CC BY
34
Надо учесть, что qh>0, qí<0, Эqh /ЭToh<0, Эqг /ЭT0/<0. Последние два неравенства требуют пояснений, так как согласно (1) обе производные должны быть положительными. Однако мы рассчитываем эти производные с учетом решения задачи (2)-(4). В этом случае qh=qh(Toh, Ти), qh=qh(T0h, Т0г), которые определяются формулами (14), (15). При увеличении температуры Т№ требуется меньший поток теплоты, чтобы обеспечить заданную мощность п; при увеличении температуры Т0г требуется большее значение интенсивности отвода теплоты от рабочего тела, а значит, меньшее значение qoг.
Из равенства (14) примем, что
sign
dT0
=sign
'apO
Oh
\dTo, J
Это также становится понятным, если учесть, что при q;<0 требуется, чтобы pi было также отрицательным. Производные dqh/dT0h, dq/3T0l связаны с интенсивностью потоков qh и следующим образом:
ЭЧЬ = :2а" 41D^2a(n+"(T0h - T ))-4«n]=
dT0h 2
4 1+
n-a(Toh - To, )
VD
aq, Vd'
зг,
=^a- 4lD!-2a(n+a(Toh - To, ))]= a L n+a(Toh - To, )"
2
1
Vd
aqh Vd'
(20)
С учетом (20) равенство (19) примет вид
Г \2
qh,
dp, dT
(21)
откуда с учетом отрицательности величины q,:
dp,/ dT
q,
qh VW dToi
n=i+^=i-
или
dp,/ dTo,
(22)
4h \dPj dT0h
Уравнение (22) является условием оптимальности для выбора таких значений T0h, T0/, чтобы экономическая эффективность предприятия была бы наибольшей, а значит, диссипация капитала -наименьшей [2].
Интересно, что для выбора функций спроса и предложения (кинетики ресурсообмена в экономической системе), определяющих зависимость цен от интенсивностей потоков и величин температур источников T0j (je {h, /}), удобно воспользоваться следующей зависимостью:
Pj = Vj _ Pjqj(T0h,T°' ),je{h, Z}. (23)
Это связывает цену с потоком энтропии, отбираемым от j-го источника.
К сожалению, расчет значений T°h, T0/ для зависимостей (23), удовлетворяющих условиям (22), а значит, и решение задач третьего этапа, аналитически невозможны - требуется численный расчет для конкретных значений параметров кинетики ресурсообмена a, ph, vh, v;, а также заданной функции спроса p(n).
Литература
1. Sieniutycz S., Salamon P. (eds.). Finite-Time Thermodynamics and Thermoeconomics. Taylor & Francis, 1990.
2. Миронова В.А., Амелькин С.А., Цирлин А.М. Математические методы термодинамики при конечном времени. М.: Химия, 2000.
3. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М.: Экономика. Дело, 1992.
4. Цирлин А.М. Оптимальные циклы и циклические режимы. М.: Энергоатомиздат, 1985.
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПРЕДЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.А. Ахременков, к.т.н. (ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский,
andrei@eco. botik. ru)
В работе рассмотрена задача расчета максимальной извлекаемой мощности для термической системы произвольной конфигурации, содержащей тепловую машину.
Ключевые слова: оптимизационная термодинамика, тепломеханический преобразователь, тепломеханические системы.
Термодинамика при конечном времени получила первый толчок для своего развития в задаче о цикле тепловой машины с максимальной мощностью [1, 2]. При этом в большинстве работ рассматривалась система, состоящая из тепловой машины и нескольких резервуаров с заданными и постоянными температурами [3].
Между тем эта задача особенно актуальна для систем, состоящих из термических резервуаров и
подсистем конечной емкости с различающимися температурами, находящихся в контакте с резервуарами и друг с другом (см. рис.).
В такой системе с отличающимися друг от друга температурами резервуаров при заданных законах и коэффициентах теплопереноса устанавливается стационарный режим, характеризующийся распределением температур между подсистемами и дискретным температурным полем. При
этом каждая подсистема (резервуар, подсистемы конечной емкости и тепловая машина) считается внутренне равновесной, так что необратимые эффекты возникают на границах подсистем. Только при этих допущениях для каждой подсистемы справедливо термодинамическое описание. Такие системы в литературе называют endoreversible-системами.
Естественно возникает вопрос, какую максимальную мощность можно извлечь в стационарной термодинамической системе с использованием тепловой машины, имеющей заданные коэффициенты теплообмена при контакте с каждым элементом системы. Назовем это задачей о максимальной мощности. В такой постановке она обобщает задачу И.И. Новикова [1].
Математическое описание
Рассмотрим термодинамическую систему (структура ее представлена на рисунке), состоящую из (п-т) резервуаров с постоянными температурами, т подсистем конечной емкости, температуры которых определяются запасом их внутренней энергии. Каждая подсистема может контактировать с любой подсистемой и резервуаром, к ней могут подводиться конвективные потоки тепла извне qjK. Потоки обмена теплом подсистем друг с другом обозначим как qjj(Tj, тц). Эти потоки связаны с различием температур подсистем. Будем считать, что поток положителен qjj(Tj, Т|)>0, если тепло поступает к 1-й подсистеме, то есть Т^Тр Функции qjj(Tj, тц) обладают следующими свойствами:
qjj(Tj, Т|) - непрерывная и непрерывно дифференцируемая по совокупности аргументов;
qij(Ti' тц)=- qjj(Tj, т1); qu (Т - о^ т = т ; Ч Л зч» „ зчц ^и „ эт1 ЭTj Нч Эт1 ЭTj
Последнее свойство характерно для систем теплообмена.
Температура подсистем зависит от запаса внутренней энергии и изменяется в результате подвода (отвода) тепла к ней:
т=
(1)
где qj - суммарный поток тепла, подводимый к подсистеме; С1 - ее теплоемкость.
Рассмотрим стационарное состояние тепломеханической системы, содержащей тепловую машину, которая может контактировать с подсистемами, получая или отдавая им потоки тепла, потребляя или вырабатывая мощность. Требуется найти такие температуры контакта и рабочего тела тепловой машины с каждой из подсистем, при которых получаемая в единицу времени работа (мощность Р) максимальна. Если максимальная мощность отрицательна, то она соответствует минимуму затрат подводимой извне энергии (в этом случае тепломеханическим преобразователем является тепловой насос).
Постановка задачи и условия оптимальности
Обозначим через и температуру рабочего тела при контакте с 1-й подсистемой; qjj(Tj, Тц) - поток тепла между 1-й подсистемой и преобразователем; Р - мощность преобразователя. Поток, поступающий в каждую из подсистем, будем считать положительным.
Формализуем задачу о максимальной мощности:
P=Vqi(Ti,ui)^ max
t? u' >0 при условиях
P=Aq,(T„u,)=0;
1=1 U '
(2)
(3)
^(Т^)=qj(Tj,Uj),i=1,...,т. (4)
j=l
Критерий (2) следует из энергетического баланса рабочего тела преобразователя. Условие (3) вытекает из энтропийного баланса рабочего тела, а (4) - энергетический баланс для 1-й подсистемы конечной емкости.
Предположим, что потоки qj, qjj линейно зависят от разности температур
qj=аДТ - и^=ац(Т) - Т1), (5)
где ау - коэффициенты теплопереноса. Такой
закон теплообмена называют ньютоновским.
Очевидно, что при числе резервуаров, большем или равном двум, и различающихся температурах резервуаров максимальная мощность положительна.
Разобьем задачу на три подзадачи. 1. Максимизировать извлекаемую мощность
Р*(аг) при контакте преобразователя с резервуа-
п
рами для заданного значения аг - потока энтропии от резервуаров к рабочему телу
Рг(°г) = Ё qi ^тах
(6)
(7)
при условии
Ё _ = °г .
!=т+1и!
2. Максимизировать извлекаемую мощность Р*(а8) при контакте преобразователя с подсистемами конечной емкости для заданного значения а, - потока энтропии от подсистем к рабочему телу
т
р8(о8)=Ёqi ^ т„ах
i=l п
при условии
Ч,
(8)
1=4
(9)
и балансовых соотношениях (4).
3. Найти максимальную суммарную мощность при условии баланса по энтропии для рабочего тела преобразователя, производство энтропии в котором равно нулю:
Р(Ч,)=Р*(а,)+Р*(а аг +а = 0. (10)
Первая из этих задач рассмотрена в работе [4] для случая аг = 0, где показано, что для ньютоновского теплообмена значение приведенной температуры контакта Л определяется как
4Л=*
п Ё
а[= Ё а •
(11)
1=Ш+1
Максимальная мощность, извлекаемая при контакте с резервуарами:
п
Рг-(ог) = Ё а1Л/Т
ч/Т -
п
Ё а,^
(12)
ч
с ростом аг эта мощность монотонно возрастает.
Во второй задаче требуется найти не только температуры контактов и,, но и температуры подсистем Т, для ^=1, ..., т. Выразим и, через qj и Т, при условии, что потоки тепла заданы в ньютоновской форме (5):
Т qi
и = 1. —-, i i а ,
(13)
и перепишем балансовые соотношения (4) как систему линейных уравнений относительно температур подсистем Т,, ^=1, ..., т:
т п п
Ё^-Т Ёац = qi - Ё а^,1=1,-,т. (14)
Ц=1 Ц=1 j=m+1
Или в матричной форме: А(а)Т=С^),
где А(а)=
а11-а 1 а1
а,,
а,
(15)
а = Ё«ч , C(qi)=qi - Ё аijTj = qj - К, .
Ц=1 j=m+1
Обозначим элементы матрицы А(а) через aij (а), а элементы обратной ей матрицы А-1 через Ьу(а) и выразим температуры подсистем через потоки qj и заданные температуры резервуаров:
Т=А-1ОД,
ВД=bll(ql - К1)+bl2(q2 - К,)+...
+bim(qm -Кт).
(16)
ЭТ.
При этом —=Ь,., Эqv
=1,...,т, у=1,...,т .
Перейдем от задачи (8), (9), (4) относительно и,, Т, к оптимизационной задаче относительно по-
токов тепла
qj: Р=Ёqi ^ тах при условии
аiqi
-=о„
(17)
Р=Ё-
£ аiTi(q)-qi
Выпишем функцию Лагранжа для задачи (17): Ла
ь=Ёq.
1-
(18)
Условие ее стационарности по ^ примет фор-
дь Л ^ a2qiЛsbij ,
му =0^У-,-Ц—т+1-
дq ц ыКа,^^)^,)2
а,Т(ч), Л8
г=0, Ц=1, ...,т .
(19)
(а/Гц(ч)-ЧцГ
Решив систему из т+1 уравнений (19), (9) относительно qj, находим оптимальные значения
Ч*(а8) и Л*(а8), а затем значения Т*(о8), и*(а8)
и Р*(08). При таком решении удобнее задавать не
а8, а Л*, затем по формуле (9) рассчитывать соответствующее решению значение потока энтропии а,.
В третьей задаче требуется найти максимальную суммарную мощность, извлекаемую из резервуаров и подсистем.
Выпишем функцию Лагранжа задачи (10):
Ь=Р*(о8)+Рг*(Ог)+Х(а8 +аг). (20)
Из условия стационарности функции Лагран-жа по а,, аг получаем соотношение
ЭР* =ЭР* Эа, Эаг
а21 а22 а 2
а , а , "-а -си
п
п
=1
¡=1
г
аг +аг
аг +аЕ
т эр; Эр;
Так как производные - и - равны
Эп Эа„
Л8(с8) и Лг(аг) соответственно, извлекаемая мощность Р^) максимальна, когда
Л* (с)=Л* (-а),а=аг =-с8. (22)
Приведем алгоритм расчета максимальной мощности, извлекаемой тепломеханическим преобразователем. Поскольку решение задачи разделено на три этапа, рассмотрим поэтапный алгоритм.
1. Заданные переменные: температуры резервуаров Т 1=т+1, п [К]; матрица коэффициентов теплопереноса ау, 1, ¿=1, ..., п [Вт/К]; коэффициенты теплопереноса для контактов преобразователя с подсистемами и резервуарами а1, 1=1, ..., п [Вт/К].
2. Выпишем алгоритм нахождения максимальной извлекаемой мощности при контакте с резервуаром при заданном значении пг:
а) найдем значение приведенной температуры контакта Л(аг) по формуле (11) и значение температур контакта преобразователя с резервуарами по формуле (13);
б) найдем значения максимальной извлекаемой мощности как функцию потока энтропии Рг(аг) по формуле (12).
3. Выпишем алгоритм нахождения максимальной извлекаемой мощности при контакте с подсистемами. Поскольку для решения этой задачи необходимо решить систему из т+1 уравнений (19), (9) относительно qj и Л;, будем использовать для этого метод Ньютона:
а) обратим матрицу А(а) (15) любым доступным методом и выразим значения температур подсистем Т1 относительно qj по формуле (16);
б) составим матрицу Якоби W(q,Л;) для системы (19), (9) относительно qj, 1=1, ..., т и Л; с учетом того, что
а2^ ЛЛ
Ц=X;
+1-
а2т(д) Л; "(а.¡'ВД^.^
=0,.=1,...,т
в) в качестве начального приближения возь-
1 п
мем ф0=0, Л0 =-У Т ;
п - т1=т+1
г) найдем следующие приближения:
<дk+1, Лк+Х >=< qk, Лк >-W-1(дk, Л^ )F(дk, Л^);
д) вычислим значение функции F в точке q
k+1
k+1
; повторим итерацию до необходимой точ-
ности.
е) найдя оптимальные значения g* (с8) и
Л*(с8), можно найти температуры подсистем ТТ* по формуле (16) и значение температур контакта
* " т» *
и1 и извлекаемой мощности Р; .
4. Вычислим значения Лг(сг) и Рг*(сг) для значений пг = 0 .
5. Решим вторую задачу для пг =-о;. Вычислим Л*(с8).
6. Если |Л*(а8)-ЛГ(ог) >5, перейдем к п. 4 с
учетом аг =аг +е.
7. Вычислим значение извлекаемой мощности для полученных оптимальных Л; и .
Пример. Рассмотрим систему, состоящую из двух резервуаров, четырех подсистем и преобразователя. Структура системы показана на рисунке.
Матрица коэффициентов теплопереноса имеет вид
0 8009007004000 8000 5009000 100 9005000 3002000 7009003000 0 250 4000 2000 0 0 01000 2500 0
Значения а. при 1, ¡=1, ..., 4 соответствуют коэффициентам взаимодействия подсистем между собой, значения при 1>4 или ¡>4 - коэффициентам взаимодействия подсистем с резервуарами. Температуры резервуаров: Т+=700 К, Т_=300 К. Коэффициенты теплопереноса при взаимодействии преобразователя с подсистемами и резервуарами: а=1000, а2=1300, а3 =900, а4 =800, а5 =100, а6 = 50.
Значения а1 при 1=1, ..., 4 соответствуют коэффициентам взаимодействия с подсистемами, а при 1>4 - коэффициентам взаимодействия с резервуарами. Коэффициенты имеют размерность Вт/К.
Сначала были найдены значения Лг(сг) по
{а„}=
формуле (11) и Рг (сг) по формуле (12) для значений пг, лежащих в интервале [0, 0,5]. Затем решалась система из т уравнений (19) для фиксированного значения Л; на отрезке [400, 600] К и по формуле (9) рассчитывалось соответствующее значение .
После этого находились оптимальные п и Л по формуле (22), значения температур подсистем Т1 по формуле (16) и температур контакта преобразователя и1 по формуле (13).
В результате были получены следующие значения оптимальных температур: Т1=564,8 К; Т2=540,2 К; Т3=563,7 К; Т4=527 К.
Оптимальные температуры контакта преобразователя с подсистемами: и1=557,8 К; и2=543,6 К; из=557,7 К; щ=536,3 К; и5=620,2 К; иб=406 К.
Значение предельной извлекаемой мощности Р*=3,22 кВт.
В работе получены оценки максимальной извлекаемой мощности для произвольной стационарной термодинамической системы и соответствующие ей распределения потоков тепла и температур контакта рабочего тела с подсистемами. Предложен алгоритм расчета максимальной извлекаемой мощности и оптимальных характеристик тепловой машины.
Литература
1. Novikov I.I. The efficiency of atomic power stations // J. Nuclear Energy II. 1958. № 7, pp. 25-128.
2. Curzon F.L., Ahlburn B. Efficiency of a Carnot engine at maximum power output. Amer.J. Physics. 1975. № 43, pp. 22-24.
3. Amelkin S.A., Andresen B., Burzler J.M., Hoffmann K.H., Tsirlin A.M. Maximum power processes for multi-source endore-versible heat engines J. Phys. D: Appl. Phys. 2004. № 37, pp. 1400-1404.
4. Tsirlin A.M., Kazakov V., Ahremenkov A.A., , Alimo-va N.A. Thermodynamic constraints on temperature distribution in a stationary system with heat engine or refrigerator // J. Phys. D: Appl. Phys. 2006. № 39, pp. 4269-4277.
ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ОПТИМИЗАЦИИ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
(Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 08-01-00274-а)
А.О. Блинов; В.И. Гурман, д.т.н.; Е.А. Трушкова, к.ф.-м.н.; В.П. Фраленко (ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, [email protected])
В статье описывается программный комплекс ISCON (Improvement and Synthesis of Control), в котором успешно реализованы на кластерном вычислительном устройстве алгоритмы аппроксимации, оптимизации и улучшения приближенно-оптимального управления для различных динамических процессов с управлением. Проведено исследование возможностей и эффективности ПК ISCON на ряде модельных и прикладных задач.
Ключевые слова: задача оптимального управления, аппроксимация, метод наименьших квадратов, метод улучшения, параллельный алгоритм, язык программирования Т++.
Статья посвящена разработке и реализации методов синтеза оптимальных целевых законов управления, что является кардинальной проблемой теории и практики управления. Ее решение связано с бесконечномерными обратными задачами, аппроксимируемыми при численной реализации многомерными задачами, требующими неограниченно растущих вычислительных ресурсов для приближения к точным решениям. Это приводит к неизбежному выводу о необходимости реализовать решение подобных задач на современных высокопроизводительных вычислительных системах параллельной архитектуры. Парадигма параллельных вычислений в высшей степени соответствует самой природе рассматриваемых задач, связанных с множественностью однотипных операций на верхнем уровне, таких как решение обратной задачи через множество решений прямой (прямо или косвенно), а также формирование и численная реализация полей управлений (ситуационных управлений).
В статье приводятся результаты разработки, реализации и исследования экспериментального варианта программного комплекса (ПК) улучшения и оптимизации законов управления для приложений в различных областях (ПК ISCON) с распараллеливанием и переносом на кластер.
Комплекс предназначен для моделирования сложных динамических процессов, решения оптимизационных задач и задач улучшения управления для различных прикладных областей на
кластерном вычислительном устройстве. С этой целью в нем реализованы алгоритмы аппроксимации, оптимизации и улучшения приближенно-оптимального управления. Главными компонентами комплекса являются графический интерфейс, сервер управления, управляющие модули и набор исполняемых модулей.
В графическом интерфейсе происходят ввод начальных данных, постановка задачи, выбор метода решения задачи, управление потоками данных, визуализация и сохранение результатов. Сервер управления участвует в обеспечении пользователей доступом к возможностям комплекса, принимает запросы на решение выбранных задач с выбранными пользователем настройками. Управляющие модули принимают полученную от сервера управления информацию и выполняют развертывание полигона для вычислений, запуская в дальнейшем либо локально, либо удаленно исполняемый модуль решаемой задачи. Кроме того, модули обеспечивают сбор выходных данных и их передачу обратно серверу управления.
Основной идеей при разработке архитектуры системы было обеспечение гибкости и расширяемости. Выбранная модульная схема ПК обеспечивает расширяемость и масштабируемость. Гетерогенность вычислительной среды поддержана включением в архитектуру ПК управляющих модулей, связывающих физически разделенные компоненты ПК. В зависимости от набора исполняемых модулей ПК может использоваться при соз-
