Алгебраические методы в теории диофантовых приближений их приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Из работ [5, 6] следует, что

7 11 = ® ^ Л) ^ 22 = 3 - 66•

Библиографический список

1. Davenport H, Heilbronn H. On the zeroes of certain Dirichlet series. I, II // J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11.

2. Титчмарш E. K. Теория дзета-функции Римана. М. : Иностр. лит., 1953.

3. Воронин С. М, Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М. : Физ-матлит, 1994.

4. Phillips E. The zeta-fucntion of Riemann; further developments of van der Corput's method // Quart. J. Math. (Oxford). 1933. Vol. 4.

5. Graham S. W., Kolesnik G. Van der Corput's Method of Exponential Sums. Cambridge University Press, 1991.

6. Heath-Brown D. R., Huxley M. N. Exponential sums with a difference // Proc. London Math. Soc. 1990. Vol. 61.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ1 И. Н. Балаба, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва (г. Тула) E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Многочленом Туэ порядка n называется многочлен вида P(z)-aQ(z), где P(z), Q(z) — целочисленные многочлены, такой, что многочлен P(z) — aQ(z) делится на многочлен (z — a)n. Это естественным образом приводит к рассмотрению Z[zj-модуля пар Туэ вида < P(z),Q(z) > из Z[z]2 порядка n, то есть таких пар, что соответствующий многочлен Туэ имеет порядок n.

Как показал М. Н. Добровольский в 60-х годах XX столетия, каждый модуль Туэ имеет два образующих многочлена (основные многочлены Туэ порядка n). Кроме того, в работах М. Н. Добровольского и В. Д. Подсыпанина было показано, что существуют рекуррентные формулы перехода от основных многочленов Туэ порядка n к основным многочленам Туэ порядка n + 1.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-01-01540).

Основная цель данного направления — исследовать модуль Туэ и алгоритмические проблемы вычисления основных многочленов Туэ, то есть построить алгоритмы символьных вычислений основных многочленов Туэ.

Другое направление исследований связано с изучением минимальных многочленов остаточных дробей алгебраических иррациональностей.

Целью этих исследований будет алгебраическая классификация приведенных алгебраических чисел в случае чисто вещественных алгебраических полей и приведенных обобщённых чисел Пизо в случае произвольной вещественной алгебраической иррациональности.

Теперь кратко остановимся на перечислении предлагаемых методов и подходов. Это методы алгебраической теории чисел и диофантова анализа, геометрии чисел, методы теории колец и модулей. Совокупность этих методов применительно к диофантовым приближениям и приложениям к теоретико-числовому методу в приближенном анализе успешно применяется в тульской школе теории чисел и является оригинальным подходом к рассматриваемым проблемам.

Прежде всего предполагается:

1. Исследовать алгебраическую структуру модулей Туэ.

2. Найти явные рекуррентные формулы для основных многочленов Туэ широкого класса алгебраических чисел.

3. Построить алгоритмы символьных вычислений для основных многочленов Туэ.

Дальнейшие исследования по данной тематике будут уточнены по результатам исследований и будут связаны с переносом результатов на многочлены Рота. Предполагается рассмотреть аналог модулей Туэ — модули Рота.

Таким образом, предполагается:

1. Исследовать алгебраические свойства модулей Туэ произвольного порядка.

2. Исследовать чисто-вещественные кубические поля, порожденные приведенными кубическими иррациональностями.

3. Табулировать основные многочлены Туэ для кубических иррацио-нальностей.

Результаты исследований будут представлены в серии статей и в электронных ресурсах ПОИВС «ТМК».

Остановимся на современном состоянии исследований в данной области науки.

Вычисление многочленов Туэ и Рота, а также построение общей теории этих многочленов имеет принципиальное значение в теории диофан-товых приближений.

В классической теории диофантовых приближений алгебраических чисел теоремы существования многочленов Туэ и Рота, основанные на искусном применении принципа Дирихле, позволили доказать знаменитую теорему Туэ — Зигеля — Рота о приближении алгебраических ир-рациональностей.

Как показали в 60-х годах 20-го столетия М. Н. Добровольский и В. Д. Подсыпанин, многочлены Туэ любого порядка можно конструктивно вычислять через основные многочлены. Эти результаты позволили им впервые получить матричные разложения кубических и биквадратичных иррациональностей.

Естественно продолжить эти исследования для расширения класса алгебраических иррациональностей, для которых можно получить матричные разложения.

Дальнейшее развитие этой теории на модули Рота, построение аналога основных многочленов для многочленов Рота должно сыграть принципиальную роль в теории диофантовых приближений алгебраических иррациональностей чисто вещественных алгебраических полей.

Решение научной проблемы приближения алгебраических решёток чисто вещественных алгебраических полей имеет принципиальное значение для теоретико-числового метода приближенного анализа, так как метод Фролова опирается на использование алгебраических сеток, порожденных чисто вещественными алгебраическими полями, а построение рациональных сеток, приближающих алгебраические, упирается в вопросы приближения алгебраических решёток целочисленными. Вопросы приближения алгебраических решеток целочисленными имеет принципиальное значение для метода оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова.

Матричные разложения алгебраических иррациональностей были введены М. Н. Добровольским и В. Д. Подсыпаниным в 60-х годах XX столетия. Их исследования не были практически опубликованы и сохранились только в личном научном архиве М. Н. Добровольского. В настоящее время это оригинальное обобщение цепных дробей интенсивно разрабатывается представителями тульской школы теории чисел.

Исследования по матричным разложениям алгебраических ирраци-ональностей и функциональному уравнению гиперболической дзета-

функции решеток целиком принадлежат представителям тульской школы теории чисел и предыдущие результаты в этой области позволяют предполагать, что намеченная в ряде статей программа исследований должна привести к цели.

В самое последнее время в работах представителей тульской школы теории чисел был установлен удивительный факт, что начиная с некоторого номера все остаточные дроби в разложении вещественной алгебраической иррациональности являются приведенными алгебраическими иррациональностями в случае чисто вещественных полей и приведенными обобщёнными числами Пизо в общем случае.

О разложение алгебраических иррациональностей степени п > 2 в цепные дроби известно очень мало. Это один из труднейших вопросов современной теории чисел. Поэтому изучение матричных разложений алгебраических чисел является актуальным.

Получение новых результатов по теории матричных разложений, по поведению остаточных дробей и их алгебраически сопряжённых чисел должно продвинуть решение вопросов о приближении алгебраических решёток целочисленными и построение новых алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов в методе Коробова [1-3].

Данная тематика продолжает исследования, поддержанные РФФИ (проекты № 02-01-00584, 05-01-00672, 07-01-96415-р_центр_а, 11-0100571, 15-01-01540).

Библиографический список

1. Добровольский Н. М, Добровольский Н . Н., Юшина Е . И. О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, вып. 3(43).

2. Добровольский Н. М, Соболев Д. К., Соболева В. Н. О матричном разложении приведенной кубической иррациональности // Чебы-шевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 1(45).

3. Добровольский Н. М, Добровольский Н. Н. О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 3(55).