Алгоритм расчета переходных и установившихся процессов асинхронного двигателя Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313.33

В.И. Чабан, 3.1. Гоголь, С.М. Костючко

АЛҐОРИТМ РОЗРАХУНКУ ПЕРЕХІДНИХ І УСТАЛЕНИХ ПРОЦЕСІВ АСИНХРОННОГО МОТОРА

Запропоновано спільний алгоритм розрахунку перехідних і усталених процесів трифазного асинхронного мотора при наявності конденсатора в одній з фаз статора. Диференціальні рівняння пристрою записані в нормальній формі Коші. Перехідний процес одержується при заданих початкових умовах, усталений - при таких, що виключають перехідну реакцію. Подаютьсярезультати симуляції.

Предложен общий алгоритм расчета переходных и установившихся процессов трехфазного асинхронного двигателя при наличии конденсатора в одной из фаз статора. Дифференциальные уравненияустройства записаны в нормальной форме Коши. Переходный процесс получается при заданных начальных условиях, установившийся - при таких, что выключают переходную реакцию. Приводятсярезультаты симулирования.

Вступ. Наявність конденсаторів у обмотці статора трифазного асинхронного мотора - достатньо частий випадок на практиці. Для аналізу перехідних і усталених процесів таких моторів ми пропонуємо спільний алгоритм, що опирається на загальну теорію нелінійних диференціальних рівнянь: Розв’язується двоточкова крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь електромеханічного стану.

Обмежимося випадком наявності конденсатора лише у фазі С. Це з одного боку спрощує математичні побудови, а з іншого ускладнює фізичний процес за рахунок появи напруги зміщення нейтралей.

Для розв’язання поставленої задачі необхідно було сперш: побудувати математичну модель пристрою, а також допоміжну модель параметричної чутливості [1, 2]. Це й стало підставою побудови матриці монодромії, а на її підставі просимулювати перехідний і усталений процеси.

1. Математична модель. Обмотка ротора мотора за кількістю витків вважається приведеною до обмоток статора. Струми обмотки ротора приводяться також за частотою до струмів обмотки статора. У такому разі рівняння електромаґнетного стану мотора можна записати у вигляді [1]

— = А(и -П’Ч- Яі), Ж

де

Х = и, ¥,і; А =

АБ АБЯ

АЯБ АЯ

а =

1

п

я =

Я Б

ЯЯ

(1)

(2)

Тут ік = (ікА, ікв), к = Б, Я - колонки фазних струмів обмотки статора й перетворених струмів обмотки ротора; ик = (икА, икв), к = Б, Я - колонки фазних напруг обмотки статора; АБ, АБЯ, АЯБ, АЯ - матриці

АБ = аБ(1 “аБО); АБЯ = АЯБ =~аБаЯО;

Ая =а я (1 -ая°),

де О, О. - матриці

(3)

О =

Т + Ьаіа ЬВіА

ЬАіВ Т + ьв1в

п = -

ю -1 - 2

я 2 1

(4)

2 Я - Т

Ьа = Ь(2іа + їв); Ьв = Ь(іА + 2ів);Ь =- ——;

Я =-

1

Т =-

1

(5)

а б + а я + р а б + а я + т

Тут х, р - обернені статична й диференціальна індуктивності, їх знаходимо за характеристикою на-маґнечування (холостого стану) машини як:

^ (ї ) "Г1 Г (ї ) Т1

^ тУ1т / ; _ _ ’ (6)

’ /-7' ?

_ 1т J І т _

де іт - модуль просторового вектора намаґнечуваль-них струмів

Іт = 2^(іА + іАіВ + іВ)/3 ; 1А = іБА + іЯА; 1В = 1БВ + 1ЯВ ■ (7) При відсутності насичення характеристика нама-гнечування вироджується в пряму іт = от^и, де а,„ -обернена основна індуктивність, а матриця (4) згідно з (6) - у діагональну

1

1

1

О =-----------------1—Ы (8)

аБ +а Я +ат

що значно спрощує рівняння (1). У такому разі ми отримуємо найпростішу з усіх відомих математичну модель асинхронного мотора; ЯБ, ЯЯ - матриці опорів

(9)

Яб =

ГБ

ГБ

; Яя =

ГЯ

ГЯ

причому об, иЯ - обернені індуктивності дисипації обмоток статора й ротора; гБ - опір фаз статора; гЯ -приведений опір обмотки ротора; О - матриця кутової швидкості ю.

Компоненти колонки повних потокозчеплень обмоток статора й ротора знаходимо так

= _ (іБ/ + 1Я} ) + Ік}, І = Л В; к = Б, Я.

(10)

(11)

причому

X ак

Елементи колонок напруг статора й ротора иБ = ит 8ІП(ЮоО + ис /3, ит 8ІП(ю0/ - 1200)г +

+ ис / 3; ия = 0, де ит, ю0- амплітуда й кругова частота напруги мережі: ис - напруга конденсатора.

Зрозуміло, що диференціальне рівняння (1) треба доповнити диференціальним рівнянням конденсатора

Б

Я

ёиг

ж с

де С - ємність конденсатора.

Рівняння механічного стану одержуємо на підставі рівняння Лагранжа, нехтуючи штивністю та дисипацією механічних ланок,

— = Р°(ме “М(ю)Х МЕ = ^Р0(^БАІБВ ~^БВіБА X (13)

аґ 3

де М(ю) - механічний момент; р0 - число пар магнет-них полюсів; 3 - момент інерції ротора; МЕ - електро-магнетний момент. Формулу (13) одержано, виходячи з запасу електромагнетної енергії в контурах машини.

Система диференціальнихрівнянь (1), (12), (13) -математична модель конденсаторного асинхронного мотора. Вона призначається для аналізу перехідних і усталених процесів. Для практичного користування нею необхідно знати такі вхідні дані: опори й обернені індуктивності дисипації обмоток статора й ротора; характеристику холостого стану, а при неврахуванні насичення основного магнетного кола - обернену основну індуктивність машини, ємність конденсатора, число пар маґнетних полюсів і момент інерції ротора. Вхідними сигналами є: фазні напруги живлення і механічний момент на валу.

2. Розв’язання задачі Коші. Систему звичайних диференціальних рівнянь (1), (12), (13) запишемо в загальному вигляді

ах

— = /(х,ґ), х = (і,ис, ю)ґ. (14)

а

Інтегрування диференціальних рівнянь (14) при заданих початкових умовах

х(0| ґ=+0 = х(0) (15)

і становить задачу Коші для заданої системи диференціальних рівнянь, яка презентує задачу розрахунку перехідних електромеханічних процесів мотора. Щоб розв’язати двоточкову крайову задачу, необхідно знайти сперш матрицю монодромії.

3. Побудова матриці монодромії. Скористаємося все тією ж колонкою невідомих х (14). Але для побудови допоміжної моделі чутливості утворимо колонку невідомих у

у = ЄР, ис, Сй),. (16)

Відповідне (18) диференціальне рівняння (1) має вигляд

(12) буде

---= и-О'Т-Яі.

а

(17)

Матрицю монодромії запишемо у вигляді [1]

Ф = (Аі, q, м)ґ, (18)

де

і = -

-; q = -

ди,

с .

да

(19)

дх(0) дх(0) дх(0)

Варіаційні рівняння для обчислення субматриць (19) одержуємо диференціюванням по х(0) рівнянь електромеханічного стану (12), (13), (17). Диференціюючи (17), одержуємо

^ (20)

Ж дх(0) дю

Перша похідна по х(0) у (19) згідно з (13)-(15)

—— = - -(q, q,0,0). сХ(0) 3

Диференціюючи по х(0) (12), одержуємо

Ом

аґ

1

дІБА +дІБВ

с ^ йх(0) йх(0) ^ Диференціюючи по х(0) (13), одержуємо

(21)

(22)

= Р°| Г3Р0(^іБВ ^БА

ді

БВ

а з

БВ

ІБА

йх(0)

ді

йх(0)

БВ'

БА ) дМ(Ю) м

Л

(23)

дх(0) дх(0) Зю

Похідні дх¥8АІдх(0), дх¥8ВІдх(0), ді8АІдх(0), ді8ВІдх(0) є елементами матриць і, Аг, тому вони відомі.

Таким чином, побудова матриці монодромії розглядуваного асинхронного мотора вимагає інтегрування рівнянь першої варіації (20), (22), (23).

4. Розв’язання двоточкової крайової задачі. Існують такі початкові умови х(0), які при інтегруванні (14) на інтервалі часу від 0 до Т дають змогу ввійти безпосередньо в періодичний розв'язок, обминаючи перехідну реакцію. Такі початкові умови розглядатимемо як аргумент рівняння періодичності

/ (х(0))= х(0) - х(х(0),Т ) = 0, (24)

де Т - період.

Розв'язання нелінійного трансцендентного рівняння будемо здійснювати ітераційним методом Ньютона

х(0)(

(*+1) = х(0)(і) - /'(х(0)^)"1 /(г(0)(і)) (25) Матрицю Якобі отримуємо диференціюванням по х(0) цільової функції (24)

/'(х(0))= Е -Ф(Т), (26)

де

ф(Т) = ^х(х(0), 0

дх(0)

(27)

Матриця (27) і є шуканою матрицею монодромії (18) в момент часу ґ = Т.

На 5-й ітерації формули Ньютона (25) лінійні варіаційні рівняння (20), (22), (23) підлягають сумісному інтегруванню з нелінійним (14) на часовому інтервалі [0, Т]. У результаті знаходимо цільову функцію (24) й потрібну матрицю Якобі (26), (27), що цілком визначає праву частину ітераційної формули (25), а відтак - і її шукану ліву частину х(0)(5+1). Процес ітерації закінчується при досягненні заданої точності входження в періодичний розв'язок

/(х(0)(5))|<є , (28)

де є - вектор заданих точностей.

Матриця монодромії Ф (27) є, по суті, матрицею чутливостей до початкових умов. Кожний її рядок можна розглядати як градієнт певної змінної у просторі початкових умов, а кожен її стовпчик характеризує чутливість усієї множини змінних до однієї і тієї ж початкової умови. Тому диференціальні рівняння (20), (22), (23) можна розглядати як модель чутливості до початкових умов.

5. Алгоритм обчислень.

1. Маючи на є-й ітерації значення вектора х(ґ)(5) і матриці (на першому кроці початкові наближення ), інтегруємо рівняння (1), (12), (13), (20), (22), (23) на часовому інтервалі [0, Т].

Значення х(0)(0) як нульове наближення формули Ньютона і початкова умова (15) задаються довільними. В тих випадках, коли у розв'язку можливе існування декількох періодичних станів, значення х(0)(0) визначає вхід процесу в зону притягання одного з них. Тому, щоб отримати сукупність усіх можливих періодичних розв'язків системи диференціальних рівнянь, необхідно варіювати цими значеннями.

Виходячи з (24), значення Ф(0)(5), у тому числі й Ф(0)(0), дорівнює одиничній матриці Е

Ф(0)(5) = Е . (29)

2. Маючи тепер значення х(Т)(5) і Ф(Т)(5), згідно з (24) обчислюємо/(х(0)(5)), а згідно з (27) -/'(х(0)(5)).

3. На підставі ітераційної формули (25) знаходимо уточнення значення вектора х(0)(5+1).

Якщо задати умову, що Т^да, то даний алгоритм відтворює розрахунок перехідних процесів!

6. Результати симуляції. Запропонований метод аналізу отримав всебічну перевірку в складних задачах електромеханіки, і виявився дуже ефективним [1, 2]. Результати симуляції перехідного (рис. 1) і усталеного (рис. 2) процесів модельного мотора показано нижче.

О 0.4 08 1.2 1.6 2

Рис. 1. Пуск. Залежність <в = <a(t) при <в(0) = 0

/, S

---'—І—1—І—1—І—'—І—'—І

О 0.004 О.ООв 0.012 0.016 0.02

Рис. 2. Усталений струм i = i(t) на інтервалі [0, T]

ВИСНОВОК Якщо розрахунок усталених процесів електричних машин звести до двоточкової крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь її електромеханічного стану, то побудовані на цій основі алгоритми дають змогу розраховувати як перехідні, так і усталені процеси на спільній математичній підставі.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Чабан В. Математичне моделювання електромеханічних процесів. - Львів, 1997. - 344 с.

2. Чабан В. Математичне моделювання в електротехніці. -Л.: Вид-во Тараса Сороки, 2010. - 508 с.

Bibliography (transliterated): 1. Chaban V. Matematichne modelyuvannya elektromehanichnih procesiv. - L'viv, 1997. - 344 s. 2. Chaban V. Matematichne modelyuvannya v elektrotehnici. - L.: Vid-vo Tarasa Soroki, 2010. - 508 s.

Надійшла 04.02.2011

Чабан Василь Йосипович, д.т.н., проф.

Національний університет "Львівська політехніка" й Ряшівський університет 79021, Львів, вул. Кульпарківська, 142, кв. 33 тел. 067 720-21-81 e-mail: [email protected] Гоголь Зорана Іванівна,

Костючко Сергій Миколайович

Національний університет "Львівська політехніка"

Tchaban V.I., Gogol Z.I., Kostiuchko S.M.

A calculation algorithm for transient and steady-state processes in an induction motor.

The paper introduces a calculation algorithm for transient and steady-state processes in a three phase induction motor with a capacitor in one of the stator phases. Differential equations are given in normal Cauchy form. The transient process occurs under given initial conditions, while the steady-state process takes place under such initial conditions that eliminate the transient response. Simulation results are given.

Key words - three phase induction motor, capacitor, transient and steady-state processes, simulation.