CC BY
45
Моделирование интерактивных режимов работы аппаратов предполагает решение дифференциального уравнения изменения объема и реакционной массы во вспомогательных емкостях с недифференциреемыми или разрывными функциями в правой части:
dU jt, t *)
dt
t-) = u jt)-u2 jt, t -) ;
При начальных условиях:
U jt- )
!' )= и*, (3)
... ^
где u1(t), u2(t,t ) - соответственно скорости загрузки и разгрузки емкости; t - время; t -
момент начала разгрузки емкости в принимающий аппарат.
Типичные функции в правой части уравнения (2), характерные для систем с дискретно-непрерывным режимом работы представлены на рис.1.В процессе моделирования интерактивных режимов работы аппаратов приходится определять экстремальные значения функции и, которая также принадле-жит к классам либо недифференцируемых, либо разрывных, понятие экстремума для которых в классическом смысле не определено [1,2]. Поэтому в работе применено понятие аппроксимационно-го экстремума упомянутых функций, который при возможности определимы аналитически, а в противном случае - алгоритмически [3].
Список литературы
1. Демьянов, В.Ф. Недифференцируемая оптимизация / В.Ф. Демьянов, Л.В. Васильев. -М.: Наука, 1981. - 384 с.
2. Пшеничный, Б.Н. Необходимые условия экстремума / Б.Н. Пшеничный. - М.: Наука, 1969. -152 с.
3. Батухтин, В.Д. Оптимизация разрывных функций /В.Д. Батухтин, Л.А. Майборода. -М.: Наука, 1984. -208 с.
УДК 519.7
А.В. Колнооченко, В.В.Макаров
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва, Россия
АЛГОРИТМ МОДЕЛИРУЕМОГО ОТЖИГА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ
The simulated annealing algorithm has been used for high dimension non-linear programming problems decision. Practically algorithm is used for reflectance reproduction for scattering layer under the constructions of the total components concentrations.
Алгоритм моделируемого отжига применен для решения задач нелинейного программирования большой размерности. Практически алгоритм реализован на примере воспроизведения спектра отражения от рассеивающего слоя при ограничениях на суммарную концентрацию компонентов.
Классическая задача нелинейного программирования формулируется как поиск экстремума нелинейной функции f многих переменных Xi, Х2, ..., xn при нелинейных ограничениях в виде неравенств (1).
тт/(х1,х2,...,хп
X '
при
gI(xl,x2,...,xn)<bI■i = l,k■ (1)
gI(x1,x2,...,xn)>bI■i = k + l,m■ V х. > 0; і = 1, п,
] -/
где У, gi; і = 1, т - известные функции.
Стандартный метод решения задач на условный экстремум - их редукция к задачам на безусловный экстремум путем формулирования функции Лагранжа с предварительной заменой ограничений-неравенств равенствами введением вспомогательных
переменных хі; і = 1, т + п, количество которых равно числу ограничений-неравенств [1] После введения вспомогательных переменных ограничения представляются в
виде
gl(xl,x2,...,xn) + xl=bl;i = l,k;
gI (х1,х2,...,хп)-х, =Ьі;і = к +1 ,т; (2)
х} - Хі = 0; і = 1, п Функция Лагранжа Ь (Х, Х, л) имеет вид
Ь (х х Л у (х) + ]Т Л Г Ъг - х - gi (х)
' ’ і=1 Г
(3)
+ Ьг + хг - gг (х) (х} - х}),
i=к+l j=1
где А.; i = 1, т + п - множители Лагранжа
Существенные трудности при поиске безусловного экстремума функции Лагранжа при нелинейных функциях / ^х), g. ^х); i = 1, т обусловлены большой размерностью задачи, решение которого традиционными методами не представляется возможным.
Для её решения предлагается применять методы направленного случайного поиска, из которых наиболее известен алгоритм отжига [2].
Метод отжига - это техника оптимизации, использующая упорядоченный случайный поиск на основе аналогии с процессом образования в веществе кристаллической структуры с минимальной энергией при охлаждении.В настоящее время метод отжига применяется для решения многих оптимизационных задач - финансовых, компьютерной графики, комбинаторных и многих других. Зачастую метод отжига используют для обучения нейронных сетей.
Огромным преимуществом метода отжига является свойство избежать "ловушки" в локальных минимумах оптимизируемой функции, и продолжить поиск глобального минимума. Это достигается за счет принятия не только изменений параметров, приводящих к уменьшению значения функции, но и некоторых изменений, увеличивающих ее значение, в зависимости от так называемой температуры Т - характеристики моделируемого процесса. Чем выше температура, тем большие "ухудшающие"
изменения (аналогичные случайным флуктуациям в нагретом веществе) допустимы, и больше их вероятность.
Еще одним преимуществом является то, что даже в условиях нехватки вычислительных ресурсов для нахождения глобального минимума, метод отжига, как правило, выдает весьма неплохое решение (один из локальных минимумов).
Метод отжига и его модификации являются одним из наиболее эффективных методов случайного поиска оптимального решения для большого класса задач.
При использовании метода первое решение выбиралось на множестве случайных решений, а затем на каждом шаге изменялось, оценивалось и сравнивалось с решением на предыдущем шаге. Если новое решение лучше предыдущего, то оно принимается с вероятностью Р = 1, иначе оно принимается с вероятностью, зависящей от разницы между оценками эффективностей нового и предыдущего решений.
Рис 1. Спектры отражения от плоскопараллельного слоя рассеивающей среды (1) и слоя, окрашенного каждым из красителей (2, 3, 4)
Алгоритм моделируемого отжига применен для поиска оптимальных концентраций с красителей в плоскопараллельном слое рассеивающей среды бесконечной толщины, минимизирующих среднеквадратичное отклонение спектра отражения Я ( с)
от заданного Я при ограничениях на неотрицательность концентраций и их предель-
*
ную суммарную концентрацию с*
шт / (с) = шт X [к1 - Я (с )]
(4)
I=1
при XС - с* и СУ ^ 0; 1 = 1,3
j=l
где Я = ■
( 3 ^ ( 3 ^ 2
Хх+$+1 +1 ХХ1 + $ + 1 -1
V1=1 ) 1 V1=1
где Х,-, 81 - оптические параметры соответственно красителей и среды.
1
Значения оптических параметров определены предварительно по спектрометрическим кривым - спектрам отражения от слоя неокрашенной среды и окрашенной каждым красителем при его известной концентрации с = 0.03% (рис 1).
Значения оптических параметров рассчитывались по формуле:
(1 - я )2
К = ------— = ас + $ (6)
1 2 Я 11
Рецептурой красителей воспроизводился спектр отражения, изображенный на
рис. 2.
Рис. 2. Воспроизводимый Я (1) и воспроизведенный Я (с) (2) спектры отражения
Поиск минимума функции Лагранжа
ь(с, ~д)=Х
г=1
Я г -
1
( 3 > ( 3 > 2
XX + 8г + 1 +\ XX + 8г +1 -1
V1=1 \ V1=1 ^
+
(7)
+ А ■
с1 + с1- с
+ х Л1 (с1 - )
т.е. функции 7 переменных при поиске концентрации трех красителей дал следующие результаты: с[1] = 0; ^2] = 0.00426; ^3] = 0.00057.
Таким образом, в результате работы показаны преимущества стохастического метода при оптимизации функции многих переменных, а также численно решена задача воспроизведения спектра отражения с помощью применения данного метода.
Список литературы
1. Дегтярев, Ю.И. Методы оптимизации / Ю.И. Дегтярев. - М.: Сов. Радио, 1980. - 272 с.
2. Джонс, М.Т. Программирование искусственного интеллекта в приложениях / М. Тим Джонс; Пер. с англ. Осипов А.И. - М.: ДМК пресс, 2006. - 312 с.
