Алгоритм компенсации неизвестных мультигармониче-ских возмущений для объектов с запаздыванием по управлению Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506.1 (047)

АЛГОРИТМ КОМПЕНСАЦИИ НЕИзВЕСТНЫХ

мультигармонических возмущений

для объектов с запаздыванием по управлению

И. Б. Фуртат,

доктор техн. наук, профессор

Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург

Рассмотрено решение задачи компенсации неизвестных периодических возмущений для линейных объектов с запаздыванием в управлении. Предполагалось, что возмущение представляет собой конечную сумму синусоидальных сигналов с неизвестными амплитудами, кратными частотами и фазами. Для построения компенсатора использовался адаптивный идентификатор частот синусоидальных сигналов, основанный на методе скоростного градиента. Для компенсации возмущений применялся метод вспомогательного контура. Полученный алгоритм обобщен для управления динамической сетью с коммуникационным запаздыванием. В результате синтезированная система управления обеспечивает точную компенсацию возмущений. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие эффективность предложенной схемы.

Ключевые слова — объект с запаздыванием по управлению, компенсация возмущений, идентификация.

Введение

Задача построения простых и эффективных алгоритмов в условиях неопределенности была и остается актуальной в теории и практике автоматического регулирования. Она значительно усложняется, если в объекте присутствует запаздывание в канале управления. Неучет данного запаздывания может привести к потере качества регулирования, а иногда и к потере устойчивости замкнутой системы.

Впервые для управления объектами с запаздыванием с известными параметрами был предложен предиктор Смита [1]. Затем был разработан последовательный компенсатор запаздывания на базе регулятора Ресвика [2, 3]. Для дискретных систем в работе [4] предложен предиктор Цыпкина. В условиях параметрической неопределенности в настоящее время существует два принципа управления: с использованием предикторов [5] и без них [6, 7]. Более подробный обзор по данным методам сделан в статье [8].

Однако перечисленные методы [1-8] оказываются малоэффективными, когда объект управления подвержен действию внешних неконтролируемых возмущений. Так, было установлено [9], что для компенсации внешних возмущений с требуемой точностью необходимо, чтобы h<Ю-1,

где h — время запаздывания в канале управления; ю — максимальный спектр внешнего возмущения. Проблема компенсации возмущений существенно усложняется, если необходимо управлять сетью динамических объектов в условиях коммуникационного запаздывания, возникающего при обмене информацией между подсистемами сети и регулятором. И, насколько известно автору статьи, по данной проблеме до сих пор нет решений. Поэтому настоящая статья посвящена решению задачи компенсации возмущений для объектов с запаздыванием по управлению, где не предъявляются требования к зависимости параметров возмущения от параметров объекта.

В работе рассматривается простой алгоритм компенсации периодических неизвестных возмущений. Предполагается, что возмущения представляют собой сумму синусоид с неизвестными амплитудами, неизвестными кратными частотами и неизвестными фазами. Для выделения и компенсации возмущений используется метод вспомогательного контура [10]. Для прогноза регулируемой величины на время запаздывания используется метод адаптивной идентификации частоты синусоидального сигнала [11], позволяющий определить период неизвестного возмущения. Полученные результа-

ты распространяются на управление динамическими сетями с коммуникационным запаздыванием. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие работоспособность алгоритма.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются следующим уравнением:

X(^ = Ax(t) + Ви^ - И) + В/^ - h), (1)

где x(t)eRn — вектор состояния; и^)еД — управляющее воздействие; /^)еД — внешнее возму-

' 0 1„-1

-а0 ... -ап-1

0, Ь]теДи — известные гурвицева матрица и век-

щение; А =

^пхп и B = [0, ...,

тор, Ь>0, пара (A, B) — управляема; h>0 — известное время запаздывания.

Предположения A.

1. Внешнее возмущение f(t) — периодическая функция с неизвестным периодом Т>0, которая

к

определена выражением / ^ Л1 sin(ю;t + ф;),

1=1

где Аг, юг и фг — неизвестные амплитуда, частота и фаза, причем периоды Тг = 2л/юг — кратные; & — известное число. Ради простоты положим, что Т>^

2. Измерению доступны сигналы x(t), X (£) и и(Ь). Целью управления является синтез алгоритмической структуры управляющего устройства, обеспечивающей стабилизацию объекта, т. е.

Итх(£) = 0. (2)

Ь—>оо

Метод решения. Согласно работе [10], для выделения возмущения ^ - К) введем вспомогательный контур

Хи (t) = Ахи (t) + Bu(t - И), (3)

где xv(t)eRn — вектор состояния. Принимая во

внимание (1) и (3), рассмотрим уравнение для рассогласования Х(^) = x(t) - xv(t) в виде

X(^ = АX(t) + В/$ - И). (4)

Перепишем уравнение (4) в виде системы дифференциальных уравнений

XI (^ = X2(t);

Хп-1(t) = Хп (t);

Xп (t) = а£М + Ь/(t - К).

Здесь = Кі(0, Х2(*), ., Хи(0]Т я=[-а0, ...,

-а„]. Из данной системы уравнений очевидно, что в явном виде функция - К) присутствует только в последнем уравнении. Поэтому сигнал f(t - Щ можно определить как

f а - h) = Ь~1 (X„ (t) - аX(t)).

Обозначим ф(t) = Ь_1 (Xп (^ - а £(^). Тогда для компенсации функции ^ - Щ закон управления и(Ь) можно сформировать в виде

и^) = -ф(t + К). (5)

Однако для реализации сигнала управления (5) необходимо знание функции ф^ + К). Согласно предположению А1, функция — периодическая, значит, закон управления (5) можно переписать в виде

и^) = -ф^ + h - Т). (6)

Подставив (6) в (1), получим уравнение замкнутой системы в виде

х = Ах^). (7)

Таким образом, закон управления (6) обеспечивает компенсацию неизвестного возмущения ^ - К). В силу гурвицевости матрицы А система (7) будет асимптотически устойчивой.

Теперь необходимо определить период Т функции Д^. Идентификацию периода Т будем определять по идентифицированным частотам синусоид функции Д^, алгоритм поиска которых рассмотрен в работе [11].

Продифференцируем функцию ф^) 2& раз и результат запишем в виде

" ф^) " Аі sin(Юlt + фі -ю^)

ср (t) = V A2SІn(Ю2t + ф2 -®2^

ф(2к-2)^) _Ак sш((йkt + фк -ю^)_

1 1 . .. 1

Х1 Х2 . Хк

к-1 к-1 „к-1

г1 Х2 Хк

2

где югФЮ] и гьФг] для гФ], = -<ю.

С учетом (8) запишем выражение для ф(2А%) в виде

Ф(2к)^=[хк, хк,..., хк ]х

хУ-1 [ф(t), ф (t),..., ф(2к-2)(^]Т =

= _01ф(2к-2) (t) -... - 0к-1ф (t) - 0*фр). (9)

Здесь 0г — параметры, зависящие от частот —г. Найдем от (9) преобразование Лапласа

2k

Ф(в) = -0lS(2k-2)ф(в) -... - 0^1«2ф(«) -0kф(в), (1О)

где в — комплексная переменная. Рассмотрим гурвицевый полином 5(в) = в2к + ^2кв2к- 1 + • + ^2в + + Хі и введем обозначение

Н-і = ^2і+1 -®к-і, ^ = 0, •••, к - 1.

Тогда (10) можно переписать в виде

k (

Ф(в) = s

і=1

2і-1

2і-2 А

^2і'

S(s)

+ Н-і-1

S(s)

ф(в).

Для уравнения (11) введем фильтр S (t) = FS(t) + boф(t),

(11)

(12)

где F — матрица в форме Фробениуса с характеристическим многочленом 5(в); Ьо = [0, ..., 0, 1]Т. С учетом (12) перепишем (11) в виде

k k

ф(і) = Х^2і&2і(t) + S Н-і-1^2і-1 (t). і=1 і=1

(1З)

Введем в рассмотрение новую функцию

ФМ = S ^2і (t) + S Ці-1 (t^-l (t), (14)

і=1 і=1

где Ці-1 (t) — оценка значения цг - 1. Сформируем уравнение ошибки e(t) = Ф(і) - ф(t). Принимая во внимание (1З) и (14), запишем уравнение для e(t) в виде

k

e(t) = Efa-l (t) - Ці-1 )&2і-1 (t). і=1

Согласно работе [11], для того чтобы e(t) ^ О при t ^да, а соответственно, и ^^(t) ^Ці-і,

і = О, ..., k -1 при t ^ да, достаточно алгоритм адаптации выбрать в виде

Ф(t) = -ae(t)©(t), a> 0, (15)

где «(t) = [^o(t), ^l(t),..., ^k-l(t)]T; Q(t)=[^(t),

^(t), ..., S2k- 1(t)\T.

Сформулируем утверждение, при выполнении условий которого система управления (З), (6), (12), (15) обеспечивает выполнение цели (2).

Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений A1, А2. Тогда система управления (З), (6), (12), (15) обеспечивает выполнение целевого условия (2).

Замечание 1. Часто в режиме on-line сложно оценить период T функции f(t), так как T является наименьшим общим кратным частот —i. Тогда закон управления (6) можно сформировать в виде

u(t) = -ф(і + h - T).

(16)

Здесь T можно находить по формуле

T=Ш

2л

XX- (17)

;=1—г &

где — I (t) — оценки частот -г, полученные с помощью алгоритма (12), (15).

Обобщение алгоритма для управления динамическими сетями с коммуникационным запаздыванием

Рассмотрим динамическую сеть, в которой каждая локальная подсистема описывается уравнением

XI(^ = Ах;(^ + Ви;(^ + В/(t), I = 1,...,N, (18)

где xг(t)eRn — вектор состояния; uг(t)eR — управляющее воздействие; fг(t)eR — внешнее возмущение; матрица А и вектор В те же, что и в пункте А.

Целью управления является синтез алгоритмической структуры управляющего устройства, обеспечивающей выполнение условия консенсуса

lim ^ (t - h) - x j (t - h)) = 0,

(19)

где h>0 — коммуникационное запаздывание.

Предположения В.

1. Внешнее возмущение fг(t) — периодическая функция с неизвестным периодом Т > 0, которая определена выражением

к

/гМ = X Лг, у sin(—г,у'(/:) + фг, у Ь У=1

гдеАг], —г] и фг] — неизвестные амплитуды, неизвестные кратные частоты и неизвестные фазы; & — известное число. Ради простоты положим, что Т1 > h.

2. Измерению доступны сигналы xг(t), Xг (^ и иг(0.

3. Орграф, ассоциированный с динамической сетью, содержит ориентированное остовное дерево. Под ориентированным остовным деревом понимается ориентированное дерево, составленное из ребер орграфа и такое, что в нем существует путь из корня в любую другую вершину [12, 13].

Введем уравнение ошибки

£г М = X Хг ^ - И) - Xу ^ - И),

где Nг — множество смежных подсистем для г-й подсистемы. Продифференцировав ег^) по времени вдоль траекторий уравнений (18), получим

ег (t) = Аег (t) + Виг (t - И) - Виу (t - И) + Вуг (t - И), (20)

где у;(^ = fi(t) - 1($). Зададим закон управления иь(Ь) в виде

Щ № = V (№) + щ (t), (21)

где V ■($) — вспомогательное управляющее воздействие. Согласно работам [10, 14], введем вспомогательный контур

еы (№) = Ае„; (№) + Ви; (№ - К), (22)

где еv;(t)eRn. Принимая во внимание (20)—(22), составим уравнение ХДО = е;(0 - е^) в виде

X; (№) = АX; (№) + Ву; (№ - К). (23)

Перепишем (23) в виде системы дифференциальных уравнений

Х1,;(№) = Х2,;(№);

X п-1,;(№) = Хп,;(№);

X п,;(№) = а£;(№) + ;(№ - К).

Здесь Xj(t) = К^), X2,i(t), •••, Xи,j(t)]T. Тогда сигнал - К) можно определить как

У;(№ - К) = Ь_1 (х п,;(№) - аХ;(№)).

Обозначим ф; (№) = Ь_1 (Xп,; № - аX; (№)). Тогда

вспомогательное управляющее воздействие vi(t) можно сформировать в виде

V; (№) = -ф; (№ + К - Т). (24)

Подставив (21) и (24) в (20), получим уравнение замкнутой системы

е; (№) = Ае; (№)• (25)

Таким образом, закон управления (21), (24) обеспечивает компенсацию неизвестного возмущения \\tjft - К). В силу гурвицевости матрицы А система (25) будет асимптотически устойчивой.

Для идентификации периода Т воспользуемся результатом [11], который описан в пункте «Метод решения». Система идентификации будет представлена следующими уравнениями:

— фильтры состояния

3; (№) = F3; (№) + Ьоф; (№), (26)

где F и Ь0 аналогичны введенным в (12);

— алгоритмы идентификации

Ф; (№) = -ае; (№)0; (№), а> 0, (27)

где

Ф;(№) = [йо,; (t), Й,; (t), • • •, Мк-1,;(№) ]Т;

0(t)=[змю, 3з,гю, ..., ^ - 1, ^)]т;

е (t) = Фі (t) -Фі (t),

к к

фі № = X Х21^21,і № + X м-1—1,і №^21-1,і №, 1=1 1=1

„21—2 Л

Фі (в) = Х 1=1

к ( ^21—1

X.

'"2 Г

+ м1—1, і -

V

Фі

5(в) 5(«)

М-1,і = Х21+1 — ®к—1,і,1 = 0, —, Ь — 1.

Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений В1-В3. Тогда система управления (21), (22), (24), (26), (27) обеспечивает выполнение целевого условия (2).

Замечание 2. Закон управления (24) можно формировать в виде

V (^ = —Фі ^ + h — Ті ), (28)

где Т можно находить по формуле

2л

т =П^-.

• і Ю і і ]=1 М

(29)

Здесь юу,і (^ — оценки частот Юу;, полученные с помощью алгоритма (26), (27).

Проиллюстрируем полученные результаты на следующих примерах.

Примеры

1. Рассмотрим объект управления вида (1)

' 0 1 ' "0" "0"

X (Ї) = —1 —2 x(t) + 1 и(р — 1) + 1

Г (t — 1);

<(0) = [1 1]"

(30)

где ^) =А^т(ю^ + Ф1) +.A2SІn(Ю2t + Ф2).

Цель управления — компенсация неизвестного возмущения так, чтобы было выполнено условие (2).

Зададим вспомогательный контур (3) в виде

(31)

" 0 1 " "0"

XV (t) = —1 —2 х„ (^ + 1 ( 1 )

X,

,(0) = [1 1]т

и составим уравнение для рассогласования £(*) = х(і)—хи(і)

X (t) =

" 0 1 " "0"

—1 —2 ха)+ 1

ку

Выделим в последнем уравнении вторую стро-

^) = [—1 — 2]Х (*) + — 1).

Тогда f ^ — 1) = X2 (t) — [—1 —2]Х(*) = Ф(t).

а) ®і(0

в)

е(г)

®2(г)

25 г, с

г)

х(г)

25 г, с

25 г, с

■ Рис. 1. Переходные процессы по Ю1 (#) (а), Ю2 (#) (б), е(і) (в) и х(£) в замкнутой системе (г)

Определим теперь частоты Юі и Ю2. Выберем 5(в) = в4 + 4в3 + 6в2 + 4в + 1. Сформируем фильтр (12) в виде

$ 1 (t) = $2(<0,

&2 (t) = $3 (t),

$3 М = $4 №,

$4 (t) = —$1 (^ — 4$2 (t) — 6$з (t) — 4$4 (0 + ф(0, $1(0) = $2(0) = $3 (0) = $4(0) = 0.

Пусть а = 1000. Тогда алгоритм (15) определится в виде

ф0^) = — 1000е(^$з(^, ф0(0) = 0;

Ф1^) = —1000е^)$1^), Ф1 (0) = 0,

где

е^) = ф(t) — ф(t),

ф(t) = 4$4 (t) + 4$2 (^ +

+(6 — Ф0 (t))$з (t) + (1 — Ф1 (t))$1 (t).

Оценки частот ®1 и ®2 можно найти по следующим формулам:

ю1,2(^ = 1

-ф1 (t) ± \/ф?(#)—4ф2(#)

Зададим закон управления (16), где

— 4л2

Т (№) = --=----•

Ю1(№)Ю2(№)

Пусть в функции А1 = 1, А.2 = 3, ®1 = л/2, ®2=л, Ф1 = л/3, Ф2=л/4. На рис. 1, а-г представлены результаты моделирования в замкнутой системе.

Результаты моделирования показали, что поставленная цель (2) выполняется.

2. Рассмотрим динамическую сеть, состоящую из четырех подсистем Si, I = 1, ..., 4 (рис. 2).

Пусть каждая подсистема сети описывается уравнением

fi(^, і = 1,...,4,

0 1 0 0

х і м = —1 —2 Хі (t) + 1 и (t) + 1

©—<5>

---@

■ Рис. 2. Схема сети

2

61^

Ё2(0

35 t, с

■ Рис. 3. Переходные процессы по 8^)

где ^) =А^т(Ю ^+Фi), Х1(0) = [1 1]Т, Х2(0) = [3 2]т, Х3(0) = [-1 0]т и Х4(0) = [0 -1]т.

Цель управления — компенсация неизвестного возмущения f(t) так, чтобы было выполнено условие (19), где коммуникационное запаздывание К = 1 с.

Сформируем систему управления, состоящую:

— из закона управления (21) и вспомогательного управляющего воздействия (28);

— вспомогательного контура (23)

" 0 1 ] "0 ]

-1 -2 ^;(№) + 1 V; (№ - 1), Еv; (0) =

еV;(№)=

— фильтра (26)

31,;(№) = 32,;(№),

3 2,;(№) = 3з,;(№),

3 з,;(№) = 34,;(№),

3 4,; (№) = -31,; (№) - 432,; (№) - 6З3,; (№) - 434,; (№) + Ф; (№),

31,; (0) = 32,; (0) = 3з,; (0) = 34,; (0) = 0;

— алгоритмов идентификации (27)

Ф0,; (№) = -1000е; (№)3з,; (№), Ф0,; (№) = 0;

Ф1,; (№) = -1000е; (№)&!,; (№), Ф1,; (№) = 0.

Оценки частот ®1 i и можно найти по следующим формулам:

ю (1,2),;(№) = "

~Ф1,;(№) ±д/ф1,;(№) - 4Ф2,;(№)

2 '

Зададим вспомогательное управляющее воз-

4л2

действие в виде (28), где Т; (№) = — _

ю1,; (№)®2,; (№)

Пусть в функциях fi(t) А1 = 1, А2 = 3, А3 = 2, А4 = 4, ®1 = л/2, ®2=л, ю3=л/2, ю4=л/4, Ф1 = л/3, Ф2=л/4, Ф3=л/6, Ф4=л/2. На рис. 3 представлены переходные процессы по е^), i = 1, ..., 4.

Результаты моделирования показали, что поставленная цель (19) выполняется.

Заключение

В статье предложен синтез простой системы компенсации внешнего неизвестного ограниченного периодического возмущения, основанной на адаптивной идентификации частот синусоидальных сигналов с кратными периодами. Следует отметить, что применение данного способа компенсации требует точных оценок (без смещений) частот синусоидальных сигналов. В противном случае смещение идентифицируемых частот от истинных может привести к невыполнению постав-

ленной цели (2) или (19). Допускается оценка частот в некотором множестве, однако среднее значение оценки должно быть истинным. Время переходных процессов в системе управления напрямую зависит от времени идентификации частот синусоидальных сигналов.

Используемый в статье алгоритм идентификации частот синусоидальных сигналов достаточно чувствителен к помехам измерения или к ситуации, когда на возмущение наложена нерегуляр-

Литература

1. Smith J. M. Closer control of loops with dead time // Chem. Eng. Prog. 1959. Vol. 53. P. 217-219.

2. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. - М.: Машиностроение, 1973. -328 с.

3. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последствием. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

4. Цыпкин Я. З. Оптимальные адаптивные системы управления объектами с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1986. № 8. С.5-24.

5. Фуртат И. Б., Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с запаздыванием по выходу // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. № 7. С. 15-19.

6. Furtat I. B., Thykunov A. M. Output adaptive control for plants using time delay in output signal based on the modified algorithm of adaptation of the high order // Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP ‘07): 9th IFAC Workshop/ IPACS Electronic Library. 2007. http://lib.physcon. ru/doc?id = 9df9ebaa7845 (дата обращения:

11.09.2013).

7. Niculescu S. I., Annaswamy A. M. An adaptive Smith-controller for time-delay systems with relative degree n < 2 // Systems and Control Letters. 2003. Vol. 49. N 5. P. 347-358.

ная составляющая. В таких случаях необходимо применять различные фильтры для уменьшения влияния помехи или нерегулярных составляющих.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 13-08-01014, 12-08-01183), а также программы ОЭММПУ РАН «Анализ и оптимизация функционирования систем много-уровнего, интеллектуального и сетевого управления в условиях неопределенности» № 14.

8. Фуртат И. Б. Адаптивное управление объектом с запаздыванием по управлению без использования прогнозирующих устройств // Управление большими системами. 2012. Вып. 40. С. 144-163.

9. Цыкунов А. М. Следящие системы для линейных объектов с запаздывающим управлением // Меха-троника, автоматизация, управление. 2008. № 8. С. 7-12.

10. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2007. № 7. С. 103-115.

11. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Trans. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. N 7. P. 1188-1193.

12. Ren W., Beard R. W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies // IEEE Trans. on Automatic Control. 2005. Vol. 50. N 5. P. 655-661.

13. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Матрица максимальных исходящих лесов орграфа и ее применения // Автоматика и телемеханика. 2000. № 9. С. 15-43.

14. Фуртат И. Б. Робастная синхронизация динамической сети с переключающейся структурой // Ин-формационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 23-30.