CC BY
7Решетневскце чтения
УДК 681.513.5; 517.977
А. А. Новиков
Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск
АЛГОРИТМ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ МЕТОДОМ СЕЛЕКТИВНОГО УСРЕДНЕНИЯ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрено решение задачи глобальной оптимизации путем применения метода селективного усреднения координат в области дискретно-непрерывных переменных. На тестовом численном примере показана работоспособность и эффективность предложенного подхода.
Нахождение оптимального решения занимает все более значимую роль при решении инженерных задач -это различные задачи оптимального управления, потребления ресурсов, эффективного использования рабочего времени и аппроксимации поведения объекта с помощью математической модели. Словом, такие задачи возникают везде, где необходимо получить наилучший результат целевой функции в допустимой области, задаваемой конечным множеством ограничений - неравенствами.
В статье рассмотрено решение задачи глобальной оптимизации путем применения метода селективного усреднения координат в области дискретно-непрерывных переменных. Данный подход перспективен при работе с исследуемым объектом как с «черным ящиком», хорошо справляется с помехами и имеет не высокие вычислительные затраты.
Постановка задачи. Рассматривается задача отыскания условного глобального минимума функции многих переменных с учетом ограничений в виде неравенств jj (х, y) < 0, j = 1, mj.
I (х, y) = min;
х,У _ (1)
jj (х, y) < 0, j = 1, m1; х е X; y е Y, Y с Z,
где х = (Xj, l , xk) - вектор непрерывных переменных; y = (y1, l , yl) - вектор дискретных переменных.
Априорная информация о характере глобального поведения целевой функции отсутствует, целевая функция может быть многоэкстремальной, разрывной, недифференцируемой и может быть искажена аддитивной помехой. Ограничения в виде неравенств могут быть нелинейными, а их количество счетно.
Алгоритм поиска экстремума для задач со смешанными дискретно-непрерывными переменными путем разбиения на подзадачи относительно непрерывных переменных. Алгоритм поиска экстремума разделяет обработку дискретных и непрерывных переменных. На начальном этапе поиска определяется количество возможных значений дискретных переменных в решаемой задаче. Далее, для каждого фиксированного набора значений дискретных переменных, формируется функция качества I (х, y), которая зависит только от непрерывных переменных. В результате исходная задача разбивает-
I
ся на т2 нелинейных подзадач, где т2 = ^ т. - ко-
1=1
личество значений каждой дискретной переменной. Глобальный экстремум для полученных подзадач находится с помощью алгоритма глобальной оптимизации, основанного на методе селективного усреднения координат для непрерывных переменных.
Полученные решения нелинейных подзадач с непрерывными параметрами для каждого из фиксированных значений дискретной переменной являются допустимыми решениями задачи глобальной оптимизации. Решение, при котором целевая функция принимает наименьшее значение, есть точка предполагаемого глобального экстремума.
Численный пример. Рассмотрим следующую задачу: I(х1, х2, у1, у2), две непрерывные переменные х1, х2 и две номинальные дискретные переменные у1, у2. Дискретная переменная у1 принимает значения {1; 1,5}, переменная у2 принимает значения {1; 1,5; 2}.
Каждой комбинации значений дискретных переменных соответствует однотипная четырехэкстре-мальная потенциальная функция, построенная за счет применения операции суммирования к четырем элементарным экспоненциальным потенциалам, но с различной глубиной и положением экстремумов:
I (х) = -5ехр {-3 х + у! |у2 +| х2 +1|у2 ]}-
- 7,5(1 + у1)ехр{-2,5 [| х:|2 у2 +| х2|2 у21}
1 [ ^ (2) -3ехр{-1 [|х -у1|0,9у2 +|х2 -у^1'2]}-
-10(3 - у, • у2)ехр {-2 [|х - 2у, |2у2 +1х2 - 2у у2 ]}.
Допустимая область задается в виде области между двумя линиями:
х ±д< х2. (3)
Глобальным условным экстремумом является точка х = 2, х2 = 2, у1 = 1, у2 = 1 (это хорошо видно по формуле (2)).
Процесс исследования алгоритма в виде двух графиков (вероятность отыскания истинного решения и количество точек, в которых вычислена функция качества) представлен на рисунке. Размер выборки
Математические методы моделирования, управления и анализа данных
п = 400. Значения непрерывных переменных на пер- Библиографические ссылки
вом шаге итерации x0= (0; 0) и Ax0 = (10; 10). В каче- 1. Рубан А. И. Глобальная оптимизация методом
стве функции ядра используется параболическая с усреднения координат : монография. Красноярск :
коэффициентом селективности 5 = 50, у = 1,2 [1]. ИПЦ КГТУ, 2004.
Поиск минимума функции (2) при ограничениях (3)
A. A. Novikov Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk
GLOBAL OPTIMIZATION ALGORITHM BY MEANS OF COORDINATES AVERAGING METHOD WITH DIGITAL AND COUNTINUOUS VARIABLES
Global optimization problem solution by means of coordinates averaging method with digital and continuous variables is given in this article. Efficiency and usability of the given method described in terms of a numerical example.
© Новиков А. А., 2011
УДК 519.713
Д. С. Новиков, П. К. Лопатин
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
МОДИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМА ПОЛНОГО ПЕРЕБОРА В ЗАДАЧЕ ФОРМИРОВАНИЯ ЦЕЛЕВОГО МНОЖЕСТВА КОНФИГУРАЦИЙ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ РОБОТОВ
Предложен способ решения задачи формирования целевого множества конфигураций, в которых манипу-ляционный робот может захватить некоторый статичный объект. Предлагаемый алгоритм основан на алгоритме полного перебора, однако сам таковым не является, поэтому работает намного быстрее. В то же время, описанный ниже метод гарантирует выявление всех целевых конфигураций.
На текущем этапе развития робототехники наибольший интерес представляют манипуляционные роботы (МР), представляющие собой, по сути, механические руки. Основная функция МР - некоторым образом влиять на окружающую среду. Для решения своей основной задачи МР должен обладать некоторым рабочим инструментом или схватом, сенсорной системой, позволяющей ему ориентироваться в пространстве, двигательной системой и т. д. В общем
случае МР может состоять из любого количества звеньев, и управление такой системой оказывается весьма сложной задачей.
Рассмотрим ситуацию, когда необходимо передвинуть МР из одного положения в другое в среде с неизвестными препятствиями и захватить некоторый статичный объект. В [1] предложен алгоритм, позволяющий решить данную задачу за конечное число шагов либо получить обоснованный ответ о том, что
