Алгебраические методы получения и преобразования изображений при технической диагностике сложных систем в условиях неполной определенности (часть 1) Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ X

УДК 519.2:519.7

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ (Часть 1)

А. Е. Городецкий,

доктор техн. наук, профессор И. Л. Тарасова,

канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник Институт проблем машиноведения РАН

Предлагается использовать логико-вероятностные модели для диагностики структурно-сложных систем. Показано, что тогда оптимизация стратегий и тактик поиска неисправностей может быть сведена к вычислению матриц систем алгебраических уравнений по модулю два с минимальным количеством единиц и упорядочиванию строк таких матриц по убыванию вероятностей решений. Рассматриваются проблемы аппроксимации логико-вероятностных изображений сложных систем, построения, верификации, классификации и редуцирования адекватных логико-вероятностных моделей, а также проблемы распознавания изображений неисправных систем с указанием причин неисправностей.

Введение

Процесс определения неисправности в некотором техническом объекте может быть сведен к решению задачи определения причин расхождения между деформированными 1Ь и идеальным I изображениями диагностируемого объекта [1]. Решение этой задачи соответствует поиску наилучшего бинарного отношения g0, которое является элементом или подмножеством из множества в (я0 с в) и отвечает соотношению I6g0I при выполнении ограничений 1^и1 и (&С Я, Ь = 1, 2, ..., т), где в

и Я — некоторые фиксированные компактные множества, а иь — заданные априори модели или изображения ограничений. При этом можно считать, что планы или стратегии и тактики диагностики gi допустимы по Ь-му ограничению, если пара (1Ь, иЬ) е qi и пара (I, иь) е qi, а план или стратегия и тактика диагностики g0 оптимальны, если пара (1Ь, I) е g0, мощность множества g0 минимальна (^0| = шт) и элементы множества упорядочены по убыванию вероятности причины отказа [2].

Нечеткость задач аппроксимации изображений сложных систем

Основными понятиями, заимствованными из теории образов [1] и характеризующими диагно-

стируемую систему, являются объекты и отношения. Объектами в диагностике служат элементы и блоки систем, их структуры или конфигурации, идеальные и деформированные изображения систем, классы систем. Отношения в диагностике задаются в виде преобразований подобия, комбинаторных отношений, правил идентификаций и механизмов деформаций изображений, т. е. поломок и отказов.

При диагностике систем прежде всего встает задача синтеза множества моделей (изображений) нормально функционирующей I и неисправной 1Ь систем по имеющимся исходным данным. Обычно исходные данные о сложной системе, получаемые из различных источников (результатов испытаний, технических отчетов, статей, книг и т. д.), плохо структурированы, обладают избыточностью и неполнотой, могут быть противоречивы, недостоверны и неоднозначны. Поэтому алгебра представления данных Аа, используемая для их описания, оказывается либо излишне общей (избыточной), либо неполной и малопригодной для создания адекватных математических моделей диагностируемых объектов.

Задача аппроксимации изображений заключается в выборе такой алгебры изображенийAI, чтобы получаемое в результате отображения Ф: Ad^AI,

изображение I* диагностируемой системы было близко в некотором смысле к ее идеальному изображению I. При этом данные, описываемые с помощью алгебры данных, будем называть наблюдаемым (деформированным) изображением Id.

Попытки получить наилучшую аппроксимацию изображения I сложных систем, используя элементы алгебры AI и информацию, содержащуюся в наблюдаемом изображении Id, могут привести к задаче принятия решения в условиях неполной определенности или к нечеткой задаче принятия решения, которая наступает, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий [3]:

3 gi е I,, |Ф (^)| > 1; (1)

3 vi е I*, |Ф-1^)| > 1; (2)

3 giе I,, Ф (gi) = 0; (3)

3 Viе I*, Ф-1(^) = 0, (4)

где |.| — мощность множества; gi — Ь-й объект или отношение из множества данных в наблюдаемом изображении I,; VI — Ь-й объект или отношение из изображения I ; 0 — пустое множество.

Источниками возможной неоднозначности могут быть физическая неопределенность системы и окружающей среды либо неполнота используемых алгебры представления данных Ad и алгебры изображений AI.

Неполнота алгебр Ad и AI связана с использованием языка, имеющего конечное число элементов и структур, для описания за конечное время бесконечного множества разнообразных состояний системы и ситуаций окружающей среды.

Учитывая, что при диагностике сложной системы получение ее изображения I* или математической модели осуществляется с целью синтезировать оптимальный алгоритм поиска неисправностей в системе, последнюю в случае выполнения хотя бы одного из соотношений (1)-(4) целесообразно рассматривать как нечеткую, неопределенности в которой описываются вероятностями случайных логических переменных [3].

Адекватность математических моделей диагностируемых систем

При построении модели исследователь обычно учитывает только наиболее существенные для достижения поставленных целей моделирования факторы. Поэтому построенная модель не тождественна объекту-оригиналу. Априори предполагается, что не учтенные при построении модели факторы оказывают малое влияние на поведение объекта по сравнению с выбранными факторами, и поэтому, с точки зрения поставленных целей моделирования, построенная модель адекватна объекту-оригиналу. Однако в совокупности неучтенные факторы могут приводить к значительным различиям между объектом и его моделью, что вызывает необходимость отладки или оптимизации построенной модели после ее апробации на

ряде тестовых примеров. Если результаты дальнейшего моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта, то говорят, что модель адекватна объекту-оригиналу. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых при оптимизации критериев качества модели, и построение идеально адекватной модели принципиально невозможно из-за практической невозможности учета бесконечного числа параметров объекта-оригинала.

Важнейшей характеристикой модели является ее сложность. Очевидно, что из множества моделей, позволяющих достичь желаемой цели и получить требуемый результат с заданной точностью или достоверностью, предпочтение мы всегда отдадим наименее сложной. При этом адекватность и сложность модели не всегда являются противоречивыми требованиями. Учитывая бесконечную сложность любого объекта-оригинала, можно предположить существование бесконечного множества его моделей, которое может быть упорядочено по степени сложности и адекватности.

Другим важным свойством модели является ее потенциальность или предсказуемость с позиции возможности получить новые знания об исследуемом объекте. Именно свойство потенциальности позволяет модели выступать в качестве самостоятельного объекта исследования. Модели, не обладающие определенной предсказуемостью, вряд ли целесообразно использовать в научных исследованиях. С другой стороны, изучение и использование моделей, обладающих хорошей потенциальностью, позволяют делать новые открытия.

Правильность полученной в результате отображения Ф: Ad^AI, математической модели I* как системы математических соотношений подвергается обязательному контролю:

— размерностей, включающему правило, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности;

— порядков, состоящему из грубой оценки сравнительных порядков складываемых величин и исключения малозначимых параметров;

— характера зависимостей, заключающемуся в проверке того, что направление и скорость изменения выходных параметров модели, вытекающие из выписанных математических соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели;

— экстремальных ситуаций — проверке того, какой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым для них значениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, математические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка;

— граничных условий, включающему проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они использованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям;

— физического смысла — проверке физического или иного, в зависимости от характера задачи, смысла исходных и промежуточных соотношений, появляющихся по мере конструирования модели;

— математической замкнутости, состоящему в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу.

Свойство математической замкнутости системы математических соотношений тесно связано с введенным Ж. Адамаром понятием корректно поставленной математической задачи, т. е. задачи, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных.

Доказательство корректности конкретной математической задачи — достаточно сложная проблема, она решена только для некоторого класса математически поставленных задач. Проверка математической замкнутости является менее сложной по сравнению с проверкой корректности математической постановки. В настоящее время активно исследуются свойства некорректных задач, разрабатываются методы их решения, которые связаны с нечеткой математикой и нечетким математическим моделированием. Аналогично понятию «корректно поставленная задача» можно ввести понятие «корректная математическая модель» или «четкая математическая модель» и при «некорректно поставленной задаче» — «нечеткая математическая модель».

При моделировании сложных физических, биологических, технических, экономических, технологических, социальных и других систем мы сталкиваемся с тем, что чем сложнее система, тем менее мы способны дать точные и в то же время имеющие практическое значение суждения о ее поведении. Такая ситуация определяется термином «принцип несовместимости» [4]. Следствие из этого принципа кратко можно выразить так: «Чем глубже мы анализируем реальную задачу, тем неопределеннее становится ее решение». Именно в этом смысле точный количественный анализ поведения сложных систем для практического исследования реальных задач, по-видимому, недостаточен.

Логико-вероятностное моделирование систем

В работе [4] предлагается подход к созданию нечетких математических моделей, который опирается на предпосылку о том, что элементами исследования являются не числа, а некоторые нечеткие множества, для которых переход от «принадлежности к классу» к «непринадлежности» не

скачкообразен, а непрерывен. В основе такого подхода лежит не традиционная двузначная или даже многозначная логика, а логика с нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими правилами вывода. Этот подход имеет три отличительные черты:

— в нем используются так называемые «лингвистические» переменные вместо числовых переменных или в дополнение к ним;

— простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний;

— сложные отношения описываются нечеткими алгоритмами.

Отметим, что с математической точки зрения предложенный подход как метод описания неопределенности лежит между описаниями с позиций теории вероятностей и математической статистики (в этом случае параметры системы, имеющие вероятностный, случайный характер, определяются некоторыми распределениями) и с позиций интервальной математики, при которой характеристики задаются диапазонами возможных значений (верхними и нижними границами).

Подобный тип задач чаще всего имеет место в случае, когда концептуальная постановка задачи сформулирована в виде некоторого неопределенного высказывания типа «Если А, то В» {А => В), в котором А и В можно описать нечеткими множествами.

Предлагаемый подход к созданию нечетких моделей для диагностики отказов не имеет преимуществ перед логико-вероятностными методами, но значительно усложняет вычислительную процедуру поиска наилучшего бинарного отношения go^

В задаче логико-вероятностного математического моделирования каждому объекту моделирования можно поставить в соответствие т-ю оптимальную модель типа [3]

Y(k + 1) = A&Y(k) ® B&U(k) ®

® C&V(k) ® DF(k), (5)

где Y(k + 1), Y(k) — векторы логических переменных, принимающих значения 0 либо 1 и характеризующих состояние системы в (к + 1)-й и к-й моменты времени соответственно;

— вектор логических переменных, принимающих значения 0 либо 1 и характеризующих управляющие воздействия в к-й момент времени;

V(k) — вектор логических переменных, принимающих значения 0 либо 1 и характеризующих задание на управление в к-й момент времени;

F(k) — вектор логических переменных, принимающих значения 0 либо 1 и характеризующий возмущающие воздействия в к-й момент времени;

A, B, C, D — матрицы из 0 и 1, характеризующие систему в к-й момент времени;

& — знак операции логического умножения матрицы на вектор;

® — знак операции сложения по модулю 2, лишь с некоторой вероятностью Pm, вычисляемой по формуле [3]

Рт = (-2)0 ЕР + (-2)1 £ РкРк +

Ь =1 Ь,1

+ (-2)2 £ Р^Рк + - + (-2)^-1 ГГРк, (6)

Ь,}д Ь=1

где РЬк, Р}к, Рф — вероятности случайных событий (параметров, отношений и т. п.), характеризующих моделируемый объект, которые в процессе моделирования могут быть задаваемыми:

— неизменными числами в диапазоне {0, 1};

— функциями времени со значениями в диапазоне {0, 1};

— интервально {аЬ, ЪЬ} при аЬ > 0, Ъь < 1;

— интервально с изменяющимися во времени интервалами {аЬ(£), ЪЬ(£)} при аЬ > 0, Ъь < 1;

— интервально со случайными границами с известными плотностями распределения /(аЬ), f(Ъi);

— интервально со случайными границами с известными математическими ожиданиями М(аЬ), М(Ъ) и дисперсиями Б(а), Б(ЪЬ);

— интервально со случайными границами с известными, изменяющимися во времени плотностями распределения ДаЬ(^), f(Ъi(t)), математическими ожиданиями М(а0)), М(Ъ0)) и дисперсиями Б(а^)), Бф^));

а также могут быть случайными величинами:

— с известными плотностями распределения

ЛР»);

— с известными математическими ожиданиями М(Рк) и дисперсиями Б(РЬк);

— с изменяющимися во времени плотностями распределения, математическими ожиданиями и дисперсиями и

— задаваемыми в любом из перечисленных сочетаний.

При таком подходе к построению математических моделей диагностируемых систем поиск наилучших моделей или оценку их адекватности можно проводить с использованием таких известных вычислительных методов [5] как математическое моделирование в порядковых шкалах, обобщенное математическое программирование или многошаговое обобщенное математическое программирование. Указанные методы базируются на оценке бинарных отношений вида I*qI. При этом

7-* о

модель I считается адекватной, если пара

(I*, I) е q. (7)

Отношение q может быть выражено в виде системы логических уравнений:

CQ = E (8)

или

CQ = Y. (9)

Вектор Q имеет размерность N и в самом общем случае может иметь N = 2й - 1 компонент вида

< ql, q2,..., qn, qlq2, qlqз, -, qn-lqn, qlq2qз, -,

qn-2qn-lqn, -, qlq2, •••, qn-lqn >• (10)

Компоненты qt вектора Q являются логическими переменными, характеризующими близость объектов и отношений построенной модели I* к элементам и отношениям идеальной модели I.

Матрица С состоит из М идентификационных строк C, имеющих размерность вектора Q и содержащих элементы 0 и 1 в заданном порядке, например: Ci = | 0 0 1 1 ... 0 1|.

Вектор Е — единичный (Ег = |1 1 1 ... 1|), имеющий размерность вектора Q.

Вектор Y имеет размерность вектора Q и его компоненты yi могут принимать значение 1 с некоторыми вероятностями Pi, вычисляемыми через вероятности компонент qt по формулам вида (6).

Тогда возможны следующие ситуации принятия решения об адекватности модели I*:

— для V q_i вероятность P{qi = 1} = 1 и модель I* считается адекватной, если выполняется условие (8), и не адекватной, если условие (8) не выполняется;

— для V q_i вероятность P{qi = 1} = 0 и модель I* считается не определенной и отношение q построено неправильно;

— 3 qi, для которого вероятность 0 > P{qi = 1} < 1

M

и модель I* считается адекватной, если XPt > A,

i=1

где А — экспертная оценка адекватности, или моТ*

дель I i — наилучшая из всех рассматриваемых,

M

если для нее X P = max.

i=1

Последняя ситуация является наиболее типичной при оценке адекватности нечетких логико-вероятностных моделей диагностируемых сложных систем. При большом количестве логических слагаемых в функции yi процедура вычисления вероятности Pi по формуле (6) требует больших затрат времени, и в ряде случаев даже использование для этих целей современных ЭВМ с традиционной архитектурой приводит к неприемлемым затратам машинного времени. Однако структура уравнения (6) позволяет легко использовать для целей вычисления указанных вероятностей ЭВМ с параллельной архитектурой вычислений, например нейронные сети.

Кроме того, известно [6], что при определенных условиях большей частью слагаемых в уравнении (6) можно пренебречь из-за их малого значения. По существу задача состоит в определении суммы первых 7-15 слагаемых в уравнении (6), которые составляют основной вклад в значение вероятности, рассчитанной по формуле (6). Остальными слагаемыми можно пренебречь, тем более, что вероятности исходных логических переменных q_i обычно определяют с определенными погрешностями и, соответственно, значение вероятности, полученное из уравнения (6), будет тоже иметь погрешность. Более того, при поиске наилучшей модели нас интересуют не сами значения вероятностей решений yi, получаемых из системы уравнений (9), а модель с наибольшей суммой вероятностей.

Литература

1. Grenander U. Pattern analysis // Lectures in Pattern Theory. N. Y.: Springer-Verlag; Berlin: Heidelberg. Vol. 11. 1978.

2. Городецкий А. Е., Дубаренко В. В., Ерофеев А. А.

Принципы создания моделей для прогноза отказов в нечетких системах // Управление в условиях неопределенности / Под ред. А. Е. Городецкого. СПб.: СПбГТУ, 2002.

3. Городецкий А. Е., Тарасова И. Л. Управление и нейронные сети. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005.

4. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Inform. Contr. 1965. Vol. 8. P. 338-353.

5. Юдин Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М.: Наука, 1989.

6. Городецкий А. Е., Дубаренко В. В. Комбинаторный метод вычисления вероятности сложных логических функций // ЖВТ и МФ. 1999. Т. 39. № 7. С. 12461248 .

7. Городецкий А. Е., Тарасова И. Л. Логически прозрачные сети // Информационно-управляющие системы. 2003. № 5. С. 18-20.

8. Городецкий А. Е. Об использовании ситуации привычности для ускоренного принятия решения в интеллектуальных информационно-измерительных системах // Физическая метрология: теоретические и прикладные аспекты. СПб.: Изд. КК, 1996. С. 141-151.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПОЛИТЕХНИКА» ПРЕДСТАВЛЯЕТ:

Качур П. И., Глушко А. В.

Валентин Глушко. Конструктор ракетных двигателей и космических систем / П. И. Качур, А. В. Глушко. — СПб.: Политехника, 2008. — 760 с.: ил. — (Серия: «Знаменитые конструкторы России. ХХ век»).

ISBN 978-5-7325-0665-5

Данная книга — первая наиболее полная творческая биография выдающегося отечественного ученого в области ракетной техники, основоположника отечественного жидкостного ракетного двигателе-строения, дважды Героя Социалистического Труда, лауреата Ленинской и Государственных премий, генерального конструктора академика В. П. Глушко. Он автор многих научных трудов и изобретений, конструктор большинства двигателей и двигательных систем боевых и космических ракет, руководитель специализированных организаций по созданию ЖРД и ракетных систем, основатель научной школы ракетного двигателестроения. До последнего времени по конъюнктурным соображениям его выдающаяся роль в развитии отечественной ракетной техники умалчивалась, отдельные страницы его биографии не освещались или преподносились в искаженном виде. Из-за этого история отечественной ракетной техники представлялась неправильно. Авторы книги попытались восстановить истину.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся историей ракетной науки и техники.

Книгу можно приобрести по адресу: 191023, Санкт-Петербург (ст. метро «Гостиный Двор»), Инженерная ул., дом 6, 3-й этаж, ОАО «Издательство «Политехника», с 10 до 18 час., кроме сб., вс. Тел./факс: (812) 312-44-95, тел.: 571-61-44. Web: www.polytechnics.ru