CC BY
74
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XII
198 1
№ 5
УД К 629.735.33.015.4:533.6.013.425
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА МАТРИЦ ПОДАТЛИВОСТИ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ МЕТОДОМ ПОДКОНСТРУКЦИЙ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ АЭРОУПРУГОСТИ
Изложен алгоритм расчетного определения матриц податливости сложных конструкций летательных аппаратов на основе метода заданных форм—„метода многочленов”. Летательный аппарат представляется в виде набора упругих подконструкций (крыло, фюзеляж, органы управления, подвески и прочее) с независимым набором координатных функций, используемых для задания деформаций перечисленных элементов. Связь между подконструкциями обеспечивается дискретными пружинами, моделирующими реальные связи элементов конструкции.
Рассмотрим летательный аппарат, конструкция которого может быть схематизирована набором упругих подконструкций с достаточно регулярным распределением жесткостей, связи между которыми устанавливаются в дискретном ряде точек (рис. 1). Упругость связей будем моделировать соответствующим
Д. Д. Евсеев, А. А. Рыбаков
Рис. 1
набором пружин. Каждую из 5 подконструкций заменим эквивалентным по распределению жесткостей набором упругих элементов.
В задачах аэроупругости всякую несущую поверхность, которая, вообще говоря, есть механическая система с бесконечным числом степеней свободы, обычно сводят к системе с конечным числом степеней свободы. Запишем деформацию исходной к-к упругой поверхности \(/^(х, г, 0 в обобщенных координатах (0> м2* (0> ■ • ■> идкоторые соответствуют координатным функциям
т
Л* {х,г), /2Й {х, г), . . .,Уык(х, г). Тогда Г* (х, г, г) = ^ апк (*>Лгй (*■ г).
п-1
В качестве координатных функций принимаем степенные функции вида
/„ (х, г) = хРп гЧп, к
где рп, ^„—показатели степеней при безразмерных х и г.
В зависимости от особенностей расчетной схемы и конструкции летательного аппарата показатели рю выбираются из условия удовлетворения заданным геометрическим условиям, т. е. из граничных условий.
В пределах линейной постановки задачи, когда деформации выражены линейной комбинацией обобщенных координат ип , потенциальная энергия каж-
к
дой рассматриваемой упругой поверхности будет квадратичной формой от этих координат
1
П* = ^ &''к'ккипкПть
п, т=1
или в матричной форме
Щ = ~2~ и\ & к, ик = {И]*, и2к, . . ЦЛ7^1Т-
Запишем выражение для энергии деформации рассматриваемой конструкции в виде суммы
I 1 г
П = ~2~ иТ и1°Чи 0)
1/=1
и сравним соответствующие элементы этой суммы с элементами другой суммы, выражающей энергию деформации летательного аппарата через энергии деформаций в-упругих подконструкций и энергию деформации пружин связи.
Энергию деформации <-й и связанной с ней у'-й упругих подконструкций запишем в виде
П( + п;- = 4- и] 01 и1 + ~ и) О?; и}, (2)
где Сг“, матрица жесткости г-й и у-й подконструкции без учета жесткостей связи.
Энергию деформации пружин связи между г-й и у'-й подконструкциями запишем, используя диагональные матрицы жесткостей пружин связи:
! 3
Пу + %= т2 {<К“™П)и’ (3)
п= 1
здесь гип(п = 1, 2, 3)у — векторы, описывающие смещения и углы поворота г-й подконструкции относительно у-й в точках расположения пружин связи; Кп{и = 1. 2, 3)у—диагональные матрицы жесткостей пружин, связывающих г‘-ю и у-ю подконструкцию, соответственно по относительным прогибам, углу поворота относительно оси Ог и относительно оси Ох. Нетрудно видеть, что при соответствующем выборе жесткостей пружин связи подобный подход позволяет просто моделировать в расчете практически любой тип связей. Например, при К2 = К3 = О, К1Ф 0 получаем связь типа упругого шарнира с двумя степенями свободы.
Относительные перемещения найдем по формулам
Шпц = хп}. и] - ХПц иь п= 1, 2, 3, (4)
причем Хщ^Хщ, Х3ф — матрица перехода по прогибам (углам поворота относительно оси Ог, относительно оси Ох) метода многочленов [1], определяемая для точек, соответствующих положению пружин связи г-й подконструкции с /-Й.
Подставляя (4) в (3) и учитывая, что К и = К]1, получаем
з .3
Пу+Пл= 4-^12 К^Хп^и-^и] 12 ХІ^ХпріЛ-
п—I п=1
+ -ТиЯ І II2 XI КпихП1]1и, =
п~ 1 ' П=1
= 4~и' А 0и иь-~ и7 Оу и} + 4“ иі— ~уг и) ОП
Таким образом имеем:
Яг + Пу + п, + п/г =1.0-1 Ой + ДОу III/,
и10і]иі +
(5)
(6)
Если теперь учесть, что каждая подконструкция может быть связана с несколькими подконструкциями, и сравнить получаемое выражение с соответствующими элементами суммы (1), то получим выражения для элементов матрицы жесткости
Он = Ой + 2 догф = огг + 2 2 ||XI К X |,
(р ф /1=1
здесь ф — номера тех подконструкций, с которыми /-я подконструкция связана пружинами.
По известной матрице жесткости б в обобщенных координатах матрицы коэффициентов податливости получаем по формулам
* ’
ТУГ р
а =хпо~іхтп, п= і, 2, з.
Изложенный алгоритм успешно используется при решении ряда задач статической и динамической аэроупругости [2]. В качестве примера на рис. 2 приведены результаты расчета характеристик относительной эффективности
у
и I » маневренного самолета. Видно, что при ц = 1 величина относительной тг
эффективности жесткого горизонтального оперения (Г. О) почти на 30°/о выше относительной эффективности упругого горизонтального оперения. В качестве
примера использования изложенной методики в исследованиях явлении динамической аэроупругости приведем результаты расчета на флаттер киля самолета с упругим рулем направления.
Расчетные и экспериментальные значения частот собственных колебаний приведены в тдбл. I.
Таблица 1
Форма колебаний Экспе- римент (рад/с) Расчет (рад/с) Ошибка
Изгиб 1 тона 58 60 + 3°/о
Изгиб 11 тона 154 163 4-6%
Кручение I тона 195 193 — 1%
Формы собственных колебаний киля с упругим рулем направления, рассматриваемого как две упругие поверхности, приведены на рис. 3. Видно, что при собственных изгибных и крутильных колебаниях киля руль не только отклоняется, но и сам заметно деформируется. Это также согласуется с экспериментальными данными, полученными при частотных испытаниях киля.
Сравнительный анализ результатов расчета на флаттер киля с упругим и жестким рулем (т. е. с одной степенью свободы руля как твердого тела) приведен в табл. 2.
Таблица 2
Критическая скорость флаттера Ошибка
Эксперимент:
Расчет 1480 —
—упругий руль 1400 —5%
направления і
—жесткий руль 1700 + 15%
направления
Следовательно, в расчетах на флаттер киля с большой площадью руля необходимо учитывать его упругость, так же как упругость стабилизатора в задачах статической аэроупругости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Буньков В. Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.
2. Евсеев Д. Д. Расчет некоторых аэродинамических характеристик упругого самолета методом коэффициентов влияния. .Ученые записки ЦАГИ“, т. IX, № 6, 1978 г.
Рукопись поступила 4ІІУ 1980 г.
