CC BY
46
Семёнов А.Д., Никиткин А.С., Авдеева О.В. АЛГОРИТМ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ЭЛЕКТРОЭРОЗИОННОЙ ОБРАБОТКИ
Одним из наиболее эффективных способов профилирования и правки алмазных шлифовальных кругов на металлических связках является электроэрозионный способ. Получение профиля высокой точности и максимальной производительности процесса может быть обеспечено применением автоматических систем управления.
В результате экспериментальных исследований установлено, что при электроэрозионном профилировании алмазных шлифовальных кругов наивысшая производительность процесса достигается, когда электрическая мощность, выделяемая в межэлектродном промежутке максимальна.
На рисунках 1 и 2 показаны экспериментальные зависимости электрической мощности, выделяемой в межэлектродном промежутке от межэлектродного промежутка и съёма материала от электрической мощности соответственно. На рисунке 2 видно, что наибольший съём материала происходит при максимальной электрической мощности.
мкм
Рисунок 1 - Зависимость электрической мощности, выделяемой в межэлектродном промежутке от межэлектродного промежутка
мкм
Рисунок 2 - Зависимость съёма материала от электрической мощности, выделяемой в межэлектродном промежутке
Таким образом, для достижения максимальной производительности необходимо поддержание максимального значения электрической мощности выделяемой в межэлектродном промежутке путём автоматического регулирования межэлектродного промежутка с помощью экстремального регулятора.
Наиболее подходящим для построения экстремального регулятора алгоритмом поиска экстремума целевой функции J(U,a) является шаговый алгоритм.
В соответствии с шаговым алгоритмом вычисление управляющего параметра и осуществляется на основании рекуррентной процедуры
и(к + 1) = и(к) - Ьк \_J\U(к) + Ш,а\ - ^и(к)-Ш,а\}, к = 0,1,2,... (1)
Основная проблема при реализации таких алгоритмов в реальном времени заключается в обеспечении устойчивости вычислений решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) при идентификации.
Предлагается решать СЛАУ и усреднять результаты вычислений на основании рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК). Эффективность предложенного алгоритма оптимизации исследуется методом статистических испытаний.
Рассмотрим модель объекта, которая состоит из последовательно соединенного экстремального звена (нелинейная часть) с априори неизвестной характеристикой и=^х) звена чистого запаздывания с известной величиной запаздывания т и линейной части, описываемой разностным уравнением п-го порядка с соответствующими начальными условиями и коэффициентами, зависящими от времени:
п т
у (к) = X а (к)У (к - [)+X Ь(к )и (к -}- 5)+е (к) (2)
1=1 }=0
где у(к) - выход модели (временного ряда) в к-й момент времени;
(а^(к) , 1 = 1, п} - параметры авторегрессии; {Ь^^) , j = 1, т} - параметры скользящего среднего; б - дискретное запаздывание.
Предполагается, что канал измерения выхода объекта находится под воздействием помехи е(к), которая является центрированным случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и заданной дисперсией (белый шум).
При переходе через экстремум коэффициент передачи объекта будет изменять свой знак. Следовательно, задача поиска экстремального значения регулируемого параметра сводится к задаче нахождения нуля коэффициента передачи. Значение коэффициента передачи и его знак можно определить, используя рекуррентную процедуру метода наименьших квадратов (РМНК).
Алгоритм РМНК может быть представлен в следующем виде:
0 (к +1) = 0 (к) + у(к )е(к +1); у(к) = ^(к + 1)Р(к )ф(к +1);
е(к +1) = у(к +1) - (к +1)0 (к),
где 0(к - Г) = [а ,...ап ,ЪХ ,...Ът ] -
(к) = [-у(к -1),... - у(к - п), и(к - d -1),... + и(к - d - т)] -
1
вектор параметро
зектор данных; ^(к +1) =
1 + Г (к + 1)Р(к)Т(к +1)
зектор коррекции; Р(к) =
[Т (к)Т(к]
есовая матрица; Р(к +1) = [I - у(к)Тг (к + 1)]Р(к) - весовая матри-КА: +1) = Т(к +1) ; 0 (0) = 0; Р (0) = а1 - начальные значения перемен-
ца, рассчитанная на следующем шаге ных [1].
Коэффициент передачи объекта Ко вычисляется на основании теоремы о конечном значении дискрет ной передаточной функции
т
X ъ< (к)
. .. ¿о + ¿12 +... + Ът2т ^=0
к„ = 1гт —-1—:------------т— =-----(4)
2 ^1 1++...+ап2п п
г =1
Поиск нуля Ко может осуществляться одним из известных методов, дихотомии, золотого сечения, Ньютона и т.п. [2].
При технической реализации алгоритма из-за наличия возмущений возникают трудности, обусловленные неустойчивостью (некорректностью) вычисления коэффициентов разностного уравнения (2). Для получения надежной сходимости оценок предпочтение следует отдавать рекуррентному методу наименьших квадратов [1].
Рассмотрим Simulink-модель, состоящую из экстремального объекта, включающего в себя звено с экстремальной характеристикой и два последовательно соединенных апериодических звена. Схема модели приведена на рисунке 3.
Рисунок 3 - Модель объекта с экстремальной характеристикой График экстремальной характеристики представлен на рисунке 4.
V +*і і
кХ| : і+ к<0 І
7 ^ і * і
/ і * і
17 | і * і
/ і
/ ! !
Рисунок 4 - График экстремальной характеристики
Изменяя положение рабочей точки на статической характеристике (рисунок 4) можно изменять коэффициент передачи объекта. Это достигается путем подачи на вход объекта постоянной величины и изменяющейся в диапазоне [-2; 2].Одновременно на вход объекта подается случайный сигнал, амплитуда которого не превышает значения ± 1.
На рисунке 5 а, б, в показаны осциллограммы входного, выходного сигналов объекта и его коэффициент передачи для разных значений и0 соответственно.
Щ=-1, ^= 4,1195;
Щ=0, ^= -0, 0663;
Щ=1, ^= -5,1018;
Рисунок 5 - Осциллограммы входного (а), выходного сигналов объекта (б) и его коэффициент передачи (в)
б
а
в
Таким образом, использование предлагаемого рекуррентного алгоритма вычисления коэффициента передачи объекта позволяет получить достаточно точную оценку коэффициента передачи даже при наличии сильных возмущений, а его значение позволяет уверенно определить положение экстремума.
ЛИТЕРАТУРА
1. Изерман Р. Цифровые системы управления.- М.: Мир, 1984.- 541 с.
2. Хемди А. Таха. Введение в исследование операций. - 8 изд.- М.: Вильямс, 2007. - 912 с.
