Алгоритм динамического оценивания параметров ориентации объекта по спутниковым измерениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

повышает устойчивость и сроки активного существования МКА, так как обеспечивается управление его движением и при продолжительном отсутствии связи с наземными командно-измерительными комплексами.

список литературы

1. Аверьянов А. В. Аналитический метод расчета движения малого космического аппарата, связанного с базовым космическим аппаратом // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 4. С. 75—77.

2. Навигационное обеспечение полета орбитального комплекса „Салют-6" — „Союз" — „Прогресс" / И. К. Бажинов, В. П. Гаврилов, В. Д. Ястребов и др. М.: Наука, 1985. 376 с.

3. Басыров А. Г., Гончаренко В. А., Забузов В. С., Кремез Г. В., Эсаулов К. А. Повышение устойчивости функционирования бортовых вычислительных систем по результатам космических экспериментов // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 4. С. 70—74.

4. Аналитические оценки точности автономных методов определения орбит / Л. Ф. Порфирьев, В. В. Смирнов, В. И. Кузнецов. М.: Машиностроение, 1987. 280 с.

Сведения об авторах

— канд. техн. наук, доцент; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра информационно-вычислительных систем и сетей, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

— канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра информационно-вычислительных систем и сетей, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

— канд. техн. наук, доцент; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра информационно-вычислительных систем и сетей, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

— канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра информационно-вычислительных систем и сетей, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 16.09.14 г. систем и сетей

Алексей Васильевич Аверьянов Константин Андреевич Эсаулов Олег Евграфович Молчанов Татьяна Иоанновна Белая

Рекомендована кафедрой информационно-вычислительных

УДК 629.78

В. И. Лукасевич, С. О. Крамаров, С. В. Соколов

АЛГОРИТМ ДИНАМИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ ОБЪЕКТА ПО СПУТНИКОВЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ

Представлено решение задачи апостериорного оценивания динамически изменяющихся параметров углового движения объекта по спутниковым измерениям. Показаны преимущества методов стохастической нелинейной динамической фильтрации относительно одномоментных измерений.

Ключевые слова: апостериорное оценивание, угловое движение, спутниковые измерения.

Введение. Полное решение навигационной задачи для подвижного объекта всегда предполагает определение параметров не только линейного движения, но и углового. Поэтому доведение точности позиционирования объектов до субсантиметрового диапазона за счет использования спутниковых навигационных систем (СНС) [1—3] связано с задачей следующего этапа — повышением точности спутникового определения параметров углового движения

до значении, характерных для современных углоизмерительных систем геодезического класса [3—9].

В настоящее время методы определения ориентации с помощью СНС можно разделить в основном на два класса: определение параметров ориентации по предварительно наиденным базовым векторам [7, 8] и непосредственное определение углов ориентации [9]. Для этих методов характерно использование одномоментных измерений по базовым векторам с последующей их обработкой с помощью традиционных статистических алгоритмов. Это не позволяет, во-первых, учесть особенности динамики вращения конкретного объекта и, следовательно, обеспечить требуемую точность оценки параметров средне- и высокодинамичных вращающихся объектов, а во-вторых, в полной мере использовать методы современной теории стохастической фильтрации, обеспечивающие возможность оптимального оценивания угловых параметров с произвольной динамикой их изменения. В связи с этим представляет интерес разработка подхода, позволяющего использовать для оценки углового положения объекта только по спутниковым измерениям методы динамической нелинейной фильтрации. В качестве измерений, используемых для построения реализующих данный подход алгоритмов, рассмотрим фазовые и доплеровские измерения, осуществляемые СНС. При этом решение задачи приведем для СНС с высокой частотой поступления навигационных сообщений, что позволяет считать характер спутниковых измерений по отношению к динамике изменения навигационных параметров объекта непрерывным. (В настоящее время частота приема спутниковых сообщений в навигационных приемниках "Topcon", "Javad", "Trimble" составляет 100 Гц с дальнейшей тенденцией к увеличению [3].)

Постановка задачи. Для возможности применения методов нелинейной стохастической фильтрации при оценке параметров ориентации объекта необходимо получить, во-первых, уравнения динамики их изменения, а во-вторых, уравнения их наблюдения.

Рассмотрим последовательно решение этих задач, опираясь на следующие исходные положения. Пусть на объекте расположены три навигационных приемника, причем координаты {xi y ,z} каждого i-го, i=1, 2, 3, приемника в системе координат Oxyz, связанной с объектом (ССК), неизменны и известны с высокой точностью, а координаты , ц1, Qt} каждого i-го приемника в гринвичской СК (ГСК) ОЪ,цС, определяются по спутниковым измерениям. В этом случае координаты трех возможных векторов, пост приемников, в ГСК имеют вид - j ц1 - ^ j Qi - Q j

Т

xi - xj

yi-у,

zi - zj

юенных по точкам расположения

Т

, а в ССК соответственно — г > }; г, } = 1, 2, 3. Введя для краткости обозначения:

^} <у , Лг -Л } = Лу , Сг -С } =Су , X - Х} = , У - У} = Уг} , Ъ - = , взаимную ориентацию указанных векторов можно представить следующим образом:

(1)

где М — подлежащая определению по спутниковым измерениям матрица направляющих косинусов ориентации ГСК относительно ССК.

Так как любые три из девяти элементов матрицы М могут быть выражены через остальные шесть (через свои алгебраические дополнения) [10], то в целях сокращения определяемых направляющих косинусов используем эти известные нелинейные связи и представим матрицу М в следующем виде, учитывая зависимости

m11 m12 m13 xij xij

% = m21 m22 m23 yij = М yij

Qij m31 m32 m33 zij zij

М =

, т21 = т12 т33- т13т32, т31

т22 т33 -т23 т32 т12 т13

т12 т33 -т13 т32 т22 т23

т12 т23 -т13 т22 т32 т33

(2)

Полученные соотношения (1), (2) позволяют записать для двух векторов из трех (например, при у = 12, у = 23) следующие представления:

412

Л12 =

С12

т22 тзз - т23 т

23 га32

т

12

т

13

т12 т33 - т13 т

13'"32

т

22

т

23

т12 т23 - т13 т

13 22

т

32

т

33

х12 423 т22 т33 -т23 т32 т12 т13 х23

У12 Л23 = т12 т33 -т13 т32 т22 т23 У23

*12 С 23 т12 т23 -т13 т22 т32 т33 г23

. (3)

Данные соотношения являются исходными для вывода дифференциальных уравнений, определяющих динамику изменения направляющих косинусов. Продифференцируем соотношения (3) по времени:

412 х12 т 22 т33 + х12т22 т33 х12т23 т32 - х12т23 т32 + У12т12 + *12 ^^ 13

Л12 х12 тт12 т33 + х12т12 т33 " х12т13 т32 - х12т13 т32 + У12т22 + *12 т23

С12 х12 т12 т23 + х12т12 т23 - х12 т 13 т22 - х12 т13 т22 + У12т32 + *12 т33

4 23 х23т22 т33 + х23т22 т33 - х23т23 т32 - х23т23 т32 + У23т12 + ^23 т13

Л 23 х23т12 т33 + х23т12 т33 - х23т13 т32 - х23т13 т32 + у23т22 + г23т23

С 23 х23т12 т23 + х23т12 т23 -х23 т13 т22 - х23 т13 т22 + у23т32 + г23 т33

(4)

и в правой части выражения (4) выделим вектор производных направляющих косинусов:

- х12 т23 х12 т22

- х12т13 х12т12

412 У12 г12

Л12 х12 т33 - х12 т32

С12 х12 т23 -х12 т22

4 23 У23 г23

Л 23 х23 т33 х23т32

С 23 х23 т23 х23т22

х12 т33 х12т32

У12

42

х23 т33 х23т32

У12

х23т23

12

х23т22 х23т12

т 12 т 12

т 13 т 13

т 22 = Ф(м ) т 22

т 23 т 23

т 32 т 32

т 33 т 33

(5)

_У23 ^23 -х23т13

х23 т13 х23т12 У23 г23

Из соотношения (5) получим следующее дифференциальное уравнение для искомых направляющих косинусов:

т12 412

т13 Л 12

т22 = Ф- 1(м ) С12

т23 4 23

т32 Л23

т33 С 23

ту0 =ту (0), и у = 1,2,3

(6)

где Ф 1 (м) — матрица, обратная Ф(м) .

Полученное уравнение позволяет применить для оценки параметров ориентации объекта методы динамической нелинейной фильтрации путем преобразования его в уравнение динамики оцениваемого вектора угловых параметров (вектора ориентации) в форме Ланжевена.

Стохастические уравнения параметров углового движения объекта по спутниковым измерениям. Введем обозначения:

4У =4/ У = ¥4/ -¥4у, Лу = Л/ - Лу = ¥л/ -^, Су = С/ - СУ = ¥с/ -¥су, где ¥41, ¥-/ , , / = 1, 2, 3 , — проекции линейной скорости /-й антенны навигационного приемника на оси ГСК.

С учетом данных обозначений с помощью стандартных алгоритмов [2] сначала определяются оценки проекций скорости У^, , У^ (по доплеровским измерениям), после чего определяются их разности с соответствующими случайными ошибками Ж^у, Ж-у, Щу/, /, у = 1, 2, 3, которые могут быть в неблагоприятном случае аппроксимированы центрированными белыми гауссовыми шумами (БГШ) с известными интенсивностями Д^у, Д-у, Ду/, /, у = 1,2,3. Тогда из уравнения (6) получаем стохастическое дифференциальное уравнение вектора угловых параметров в форме Ланжевена

где

т12 ¥41 - ¥42

т13 - ¥-2

т 22 = Ф-1(М ) ¥с1 - ¥с 2

т 23 ¥4 2 - ¥43

т 32 ¥-2 - ¥-3

т 33

¥с 2 - ¥с3

+ Ф-1(М )

Ж

412

Ж

-12

Ж

С12

Ж

423

Ж

-23

Ж

С 23

или в векторной форме

7 = ^ (7, *) + ^ (7 )Ф,

7 = 1 ^12 ^13 ^22 т23 т32 т331 ; 70 = 7(0х

(7)

^ (7, * ) = Ф-1(М )

¥41 - ¥42

¥-1 - ¥-2

¥с1 - ¥с 2

¥42 - ¥43

¥-2 - ¥-3

2 - ¥с3

^ (7) = Ф-1(М), ф =

Ж

412

Ж

-12

Ж

С12

Ж

423

Ж

-23

Ж

С23

Принципиальными особенностями полученных уравнений (7) являются, во-первых, их общий характер (так как при их выводе не было сделано никаких допущений о модели объекта, характере его движения и пр.), а во-вторых, возможность использования на их основе методов стохастической фильтрации, обеспечивающих оптимальность оценок навигационных переменных.

Уравнения наблюдения и оценки параметров вращения объекта. При динамическом оценивании вектора 7 угловых параметров необходимо получить [2, 5] уравнение наблюдателя за вектором 7 , т. е. аналитическую модель сигнала, несущего информацию

о компонентах вектора У. Для формирования наблюдателя воспользуемся соотношениями (3), полагая, что оценки текущих координат {, |{, £{, i = 1, 2, 3, всех приемников в ГСК определяются аналогично рассмотренным выше оценкам проекций скорости с помощью стандартных алгоритмов [2], в результате чего разности Яу =£,{ - Е,■, т|^ = | - т|■, (■ = £^ - £ ■ определяются со случайными ошибками , , , i, j = 1,2,3, которые, как и ранее, могут

быть аппроксимированы центрированными БГШ с известными интенсивностями , d|iJ■, , i, j = 1,2,3. В этом случае минимальная размерность наблюдателя вектора У

угловых параметров, согласно соотношению (3), определяется как

*12 да22 да33 -да23 да32

712 = '12 = да12 да33 - да13 да32

(12 да12 да23 -да13 да22

да

12

да

'22

да

32

да13 да23

да33

х12

У12 + 3|12

212 3£12

= Ни(У) + 012,

(8)

где 012 =

^12 3л12 ^^

или

^23 да22 да33 -да23 да32 да12 да13 х23 ^23

723 = 'л23 = да12 да33 -да13 да32 да22 да23 у23 + 3|23

(23 да12 да23 -да13 да22 да32 да33 2 23 23

= Н 23 (У) + 023.

Максимальная размерность наблюдателя вектора У может быть увеличена до шести путем комплексирования наблюдателей минимальной размерности:

7 =

712 Н12(У ) 012

723 Н 23(У ) \ 023

= Н (У) + 0,

(9)

где 0 — векторный БГШ с нулевым средним и матрицей интенсивности Д^) , что повышает точность оценки вектора У угловых параметров по сравнению с оценкой по наблюдениям минимальной размерности (8).

Полученное представление вектора У в форме „объект — наблюдатель" (7), (9) позволяет найти апостериорную плотность вероятности рг (У, г), что, в свою очередь, позволяет определить любые вероятностные оценки параметров движения [5]. Но так как формирование величины рг (У, г) сводится к решению интегродифференциального уравнения Стратоновича,

которое не имеет аналитического решения, то в теории фильтрации для получения оценок нелинейных процессов вида (7) используют различные субоптимальные методы [5]. Наиболее известным и востребованным из них является обобщенный (нелинейный) фильтр Калмана. Согласно работе [5], используя уравнения (7), (9), можно определить следующий обобщенный фильтр Калмана для оценки рассматриваемого вектора параметров ориентации объекта:

У = Р (у, г)+к ((, г) 7-Н (У)], к (у, г ) = я ((

днТ (У)

дУ

Д

'01,

(10)

др(у г) дрт (У г)

я ((г Ь-дт1 я ( г)я (( г )—дуг1+р1 (У )Д р1 (У)-к (У г )Д0кТ уг),

где У — оценка вектора состояния У(г); Я (У, г) — апостериорная ковариационная матрица; У0 = М (У0 ); Я0 = М |(У0 - У0 ) (у0 - У0 ) |; матрицы Д0, Ду определяются как

DQ =

d%12 0 0 0 0 0 D412 0 0 0 0 0

0 dr|12 0 0 0 0 0 D|12 0 0 0 0

0 0 d;12 0 0 0 , Dy = 0 0 D;12 0 0 0

0 0 0 0 0 ' y 0 0 0 D423 0 0

0 0 0 0 d|23 0 0 0 0 0 D|3 0

0 0 0 0 0 23 0 0 0 0 0 d;23

Пример. Для подтверждения эффективности предложенного подхода было проведено моделирование алгоритма фильтрации (10) на временном интервале t е[0;1000] с с шагом

At=0,01 с методом Рунге — Кутты 4-го порядка. Моделирование текущей матрицы М осуществлялось путем решения уравнений Пуассона при постоянных проекциях угловой скорости

—2 —2 —2 объекта на оси СК Oxyz: шх = 10,47-10 рад/c, шy = 1,74-10 рад/c, Qz = 2,6-10 рад/c (изменение ориентации в инерциальной СК), с последующим умножением полученной транспонированной матрицы направляющих косинусов на матрицу поворота ГСК относительно инерциальной СК:

cos Qt 0 -sin Qt

G (Qt) =

0

sin Qt

1

0

0

cos Qt

Q = 7,29 -10—5 рад/с.

Значения базовых векторов в СК 0ху2 были выбраны, соответственно, равными |х12У12¿12 f = 1,5 1,8 1,9, Х23У23¿23 ^ = |1,7 1,7 2, текущие их значения в ГСК вычислялись согласно соотношениям (3), после чего путем численного дифференцирования полученных значений определялись разности проекций скорости У=г-- У^, Уф- Ущ-, У^ - У/-,

г, - = 1, 2, 3. В качестве модели шумов оценивания текущих значений базовых векторов и разностей проекций скорости был использован аддитивный гауссов вектор-шум с нулевым математическим ожиданием и СКО для векторов — 0,6 м, для разностей проекций скорости — 0,1 м/с. По окончании временного интервала моделирования и пересчета направляющих косинусов в углы Эйлера — Крылова а, Р, у по известным формулам [10] максимальные ошибки оценки

углов составили: Да = 7,5 -10-4 рад, АР = 5 -10-4рад, Ау = 8,4 -10-4рад, что свидетельствует о возможности весьма эффективного практического использования предложенного подхода.

Заключение. По сравнению с существующими алгоритмами определения углового положения объекта [2, 6—9] предложенный динамический алгоритм, во-первых, обладает всеми известными преимуществами фильтра Калмана относительно одномоментных алгоритмов. Во-вторых, представленный алгоритм не предполагает увеличения числа спутников по сравнению со стандартным режимом определения линейных параметров движения (в отличие от большинства существующих алгоритмов [3, 7, 9]). И, в-третьих, преимуществом предложенного подхода является возможность построения многоструктурного фильтра параметров ориентации на базе трех навигационных приемников — за счет использования всех трех возможных сочетаний пар базовых векторов: для г- е {12, 23] ,{12,13], {23,13]. При этом

на выходах всех фильтров одновременно формируются три вектора угловых параметров, последующая обработка которых известными статистическими методами (например, робастны-ми [5]) позволит существенно увеличить точность и устойчивость процесса оценивания углового положения объекта.

список литературы

1. Интерфейсный контрольный документ ГЛОНАСС (5.1 редакция). М.: РНИИ КП, 2008.

2. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / Под ред. А. И. Перова, В. Н. Харисова. М.: Радиотехника, 2010. 800 с.

3. [Электронный ресурс]: <www.trimble.com>.

4. Анучин О. Н., Емельянцев Г. И. Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов / Под общ. ред. В. Г. Пешехонова. СПб: ЦНИИ „Электроприбор", 2003. 390 с.

5. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991. 608 с.

6. Kleusberg В. Mathematics of attitude determination with GPS // GPS World. 1995. Sept. Р. 72.

7. Nadler A., Bar-Itzhack I. Y. An efficient algorithm for attitude determination using GPS // ION GPS. 1998. Р. 1783—1789.

8. Rapoport L., Barabanov I., Khvalkov A., Kutuzov A., Ashjaee J. Octopus: Multi antennae GPS/GLONASS RTK System // ION GPS. 2000. Р. 797—804.

9. Перьков А. Е. Синтез и анализ алгоритмов определения пространственной ориентации объекта по сигналам навигационных спутников // Радиотехника. 2000. № 7. С. 17—30.

10. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. 672 с.

Виктор Иванович Лукасевич

Сергей Олегович Крамаров

Сергей Викторович Соколов

Сведения об авторах аспирант; Институт управления, бизнеса и права, кафедра информационных систем, Ростов-на-Дону; E-mail: [email protected] д-р физ.-мат. наук, профессор; Институт управления, бизнеса и права, Научный центр „МИР", Ростов-на-Дону; директор; E-mail: [email protected]

д-р техн. наук, профессор; Ростовский государственный университет путей сообщения, кафедра автоматики и телемеханики на железнодорожном транспорте, Ростов-на-Дону; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой автоматики и телемеханики на железнодорожном транспорте РГУПС

Поступила в редакцию 24.03.14 г.