Алгебраический метод решения задач начертательной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

ALGEBROICHESKY METHOD FOR SOLVING DESCRIPTIVE

GEOMETRY

E.A. Гусарова, P.A. Зонтов

E.A. Gusarova, R.A. Zontov

МГСУ

Статья представляет собой опыт применения математического аппарата к задачам олимпиад по начертательной геометрии разных лет.

The article represents the experience of applying mathematical tools to the problems will be on descriptive geometry in different years.

Алгебраический метод решения геометрических задач заключается в следующем:

- составление уравнений по условию задачи;

- решение полученных уравнений относительно неизвестных величин и их построение по полученным формулам.

Обычно неизвестными являются отрезки, которые обозначим через (a,b,c,d,...). Приведем способы их построения по чаще всего встречающимся формулам (на эти способы в дальнейшем мы будем постоянно ссылаться, указывая в скобках ссылку, например: см. А).

A. Построение отрезка по формулам, представляющим собой сумму, разность (x — a ± b), а также умножение и деление на целое число (x — ka, x — a / k) сводится к сложению или вычитанию отрезков, увеличению отрезка в k раз и делению отрезка на заданное число частей.

Б. Построение отрезка по формуле x = \Ja2 ± b1 сводится к построению прямоугольного треугольника с гипотенузой и катетами, удовлетворяющими заданному соотношению.

B. Построение отрезка по формуле x — ab / c сводится к нахождению четвертого

з х=зЬ/с

Г. Построение отрезков х — а2 / Ь или х — \[аЬ можно выполнить, используя теорему о перпендикуляре, опущенном из точки окружности на диаметр (рис. 2).

Построение отрезков по формулам, представляющим собой комбинации формул, приведенных выше, будем выполнять путем введения вспомогательных неизвестных и последовательного их построения [1].

Теперь посмотрим, как алгебраический метод можно использовать в задачах начертательной геометрии. Задача 1

Даны точка M трехосного эллипсоида Ф (рис. 3) и его сечение e его плоскостью симметрии «|| Р1 (оси эллипса e перпендикулярны Р 2 и Р 3). Построить эллипсоид (Московская городская олимпиада по начертательной геометрии 2008 г.). Решение

Задаемся прямоугольной системой координат в пространстве. За ее начало выбираем центр эллипса e, ось OX направляем по большой оси эллипса e, ось OY - по малой оси того же эллипса. Ось OZ - перпендикулярна OX и OY. Направление осей OX, OY, OZ выбираем произвольно.

Построенная система координат - каноническая для искомого эллипсоида Ф, в ней уравнение эллипсоида имеет вид [2]:

2 2 2 x y z

— + ТТ + — =1 abc

Здесь a - большая, b - малая полуоси эллипса e. c - неизвестная полуось эллипсоида.

Точка M в выбранной системе имеет координаты M — (x0, y0, z0 ). M e Ц, следовательно, выполняется тождество:

2 2 2

xL+ZL+= i (i)

2,2 2 У ' abc

Величины (отрезки) x0, y0, z0, a и b известны по чертежу. Остается построить отрезок c .

Перепишем (1) в виде:

2 2 2 _ 2 y0 , ZL — a x0 (2)

и 2 2 _ 2 (2)

b c a

4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ

Величину а2 — х0 обозначим за ?2, где t — ^а2 — - катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и другим катетом х0 (см. Б). Равенство (2) переписываем в виде:

у2+(Ь | ■ (3)

Снова производим замену переменных:

ь , ь

ё =-• *0> (4), н = -•t

с а

Равенство (3) принимает вид:

у2 + я 2 = н2 (3П)

Строим Н (см. В), а затем ё , используя равенство (3') (см. Б). Остается из (4) построить с :

ь

с —--20 (см. В)

ё

Теперь все три полуоси эллипсоида известны. Строим фронтальный очерк эллипсоида как эллипс с полуосями а и с (на рис. 3 показано построение одной из точек этого эллипса).

Задача 2

Даны вершины А и В двуполостного гиперболоида вращения Ц(АВ ± Р1) и его точка С (рис. 4). Построить гиперболоид (Московская городская олимпиада по начертательной геометрии 2009 г.). Решение

Вводим систему координат, каноническую для искомого гиперболоида Ф (рис. 4). Уравнение двуполостного гиперболоида вращения в ней [2]:

ВЕСТНИК МГСУ

2 2 2 х у + 2

= 1 (1)

а а с

Далее можно было бы поступить также как и в предыдущей задаче: подставить в уравнение (1) координаты точки С и разрешить его относительно а . Но можно сделать иначе.

«Построить гиперболоид» - значит построить фронтальный очерк гиперболоида -гиперболу ф , по которой его пересекает плоскость у — 0. Уравнение гиперболы ф :

у = 0

2 2 2 X _ 1

~2 2 ~ 1

I с а

Повернем точку С вокруг оси гиперболоида в положение С' так, чтобы в новом своем положении, она принадлежала плоскости у — 0. Точка С (х0,0,г0) е ф, значит, выполняется равенство:

(2)

2 2 20 _ _ 1

2 2

с а

Величины х0, 20, с известны по чертежу, остается построить а :

I 2 2 У20 -с

-"-0 а х.

-4

2 2

2 - с

— = ~ , t = -а с

Строим вспомогательный отрезок t (см. Б), а затем с (см. В). Отрезки 2с и 2а - стороны основного прямоугольника искомой гиперболы (см. рис. 4), его диагонали - асимптоты.

_МГСУ

Задача 3

Построить точки пересечения прямой m .L П2 с трехосным эллипсоидом Щ (Московская городская олимпиада по начертательной геометрии 2010 г.) Решение

В канонической для эллипсоида системе координат условие задачи описывается системой (рис. 5):

2 2 2 x y z

— + br + -T =1

abc

x = xo (1)

Здесь эллипсоид задан своим каноническим уравнением, а прямая - «общим уравнением», как линия пересечения двух плоскостей х — х0 и 2 = г0.

Решаем систему (1) относительно y :

v2 2 z 2

xo , , Zl — i

2 Z.2 2

abc

.2 2 ,2

~xî + 7T = *— ' t = Jc2 - Zo2

abc

f b f Ь Y

y =±A Г 11 - -1 -'xo 1

Ц c ) a J

_ b h = b

g ■ t, ■ xo

c a

y = ±y /g2 -h2

Последовательно строим отрезки t (см. Б), затем ё и Н (см. В) и, наконец, У0 ё2 _ Н2 (см. Б). Искомые точки: М - (х0,у0,г0) и М' = (х0,-у0,г0) (рис. 5).

Задача 4

Дан прямой эллиптический конус Ф с вершиной 5 (рис. 6), основанием е с П1 и осью у ^ П1 (большая ось эллипса е перпендикулярна П2). Построить какую-нибудь плоскость р так, чтобы она пересекла конус Ф по эллипсу к , горизонтальная проекция к1 которого является окружностью (Московская городская олимпиада по начертательной геометрии 2008 г.).

Решение

Задаемся системой координат, канонической для данного эллиптического конуса (рис. 6). Уравнение конуса в ней [2]:

2 2 2

^ + £- 0 (1)

а Ь Н

Уравнение неизвестной пока плоскости запишем в общем виде [2]: Ах + Ву + Сг + Б = 0 (2)

Уравнение линии пересечения конуса и плоскости: 2 2 2 х-+у- - ^=0

а Ь Н Ах + Ву + Сг + Б = 0

4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_мгсу

Далее нам необходимо получить уравнение проекции линии пересечения на плоскость П1, для чего необходимо исключить из системы 2 . Рассмотрим два случая.

С — 0 . В этом случае плоскость перпендикулярна основанию конуса и, как несложно заметить, пересекает его либо по гиперболе, либо по паре прямых, что не удовлетворяет постановке вопроса (мы ищем плоскость пересекающую конус по эллипсу). Значит:

С Ф 0 . Систему тогда можно переписать в виде:

х2 у1 (А В Б 17,1 „

Т"+*чСх+Ву+с) / -0

Или, после преобразований: х2 +

(л А2 \ ( 1 В2 ^ ° л и ° Л Г> ЮП Г>2

1 А 2

ч а2 С2Н ,

у Ь2 С2Н ,

2 2 АВ 2 АБ 2 ВБ Б1 п

У--ху--х--У--г~г = 0

С2 Н2 С2 Н2 С2 Н2 С2 Н2

Последнее уравнение в том и только в том случае является уравнением окружности, если:

2 АВ

С2 Н2

= 0 (3)

1 А2 1 В2 Л -Т —гт = —т —гт ф 0 (4) а2 С2 Н2 Ь2 С 2Н2

Полученная система не содержит коэффициента Б и, следовательно, вид проекции кривой на П1, по которой плоскость (2) пересекает конус (1), не зависит от его значения. Исключение составляет случай Б = 0, когда плоскость проходит через вершину конуса и пересекает его либо по паре прямых, либо в одной единственной точке - вершине конуса. Полагаем Б Ф 0 . Коэффициенты А, В и С определяют нормальный вектор к плоскости (2).

Условию задачи удовлетворяет не одна, а множество параллельных между собой

плоскостей с общим нормальным вектором п — (А, В, С) . Для решения задачи достаточно найти какую-нибудь одну из них.

Уравнение (3), в силу сделанного предположения С Ф 0 , равносильно следующему:

А ■ В = 0 (5)

Выполнение равенства (5) возможно в двух случаях:

1. Оба коэффициента одновременно равны нулю: А — 0 и В = 0. Тогда плоскость, заданная уравнением (2), является горизонтальной (с нормальным вектором

п — (0,0, С), где С Ф 0) и пересекает конус по эллипсу, проекция которого на П1 изображается без искажений, т. е. также является эллипсом. Нас же интересует плоскость, пересекающая конус по эллипсу, горизонтальная проекция которого - окружность, и потому необходимо сделать вывод, что

2. Равен нулю только один из коэффициентов А или В, в то время как другой от нуля отличен. Чтобы определить, какой именно коэффициент равен нулю, обратимся к рис. 6.

По рисунку

а > Ь ^ а2 > Ь2

11 1 1 л

— <72 ^72 ~ — > 0 (6) а Ь Ь а

Обратимся к тождеству (4) и перепишем его в виде: 11 Б2 Л2

---=---(4')

Ь2 а2 С2к2 С2к2 ( )

Сопоставляя (6) и (4) получаем Б Л ■>0

С'И' С'к'

Так как С Ф 0 и к Ф 0, то последнее неравенство переписывается в виде: Б2 - Л2 > 0 |б| >|Л (7)

Теперь легко определить, какой из коэффициентов равен нулю. Очевидно, Л — 0. Тогда п — (0, Б, С) - нормальный вектор к плоскости (2). На П2 вектор п проецируется без искажения.

Возвращаясь к (4П), получим 1 1 _ Б2 Б2 _ (а2 -Ь2) • к2

12 2 ,-,2 1 2 ,-,2 21 2 Ь а С к С а Ь

Б = ±4(аГ¥~) 4 (8)

С аЬ

В силу симметрии конуса относительно плоскости х02 знак равенства (8) не имеет значения. Полагаем

Б.А 8

С аЬ

Б=8к 1=мк

С аЬ а

Б -1

С ~ Ь

Отношение СБ - тангенс угла наклона вектора п коси у (назовем его Аа). Этот угол легко получить из прямоугольного треугольника с катетами t и к.

Строим м (см. Б), затем t (см. В) и, наконец, прямоугольный треугольник с катетами Ь и t из которого находим Аа (рис. 6).

Литература

1). Курант Р., Роббинс Г. «Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов)». Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова. МЦНМО, 2000 г.

2). Александров П. С. «Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры». Наука, 1968 г.

Гйе literature

1). Kurant R., Robbins G. Chto takoe matematika? (Elementarny ocherk idey I metodov) Perevod s angliyskogo pod redakciey A.N. Kolmogorova, MCNMO, 2000

2). Aleksandrov P.S. Lekcii po analiticheskoy geometrii, popolnennye neobhodimymi svedeni-jami iz algebry. Nauka, 1968

Ключевые слова: Начертательная геометрия, алгебраический метод, геометрические построения, трехосный эллипсоид, каноническая система координат, двуполостный гиперболоид вращения, трехосный эллипсоид, общее уравнение прямой, эллиптический конус, нормальный вектор, замена переменных.

Keywords: algebraic method, geometric constructions, a triaxial ellipsoid, the canonical coordinate system, two-sheeted hyperboloid of revolution, a triaxial ellipsoid, the general equation of the line, elliptic cone, the normal vector, the change of variables.

E-mail автора: [email protected]

Рецензент: Кадыкова H.C., кандидат технических наук, доцент кафедры «Инженерная графика» МАТХТ им. М.В. Ломоносова