Алгоритм поиска наиболее вероятного решения системы нелинейных уравнений, имитирующих социально-экономическое состояние региона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Малышев Ю.В., Атаманов П. С. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. 176 с.

2. Малышев Ю.В., Атаманов П.С. О решении системы линейных дифференциальных уравнений операторным методом // Вестник Чувашского университета. 2011. № 3. С. 155-159.

3. Малышев Ю.В., Атаманов П.С. Факторизованные операторы и системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Диф. уравнения. 2011. № 16. С. 54-61.

МАЛЫШЕВ ЮРИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Казанский национальный исследовательский технологический университет, Россия, Казань ([email protected]).

MALYSHEV YURIY VALENTINOVICH - doctor of physical and mathematical sciences, professor of Higher Mathematics Chair, Kazan National Research Technological University, Russia, Kazan.

АТАМАНОВ ПЕТР СТЕПАНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

ATAmAnOV PETR STEPANOVICH - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Higher Mathematics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

УДК 38.24.01

А.А. НАЗАРОВ, В.В. НИКИТИН

АЛГОРИТМ ПОИСКА НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИМИТИРУЮЩИХ СОЦИАЛЬНО-ЭКОН ОМИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ

РЕГИОНА’

Ключевые слова: региональная экономика, системный анализ, имитационное моделирование.

Предложен вариант имитационной модели региональной социальной экономической системы. Дано описание концепции. Разработан набор параметров, характеризующих систему. Модельная структура системы представлена в виде системы нелинейных уравнений. Рассмотрен авторский подход к поиску модельного решения.

A.A. NAZAROV, V.V. NIKITIN ALGORITHM OF SEARCHING FOR OF THE MOST PROBABLE DECISION OF THE NONLINEAR EQUATIONS SYSTEM, IMITATING SOCIAL AND ECONOMIC CONDITION OF THE REGION

Key words: regional economics, system analysis, simulation modeling.

The offered variant to simulation model of the regional social economic system. It is given description to concepts. The designed set parameter, characterizing system. The vodel structure of the system is presented in the manner of the nonlinear equations systems. The author's approach of searching for of the model decision is considered.

При исследовании социально-экономических объектов, например региональной экономической системы, необходимо для начала выявить и описать модель исследуемой структуры, определить способы и вид системы взаимодействия на основе обратных связей и построить систему нелинейных одновременных уравнений, определяющих математическую модель исследуемого объекта.

В работах В.Л. Макарова, А.Р. Бахтизина и других ученых ЦЭМИ РАН [1, 3, 4] достаточно много внимания уделено построению агентоориентированных моделей экономики страны, основанных на CGE (Computable General Equilibrium models) подходе. Но, несомненно, экономическая деятельность входящих в эти модели отдельных регионов

’ Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект № 11 -0б-000бба).

заслуживает детального рассмотрения посредством применения агентоориентированного СвБ подхода. При этом идеология разновидностей моделей ЯШБС Макарова и других СвБ моделей может послужить основой для создания модели экономики региона.

В общем случае любая модель СвБ - это система взаимосвязанных нелинейных уравнений, формально имеющая бесконечное множество решений. Содержательно решением данной системы может быть либо некое общеэкономическое равновесное состояние, либо отдельные значения показателей, характеризующих результаты деятельности моделируемого объекта. Как показывает практика, наиболее успешным способом решения таких систем является имитационный подход, т.е. когда на основе компьютерной модели проигрывается ряд вариантов управляющих воздействий и делается заключение о закономерностях изменения выходных показателей в зависимости от входных. Обычно при реализации модели СвБ на входе задают какие-то конкретные значения переменных, которые, вообще говоря, могут быть подсчитаны различными способами. Мы предлагаем подход, который заключается в том, чтобы входные и выходные переменные модели рассматривать как неопределенные факторы, имеющие некоторые законы распределения в определенном интервале. При этом первоначальный вид законов распределения для каждой переменной модели может быть получен, по крайне мере, тремя способами: 1) на основе временных рядов для тех параметров, для которых существуют репрезентативные данные за прошлые периоды, по линейным и нелинейным моделям; 2) экспертный метод, когда эксперт или группа приглашенных экспертов высказывают мнения о возможном интервале изменения значений переменной; 3) смешанный способ, когда для определения интервала используются статистические данные при участии экспертов. Реализация этого подхода позволит оценить не конкретные значения (доверие к которым весьма мало), а вероятностные характеристики показателей развития экономики региона, т.е. наиболее вероятную область принятия определенных значений показателем и наименее вероятные значения, которые, вообще говоря, не исключаются из рассмотрения. Данный подход требует осуществления огромного объема вычислений, что предполагает использования высокопроизводительных ЭВМ. Теоретической основой вычислений в системе взаимосвязанных нелинейных уравнений, когда каждый показатель является неопределенным фактором, может служить теория суперпозиции законов распределения случайных величин [6].

Для описания экономики региона в качестве первого приближения была выбрана следующая модель [5], представленная системой (1), смысл параметров которой описан в табл. 1.

^ = С, + Л + О, + Х,

¥, = А • К- • Ц2 ^ = ЕЬ • I- -ц-К-

I( = (=1- г) • + Ж, + Щ + II,

Ы, = ¥, -ц-К-РОТ, = V, • ц Р = N - РОТ,

] Р1, = N - ТР, - ТБ, (1)

Б1, = Р1, - Т1, + РБ, + Щ Б, = ВЦ - С,

о, = ь • в, в, = Т + р

в, = М, + О, + щ + ж, ррорющ = т + р +

+ OtherIncomet - О,

[ X, = ЕХ, - М,

Таблица 1

Основные параметры базовой имитационной модели

Имя Тип Описание

У энд. валовой региональный продукт (ВРП), конечный продукт

К энд. основные производственные фонды (ОПФ)

ь энд. численность занятых

о энд. государственные расходы

X экз. чистый экспорт

N энд. региональный доход

Р энд. прибыль до уплаты налогов

Р1 энд. полученный (личный) доход

ы энд. располагаемый доход

с энд. потребительские расходы

5 энд. сбережения

энд. социальные региональные расходы

Р5 экз. социальные федеральные расходы (пособия, пенсии, стипендии)

I энд. инвестиции (капиталовложения)

т энд. расходы на инвестиции из регионального бюджета

1Р экз. расходы на инвестиции из федерального бюджета

II экз. иностранные инвестиции

в энд. бюджет субъекта, бездефицитный

Р экз. трансферты из федерального бюджета в региональный

М энд. трансферты в местные бюджеты

Т энд. общая сумма налогов, взимаемых на территории субъекта РФ

ТР энд. налог на прибыль

Т1 энд. подоходный налог

Т5 энд. единый социальный налог

М экз. норма амортизации, коэффициент выбытия

V энд. средняя заработная плата

РОТ энд. фонд оплаты труда

I экз. коэффициент бегства капитала

РКОР1С1Т энд. профицит регионального бюджета

Р экз. трансферты из федерального бюджета в региональный

ОЛегЫеоте экз. прочие доходы регионального бюджета

Все параметры, выделенные в ходе анализа и построения модели, можно рассматривать в качестве случайных величин, так как заранее неизвестно, какое конкретное значение примет тот или иной параметр в будущем. Если каждый параметр является случайной величиной, то он имеет свой закон распределения, который определяет наиболее вероятные проявления значений этого параметра. При этом значения некоторых параметров модели образуются в результате сложения или умножения значений других параметров. Исходя из этого, можно применить аппарат теории вероятностей, в частности теорию композиции законов распределения. При этом предполагается, что параметры, которые являются случайными величинами, на каждом шаге моделирования являются локально независимыми, это достигается путем увеличения числа расчетных шагов, т. е. уменьшением расчетного периода.

Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин (X, У) с плотностью распределенияЛх, у). Случайная величина 2 связана с X и У функциональной зависимостью [2]:

2 =Ф( х, у). (2)

Требуется найти закон распределения величины 2.

Для решения задачи воспользуемся геометрической интерпретацией. Функция 2 = ф(х, у) изобразиться поверхностью (рис. 1). Найдем функцию распределения величины 2:

0(2) = Р(2 < I) = Р(ф(х,у) < I). (3)

Проведем плоскость 0>, параллельную плоскости хОу, на расстоянии г от нее. Эта плоскость пересечет поверхность 2 = ф(х, у) по некоторой кривой К. Спроектируем кривую К на плоскость хОу. Эта проекция разделит плоскость на две области; для одной из них высота поверхности над плоскостью хОу будет меньше, а для другой - больше г. Обозначим Б ту область, для которой эта высота меньше г. Чтобы выполнялось неравенство (3), случайная точка (X,, У), очевидно, должна попасть в область Б, следовательно,

0(2) = Р((Х,У) с Б) = Ц/(х,у)йхйу. (4)

( Б)

В выражение (4) величина г входит неявно, через пределы интегрирования.

Дифференцируя 0(2) по г, получим плотность распределения величины 2:

8 (г) = 0'(2). (5)

Зная конкретный вид функции 2 = ф(х, у), можно выразить пределы интегрирования через г и написать выражение 8(г) в явном виде.

Воспользуемся изложенным выше общим методом для решения одной важной для практики частной задачи, а именно для нахождения закона распределения суммы двух случайных величин. Если же функциональная зависимость выражается произведением или отношением, то можно прологарифмировать правую и левую часть и перейти к сумме или разности логарифмов соответственно. При этом выдвигается гипотеза о том, что при каждом шаге имитационного поиска решения системы нелинейных уравнений пары рассматриваемых переменных можно считать независимыми.

Имеется система двух случайных величин (X, У) с плотностью распределения Лх, у). Рассмотрим сумму случайных величин X и У: 2 = X + У и найдем закон распределения величины 2. Для этого построим на плоскости хОу линию, уравнение которой х + у = г. Это - прямая делит плоскость хОу на две части: область Б в данном случае соответствует неравенству х + у < г. Тогда согласно формуле (4) имеем

Рис. 1. Правило построения многомерной плотности распределения искомой случайной величины

да г—х

0(2) = ЦЛ(х, y)dxdy = | | Л(х, y)dxdy = | <! | Л(х, у^уУх.

(Б)

(6)

Дифференцируя это выражение по переменной 2, входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получим:

да

8(г) = | /(х г - х)й?х- (7)

—да

Это - общая формула для плотности распределения двух случайных величин.

Из соображений симметричности задачи относительно X и У можно написать другой вариант той же формулы:

да

8 (г) =| / (г — у, у^у, (8)

—да

который равносилен (7) и может применяться вместо него.

Особое практическое значение имеет случай, когда складываемые случайные величины X и У независимы. Тогда говорят о композиции законов распределения. Допустим независимые случайные величины X и У, подчиненные, соответственно, законам распределения /1(х) и /(у). Требуется произвести композицию этих законов,

гх

—да —да

да

да

т.е. найти плотность распределения величины 2 = X + У. Так как величины X и У независимы, то/х,у) = Л (х)/2(у) и формулы (7), (8) принимают вид:

да

8( г) = | /(х) Л(г — х^х, (9)

—да

да

8(г) = | /1( г — у) Л( у^у- (10)

—да

Для большинства видов функций аналитического решения при суперпозиции не существует, также не всегда можно определить теоретический вид самой функции, характеризующей определенный социально-экономический показатель. Поэтому для выполнения вычислений необходимо воспользоваться аппаратом имитационного моделирования, тем более что нелинейность функции в таком случае не играет существенной роли. Это позволяет перейти к численному анализу, а весь трудоемкий процесс вычислений переложить на ЭВМ. Таким образом, алгоритм численного вычисления значений функции, являющийся суперпозицией других функций можно представить следующим образом.

Предположим, что имеется функция X, определенная в интервале (аь Ь1), и функция У, определенная в интервале (а2, Ь2), и необходимо найти функцию 2 = X + У, определить её форму и вид.

На первом шаге необходимо представить функции X и У как массив чисел, т.е. разбить интервал определения функций на определенное количество отрезков в зависимости от необходимой точности вычисления. Нужно помнить, что чем больше точность вычисления, а значит, меньше шаг деления, тем больше процессорного времени необходимо для выполнения расчетов. На следующем шаге определяется выходной интервал для функции 2, равный в первом приближении (а1 + а2 Ь1 + Ь2). Впоследствии данный интервал уточняется в связи с малой значимостью некоторых крайних значений функции 2. Далее запускается цикл численного перебора всех точек из интервала (а1 + а2 Ь1 + Ь2) функции 2 для определения их значения. Во время перебора каждой точки выполняются этапы суперпозиции функций X и У. Затем свободной переменной присваивается значение нижней точки интервала функции X и перебираются все возможные точки из интервала (а1, Ь1). Для каждой точки находят определенное значение, которое записывается в вспомогательную функцию, т.е. создается вспомогательный массив чисел, это значение находится исходя из следующего правила: произведение значения функции X в текущей точке, равное свободной переменной, на значение функции У в точке разности текущей точки функции 2 и точки свободной переменной.

На заключительном шаге по данным массива вспомогательной функции методом численного интегрирования по формуле Симпсона находят значение функции 2 в текущей точке. Таким образом, после пересмотра всех точек из интервала функции 2, получается массив точек и их значений, характеризующих функцию 2 = X + У.

Данный алгоритм реализуем на различных языках программирования, в работе в качестве примера использования алгоритма был выбран язык программирования Бе1рЫ. Ниже приведена расшифровка используемых переменных (табл. 2) и код алгоритма.

Таблица 2

Переменные в алгоритме и их смысл

Переменная Значение переменной Тип переменной

down1 нижнее значение интервала функции X double

down2 нижнее значение интервала функции У double

up1 верхнее значение интервала функции X double

up2 верхнее значение интервала функции У double

step шаг численного вычисления double

Окончание табл. 2

Переменная Значение переменной Тип переменной

tochnost число знаков после запятой при вычислении integer

n1 количество в интервале функции X integer

n2 количество в интервале функции У integer

argumfuncl массив чисел, характеризующий точки из интервала функции X array of double

argumfunc2 массив чисел, характеризующий точки из интервала функции У array of double

znachfuncl массив чисел, характеризующий значение функции X array of double

znachfunc2 массив чисел, характеризующий значение функции У array of double

sumdown нижнее значение интервала функции 2 double

sumup верхнее значение интервала функции 2 double

resultargumfunc массив чисел, характеризующий точки из интервала функции 2 array of double

resultznachfunc массив чисел, характеризующий значение функции 2 array of double

simpsonfunc вспомогательный массив чисел для численного интегрирования по формуле Симпсона array of double

simpsonznach значение вычисленного по формуле Симпсона интеграла array of double

nresult количество точек в результирующем интервале функции 2 integer

perem свободная переменная double

Код алгоритма на языке Delphi:

procedure TForm.ButtonClick(Sender: TObject); begin

up1:=StrToFloat(Up1Edit.Text); up2:=StrToFloat(Up2Edit.Text); down1:=StrToFloat(Down1Edit.Text); down2:=StrToFloat(Down2Edit.Text); step:=StrToFloat(StepEdit.Text); tochnost:=Length(StepEdit.Text)-2; n1:=Round((up1-down1)/step); n2:=Round((up2-down2)/step);

SetLength(argumfunc1,n1+1);

SetLength(argumfunc2,n2+1);

SetLength(znachfunc1,n1+1);

SetLength(znachfunc2,n2+1); argumfunc1[1]:=down1; argumfunc2[1]:=down2;

znachfunc1[1]:=RoundTo(1/(up1-down1),-10); znachfunc2[0]:=0;

znachfunc2[1]:=RoundTo(1/(up2-down2),-10);

for i:=2 To n1 do begin

argumfunc1[i]:=RoundTo(argumfunc1[i-1]+step,-tochnost); znachfunc1[i]:=RoundTo(1/(up1-down1),-10); end;

for i:=2 To n2 do begin

argumfunc2[i]:=RoundTo(argumfunc2[i-1]+step,-tochnost); znachfunc2[i]:=RoundTo(1/(up2-down2),-10); end;

sumdown:=down1+down2; sumup:=up1+up2; nresult:=1;

SetLength(simpsonfunc,n1 + 1) ;

SetLength(resultargumfunc,n1+n2+2);

SetLength(resultznachfunc,n1+n2+2);

while sumdown<sumup do begin perem:=down1; for i:=1 to n1 do begin

simpsonfunc[i]:=znachfunc1[i]*znachfunc2[FuncOpredZnach(sumdown-perem)];

perem:=perem+step;

end;

simpsonznach:=Simpson(n1); if simpsonznach>step then begin

resultargumfunc[nresult]:=sumdown; resultznachfunc[nresult]:=simpsonznach; nresult:=nresult+1; end;

sumdown:=RoundTo(sumdown+step,-tochnost); end;

SetLength(resultargumfunc,nresult);

SetLength(resultznachfunc,nresult);

nresult:=nresult-1;

end;

function FuncOpredZnach(opredznach:Double):Integer; var

yopredznach:Double; iopredznach: Integer; begin

yopredznach:=RoundTo(opredznach,-tochnost);

for iopredznach:=1 to n2 do

begin

if yopredznach=argumfunc2[iopredznach] then begin

Result:=iopredznach; exit; end else begin Result:=0; end; end; end;

В процессе выполнения программы в качестве численного интегрирования используется метод Симпсона.

На рис. 2 и З представлен результат работы алгоритма в графическом виде. Как видно из них, при сложении случайных величин, имеющих одинаковый закон распределения (ЗР) (рис. 2), уже на втором шаге - ЗР композиции похож на нормальный ЗР.

Таким образом, на основе построенной модели социально-экономических процессов, протекающих в регионе, делается предположение о виде законов распределения основных социально-экономических показателей, например, на первом шаге их можно представить в виде равномерного в определенном интервале.

На последующих шагах законы распределения различных показателей, участвуя одновременно в правой и левых сторонах нелинейных уравнений, уточняются. После всех вычислений на выходе имитационной модели выдается результат в виде законов распределений расчетных параметров. При этом эти законы распределения будут напоминать нормальный закон, так как при вычислениях происходила суперпозиция показателей с разными законами распределения.

График свертки

Значение

Рис. 2. Суперпозиция двух случайных величин, имеющих равномерный закон распределения в интервале (0,1)

График свертки

Рис. 3. Суперпозиция двух случайных величин, имеющих равномерный закон распределения в интервале (1,2) и (2,4)

На основе наиболее вероятных значений расчетных параметров появляется возможность судить об эффективности региональной экономической деятельности. Это касается также оценки успешности модернизационной политики. Если основные социально-экономические показатели деятельности региона характеризуют устойчивое улучшение, то можно говорить об эффективности модернизации. Конкретная количественная оценка степени эффективности модернизационной политики и факторов, влияющих на этот показатель с определенными весами, является отдельно разрабатываемой нами научной проблемой. При этом оперирование при вычислении неопределенными факторами позволяет оценить не только наиболее вероятные проявления параметра в будущем, но и не отбрасывать из рассмотрения наименее вероятные его значения.

Литература

1. Бахтизин А.Р. Агент-ориентированные модели экономики. М.: Экономика, 2008. 279 с.

2. ВентцельЕ.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.

3. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р. Вычислимая модель «Россия: Центр - Федеральные округа»: препринт. М.: ЦЭМИ РАН, 2003. 76 с.

4. Макаров В.Л. Вычислимая модель российской экономики (РЦБЕС): препринт. М.: ЦЭМИ РАН, 1999. 76 с.

5. Назаров А.А., Никитин В.В. Имитационная модель для оценки модернизационной политики социально-экономического развития региона // Вестник Чувашского университета. 2011. № 4. С. 457-462.

6. Никитин В.В., Назаров А.А. Безопасность региональных социально-экономических систем и её оценка средствами имитационного моделирования // Вестник Чувашского университета. 2010. № 4. С. 395-400.

НАЗАРОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСЕЕВИЧ - магистрант факультета дизайна и компьютерных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (xukvagpam@yandex. ru).

NAZAROV ALEXANDER ALEXEEVICH - master’s program student of the Design and Computer Technology Faculty, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

НИКИТИН ВИКТОР ВАСИЛЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

Nikitin VICTOR VAsIleViCH - candidate of physical and mathematical sciences, professor of Actuarial and Financial Mathematics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

УДК 517.95

А.А. СТАКУН

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ,

СВЯЗАННЫЕ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ С ТОЧКОЙ ПОВОРОТА

Ключевые слова: оператор, резольвента, дискретный и непрерывный спектры, индефинитная метрика, собственные функции, асимптотика, спектральное разложение, полнота, краевая задача, контурный интеграл, уравнения смешанного типа, уравнение Шредингера, разделение переменных, задача Коши, устойчивость решений, задача Дирихле.

Изучена задача Коши на полуоси и всей числовой оси для уравнения смешанного типа и родственных с ним параболического (гипоэллиптического) уравнения и нестационарного уравнения Шредингера. Рассмотрена также задача Дирихле. Решения структурированы с помощью индефинитной метрики. Использованы полученные ранее автором спектральные разложения для дифференциальных операторов с точкой поворота.

АА. STAKUN

THE BOUDERY PROBLEMS, ASSOCIATED WITH DIFFERENTIAL EQUATIONS

ABOUT A TURNING POINT

Key words: operator, resolvent, discrete and continuous spectra, indefinite metric, eigenfunctions, asymptotic, expansion, completeness, boundary problem, contour integral, equations about a different type, Schrodinger equation, Cauchy problem, equation stability, Dirichlet problem.

The present article considers the Cauchy problem and Dirichlet problem for some classes equations about a different type and for associated Schrodinger equation and parabolic equation on the axes or infinity part of the axes. The indefinite inner product is useful for classification of this problem. The consideration concerned with the author’s article associated with differential operators about a turning point.

§ 1. Асимптотики. Резольвента. Спектр. Рассмотрим оператор

Lu = —u"+R(x)u — A,q(x)u,q(x) = xr(x),r(x) > 0,r(0) = 1;

Х = ст + /х = ц2, ц = s + i0, (1)

где R(x) e C[-b; да), r(x) e C2[-b; да), b > 0. На r(x), R(x) налагаются дополнительные ограничения. Будут использованы стандартные понятия и обозначения из спектральной теории операторов [6. C. 173]. Весовой множитель в (1) меняет знак при переходе через