Алгоритм построения минимальных кубатурных формул, обладающих d-свойством Хаара в двумерном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.87

Алгоритм построения минимальных кубатурных формул, обладающих ^свойством Хаара в двумерном случае

Кирилл А. Кириллов*

Институт космических и информационных технологий, Сибирский федеральный университет, Киренского 26, Красноярск, 660074,

Россия

Получена 18.01.2010, окончательный вариант 25.03.2010, принята к печати 10.04.2010 В двумерном случае рассматриваются кубатурные формулы, обладающие й-свойством Хаара, т. е. формулы, точно интегрирующие полиномы Хаара двух переменных, степени которых не превосходят заданного числа й. Получен алгоритм, позволяющий для любого целого й > 7 строить минимальные кубатурные формулы (формулы с наименьшим возможным числом узлов), обладающие й-свойством Хаара.

Ключевые слова: минимальные кубатурные формулы, функции Хаара, й-свойство Хаара, полиномы Хаара.

Введение

Значительный интерес в теории приближенного интегрирования вызывает проблема построения минимальных кубатурных (квадратурных) формул, точных для некоторого заданного набора функций, т. е. таких формул, которые точно интегрируют указанные функции, используя наименьшее возможное число узлов. Многие работы известных авторов посвящены проблеме построения минимальных формул приближенного вычисления интегралов, точных для алгебраических и тригонометрических многочленов. Квадратурные и кубатурные формулы, точные на алгебраических полиномах, восходят к Гауссу. Минимальные формулы приближенного вычисления интегралов, точные на тригонометрических многочленах, рассматривались в работах И.И.Кеда, М.В.Носкова, И.П.Мысовских и других авторов. Квадратурные и кубатурные формулы, точные для системы функций Хаара, можно найти в монографии И.М.Соболя [1] и статьях К.Энтахера [2,3], однако вопрос минимизации числа узлов в этих работах не рассматривался.

Минимальные квадратурные формулы с произвольной суммируемой функцией, точные для функций Хаара, были описаны в [4]. В двумерном случае вопрос построения минимальных кубатурных формул, точных для полиномов Хаара степени d — специальных линейных комбинаций произведений функций Хаара, — исследовался в [5,6]. В этих работах рассмотрено свойство кубатурных формул быть точными на константах и полиномах Хаара первых d степеней (так называемое d-свойство Хаара), приведены примеры минимальных формул для d = 1, 2, 3, 5, 6, 7, доказана теорема, позволяющая из кубатурной формулы, обладающей

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

¿-свойством для ¿ = 6, поэтапно получить минимальные кубатурные формулы, обладающие ¿-свойством для ¿ =8,10,12,..., а из формулы, обладающей ¿-свойством для ¿ = 7,

— минимальные формулы для ¿ = 9,11,13,....

В настоящей работе рассмотрен алгоритм, позволяющий для любого целого ¿ ^ 8 построить минимальные кубатурные формулы, обладающие ¿-свойством, без поэтапного построения (! — ¿о — 2)/2 кубатурных формул, обладающих (¿о + 2), (¿о + 4),..., (! — 2)-свойством, где ¿о = 6 при четном ¿ и ¿о =7 при нечетном ¿.

1. Основные определения

В работе используется оригинальное определение функций хт,] (х), введенное А. Хааром [7], отличное от определения этих функций из [1].

Двоичными промежутками 1т ^ назовем промежутки с концами в точках (2 — 1)/2т-1, 2/2т-1, то =1, 2,..., 2 = 1, 2,..., 2т-1. Если левый конец двоичного промежутка совпадает с 0, то будем считать этот промежуток замкнутым слева, если правый конец совпадает с 1 — замкнутым справа. Остальные двоичные промежутки считаются открытыми. Левую и правую половины 1т,] (без середины этого двоичного промежутка) будем обозначать 1т ]

Систему функций Хаара удобно строить группами: группа номер т содержит 2т-1 функций Хт,з (х), где т =1, 2,..., 2 = 1, 2,..., 2т-1. Функции Хаара Хт,] (х) определяются следующим образом:

(х)

при ж Є1т^, Є 1+

при х

при X Є [0, 1] \ 1т,з,

2 [Хт,] (х — 0) + Хт,з (х + 0)], если X — внутренняя

точка разрыва,

3

[---- ,^—г ], т = 1, 2,

1-От-Г От—1 -I* ‘ ‘

2 = 1, 2,..., 2т 1. Система функций Хаара дополняется

1

функцией Х1(х) = 1, которая остается вне групп.

В двумерном случае полиномами Хаара степени ¿ будем называть линейные комбинации функций Х1, ХР,*(х), Хq,j(у), Хт,к(х)хп,г(у) с действительными коэффициентами, где р,9 = 1, ...,¿, т + п = 2,...,¿, i = 1,..., 2р-1, 2 = 1,..., 2q-1, к = 1,..., 2т-1,

1 = 1, ..., 2”-1 и хотя бы один из коэффициентов при Хd,i(x), Хл,з (у), Хт,к(х)Хи,((у) (т + п = ¿) отличен от нуля.

Множество 1т] х 1п^ назовем двоичным прямоугольником, а 1т,] х 1п^ — замкнутым двоичным прямоугольником, т, п

площадь каждого из этих прямоугольников равна 2т+”-2.

Будем рассматривать кубатурные формулы

1, 2,..., 2 = 1,..., 2т 1, i = 1,..., 2” 1. Отметим, что

11 N

![/] = / I /(х,у) ¿х^у С«/(х(^) = д[/]

(1)

0 0

где (х(г,), у(г,)) € [0,1]2 — узлы формулы, С(г,) € М — ее коэффициенты, i = 1, 2,..., N, /(х, у)

— функция, определенная и суммируемая на [0,1]2.

Будем говорить, что формула (1) обладает ¿-свойством Хаара или просто ¿-свойством, если она точна для любого полинома Хаара Рп(х,у) степени п, не превосходящей ¿, т. е.

ф[Р”] = I[Р”] для всех п ^ ¿. (2)

Минимальной кубатурной формулой, обладающей ¿-свойством, назовем формулу с наименьшим возможным числом узлов, удовлетворяющую условию (2).

2. Примеры и свойства минимальных кубатурных формул, точных для полиномов Хаара

В настоящем разделе изложены свойства минимальных кубатурных формул, точных для полиномов Хаара, которые были доказаны в [6], а также приведены примеры этих формул. Указанные свойства и примеры понадобятся нам в разделе 3 для вывода алгоритма построения минимальных формул.

Лемма 1 [6]. Пусть кубатурная формула (1) удовлетворяет следующим условиям:

(а) число узлов N(¿) = 2d — А^),

А(<()= 2 2+,‘ "2 ПГ“! = “’ к =1,2,..., (3)

І 3 х 2 2 — 2 при ! = 2к + 1,

(б) каждый замкнутый двоичный прямоугольник 1т+1,] х /п+1^ площади 2 d (т+п = ¿,

3 = 1,.. ., 2т, i = 1, ..., 2”) содержит ровно один узел формулы, причем этот узел отли-

,3 — 1 i — К , 3 i — 1 ч /3 — 1 ^ , 3 i^

чен от вершин прямоугольника — точек (-------,-----), ( —,----), (---, — ), (--, — ),

2т 2” 2т 2” 2т 2” 2т 2”

(в) обе координаты А^) узлов кратны 2 -d и отличны от 0 и 1, коэффициенты формулы при этих узлах равны 2^+1, а обе координаты каждого из остальных N(¿) — А^) узлов кратны 2-^1, но не кратны 2-<1, и коэффициенты при них равны 2-d,

(г) существует узел, абсцисса которого равна 1 — 2^-1, и узел, ордината которого равна 1 — 2^-1, причем эти узлы различны.

Тогда формула (1) является минимальной кубатурной формулой, обладающей ¿-свойст-вом.

Рассмотрим некоторые из примеров кубатурных формул, приведенных в [6]. Эти формулы удовлетворяют условиям (а) — (г) для ¿ = 6, ¿ = 7 и, следовательно, являются минимальными формулами, обладающими ¿-свойством для соответствующих значений ¿. Узлы каждой из этих формул удобно представить в виде (х(^,у(^) = (2^-1а(г,), 2^-16(г,)).

Ниже приведены значения коэффициентов при узлах и таблицы значений параметров а(^,6(^ для указанных кубатурных формул.

Пример 1. а = 6 : С(1) = С(2) = ... = С(14) = 2-5, С(15) = С(16) = ... = С(50) = 2-6.

і а« Ь(і) і а« Ь(і) і а« Ь(і) і а« Ь(і) і а« Ь(і)

1 6 64 2 12 32 3 16 88 4 32 116 5 40 16

6 48 56 7 56 80 8 64 6 9 72 48 10 80 72

11 88 112 12 96 12 13 112 40 14 116 96 15 9 109

16 19 9 17 21 43 18 23 99 19 25 51 20 27 75

21 29 23 22 35 37 23 37 93 24 43 1 О 25 45 69

26 51 3 0 1 27 53 27 28 59 45 29 61 123 30 67 121

31 69 83 32 75 101 33 77 25 34 83 59 35 85 21

36 91 35 37 93 91 38 99 5 0 1 39 101 53 40 103 77

41 105 29 42 107 85 43 109 119 44 119 19 45 121 61

46 123 67 47 1 3 48 125 1 49 3 127 50 127 125

Пример 2. а = 7 : С(1) = С(2) = ... = С(22) = 2-6, С(23) = С(24) = ... = С(106) = 2-7.

і а« Ь(і) і а(і) Ь(і) і а« Ь(і) і а« Ь(і)

1 4 64 2 10 128 3 16 16 4 32 88

5 40 32 6 48 112 7 64 4 8 80 80

9 96 24 10 104 96 11 112 48 12 128 10

13 144 208 14 152 160 15 160 232 16 176 176

17 192 252 18 208 144 19 216 224 20 224 168

21 240 240 22 252 192 23 7 195 24 13 237

25 19 243 26 21 153 27 23 103 28 25 213

29 27 43 30 29 165 31 35 171 32 37 221

33 43 227 34 45 141 35 51 147 36 53 201

37 55 55 38 57 181 39 59 75 40 61 249

41 69 149 42 71 107 43 73 107 44 75 59

45 77 173 46 83 179 47 85 217 48 87 39

49 89 133 50 91 123 51 93 229 52 99 235

53 101 157 54 107 163 55 109 205 56 115 211

57 117 185 58 119 71 59 121 137 60 123 119

61 125 245 62 131 247 63 133 117 64 135 139

65 137 69 66 139 187 67 141 45 68 147 51

69 149 93 70 155 99 71 157 21 72 163 27

73 165 121 74 167 5 3 1 75 169 37 76 171 219

77 173 77 78 179 83 79 181 57 80 183 199

81 185 105 82 187 151 83 195 7 84 197 73

85 199 183 86 201 53 87 203 203 88 205 109

89 211 115 90 213 29 91 219 35 92 221 85

93 227 91 94 229 41 95 231 215 96 233 101

97 235 155 98 237 13 99 243 19 100 245 125

101 247 131 102 249 61 103 1 189 104 189 1

105 67 255 106 255 67

Теорема 1 [6]. Пусть кубатурная формула (1) с узлами (x(i),y(i)) удовлетворяет условиям (а) — (г), i = 1, 2,. .., N(d), причем кратными 2-d и отличными от 0 и 1 являются координаты узлов со значениями индексов i = 1,. .., A(d), значению 1 — 2-d-1 равны x(N(d))

и y(N(d)-1).

Тогда кубатурная формула

1 1 2d-A(d)

A(d)

/ (x,y) dxdy (C(î)/(хі,Уі) + С3г)/(ж3г),у3 )) + $3(C-2/ (х-2,У-2) +

0 0

i= 1

2d-A(d)-2

i=1

+ C- / (x-4 ,у-4 )) + ^ (C^/ (x2i),y(i)) + C«/ (x^yf)) + C

-,(2 -A(d)-1)ч y2

(4)

i=1

;(2d-A(d)-1) y(2d-A(d)-1) 22

)) + С

(2d-A(d))„, (2d-A(d)) (2d-A(d))

4

)/(

4

У4

))

с узлами, имеющими координаты

„(¿)

(i)

У*

1 ( — 1)k + 1

¿2,k + ¿3,k + (¿1,k + ¿4,k — x(i) +--------2d+3—

(-1)k+1

¿3,k + ¿4,k + (¿1,k + ¿2,k — ~ )y(i) +

2'" 1 2d+3 ’ i = A(d) + 1, A(d) + 2,..., N (d) — 2 при k =1,

i = A(d) + 1, A(d) + 2,..., N (d) — 1 при k = 2,

i = A(d) + 1, A(d) + 2,..., N (d) при k = 3,

i = A(d) + 1, A(d) + 2,..., N (d) — 2, i = N (d) при k = 4,

x

(2d-A(d)-1) = 1 x(2d-A(d)-1) y(2d-A(d)-1) = 1

2 X

У1

2

(2d-A(d)) = 1 y(2d-A(d)) = 1 y(2d-A(d))

1

2

У1

* = ¿3,* + (¿1,* — 2yk ) = ¿3,* + (¿1,* — 2

„(¿)

i = 1, 2,..., A(d), k = 1, 3,

x( ) = ¿-2,k + ¿2,k + (¿-4,k + ¿4,k — ^)x(i) + 2d+3

yk ) = ¿-4,k + ¿4,k + (¿-2,k + ¿2,k — 2)y(i) + 2^+3 Sgnk,

i = 1, 2,..., A(d), k = ±2, ±4, и коэффициентами при узлах

cf -A(d)-1) _ = c1^ (d)) = C(i) = c3° = - 2 d 1, i = 1, 2,. •., A(d),

c(i) = 2-d-2, i = A(d) + 1, A(d) + 2,.. ., N (d) — 2,

c-2 = c-'4 = 2-d-2, i = 1, 2,... ., A(d),

c2i) = 2-d-2, i = 1, 2,... , N(d) — 1, C3° = 2-d-2, i = A(d) + 1, A(d)

cf) = 2-d-2, i = 1, 2,... , N(d) — 2, i = N (d),

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

(11)

N(d),

является минимальной формулой, обладающей (d + 2) -свойством.

k

Здесь — символ Кронекера.

Замечание 1. В ходе доказательства теоремы 1 было установлено, что кубатурная формула (4) удовлетворяет условиям, отличающимся от условий (а) — (г) лишь тем, что вместо с! в них фигурирует значение параметра, равное с! + 2:

- число узлов формулы N(! +2) = 2^+2 — Л(! + 2), где Л определяется равенством (3),

- каждый замкнутый двоичный прямоугольник х площади 2—^—2 (т + п =

! + 2, 3 = 1, ..., 2т, * = 1, .. ., 2”) содержит ровно один узел формулы, причем этот

,3 — 1 * — 1 ч , 3 * — К ,3 — 1 * ч

узел отличен от вершин прямоугольника — точек (--------,-----), (—,---), (------, — ),

а Г Г а \ 2т ’ 2” '2т 2” 2т 2”

(3 ,-), 2т 2”

- обе координаты Л(! + 2) узлов формулы кратны 2—^—2 и отличны от 0 и 1, коэффициенты формулы при этих узлах равны 2-^-1, а обе координаты каждого из остальных N(! +2) — Л(! + 2) узлов кратны 2—^—3, но не кратны 2—^—2, и коэффициенты при них равны 2—^—2,

- существует узел формулы, абсцисса которого равна 1 — 2—^—3, и узел, ордината которого равна 1 — 2—^—3, причем эти узлы различны.

Минимальность кубатурной формулы (4) следует из этого факта на основании леммы 1.

3. Вывод алгоритма построения минимальных кубатурных формул, обладающих ^свойством

Пусть п ^ 8 — фиксированное целое число. Представим п в виде

6 при четном ¿,

п = ¿о + 2т, т € М, ¿о = ,

7 при нечетном !,

где N — множество натуральных чисел.

В настоящем разделе рассмотрим вывод алгоритма построения минимальных кубатурных формул, обладающих ¿-свойством при ! = п.

Для кубатурных формул, обладающих ¿-свойством при ! ^ ¿о, будем рассматривать следующее условие:

(д) существует узел, абсцисса которого равна 2-^-1, и узел, ордината которого равна

2-^-1, причем эти узлы различны.

Для определенности будем считать, что в случае кубатурной формулы (1) №—3) =

2-1 (Ю—2) = 2-^-1

Замечание 2. Пусть кубатурная формула (1) кроме условий (а) — (г) удовлетворяет также условию (д) (таковыми являются формулы, приведенные в примерах 1,2). Тогда существует узел формулы (4) с абсциссой, равной 2—^—3, и узел с ординатой, равной 2—^—3.

П П ( (^ (^)—3) (^ (^)—3)\ ( (^ (^)— 2) (^ (^)— 2) \

Легко видеть, что это узлы (#4 , У4 ) и (#2 , У2 ) соответственно.

Кубатурную формулу (1), удовлетворяющую условиям (а) — (д) при ! = ¿о, запишем в следующем виде:

1 1 N (*)

/(х,у) Сог)/(хог),Уог)). (12)

о о ®=1

Согласно лемме 1 эта кубатурная формула является минимальной формулой, обладающей ¿о -свойством.

Замечание 3. В силу замечаний 1, 2 теорема 1 позволяет из кубатурной формулы (12) поэтапно получить минимальные кубатурные формулы, обладающие ¿-свойством при с1 = ¿о + 2, ¿о + 4, .. ., п, причем все полученные формулы будут удовлетворять условиям

(а) — (д) (со своими значениями ¿).

Следовательно, если комбинировать формулы (5)—(11) в определенном порядке, начиная с формул, в которых х(г), у(г) положить равными х°г) и у°г) соответственно, можно вывести соотношения для вычисления координат узлов минимальной кубатурной формулы, обладающей ¿-свойством при с1 = п. Указанную кубатурную формулу удобно записать в следующем виде:

1 1

/ ^ ^ , к2 , кт / (Х0%! , й2 кт ,^1 , й2 , кт ), (13)

N (^с)

^ ^ П(і) ^(і) „(і)

о о

= 1 кі,к2,...,кп

где (х(г,к1,й2,...,йт) е [0,1]2 — узлы кубатурной фоPмУлы, 1,к2,...,кт е К — ко-

эффициенты формулы при соответствующих узлах, /(х, у) — функция, определенная и суммируемая на [0,1]2. В силу замечания 3 кубатурная формула (13), в частности, удовлетворяет условию (а) (при с1 = п), следовательно, число узлов этой формулы N(п) = 2” — Л(п), где Л определяется равенством (3).

В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений для узлов кубатурных формул (12) и (13): Р0(г) = (х(г) , У(г) ), ^^.....кт = (х(А ,к2,...,кт , У ^ к 1 ,*2 ), * =

1,2,..., N (¿о).

В используемой записи координат узлов кубатурной формулы (13) заложен метод их нахождения, основанный на поэтапном построении (п — ¿о)/2 кубатурных формул, обладающих (¿о + 2), (¿о + 4),..., п-свойством (замечание 3). В соответствии с этим методом вычисление координат узла Рд^ к2 к осуществляется по формулам (5)—(11) за т шагов,

на шаге номер р вычисляются координаты узла Рд^ к2 к , при этом в указанных форму-

(?) (?) (?) (?)

лах хК !, уК4 полагаются равными хо к к2 к 1 и уо к1 к2 к 1 соответственно, а значение

к = кр, р = 1, 2,..., т. Прир = 1 считается, что в формулах (5) — (11) х(г) = х°г), у(г) = у°г), * = 1,..., N (¿о).

Попытаемся получить такой алгоритм построения кубатурных формул (13), который значительно сокращал бы число промежуточных этапов в процессе нахождения координат узлов Р0( ®к1 к2 к по сравнению с изложенным методом. С этой целью введем следующие определения.

Разобьем множество узлов каждой минимальной кубатурной формулы, обладающей ¿-свойством (^ ^ ¿о) и удовлетворяющей условиям (а) — (д), на две категории: к категории I причислим узлы, обе координаты которых кратны 2—^, а к категории II — узлы, обе координаты которых кратны 2—^—1, но не кратны 2—^. Согласно условию (в), узлы категорий I,

II рассматриваемых кубатурных формул существуют, а узлов, не относящихся ни к одной из этих категорий, не существует; коэффициенты формулы при узлах категории I равны 2—^+1, а при узлах категории II — 2—^. Узлы категории II разобьем, в свою очередь, на три подмножества: категории НА, IIБ, IIВ. К категории IIА причислим два узла — узел с абсциссой, равной 1 — 2—^—1, и узел с ординатой, равной 1 — 2—^—1; к категории IIБ также отнесем два узла — узел с абсциссой, равной 2—^—1, и узел с ординатой, равной 2—^—1; к категории IIВ причислим все остальные узлы категории II. Существование узлов категории IIА обеспечивает условие (г), а существование узлов категории IIБ — условие (д). Так, для кубатурных формул (12) к категории I относятся узлы Р0(1),..., Р(°Л(^о)), к категории IIВ —

узлы Р0(Л(^о)+1),..., Р^(^о) 4), к категории IIБ — узлы Р0(№(^о) 3), Рд№(^о) 2) и к категории IIА — узлы Р0(№(*о)-1), р0(№(^о)).

Замечание 4. Несложно показать, что для кубатурной формулы (13) категорию 11Б

-Г)(N(^о)-3) г>(^(^о)-2) гг и о(^(^о) 3) г>(^(^о)-2)

составляют узлы Р0 4 4 4 , Ро 2 4 2 , а категорию НА— узлы Р0 4 4 4 з , Ро 2 4 2 3 •

Будем говорить, что узел Р0( *|)1 к 1 порождает узел Рд(*|)1 к в результате преобразования с номером кг. Корректность данной терминологии обусловлена тем, что для каждой категории узлов этот номер однозначно определяет преобразование координат узла

п(ъ) 7~>(0

Ро к1 к 1 в соответствующие координаты узла Ро к1 к , осуществляемое по одной из

формул (5) — (11) (в этой формуле значение параметра к полагается равным кг). Ниже изображена схема 1, которая иллюстрирует принцип порождения узлов каждой из категорий, непосредственно вытекающий из утверждения теоремы 1 и замечаний 3, 4. На этой схеме стрелка, направленная от одного прямоугольника к другому, означает, что уз-

7~>(0 7~>(0

лы РО к1 к 1 категории, указанной в первом прямоугольнике, порождают узлы Р0 ^ к категории, указанной во втором прямоугольнике; в овале, пересекаемом этой стрелкой, указан номер формулы (в скобках) и номера преобразований кг, осуществляемых по данной формуле, в результате которых узлы Р0(*к1 к порождаются узлами Р0(*к1 к 1. Для схемы 1 введем величину а(г), определенную при % = N (¿о) — 3, N (¿о) — 2, N (¿о) — 1,^ (¿о), и в(г), определенную при % = N(¿о) — 3, N(¿о) — 2: а(№(^о)-3) = а(№(^о)) = в(№(^о)-2) =

4, а(^(^о)—2) = а(^№)-1) = в(^(^о)-3) = 2.

СХЕМА 1

Ниже записаны соотношения, которые понадобятся для создания алгоритма построения кубатурных формул (13). В соотношениях (14)—(16) мы не стали указывать множество допустимых значений верхних индексов и множество допустимых комбинаций нижних индексов, так как эти множества находятся в достаточно сложной зависимости друг от друга (указанная зависимость отражена на схеме 2, приведенной в конце настоящей статьи).

г—в—1 Г 1 Г л

х0, Й1, ... , к г = ^2 [¿3 , кг - , П (^1 - ^ — 2^+ к1, ...,каП (^1 - к1 — 2) + ^3 , к г,

1 = 1 ^=Г + 1 —1 1 = 5 + 1

г—й—1 Г і Г і

у0^1, кг =53 [^3 , кг - і П (^1 , кз - 2^+ ^1,..., ка П (^1 , к - 2) + ’ кг , (14)

1=1 ^'=г+1—1 1 = в+1

)(0 р(0

в < г, к8+1, .. ., кг є {1, 3}, Р01, к1, ... , ^, р0,к1, ..., кг - Узлы категоРии I.

х(і кі, ..., кг = ¿—2 ,кг + ¿2 ,кг + (¿-4,кг + ¿4 ,кг - 2)х0, кі, ... , кг -1 + 2* + 2г + 1 й§пкг,

1 ■ 3

у0іІ1,...,кг = ¿-4,кг + ¿4,кг + ^-2,кг + ¿2,кг - 2)у0^1,...,кг -1 + 2^0 +2Г+1 й§пкг,

(■) (■)

кг = ±2, ±4, ро,к1,...,кг-1 - Узлы категоРии ^ ро,к1,...,кг- 1,кг - Узлы категоРии 11В.

■ ( 1)кг + 1 ■ г і

4/кь...,кг = ¿2,кг + ¿3,кг + 2^0 + 2г + 1 + 41^ П (¿1,кі + ¿4,кі -

1 = 5 + 1

Г —в —1

(15)

+ 53 [( ¿2 ,кг — і + ¿3

,кг-і + 2^0 + 2(г—1) + 1 ) п (^¿1,кз + ¿4,кз — >

(-1)кг-і + 1 ) ГГ (Х , X 1

2^о + 2(г—1)+1 ) И (

1 = 1 ¿=г+1 —1

■ (___1)кг + 1 ■ г 1

у0^1,...,кг = ¿3,кг + ¿4,кг + 2(І0+2г+1 + у(!к1,...,к^ ГГ (¿1,kі + ¿2,кі _ 2) +

(16)

г —в —1

(_ 1)кг-і + 1 1

+ 53 [( ¿3, кг — г + ¿4 ,кг_г + 2^о+2(г-г)+1) п (^¿1,к5- + ¿2,к3- — ,

г=1 ¿=г+1-г

в < г, кя+1,..., кГ € {1, 2, 3, 4}, к5 = ±2, ±4, Ро(*к1 к , Р^^ к — узлы категории II В.

Ю-3) =2 Ш (^о)-3) =2 1 (^о)-3) + 1

Хо-3-1 =2, Уо-3-1 =2 4Уо +2^о+4, (17)

(^о)-2) =1 1 (*)-2) + 1 (^о)-2) =1

хо,3,1 = 2 4хо + 2^о+4 , уо,3,1 = 2,

Р°№(^о) 2), ро(№(^о) 3) — узлы категории IIБ, Ро^3(1<го) 3), Роз"!^ 2) — узлы категории I.

(* (¿о)-3) = 1 (* (¿о)-3) = 2^о+2г + ( —1)г 2Г-1(2*+2 — 1) + 5 + ( —1)Г+1У°" №)-3)

Хо-4-...-4-3-1 =2, Уо-4—4-3-1 = 3 • 2¿о +2г + 2г , (18)

N №)-2) = 2^о+2г + ( —1)г 2Г-1(2^о+2 — 1) + 5 + ( —1)г+1х°^ №)-2) {ы (¿о)-2) = 1

хо,2,...,2,3-1 3 • 2^о+2г 2г , Уо-2-...-2-3-1 2,

, 1 /7 г>\ п(Жйо )-3) п(№(^о)-2) т

г + 1 — число нижних индексов (вместе с ко = 0), Рд 4 ^ 4 3 1, Ро 2 ^ 2 3 1 — узлы категории I.

(№ (*) —1) =1 ^ (*) —1) у(№(^0) —1) =1 „(N(¿0)) =1 „(N(^0) =1 ЛЖ*)) (19)

60 ,1 = о „0 , у0 ,1 = 2, „0,1 = 2, у0,1 = 2 у0 , (19)

Ро^(^о) 1), ро(№(^о)) — узлы категории II А, Ро( ^¿о) 1), Ро( ^(^о)) — узлы категории I.

Чтобы получить соотношения (14) (соотношения (16) ), достаточно скомбинировать г — в формул (9) (формул (5)-(6) ), начиная с формул, в которых (ж(г),у(г)) = Р0(*к1 к . Для вывода соотношений (18) требуется скомбинировать формулы (5)—(8) в такой последовательности: г — 2 формул (5)—(6) при к = а(г), начиная с формул, в которых (ж(4),у(4)) = Р0(г), формулы (5)-(6) при к = 3 с (ж(4),у(4)) = Р(а(4), ... , аМ и формулы (7)-(8)

с (ж(г),у(г)) = Рд^а(¿) а(») 3; для вывода соотношений (17) — формулы (5) - (6) при к = 3,

в которых (ж(г), у(г)) = Ро(г), и формулы (7)-(8) с (ж(г), у(г)) = Ро*3, % = N(¿о — 3), N(¿о — 2). Соотношения (15) представляют собой формулы (10)- 11) с (ж(г) ,у(г)) = Ро*к1 к 1. Соотношения (19) есть формулы (7)-(8) с (ж(г),у(г)) = Р0(г).

Алгоритм построения кубатурных формул (13) вытекает из соотношений (14)—(19), а также из принципа порождения узлов каждой из категорий, отраженного на схеме 1. Приведенная ниже схема 2 иллюстрирует этот алгоритм. Кроме того, схема 2 для каждого значения верхнего индекса % координат узлов содержит все допустимые комбинации нижних индексов (индекс ко везде считается равным 0). На этой схеме стрелка с номером соотношений (14)—(19), направленная от комбинации (0, к1,..., к5) к комбинации (0, к1,...,к5, к5+1,...,кг), означает, что узел Р0( ^ к к+1 к находится с помощью соотношений с указанным номером, при этом координаты, фигурирующие в правой части каждого из данных соотношений, полагаются равными соответствующим координатам узла Рд*к1 к . После каждой комбинации в квадратных скобках указана категория, к которой относится узел с данной комбинацией нижних индексов.

С ХЕМ А 2

1) % = 1,..., Л(^о)

1.1) к1,. .., кд-1 € {1, 3}, кд = ±2, ±4, кд+ь . .., к € {1, 2, 3, 4}:

(0) [I], —I (0, к1,..., к,-1) [I], -—I (0, к1,..., к,-1, кд) [II В], —I

—■ (0, кь ... ,кд-1,кд, кд+1,. .. ,к4) [II В];

1.2) к1 = ±2, ±4, к2,..., к € {1, 2, 3, 4}:

(0) [I], —I (0, к1) [II В], ——■ (0, к1, к2,. .., ке) [II В];

2) % = Л(^о) + 1,..., N (¿о) — 4

кь...,к4 € {1, 2, 3, 4}:

(0) [II В], ——■ (0, к1,...,к) [II В];

3) % = N (¿о) — 3, N (^ о) — 2

3.1) к1 = 3, к2 = 1, к3,..., кд-1 € {1, 3}, кд = ±2, ±4, кд+ь ..., к € {1, 2, 3, 4}:

(0) [II Б], —I (0, 3,1) [I], -—I (0, 3,1, к3,..., к,-1) [I], -—I

——■ (0, 3,1, к3,..., кд-1, кд) [II В], ——■ (0, 3,1, к3,..., кд-Ь кд, кд+ь ..., к4) [II В];

3.2) к1 = 3, к2 = 1, к3 = ±2, ±4, к4,..., к € {1, 2, 3, 4}:

(0) [II Б], ——■ (0, 3,1) [I], ——■ (0, 3,1, к3) [II В], ——■ (0, 3,1, к3, к4,..., к4) [II В];

3.3) к1 = . .., кр-2 = а(г), кр-1 = 3, кр = 1, кр+1, ..., кд-1 € {1, 3}, кд = ±2, ±4,

кд+1,.. ., ке € {1, 2, 3, 4}:

(0) [II Б], —■ (0, а«, .. ., а(4), 3, 1) [I], ——■ (0, а(4),. .., а(4), 3,1, кр+1, .. ., к9-1) [I], ——■

——■ (0, а«,..., а(4), 3,1, кр+ь ..., к9-1, к9) [II В], ——■

——■ (0, а(г), .. ., а(г), 3, 1, кр+1,. .., кд_1, кд, кд+ь .. ., к4) [II В];

3.4) к1,. .., кр-2 = а(г), кр-1 = 3, кр = 1, кр+1 = ±2, ±4, кр+2, ..., к € {1, 2, 3, 4}:

(0) [II Б], —■ (0, а«, .. ., а(4), 3, 1) [I], ——■ (0, а(4),. .., а(4), 3,1, кр+1) [II В], —■

——■ (0, а(г), .. ., а(г), 3, 1, кр+1, кр+2, ..., к4) [II В];

3.5) к1,..., к € {1, 2, 3, 4}, в начале последовательности индексов 0, к1,..., к нет комбинаций (0, 3,1), (0, а(г), .. ., а(г), 3, 1), (0, 3, в(г)), (0, а(г), ..., а(г), 3, в(г)):

(0) [II Б], (16)> (0, к1,..., к4) [II А, II Б, IIВ (замечание 4) ];

4) % = N(¿о) — 1, N(¿о)

4.1) к1 = 1, к2, ..., к9-1 € {1, 3}, кд = ±2, ±4, к9+ь .. ., к € {1, 2, 3, 4}:

(0) [II А], ——■ (0,1) [I], ——■ (0,1, к2,..., к,-1) [I], ——■ (0,1, к2,..., к,-1, кд) [II В], ——■

——■ (0, 1, к2,. .. ,кд-1,кд, кд+1,.. ., ке) [II В];

4.2) к1 = 1, к2 = ±2, ±4, к3,..., к € {1, 2, 3, 4}:

(0) [НА], ——■ (0,1)р], ——■ (0,1,к2)[НВ], ——■ (0,1,к2,к3,...,к4)[ПВ];

4.3) к1 = 3, а(4), к2,. .., к € {1, 2, 3, 4}:

(0) [НА], —- (0,к1 )[ПВ], ——-■ (0, к1,к2,...,к4)[НВ].

Если узел Рд*к1 к кубатурной формулы (13) относится к категории I, то коэффициент

при этом узле определяется равенством С^к 1 к = 2-^0-2т+1, а если этот узел относится к категории II, то С°®к 1 к = 2-^0-2т.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 07-01-00326).

Список литературы

[1] И.М. Соболь, Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара, М., Наука, 1969.

[2] K.Entacher, Quasi-Monte-Carlo methods for numerical integration of multivariate Haar series, BIT (Dan), 37(1997), № 4, 846-861.

[3] K.Entacher, Quasi-Monte-Carlo methods for numerical integration of multivariate Haar series II, BIT (Dan), 38(1998), № 2, 283-292.

[4] К.А. Кириллов, М.В. Носков, Минимальные квадратурные формулы, точные для полиномов Хаара, Журнал вычислительной математики и математической физики, 42 (2002), № 6, 791-799.

[5] К.А. Кириллов, Минимальные кубатурные формулы, точные для полиномов Хаара в R2, Вопросы математического анализа, Красноярск, Красноярский гос. технич. университет, 6(2002), 108-117.

[6] К.А. Кириллов, Построение минимальных кубатурных формул, точных для полиномов Хаара высших степеней в двумерном случае, Вычислительные технологии, 10(2005), Спец. выпуск, 29-47.

[7] A.Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Ann., 69(1910), 331-371.

The Algorithm of Construction of Minimal Cubature Formulas with Haar d-property in the Two-dimensional Case

Kirill A. Kirillov

In a two-dimensional case the minimal cubature formulas with the Haar d-property are considered. The

algorithm of construction of minimal cubature formulas with the Haar d-property is obtained.

Keywords: cubature formulas, Haar functions, Haar polynomials, Haar d-property.