CC BY
163
УДК 528.2
АЛГОРИТМ ПРЯМОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПО ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ
Павел Александрович Медведев
Омский государственный аграрный университет, 644008, Россия, г. Омск, Институтская пл., 2, доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики, тел. (3912)65-11-46, email: omgau-math@rambler.ru
Борис Тимофеевич Мазуров
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (383)343-29-11, e-mail: btmazurov@mail.ru
В статье предлагаются высокоточные неитеративные алгоритмы для прямого вычисления геодезической широты и высоты по исходным данным - пространственным прямоугольным координатам.
Ключевые слова: математика, астрономия, картография, геодезия, геодинамика.
THE ALGORITHM OF DIRECT CALCULATION OF THE SPATIAL GEODETIC COORDINATES AT THE RECTANGULAR COORDINATES
Pavel A. Medvedev
OmGAU, 644008, Russia, Omsk, Department of Higher mathematics, professor, Ph. D., tel. (3912)65-11-46, e-mail:omgau-math@rambler.ru/
Boris T. Mazurov
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, professor, Ph. D., tel. (383)343-29-11, e-mail: btmazurov@mail.ru
The article proposes a high-precision non-iterative algorithms for the direct computation of geodetic latitude and altitude from the initial data - three-dimensional rectangular coordinates.
Key words: mathematics, astronomy, cartography, geodesy, geodynamics.
При построении глобальных геодезических сетей, связанных с обработкой спутниковых наблюдений, и решении геодезических задач по определению положения точек земной поверхности применяются пространственные прямоугольные координаты X,Y, Z и геодезические координаты B, L, H.
В связи с этим возникает задача по преобразованию этих систем координат. Вычисление пространственных прямоугольных координат по заданным геодезическим координатам выполняют по соотношениям [1, с. 191]:
X=N + H Jos B■ cos L,
H= N + H JosB- sinL, (1)
á á 01 ^
Z = N (- e2j- H j¿nB
где N = а/"Jl- e2 sin2 B - радиус кривизны первого вертикала; а - большая полуось;
е - первый эксцентриситет земного эллипсоида.
Выражения (1) относительно простые и позволяют легко определить искомые величины X, Y, Z. На поверхности конкретного эллипсоида равенства (1) представляют собой функции, выраженные только через исходные данные, т.е.
Естественно, в такой же форме: В = B^C,Y,Z , L = L$C,Y,Z , Н = H^,Y,Z желательно получить и алгоритмы для обратного перехода. Однако эта задача относится к разряду сложных и ее решению и анализу [2 -15] посвящено большое количество публикаций, которые продолжаются до настоящего времени.
Для вычисления геодезической долготы L по исходным данным в [8] предложен следующий алгоритм:
а) Lq -2arctgYIX + R~Z> R = 2+ Y2 .
4rLo, если Y > 0, + 2я-, если Y < 0;
ГО, при X>0, b)L= P
[ж, при X < 0, если 7 = 0.
Наибольшие трудности возникают при определении геодезической широты В путем решения трансцендентного уравнения [1]:
tg B=Z + e2N sinbJr . (2)
Разные подходы и методы решения уравнения (2) приведены в работах [2], [8]. Уравнение (2) с помощью подстановки
tg u = л/l-e2-tg B (3)
преобразуется к приведенной широте u и принимает более простой вид
tg u =
z41 - e2 + ae2 sinw
(4)
Из итерационных методов решения уравнения (4) более быструю сходимость обеспечивает метод касательных [2, с. 47]:
tg и =
Z
■ I 2 3
V 1-е +ае sin Uq _ П^
г\ л
R-ae cos щ Щ
(5)
Такая закономерность позволяет на основе (5) построить неитеративный высокоточный алгоритм, выраженный только через исходные данные. Для этого воспользуемся начальным приближением [2, с. 59]:
tg UQ
z4 1- e2
R^- аелIüq
a0 = VR2+Z2/i-
(6)
С помощью этой зависимости (6) исключим содержащиеся в (5) величины sin uq , cosuq. Для удобства преобразований введем вспомогательные величины:
Р = \-ае2/а0; = ^Р^ + e2 ^Z2 ; Zl=Z/Dl
(7)
= zV 1- e2/RP; coswq = P^i; sinuq = Z^l- e2 , и выражения
тогда tg uq формулы (5) преобразуются к виду
П2= R-ae2 cos3 щ = - ae2P3R2 Щ = Z^l- e2 Ь + ae2 - ae2 P2 R 2 .
После выделения в полученной дроби ^ П |/П2 целой части с учетом зависимости (3) получаем формулу для вычисления тангенса геодезической широты
tg В = -R
1
(8)
Погрешность этой формулы определяется по выражению [2, с. 60]:
. „ 3 „ а3Н2е10 .7 з АВ =-р--— sm В cos В.
2 4 +
2
е
Исследованиями на экстремум функции (9) устанавливаем, что наиболь-
2
шая погрешность широты достигается при В = 56°47' и Н = — а « 4250км и составляет АВ" = 6,8" • 10-9. Для точек земной поверхности при Н «10км и
Г) _1 о
В «57 максимальная погрешность АВ" = 4,8" • 10
При вычислениях высоты Н используют формулу
H = R cosB + Z sinВ-ал11- e2sin2 B, (10)
для применения которой нужно знать не только исходные данные, но и определяемую в процессе решения геодезическую широту В.
Погрешность формулы (10), обусловленная неточной величиной широты, связана зависимостью [3]:
АН = -^ + Н^АВ2. (11)
Выведем теперь формулу для прямого вычисления высоты Н путем исключения в равенстве (10) функций широты с помощью начального приближения (6) и введенных величин (7). В этом случае, с учетом соотношения (3), получаем:
„ Z _ 1 RP RP RiP
tg В = —; cosВ= . = . = . = . 1 ;
№ ^ + tg2B y¡P2R2 +Z2 y¡Di + e2Z2 4\ + e2Z^
sin B = Z\/-N/'\ + e2Z,2 ; ад/1- e2sin2 B = а/-¡1 + e2Z\2
и формула (10) принимает вид
H = Dlj>R2+zf7a (12)
1 + e2zl
На основе зависимости (11) с учетом погрешности начального приближения (6)
АВ = аНе4^$т3Всо$В, получаем выражение для оценки точности формулы (12):
1 а2Н2е8 I з „ АН = --•—-ВсобВ
2 h + H
Методами дифференциального исчисления устанавливаем, что наибольшая погрешность формулы (12) получается при Н = 2а и В = 60° и составляет |ЛЯ| = 0,1мм.
Для точек земной поверхности при \Н\ <10км ее погрешность не превосходит |АЯ|<2-10"6мм, что обеспечивает высокоточный результат. Даже при Я - 1000км АН = 0,01мм .
Итак, по результатам исследований нами предлагаются высокоточные неитеративные алгоритмы (8), (12) для прямого вычисления геодезической широты B и высоты Н по исходным данным X,Y, Z.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии. - М.: Недра, 1979. - 296 с.
2. Медведев П.А. Анализ преобразований пространственных прямоугольных координат в геодезические. - Омск: Изд-во ОмГАУ, 2000. - 104 с.
3. Антонович К.М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии: монография. В 2 т. Т.1. - М.: Картгеоцентр, 2005. — 334 с.
4. К вопросу вычисления геодезической широты по пространственным прямоугольным координатам / В.Н. Баландин, М.Я. Брынь, И.В. Меньшиков, Ю.Г.Фирсов // Геодезия и картография. - 2012. - № 2. - С. 9-11.
5. ГОСТ Р 51794-2008. Глобальные навигационные спутниковые системы. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек. - М.: Изд-во стандартов, 2008. - 16 с.
6. Изотов А.А. Преобразование пространственных прямоугольных координат в геодезические координаты // Геодезия и картография. - 1969. - № 5. - С. 6-7.
7. Медведев П.А. Вычисление широты методом касательных при переходе от пространственных прямоугольных координат к геодезическим // Геодезия и картография. -1995. - № 12. - С. 4-6.
8. Медведев П.А. Анализ преобразований пространственных координат точек земной поверхности // Геодезия и картография. - 2014. - № 4. - С. 2-8.
9. Машимов М.М. Геодезия: Теоретическая геодезия. - М.: Недра, 1991. - 268 с. 3.
10. Медведев П.А. Исследование рекуррентных формул для вычисления широты при переходе от пространственных прямоугольных координат к геодезическим // Геодезия и картография. - 1994. - № 6. - С. 8-14.
11. Медведев П.А. Определение погрешностей геодезической высоты, широты и долготы аналитическими методами // Геодезия и картография. - 2009. - № 1. - С. 25-27.
12. Медведев П.А. Вычисление широты методом хорд при преобразованиях пространственных прямоугольных координат к геодезическим // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1994. - № 5.- С. 25-34.
13. Пенев П., Пенева Е. Преобразование прямоугольных геоцентрических координат в геодезические без применения итераций // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2012. -№ 3. - С. 34-38.
14. Огородова Л.В. Высшая геодезия: 4.III. Теоретическая геодезия. - М.: Геодезкарт-издат, 2006. - 384 с.
15. Урмаев М.С. Космическая фотограмметрия. - М.: Недра, 1989. - 279 с.
© П. А. Медведев, Б. Т. Мазуров, 2016
