CC BY
33
УДК 621.391 Д.М. Ненадович
АЛГОРИТМ АДАПТИВНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В ЗАДА ЧАХ ЭКСПЕРТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ КАЧЕСТВА ПРОЕКТНОТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ, ПРЕДЛАГАЕМЫХ К РЕАЛИЗАЦИИ В ХОДЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
ш я ри организации экспертной
Л-Л- деятельности, большой интерес вызывает подход к формированию прогнозных значений временного ряда значений экспертных показателей качества (ЭПК) проектируемой сложной информационной системы (СИС). Так, например, для эвентуальной модели временного ряда прогнозные значения ЭПК на I - шагов вперед могут быть получены при выполнении условий
q > р + d, I > q - р - d [1].
Общее выражение для модели АРПСС, временного ряда (т-го индикатора значения элемента векторного ЭПК, состояния модели системы, (вш ) и т.д.), может быть представлено в следующем виде: ф{Б)^вт (к) = А(Б)У, + ф( B)Adwl; (1)
где ф(Б) - оператор авторегрессии, определяемый в соответствии с выражением:
Ф(Б) = 1 -ФБ -...-фрБр; (2)
Б - оператор сдвига назад (вв, = в1-1), А - разностный оператор со сдвигом назад ( а = в - в-1), wt - значения шума наблюдения за индикаторами (погреш-
ность измерения); V - значение шума возбуждения процесса , А(Б) - оператор скользящего среднего, определяемый в соответствии с выражением:
А(Б) = 1 -\Б -...-АдБ1.
Очень часто для получения оценок коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего, а также текущих значений дисперсии шума возбуждения в модели (р^) используют раздельные субоптимальные процедуры их определения [2, 3]. Вначале оценивают коэффициенты АР на основе реализации процедуры наименьших квадратов или решения уравнения Юла-Уолкера, затем на их основе формируют модель временного ряда и получают разностный ряд между принятым и смоделированным. Последовательность остаточных ошибок (разностный ряд) используется в дальнейшем для определения коэффициентов СС.
Однако, необходимость реализации высокой степени автоматизации процесса экспертной деятельности на основе экспертных систем требует построения алгоритмов определения параметров авторегрессии в виде удобном для реализации на ЭВМ. С этой
целью, воспользуемся рекуррентным алгоритмом наименьших квадратов (РНК), который позволяет производить анализ ошибок фильтрации по выборке наблюдаемых значений объемом N и при поступлении новых текущих данных в(N +1) переходить от вектора коэффициентов линейного предсказания фpN к вектору фpN+1 , не
решая уравнение Юла- Уолкера [3]. Для получения алгоритма РНК выражение для ошибки линейного предсказания вперед при использовании выборки размером N для к-го временного шага и глубины регрессии р запишем в следующем виде: е'р^(к) =вр^(к ф (к), (3) где вр^ = ((к); в(к-1) ... в(к-р)) -вектор значений временного ряда размерностью р+1;
фрм(г)=(1 ; фрм(к-1) ... флДк-р))г -вектор значений коэффициентов авторегрессии размерностью р+1.
Так как суммирование в выражении для ошибки осуществляется с учетом отрицательного знака при коэффициентах авторегрессии, то в результате получаем разность между значением ряда в момент времени к и взвешенными значениями регрессии на прошлые значения ряда глубиной р.
Введем понятие суммы экспоненциально взвешенных квадратов ошибок предсказания на всей длине выборки
Р'Рм =Ж- (^ (”))2. к=1
Тогда основу базового РНК-алгоритма составляют следующие выражения для векторов коэффициентов предсказания, коэффициентов усиления и дисперсии ошибки фильтрации:
Гр,Ы+1
Фг - Рм ,Ар-і(^ Жі(ії ф м +
+^,р-і(N + 1)) = фрм --ё^ (N + 1) Ртвтр-1( N) =
= фрN - Км (М + 1)Ср-1М; (4 - 6)
Ср-1,м =PN-Ар-1( N)/
/ ( + Ар-1( N) Рн_г N -Ар-1 (N));
рм — ж-1 ( - с (АТ
N \ р-1, N т р-
1( N))
Р
где Н* (N +1) = втР_Т (N Ф +Ар-1( N+1) -
вектор остаточных ошибок фильтрации, т.к. в отличие от ошибки предсказания
здесь используется вектор фpN , а не
Фр, N+1 ; Ср-1, N = РМАтр-1(М)- вЄктор коэффициентов компенсации остаточной ошибки фильтрации-экстраполяции;
матрица дисперсий
фильтрации;
Ра.
N-1 - Кр-1, N-1 ошибок
-1
*р-1М-1 =ХЖМ-1-Атр-1(пАТр-1(П) - мат-
п—1
рица размерностью (р -1 х р -1)
взвешенных с весом 0 < Ж < 1 вторых моментов процесса на шагах р - 1, усредняемых по выборке объемом N -1.
Практика показывает, что для формирования оценочных и прогнозных значений в общем случае нестационарных процессов изменения значений ЭПК моделей проектируемой ТКС в телекоммуникационной ЭС целесообразно реализовать (в качестве базовой с возможностью подстройки) модель АРПСС (1, 2, 4). Данная модель обладает свойствами безъизбыточности и адекватности для большинства процессов, которые необходимо оценивать в ходе экспертизы различных этапов проекта ТКС.
Реккурентные соотношения для определения значений операторов скользящего среднего для модели АРПСС (1, 2, 4) могут быть представлены следующим образом:
— -(С1 /оУ - А(ґ-1)К2(ґ-1) -К2(1-1)^3((-1) - (7)
-К3(ґ-1)К4(/-1) ),
К2( — -(С2 / <7>' - Лу-^^ХИ) - ^"2(/—1)^^4(/—1)) , (8)
К — ~(с2 / ау _Л(í-1)Л(í-1) - Л(ґ-1)Л(ґ-1)) , (9)
„/ /_2
К -~(С4/°У -Л4)
(10)
где С - параметры автоковариации,
определяемые в соответствии с выражениями:
С0 = ф1 , С1 = Ф1С0 , С2 — ФС ,
С3 — ф1с2 , С4 — ф1С3 , С5 — ф1С3 ,
(11)
Со = фоСо + ф1 С0 + ф0ф1 , (12)
С1 = ф0 С1 + ф1 С1 + ф0ф1(С2 + С0) , (13)
С2 = фс1 + ф\ С2 + ф0ф1(С3 + С1) , (14)
С3 = ф0С3 + ф\С3 + ф0ф1 (С4 + С2) , (15)
с4 =ф02С4 +ф12С4 + ф0ф1 (С5 + С3^ (16)
а су2 -остаточная дисперсия шума возбуждения, определяемая в соответствии с выражением;
С = С^ч+А + А + А, + А (17)
Необходимо отметить, что формирование оценочного значения вш (р-1) возможно только при выполнении условия:
С ДОП , (18)
определяемого требуемой точностью прогнозирования. В случае не выполняются этого условия по завершению начального этапа оценивания, производится корректировка порядка опера-
торов авторегрессии. Если требования к остаточной дисперсии по каким-то причинам не заданы, с достаточной для практики точностью процесс корректировки порядка операторов авторегрессии может быть приостановлен исходя из анализа соотношения:
(о*(к -1) / агг(к))/(а2(к - 2) / ^ (к -1)) < 1,3, (19)
Кроме того, при определении порядка модели важное значение имеет объем и расположение участка наблюдаемой при этом выборки. Так Ульрихом и Клейтоном эксперементально, а Лангом и Макклелланом аналитическими средствами показано, что выбор порядка модели наиболее эффективен на участке выборки составляющем от N /2 до N/3 [3].
Отдельно следует остановиться на учете шумов наблюдения для случаев оценки наблюдаемых временных последовательностей поступающих, например, из систем-аналогов ТКС. В этом случае, учитывая, что мощность шума наблюдения влияет только на член автокорреляционной последовательности,
соответствующий нулевому сдвигу и дополнительную погрешность оценочного значения можно предотвратить, удаляя из оценки автокорреляционной последовательности член соответствующий нулевому сдвигу, ограничивая при этом пределы изменения остаточной дисперсии. Соответствующие компенсационные схемы представлены в [3].
Необходимо отметить, что вначале итеративной процедуры вычисления оценочных значений операторов авторегрессии они могут полагаются равными нулю, а ф0 — -1. По завершению процесса определения порядка разности определяется первоначальное
Ввод данных наблюдения вя (і) на**агьных значений параметров модели АРПСС
(Ро,“,,?»)
Вычисление оценочных значений олвраторое а вторе гресочи Ф„ (Л)
Корректировка значеним порядка разностного операторе со сдвигом назад
Вычтлюнив оценонмы* значений операторов СМИІЬЗИЩиіи СДОДЖКи
4М
Корректировка значения порядка операторов сколь» те го среднего
Лт*1 = Л" +1
Коррекция значении порядка операторов авторегрессии р"*. р- +|
Рис. 1. Алгоритм экстраполяции оценочных значений состояний нестационарные процессов изменения значений ЭПК
Рис. 2. Пример прогноза изменения значений индикатора:
----- наблюдаемые значения;
прогнозные значения
прогнозное значение индикатора значений ЭПК, моделируемой ТКС в соответствии с выражением: вт{1) =ф[в„ ,+,-1)] + V+1 -\[У,+1 -1] -...-А,ГС+м].
(20)
Подправление прогнозного значения (состояния модели ТКС, значения ПК) на t +1 -ом шаге осуществляется в соответствии с выражением:
вт ,+1)(/ +1) =вш „(0 + щVt+l, (21)
где р - линейный оператор, преобразующий V в в;m(t) , определяемый в соответствии с выражениями:
р =ф1 -А (22)
Р2 = ф1Р1 + ф2 - А2 Р = фр1-1 + ... + Фp+d(Pl-р^ - А1
Доверительный интервал значений прогноза определяется в соответствии с выражением:
2,+1 (±) = ^ (1) ± Мг/2{1 + X Р) }1/2^ (23)
1=1
где ие/2- квантиль уровня 1 -8 /2,
- текущее значение су.
Условия стационарности, с достаточной для практики точностью, определяются размещением значений операторов авторегресии внутри единичного круга :
-1 < ф < 1. (24)
В случае не выполнения условий стационарности процесса производится коррекция порядка оператора разности со сдвигом назад.
Важным этапом реализации алгоритма формирования оценочных значений операторов СС является этап проверки выполнения условий обратимости
- свойства обеспечивающего «разумную» [1, 2] связь между настоящими и предшествующими значениями временного ряда.
Условия обратимости, в рассматриваемом случае, состоят в том, что корни характеристического уравнения АБ = 1 -\Б -...-АдБ1 = 0, (25)
должны лежать вне единичного круга. Тогда условие, подлежащее контролю в ходе формирования прогнозных значений для рассмотренной базовой модели можно записать
А+А2 + а +А4 < l, (26)
А4 - а - А2 - А < 1, (27)
-1 <А1 < 1, (28)
при не выполнении условия производится изменение порядка операторов скользящего среднего. Структурная схема обобщенного алгоритма экстраполяции значений индикаторов наблюдаемых в ходе моделирования процессов функционирования СИС и пример реализации процесса формирования прогнозных значений индикаторов ЭПК представлены на рис. 1 и рис. 2 соответственно. Следует отметить, что
1. Бокс Дж., Джекинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление - М.: Мир, 1974.- 402 с.
2. Статистические методы прогноза временных рядов (Предварительный анализ и модели прогноза). М.: МГУ, Монография. 2002, 320 с.
представленный алгоритм позволяет производить настройку модели в ходе начального этапа экстраполяции (фильтрации) и подстройку в ходе дальнейшего наблюдения за процессом изменения значений ЭПК. В отличии от критериев типа «окончательная ошибка предсказания» или информационных критериев выбора порядка модели предлагаемых в методах Берга, Акаике, Парзена [3] предложенный критерий более прост в реализации и позволяет учесть динамику скорости снижения дисперсии при увеличении порядка модели с достаточной для практики точностью [4].
-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3. Марпл. - мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения - М.: Мир, 1990.- 584 с.
4. Ненадович Д.М. Методологические аспекты экспертизы телекоммуникационных проектов. - М. Горячая линия - Телеком, 2008 -272 с. ШИН
— Коротко об авторе -------------------------------------------------------------------
Ненадович Д.М. - кандидат технических наук, менеджер Департамента эксплуатации ОАО «Ростелеком».
Рецензент д-р техн. наук, проф. С.А. Редкозубое.
Файл:
Каталог:
Шаблон:
Заголовок:
Содержание:
Автор:
Ключевые слова: Заметки:
Дата создания:
Число сохранений: Дата сохранения: Сохранил:
Полное время правки: Дата печати:
При последней печати страниц: слов: знаков:
6_Ненадович_ком_вопрос
Н:\Новое по работе в универе\ГИАБ-2009\ГИАБ-5\Рубрика С:\и8еге\Таня\АррБа1а\Коаті^\Місго80й\ШаблоньіШогта1Ло1т © Д
Гитис Л.Х.
12.03.2009 17:47:00
3
15.03.2009 13:17:00 123
2 мин.
24.03.2009 0:15:00 7
1 657 (прибл.)
9 448 (прибл.)
