и ассоциированный закон течения.
В теории .течения в случае плоской деформации устанавливается связь между приращениями деформаций ¿ех, ёе^, , приращениями напряжений с1аг, с!ау, ётду и напряжениями ох,оу, тху.
Будем считать, что упрочнение является изотропным, а приращения деформаций складываются из приращений упругих и пластических составляющих
ёе, = ёв/+ёе/, ёе,= ёе/ + ёе/, Ауху = Ауху'+ ёУг/, (2)
здесь индексами ей р обозначены упругие и пластические составляющие соответственно.
Предположим также, что относительное изменение объема 9 и среднее напряжение а связаны также, как и при упругой деформации: а = Кб или (1а = ЛхЮ , где К = X / р. - объемный модуль упругости.
Будем считать, что приращения напряжений и упругих деформаций связаны между собой обобщенным законом Гука:
ёе/= 1 /Е [( 1 - ц2) (1а, -ц( 1 + ц) Аау ], <Ц*= НЕ [(1 - ц2) ёа,-ц( 1 + ц) ёа, ],
ёу^=1/(7^. (3)
В качестве условия пластичности возьмем энергетическое условие, по которому наступление пластического состояния определяется только вторым инвариантом девиатора напряжений, а в качестве параметра q упрочнения выберем параметр Удквиста, считая, что обобщенную кривую а„ = Ф(д) можно построить по диаграмме деформирования материала, найденной из опытов.
Приращения пластических деформаций запишем в виде [2, 3] ёв/ = Р„ (ст,)( ах-а) ёст,, ёе/ = ^ (а,)( а, - а) ёа,, ¿ухур = (а,) хху ёа,, (4)
где а,= V (1 - ц + ц2)(а2,+ а2у) - 0,0,(1 + 2ц - 2ц2) + Зт%,
с=(1+цУЗ(ст, + о,). (5)
Значение функции может быть найдено с помощью обычной кривой
деформирования и определено по формуле [2, 3],
Гз/ (2а )(1/Ек - 1/Е), а >а), Ч (6)
О, а, < а{,
где о\ - интенсивность напряжений, соответствующая по кривой деформирования пластической деформации £,/р, накопленной к началу рассматриваемого этапа нагружения е,/= 1<1ер ,Ек-д о, (е,) / 3 б,.
Здесь интенсивность дифференциалов пластической деформации вычисляется по формуле
2/3 л/ (ёе/)2 + (ёЕ/)2 - ёе/ ¿бур+ (ёу^О2 (7)
Подставив (3) и (4) в (2), получим уравнения состояния пластически деформируемой среды по теории течения:
ёе,= 1 /Е [(1 - ц2) йа, -ц( 1 + ц) с!ау ] + ^ (сг,)( а, - с ) ёа„ ёе,= НЕ [(1 - ц2) ёсту -ц( 1 + ц) ёа, ] + (а,)( а,-а) ёо,, (8) ёу^ = 1/6 ёт^. + (а,) т^ ёа, . Численное решение рассматриваемой задачи проведем методом дополнительных деформаций [2 - 4]. Согласно этому методу решение задачи проводится поэтапно в смысле нагружения. При этом реальный процесс нагружения - разгрузки, материала аппроксимируется квазистатическим процессом, в котором изменение нагружающего параметра ассоциируется с изменением времени. В качестве нагружающего параметра выберем перемещение V в центре отверстия выпуска материала, а в роли начального приближения решения задачи возьмем решение этой же задачи, но при закрытом выпускном отверстии.
Согласно технике применения метода дополнительных деформаций выполним интегрирование соотношений (8) по времени для «-го этапа нагружения, в результате получим:
Л„е,= 1 /Е [(1 - ц2) Д„с, -ц( 1 + ц )Л„сту ] + Л„е/,
АлВу= 1/Е [(1 - ц2) Апау -Ц( 1 + Ц ] +Л„е/, А= МО А„ т^ + Д„у^р где Д„е/ = <е/"> ёст„ Д„е/ = <е/"> ёа,, А„е/= ёс*, (9)
при этом под <е/">, <£/">, <е^т> понимается среднее значение величин
е/= (о,)(ах - с)]„, г/ = [Еа (ст,)(ау - а)]„, у/ = /^Да,) V . (10) Разрешив соотношения (8) относительно приращений напряжений и учитывая равенство нулю объемной пластической деформации, будем иметь Д„стх = (I + 2С) Алгх + ХА„еу - Ю Апг\,
Д„сту = (X + 2(7) Д„е, + ХД„е, - 2(7 Апг\, Дпт„ = С7 АпУху - в АпУхур. (11) Для вычисления приращений напряжений, деформаций и перемещений на каждом этапе нагружения построим процесс последовательных приближений. Первоначально приращения перемещений будем вычислять по напряженно-деформированному состоянию предыдущего этапа, затем будем полагать
< Аи" > = (ДгЛ1 +Ди"), < Ду" > = 1/2 (Ду"'1 + Ду"), < е/л > = 'Л (е/"'1 +е/я), (12)
и расчет будет повторяться до тех пор, пока значения приращений перемещений и пластических деформаций на смежных итерациях не окажутся достаточно близкими.
Если подставить соотношения (11) в уравнения (1) и использовать при этом соотношения аналогичные соотношениям Коши, связывающие приращения компонент деформации с приращениями перемещений, то можно получить систему дифференциальных уравнений для последних. Решение этой системы относительно приращений перемещений проводилось методом конечных разно'стей, для чего была поставлена соответствующая краевая задача. Краевые условия для указанной системы определялись следующим образом (см. рис. 1): на границе ЬМ и ЕЫ: А„хху = О, Л „ау = 0 — свободная поверхность; на границе МЫ: А „и = 0, Д „т„ = Д пах - шероховатая стенка, у - угол трения; на границе ЕО: Д пи = 0, А „у = 0 - абсолютно шероховатая стенка; на границе ОЬ: Д „и = 0, Д пхч — 0 - идеально гладкая стенка. Конечно-разностная краевая задача (КРКЗ) решалась методом верхней релаксации.
По приведенным выше формулам вычисления проводились в следующей последовательности. Предварительно определялись исходные данные задачи: задавались геометрические характеристики а, Ь, с области решения, механические характеристики материала Е, ц, ц/, о/, ст2', а3', ст4' и зависимость о, = а, (в,) в аналитической форме или таблично. Далее задавались начальные значения всех величин, принимающих участие в вычислениях - и, у, Ди, Ду, ех, ах, е/, ... Затем, решалась упругопластическая задача при закрытом отверстии, т.е. на всей границе ОЫ принимались условия Ди = 0, Ду = 0. При этом нагружение собственным весом осуществлялось не сразу, а поэтапно - за т - этапов. Алгоритм решения этой задачи является частным случаем алгоритма задачи истечения и поэтому отдельно его описывать не будем, тем более, что разгрузка отдельных элементов материала при нагру-жении собственным весом принципиально невозможна. Под элементом материала здесь и далее понимается достаточно большая совокупность отдельных зерен в окрестности узла (/,/).
Решение задачи при закрытом отверстии будем считать первым этапом решения задачи истечения. Определение компонент решения и2, у2, 2вх, ... 2<зх, ... , (индексами внизу условимся отмечать номер этапа нагружения, а индексами вверху, слева или справа - номер итерации метода последовательных приближений) на втором этапе проводились по формулам и2= м,+Д2м, у2 = VI +А2у, 2гх = ]ех+А2гх,... 2ах= [ах+А2ах,... 2<? ,ер+Д2ер (13) и следующей схеме.
По найденным на первом этапе дополнительным деформациям, при Др=0, открытом отверстии и заданным значениям (Д2у)/,о по некоторому закону (линейному или синусоидальному, / - соответствовало точкам отверстия) находилось решением КРКЗ первое приближение Д2м', А2у', затем по
формулам - аналогам соотношений Коши определялись соответствующие им величины ДгеЛ ... , далее, по ним и формулам (11) при Д2'е/ = 0 , ... вычислялись &2<зх ',-••, после чего - величины ¡а,1 = + Д2СТ;Л ..., по ним и формуле (5) вычислялись интенсивность напряжений ст, (теоретическая).
Далее по формуле (3) определялись приращения упругих деформаций Д2'е/,..., затем - приращения пластических деформаций Д2'е/ = Дг'е^-Дг'е/, ..., и по ним и формуле (7) вычислялась интенсивность 2]<1е? дифференциалов пластических деформаций. После чего, определялось значение интенсивности 2е'р = \ер + и, наконец, значение интенсивности полных деформаций е,- по формуле
2е\= ст, /л/3 + ге\ .
При этом знак «+» или «-» для ст, выбирался (также как и для г&еГ) исходя из знака объемной деформации 0 = е2Л + е2у, именно, если 0>О (т.е. и ст>0, что соответствует растяжению элемента материала), то принимался знак «-», в противном случае, при сжатии элемента материала - знак «+».
Далее вычислялось приращение интенсивности деформаций Де, = 2е',- и затем включался алгоритм учета истории нагружения элемента сыпучего тела, который выдавал значение odi интенсивности напряжений соответствующее кривой деформирования найденной опытным путем и значение производной Ек= Эст,{е,) / де, - модуль упрочнения, затем по формулам (6) и (10) определялись величины '2е/, ... , и по ним и формулам (11) и (9) переопределялись дополнительные деформации Д2'е/ , ... , причем ёст, вычислялось как с!ст,= 2'ст/'- \<з?.
После чего с найденными значениями Д2'е/выполнялась вторая итерация процесса последовательных приближений и, затем вычисления повторялись в описанном порядке до тех пор, пока различия в значениях Д2""'е/ ... Л2"е/, -•• оказывались меньше требуемой погрешности, после чего по формулам (13) и находились компоненты решения на втором этапе выгрузки бункера (втором этапе нагружения). Третий этап начинался с решения КРКЗ при Д2е/ , ... и нахождения Д3'н, Д3'у, далее процесс повторялся до значений и", у", при которых сохранялся физический смысл получаемого решения.
В заключение отметим, что при учете истории нагружения элемента материала были использованы пределы текучести при растяжении-сжатии динамически уложенного сыпучего тела наряду с таковыми для материала с естественной (насыпью) укладкой зерен [5]. Под динамической укладкой понимается следующее. Предполагается, что при течении материала его зерна, стремясь занять устойчивое положение, ориентируются длинными осями и утолщенными частями по направлению к отверстию и, двигаясь к нему, сближаются (регулярно укладываются), увеличивая тем самым плотность материала и пределы текучести.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Маркушин А.Г. К построению модели истечения сыпучего материала // Математика, механика и их приложения :Материалы науч.-практ. конф. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1998. С. 58.
2. Биргер И.А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изв. АН СССР. Сер. механика. 1965. №2. С. 113 - 119.
3. Биргер. И.А. Теория пластического течения при неизотремическом нагружении // Изв. АН СССР. Сер. механика и машиностроение. 1964. №1. С. 193.
4. Шевченко Ю.А. Термопластичность при переменных нагружениях., Киев :Наукова думка, 1970.
5. Маркушин А.Г. Об алгоритме учета истории нагружения в задаче истечения сыпучего материала // Математика, механика и их приложения :Материалы науч.-практ. конф. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1998. С. 56.
УДК 539.3
В. А. Крысько, Л. Ф. Вахлаева, Т. В. Вахлаева
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИИ И БИФУРКАЦИЙ ПЛАСТИНКИ ПРИ НЕОДНОРОДНЫХ ВДОЛЬ СТОРОНЫ КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОДОЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
За исходные уравнения приняты уравнения Маргера-Власова-Муштари:
d2w dw
- + Е— = —
1
dtz
d2w
дх1
dx4 d2wd2F дх2 dy2
dt
d2F dy2
+ 2-
12 P,
dx4
d4w
дх2ду2
+ X2--
„ d2w d2F d2w
•2—-+ —-
дхду дхду ду
d2F
д4 2 O W
д7
d4F
дх2ду2
,254F 1 , v + X —r = —í tv.wL dy4 2
d2w d2F
d2w d2F
где L(w,F)=" " ^ \ -2
V ; ^ 7 ~ 7 дхду дхду ду2 дх2
Рассматриваются колебания при е = 1 квадратной пластинки из изотропного материала (v = 0.3), у которой часть границы, а именно {О < х < 0.5,7 = l}> защемлена, а оставшийся контур - шарнирно-оперт под действием продольной нагрузки Рх = Р0 sin coi. Из вариационных принципов в точке разрыва получены условия согласования [1]:
