Алгоритм определения структуры группы рациональных точек эллиптической кривой над расширениями конечного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

70

УДК 512.8

Ю. Ф. Болтнев

АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТРУКТУРЫ ГРУППЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ НАД РАСШИРЕНИЯМИ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ

Представлены алгоритм определения структуры группы рациональных точек эллиптической кривой над расширениями конечного поля и алгоритм нахождения числа точек заданного порядка.

The article presents the algorithms of defining the structure of rational points group of elliptic curve under the extensions of a finite field.

І. Предварительные сведения

Известно, что структура группы точек Е^) на эллиптической кривой Е над конечным полем Fq описывается следующей теоремой [2; 3].

Теорема І. Пусть Е —эллиптическая кривая, определенная над Fq. Тогда Е(Fq) изоморфна Zd © Zn, где n и d — целые положительные числа, такие, что d j n, d j (q —1).

Более детальное описание структуры группы Е^) известно только для суперсингулярных кривых [1]. В настоящей статье рассматривается алгоритм вычисления структуры групп Е( Fpr) над расширениями конечного поля Fpr для различных степеней расширения r, справедливый

и для несуперсингулярного случая. Метод основывается на знании факторизации числа Nr — порядка группы Е( Fpr ). Величина Nr считается известной (например, может быть вычислена методом Вейля).

Для определения величин n и d необходимо знание группы m-кручения Е^], а именно знание величины pr — порядка поля, в котором лежат кординаты точек группы Е^].

Известно, что структура группы m-кручения Е^] описывается следующими теоремами [2].

Теорема 2. Пусть P = (x, y) — точка из E(K)\{ Рк}, такая, что 2P Ф Рк, т >- 2. Тогда

P є E[m] »fm(x) = О, где fm(x) — многочлен деления от одной переменной, приведенный по модулю кривой E.

Теорема 3. Пусть Е —эллиптическая кривая над полем К, характеристика К равна р и mє Z>Q.

1. Если р = О или р не делит m, то

Е^] = (Z/mZ) x (Z/mZ);

Вестник РГУ им. И. Канта. 2007. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 70 — 74.

Алгоритм определения структуры группы рациональных точек

2. Если р > 0, то Е[ рг ] = (7 / ргZ) или { Рк}.

2. Алгоритм вычисления группы Е[т] с помощью многочленов деления

ВХОД: т —целое число;

р — характеристика поля;

а, Ь —коэффициенты уравнения кривой у2 = х3 + ах + Ь.

ВЫХОД: г —степень расширения Бр, такая, что Е[т] е Е(Fpr).

1. Вычисление многочленов деления /т(х).

2. Построение поля разложения многочлена /т(х).

2.1. Разложение многочлена /т(х) на неприводимые надмножи-тели: /т(х) = £і(х)... £8(х).

2.2. Определение йі = йе£ £і(х), і = 1,., в.

2.3. Вычисление й = НОК(йі, ..., йв) (й = тах(йі, ..., йв фактически). Тогда й — степень расширения поля разложения I: й = [I: Бр].

3. Вычисление корней многочлена/т(х) в поле I: §і, §2, .

4. Вычисление квадратичных характеров х(?(§0), где Р(х)=х3 + ах + Ь:

д-1

*(Р(§)) = ^) 2 .

5. Если х(^(§0) = 1 для всех §і, і = 1,., І, І = йе£ /т(х), то г = й, иначе г = 2й.

Результат: г.

Пример 1. Пусть дана эллиптическая кривая Е / Б5: у2 = Р(х), где Е(х) = х3+2х+1. Вычислить группу кручения Е[4].

1. Вычисляем многочлены деления

/о(х) = 0, /г(х) = 1, /2(х) = 1, /3(х) = 3х4 + 2х2 + 2х + 1,

/4(х) = 2х6 + 4х + 3.

2. Разложим /4(х) над Б5: /4(х) = 2 (х3 + 4х2 + х + 2) (х3 + х2 + 2) и определим степени неприводимых многочленов в разложении: {3, 3}. Вычислим й = НОК(3, 3) = 3. Тогда й — степень расширения поля разложения I: й = [I: Бр] = 3, т. е. I = F5з.

3. Вычислим корни многочлена /4(х) в его поле разложения Рз = Р5(а) где а — корень неприводимого делителя х3 + 4х2 + х + 2 многочлена /4(х): §1 = а, §2 = 4а2 + 1, §3 = 2а2 + 3а, §4 = 2а2 + а, §5 = 3а2 + а + 1, §6 = 4а2 + 4а + 3.

4. Вычислим квадратичные характеры. Имеем, что х(К§0) = 1 для і = 1, 2,., 6., т. е. все Р(§і) являются квадратичными вычетами.

5. Следовательно, г = й = 3.

Результат: Координаты точек группы кручения Е[4] лежат в поле Р5з, т. е. Е[4] е Е( Р5з).

Заметим, что данная группа Е[4] изоморфна группе 74 х 74 и состоит из точки порядка 1 — точки Рк, 3 точек порядка 2 и 12 точек порядка 4.

71

72

3. Алгоритм определения структуры группы E(Fpr)

Идея алгоритма: определить, какие группы m-кручения Е[т] содержатся в группе Е( Fpr) в качестве подгрупп.

1. Определение порядка группы Е( F r) для данного фиксированного r = 1, 2, 3... методом Вейля.

2. Определение возможных структур группы Е( F r) вида

Z Z „j, где Л,-n = N, i,\ nr i,\p -1, j = 1.........../.

3. Построение последовательности { di,..., d; }, где di > ...> di. Полагаем j = 1, d ^ d,.

4. Разложение на множители данного d: d = p fl ... pfs .

5. Для каждого i = 1,., s определяем наименьшую степень расширения r' такую, что Е[ pfi ] с Е( F . ). Если г' делит г, то Е[ pfi ] с Е(F r).

pr p

6. Если Е[ pfi ] с Е( Fpr) верно для каждого i = 1,., s, то Е[Л] с Е( Fpr) и Е( Fpr) = Z d © Z n, где n = N / d. Иначе j = j + 1, d = d, и переход к п.4.

Результат: Целые d и n, при которых Е( Fpr) = Z d © Z п.

Пример 2. Дана эллиптическая кривая Е / F13: у2 = x3 + 7x. Многочлен f(x) имеет 1 корень в F13. Для r = 1 непосредственно определяем N = 18, E(F13) = Z3 © Z6.

Определим структуру группы Е( F134).

1. Вычислим число точек для данного расширения методом Вейля

N = 27 32 52.

2. Определим возможные структуры группы рациональных точек Е( F134) вида Zd © Zn: Z 6 © Zn/6, Z 12 ©Zn/12, Z 24 © Zn/24, Z30 © Zn/30,

Z60 © Zn/60, Z120 © Zn/120.

3. Строим последовательность порядков меньшей циклической группы в порядке убывания d е {120, 60, 30, 24, 12, 6}.

Полагаем за d наибольшее из них d = 120.

4. Разложим d на множители: d = 120 = 3 5 23.

5. Для групп кручения имеют место следующие включения:

Е[3] с Е( F132) с Е( F134), Е[5] с Е( F134), Е[8] с Е( F134).

6. Следовательно, выполняется включение Е[120] с Е( F134).

Таким образом, имеем структуру группы Е( F134) = Z120 © Zn/120.

Аналогично, рассматривая алгоритм для остальных степеней расширения г, получим, что Е( Fi3r) = Zd © Zn/л.

Причем, если:

r = 1 mod 2, то d = 1 mod 2; r = 0 mod 2, то d = 0 mod 6; r = 0 mod 3, то d = 0 mod 9; r = 0 mod 4, то d = 0 mod 120; r = 0 mod 6, то d = 0 mod 18; r = 0 mod 12, то d = 0 mod 360.

Алгоритм определения структуры группы рациональных точек

4. Алгоритм нахождения числа точек заданного порядка

В основе алгоритма лежит доказанное автором предложение.

Предложение. Пусть структура группы рациональных точек эллиптической кривой Е над конечным полем имеет вид Е(ёЦ) = Ха © Хш где й >1, й | п. Тогда число Н точек порядка т, где т | п в группе Е(Б9) определяется соотношением

И = ХЕф(/1)ф(/2),

?1^ |п

[£ъ, *2]=т

где [£1, £2] = ИОК(Ь, £2), ф(£) — функция Эйлера и сумма берется по всем наборам (£ъ, £2), для которых [£ъ, £2] = т.

Доказательство. Аддитивная абелева группа Е(Б?) является прямой суммой двух своих циклических подгрупп Съ и С2, где Съ = Хй, 62 = Хп. Каждая точка Я из Е(ёЦ) однозначно представляется в виде Я = Р + Q, где Р е Съ, Q е С2, причем порядок этой точки в группе Е(Б?) равен огй Я = НОК(огй Р, огй Q). Обозначим ^ = огй Р, £2 = огй Q. Известно, что порядок элемента циклической группы делит порядок этой группы, следовательно | й и £2 | п. Количество элементов заданного порядка £ равно ф(£), где ф(£) — функция Эйлера. Тогда каждой паре чисел (^, £2), где | й и £2 I п соответствует ф(£ъ) ф(£2) точек группы Е^) порядка [£ъ, £2]. Различным таким парам соответствуют различные наборы элементов группы, а объединение всех таких наборов по всем парам (£ъ, £2), таким, что | т и £2 | т и [£ъ, £2] = т исчерпывает множество точек Я из Е(Б?), порядок которых огй Я = т. Следовательно, искомое количество Н точек порядка т, где т I п равно

И = ХЕф(/1)Ф(/2) ,

?1^ ?2|я [£ъ *2]=т

где сумма берется по всем наборам (^, £2), причем [£ъ, £2] = НОК(£ъ, £2) = т.

Следствие 1. Пусть структура группы рациональных точек эллиптической кривой Е над конечным полем имеет вид Е(Б?) = Х2 © Х28/ где Бе М. Тогда количество точек Н максимального порядка 2б в группе Е(Б?) определяется соотношением

Г3ф( 5), если 8 = 1mod2,

И = <

[2ф(2^), если 8=0mod2.

Следствие 2. Пусть структура группы рациональных точек эллиптической кривой Е над конечным полем Ёц имеет вид Е(Б?) = Хт © Хт.

Тогда количество точек Н максимального порядка т в группе Е(Б?) определяется неравенством /г ^ 2шср(ш) — ф(ш)2.

Описание алгоритма

ВХОД: р — характеристика поля;

Е/Ёц. у2 = х3 + ах + Ь — эллиптическая кривая;

Е(Б9) = Хй © Хп.

74

ВЫХОД: Таблица значений т и Ыт.

1. Для каждого т | п вычисляем следующее.

1.1. Ыт = 0.

1.2. Для каждого 11 | й и £2 | п проверяем ИОК(и, £2) = т.

Если «да», то вычисляем Ыт = Ыт + ф(£а) ф(£2).

2. Вернуть (т, Ыт).

Пример 3. Рассмотрим эллиптическую кривую

Е: у2 = х3 +1,

определенную над полем Б25, # Е(Б2б)= 36 и Е(Б2б) = 2б © /б. В условиях предложения й = 6, п = 6. Каждая точка Я из Е(Б 25) однозначно представляется в виде Я = Р + Q, где Р е Сг = /б, Q е С2 = /б.

Порядки элементов данной группы:

1 2 3 6

1 1 2 3 6

2 2 2 6 6

3 3 6 3 6

6 6 6 6 6

Каждой паре чисел (£1, £2), где £1 = огй Р, £2 = огй Q и £1 | 6, £2 I 6 соответствует ф(£а) • ф(£2) точек группы Е(Б25) порядка [£1, £2].

ф(1)=1 ф(2)=1 ф(3)=2 ф(6)=2

ф(1)=1 1 1 2 2

ф(2)=1 1 1 2 2

ф(3)=2 2 2 4 4

ф(6)=2 2 2 4 4

Следовательно, количество fo(m) точек порядка т:

m 1 2 3 6

h(m) 1 3 8 24

Все описанные алгоритмах реализованы автором в вице программ в системе компьютерной алгебры Maple 9.

Список литературы

1. Влэдуц С. Г., Ногин Д.Ю., Цфасман М.А. Алгеброгеометрические коды. Основные понятия. М.: МЦМНО, 2003.

2. Blake I. F., Seroussi G. and Smart N. P. Elliptic curves in cryptography // London Mathematical Society Lecture Note Series. 265. Cambridge University Press, 1999.

3. Hankerson. D., Menezes A., Vanstone S. Guide to elliptic curve cryptography. Springer, 2003.

Об авторе

Ю. Ф. Болтнев — ст. преп., РГУ им. И. Канта, [email protected].