Алгебра кватернионов и вращения в трёхмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Белов А.А. «Биологическая защита населения и территорий» / Учебно-методическое пособие. М.: Изд. Института коммерции и права. - 2004. - 106 с.

2. Белов А.А., Скубрий Е.В. Предупреждение биотерроризма. Новогорск: АГЗ МЧС РФ. - 2003.

- 5 с.

3. Белов А.А., Пушкин И.А. Предупреждение терроризма / Материалы Международной конференции «Безопасность больших городов. Проблемы и решения. Международный опыт». 7-9 октября. М.: «Статус». - 2003. - С. 83-89.

УДК 517.958:52/59

АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ И ВРАЩЕНИЯ В ТРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Мирмович Э.Г., к.ф.-м.н., доц.; Усачёва Т.В., к.п.н.

Академия гражданской защиты МЧС России

ALGEBRA OF QUATERNION AND ROTATION IN THREE-DIMENSION SPACE

Mirmovich E.G., Usacheva T.V.

В настоящей работе рассматривается один из самых интересных и приметных представителей гиперкомплексных чисел - кватернион, получивших «вторую жизнь» при интерпретации некоторых физических явлений и создании их моделей, а также в современных информационных компьютерных интерактивно-игровых технологиях. Описанный формализм и идеи работы могут быть использованы студентами, аспирантами и преподавателями в рамках дополнительного обучения, спецпрактикума, на семинарах и в научных кружках.

Введение

Кватернион, долгие годы считавшийся бесперспективным с подачи ортодоксальных математиков [1], в настоящее время начинает свое триумфальное шествие по науке (физика, химия кристаллов, информатика) и информационно-интерактивным технологиям.

Своим открытием и названием сам кватернион обязан ирландскому математику У.Р. Гамильтону (1805-1865) [2].

Уильям Роуан Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владел девятью языками, в 1824 г. опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, в 1828 г. получил звание королевского астронома Ирландии. К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике и аналитической механике. Он предсказал эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах.

В одном из писем к своему сыну У.Р. Гамильтон писал: «Это был 16-й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда, моего - если доведется, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в понедельник 13-го следующего месяца - ноября».

_ 71

Научные и образовательные проблемы гражданской защиты

Постановка проблемы

В различных разделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства (над данным полем к), в которых кроме действий сложения и умножения на скаляры определено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре векторов третий вектор того же пространства - их произведение. В этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножения Ху линеен по каждому из множителей при фиксированном втором, то есть:

(С1 Х1 + С2 Х2) У = С1Х1У + С2 Х2 У , Х(С1У1 + С2 У 2) = С1ХУ1 + С2 ХУ2

Пространство с умножением, удовлетворяющим такому требованию билинейности, называется алгеброй над полем к.

Алгеброй кватернионов называется алгебра размерности 4 над основным полем, обладающим единицей 1 и имеющим базис 1, г, j, к со следующей таблицей умножения [1]:

X г у к

1 -1 к }

7 -к -1 1

к -1

Или в более удобной форме:

г2 = j2 = к2 = -1; у = -ji = к; jk = -ку = г; кг = -гк = j.

При этом основное поле может быть взято произвольно.

Алгебра кватернионов над полем R

Наиболее интересной является алгебра кватернионов над полем R вещественных чисел.

Прежде всего, установим ассоциативность алгебры кватернионов. Для этого следует проверить 27 равенств: по три возможности для каждого из 3-х множителей в равенствах типа (аЬ)с = а(Ьс), проверяемых для базисных элементов г, у, к.

Избежать этого можно, установив изоморфизм алгебры кватернионов над Щ и некоторой алгебры матриц специального вида над С. Единице сопоставим единичную матри-

цу Е =

Г1 0^

V0 Ъ

Л

2-го порядка, матрицу I =

0

0 ^

-г

(здесь г - не орт, а мнимая единица, г е С ), мат-

рицу J =

Г0

-1 0

1 ^ Г о

и матрицу К =

Л

0

Отсюда следуют равенства: 12 = J2 = К2 =-Е; Л = - Л = К; JK = -КЛ = I; К1 = -1К = Л. Они означают, что пространство матриц Е, I, Y, К образуют алгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

На основании ассоциативности умножения матриц делаем заключение об ассоциативности алгебры кватернионов.

Заметим, что если за основное поле принято поле С комплексных чисел, то алгебра кватернионов над С окажется изоморфной алгебре М2(С) всех квадратных матриц 2-го порядка над С, ибо матрицы Е, I, Л, К линейно независимы над С и их линейные комбинации заполняют всю алгебру М2(С).

Связь алгебры кватернионов с векторами в трехмерном эвклидовом пространстве

Пусть а = а + вг + су + dk - кватернион. Число а называется скалярной частью кватерниона. Сумма вг + су + dk называется векторной частью кватерниона а. Кватернион с нулевой скалярной частью будем называть векторами, они, естественно, изображаются как векторы трехмерного эвклидова пространства.

Пусть и = Ь^ + с1 j + d1k и и2 = Ь2г + с2j + d2k - два вектора-кватерниона. Вычислим их произведение (в алгебре кватернионов):

и1и 2 = ЬЛ^ + Ь^2 k + с1 jb2i + с1 'с2 у' + c1d2 k + d1kb2i + d1kc2 j + d1kd2 k =

= -Ь1Ь2 - с1с2 - d1d2(c1d2 - d1c2)i + (d1b2 - Ь^2)' + (Ь1с2 - = -(м1з и2)+ [м1з и2 ]

Здесь [м1з и2 ] - векторное, а (и1ги2) - скалярное произведение кватернионов и и и2. Таким образом, скалярной частью кватерниона-произведения и1и2 оказывается скалярное произведение векторов и1 и и2, взятое с обратным знаком. Векторная же часть кватерниона и1и2 равна вектору произведения векторов и 1г и2. Тем самым операция умножения векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объединяет оба умножения векторов - скалярное и векторное.

Далее, можно видеть, что:

и2и1 = -(и2и1) + [и2и1 ] = -(и1, и2) - [и1, и2 ]

Отсюда,

(и1, и2 ) = "2"(и1и2 + и2и1), [и1, и2 ] = -1(и1и2 - и2и1)

Из последней формулы следует известное в векторной алгебре соотношение Якоби для условных их, и2, и3:

[их, и2, из] + [[и2,из], их] + [[из, их], и2] = 0.

Для этого достаточно принять во внимание связь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли.

Алгебра кватернионов как алгебра с делением

Пусть дан кватернион а = а + вi + с' + dk = а + и.

Кватернион а = а - вi - с' - dk = а - и, отличающийся от а знаком векторной части, называется сопряженным с кватернионом а. Ясно, что а = а.

Умножим кватернион а на сопряженный ему а . Получим

аа = (а + и)(а - и) = а2 + аи - аи - и2 = а2 + (и,и) - [и,и] = а2 + (и,и) = а2 + в2 + с2 + d2. Поэтому, если а Ф 0, то а а >0. Заметим еще, что аа=аа.

Число л/аа = называется модулем (нормой) кватерниона а и обозна-

чается через И . Теперь легко установить, что каждый, отличный от 0 кватернион а имеет обратный. Действительно, | а |а = а| а | = 1, так что обратным кватернионом для а являет-

^аа у \аа у

ся а. Таким образом, алгебра кватернионов над полем R есть алгебра с делением. Заметим, аа

что здесь существенно было использовано то обстоятельство, что за основное поле принято поле R, заключение о неравенстве а2 + Ь2 + d2 Ф 0 при а Ф 0 было бы неверно, например, для поля С или поля вычетов по простому модулю.

Тождество Эйлера

Теорема. Модуль произведения 2-х кватернионов равен произведению модулей сомножителей.

Доказательство.

Сначала докажем, что кватернион, сопряженный с произведением 2-х кватернионов, равен произведению сопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке.

Действительно, пусть а = а + и, в = в + V, где а,в е R, и и V - вектор-кватерниноны. Тогда ав = аЬ + аv + ви + vu = аЬ - (щ) + av + Ьи + [и^].

Далее, Ра = аЬ - иЬ + vu = аЬ - (и,у) - аv - Ьи + [^и] = аЬ - (и^) - аv - Ьи - [и^] = ав.

Теперь имеем:

\аРр =аР-аР = аРРа = а\0\ а = \рр\а\2,

откуда \аР\ = \а\Р\, что и требовалось доказать.

I |2 |2

Рассмотрим теперь тождество \аРР = \а\ Р через компоненты кватернионов, положив а = а1 _ Ь1г - су - dlk, в = а2 - в2г - с2у - d2k так, что

aв=a¡a2+b¡b2+c¡c2-d¡d2+(а¡b2-в¡a2-с¡d2+d¡c2)i+(а¡c2+b¡d2-с¡a2-d¡b2)j+(а¡a2-в¡c2+с¡b2-d¡a2)k.

Получим известное тождество Эйлера:

22222222 2 2

(а1 +в1 +с1 +dl )(а2 +в2 +с2 +d2 )=(а¡a2+b¡b2+с¡c2+d¡d2) +(аlb2-bla2-Cld2+dlC2) + (а1с2--

Ь^2-с1а2^1Ь2)2+(а^2-Ь1С2+с1Ь2^1а2)2,

позволяющее выразить произведение двух сумм квадратов в виде суммы 4 квадратов билинейных выражений. Аналогичные тождества имеют место для сумм двух квадратов (это тождество связано с умножением комплексных чисел) и для сумм 8 квадратов. Оказывается, что аналогичных тождеств для сумм п квадратов, кроме перечисленных при п = 2,4,8 и тривиального тождества при п = 1, не существует.

Вращение в евклидовом пространстве

Пусть и, V, w - тройка попарно ортогональных векторов единичной длины, ориентированная так же, как тройка г, у, к. Тогда согласно правилу умножения векторов в алгебре кватер-

2 2 2

нионов получим и = V = ю = -1. Далее, иу = -уи + [и,у] = [и,у] = ю. Здесь воспользуемся тем, что векторное произведение взаимоортогональных единичных векторов равно единичному вектору, ортогональному к ним обоим и направленному в соответствии с ориентацией базисных векторов г, у, к. Аналогично, уи = -ю; ую = -юу = и; юи = -ию = ю. Таким образом, правило умножения векторов и, у, ю является полным аналогом правила умножения векторов ^ j, к. Иными словами, отображение 1^-1, ^и, j^■v, к^-ю задает изоморфизм алгебры кватернионов на себя, то есть, автоморфизм этой алгебры. Линейное преобразование пространства векторов, отражающих тройку j, к на тройку и, у, ю, есть, очевидно, собственно ортогональное преобразование, ибо эти 2 тройки образуют ортогональные, одинаково ориентированные базисы пространства векторов.

Все автоморфизмы получаются указанным способом.

Действительно, пусть и, у, ю - ф-образы г, у, к при некотором автоморфизме. Тогда и2 = у2 2 2 = ю = -1; уи = -иу = ю; ую = -юу = и и юи = -ию = у. Из равенства и = 1 заключаем, что кватернион и есть вектор единичной длины.

Действительно, пусть и = а + ш, где а - скалярная часть и. Тогда -1 = и2 = а2 + 2аи _ [и^2, откуда 2аи1= 0. Если допустить, что ш= 0, то 1 = а , что невозможно. Поэтому и Ф 0, следовательно, а = о, |и| = |и1 = 1. По той же причине кватернионы и и у являются векторами единичной

длины. Далее, из того, что скалярная часть кватерниона иу = ю равна 0, заключаем, что векторы и и у ортогональны. По той же причине ортогональны векторы и, ю и ю, и, так что и, у, ю составляют тройку попарно ортогональных единичных векторов. Ориентация этой тройки совпадает с ориентацией тройки г, у, к, ибо в противном случае было бы иу = ю, а не уи = ю.

74 _

Научные и образовательные проблемы гражданской защиты

Пусть теперь а - некоторый кватернион единичного модуля. Отображение х^а-1ха есть автоморфизм алгебры кватернионов и, следовательно, он осуществляет некоторое собственное вращение пространства векторов. Пусть а=а+и0, где а - скалярная часть а. Тогда а2 + |и0| = 1, так

что можно положить а = соsф , |и0|= sinф, 0<ф<^. Тогда а = cosф + штф, где и - вектор единичной длины (если а = -1, то и0 = 0 и в качестве и можно взять любой единичный вектор).

Пусть теперь у - какой-либо вектор единичной длины, ортогональный векторам и, у, и пусть ю = иу. Выясним, как действует автоморфизм х^а-1ха на векторы и, у, ю. Ясно, что векторы а и и коллинеируют, так что а -1иа = и.

Далее, а-1= соБф-штф; а=соБф+штф; а^уа^соБф-штф^созф+штф^усозф-юзтфХсоБф+изшф^

=усо$2ф-ю$тфсо$ф+уштфсо$ф-юи2$тф=у(со$2ф-$т2ф)-2ю$тфсо$ф=усо$2ф-юзт2ф;

а -1юа =(юсо$ф+у$тф)(со$ф+и$шф)=у$ш2ф+усо$2ф.

Итак, автоморфизм х^а-1ха не меняет вектор и и поворачивает на угол 2ф плоскость, натянутую на вектора у и ю (считаем положительным направление вращения от у к ю ), то есть, вращает пространство векторов вокруг оси, проходящей через вектор и, на угол 2ф. Известно, что всякое собственное вращение трехмерного пространства есть поворот вокруг оси на некоторый угол, так что любое собственное вращение может рассматриваться как трансформация х^а-1ха пространством кватерниона с единичным модулем.

Заметим, что преобразование х^а-1ха при |а| ^ 1 не дает ничего нового, если положить

а = \а0 \а0, оо|а01 = 1 и а-1 ха = а-1 ха0 при любом кватернионе х.

В любой ассоциативной алгебре с единицей обратимый элемент а порождает автоморфизм алгебры х^а-1ха, называемый внутренним автоморфизмом алгебры.

Кватернионы единичного модуля образуют группу относительно умножения. Сопоставление каждому такому кватерниону вращения х^а-1ха трехмерного пространства векторов есть

гомоморфное отображение, ибо (аР)"1 хаР = Р- (а- ха)Р, то есть, произведению кватернионов отвечает произведение вращения. Ядро этого гомоморфизма состоит только из элементов ± 1.

Действительно, а=а + Ы + су + dk принадлежит ядру, если а-1ха=х, при любом векторе х, т.е., если ха = ах. Положив х = ^ получим с = d = 0, а, положив х = j, получим Ь = d = 0.

Итак, а = а = ± 1, ибо Ц = |а| = 1. Тем самым получаем, что группа S0(3) собственных

вращений трехмерного пространства изоморфна фактор-группе кватернионов единичного модуля по подгруппе { ± 1}.

Представление трехмерных вращений при помощи кватернионов очень удобно тем, что кватернион, связанный с вращением, определяет непосредственно его геометрические характеристики - ось вращений и угол поворота. При обычном задании вращения при помощи ортогональной матрицы для определения оси вращения и угла нужно произвести некоторые вычисления. Закон умножения кватернионов тоже проще закона умножения матриц 3 порядка.

Заметим еще, что группа кватернионов с единичным модулем изоморфна группе и(2) унитарных матриц 2-го порядка с определителем равным единице.

Действительно, кватерниону а = а + Ы + су + dk соответствует матрица

( а + Ьг с + di - с + di а - Ьг

А =

а сопряженная

V

А"

- кватерниону а = а - Ы - су - dk .

(а - Ьг - с - di с - di - а + Ьг

Из равенства аа-1 следует, что АА*=Е, т.е. матрица произведений является унитар-

ной.

Далее, detА = а2 + Ь2 + с2 + d2 = 1, если матрица

С а аа у 3

унитарна и detА = 1, то равенство

А-1=А* дает 5= а, у= - в, то есть, Л -

( а + Ы с + di а

с + di а - Ыi J

Таким образом, отображение а^-А осуществляет изоморфизм группы кватернионов единичного модуля и группы вращений и(2) - группа алгебраических преобразований Лоренца.

Кватернион как перспективный инструментарий фундаментальных физических моделей

В данной работе лишь ставятся задачи, которые представляют интерес с точки зрения физики, а точнее, новой еще не существующей науки - «физической математики».

1. Реабилитация и развитие в полном объеме т.н. нестандартной математики, в которой аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений считается некорректным. Тоже касается теории векторов, которые имеют смысл лишь в абсолютно изотропном и прямом пространстве, отказывая в корректности и компактности в любом криволинейном пространстве даже постоянной кривизны, не говоря уже о т.н. «финдслеровом» пространстве произвольной кривизны. При этом становятся актуальными не только гиперкомплексные числа [3], среди которых «скомпрометированные» своей некоммутативностью кватернионы, но и забытая сегодня функция sinvers, которой было предсказано большое будущее еще нашим русским математиком П.Л. Чебышевым. На рис. 1 приведена иллюстрация наиболее «экономной» в классическом трехмерном пространстве упаковки разных и одинаковых частиц (рис. 1а), в которой координатное пространство имеет четыре, а не три орта, представляющие прекрасную задачу для гипергеометрических чисел от кватернионов до октав (бикватернионов) и более [4, 5]. Хотя кватернион и описывает "ориентацию" объекта в пространстве и "вращение", но принято счи-

о

тать, что это вращение ограниченно именно лишь ±180 , в то время как упаковка типа тетраэдра может быть названа группой лишь в рамках 6-осевых поворотов, и «плоскоугольная» ортогональность между всеми базисными орт-векторами равна не 90 , а «волшебные» 109 28'(рис. 1б) подобно осям молекулы СН4 (рис. 1в).

а б в

Рис. 1. Иллюстрация наиболее компактной тетраэдрной «упаковки» частиц в 3-мерном пространстве для размерности п=2, т=4 (для п=1 будет т=1; для п=3, т=10 и т.д.)

2. Кватернион и попытка описать античастицы в микрофизике. Возможно, этому поможет то, что инверсным единичному кватерниону, является его сопряженный.

3. Исследование возможности использования кватернион-представлений в группах вращательных симметрий S0(m,n) собственных вращений п-мерного пространства, например,

76

групп S0(1,4) и S0(2,3) де Ситтера (de Sitter) [6], постулирующих неустранимую кривизну и приоритетную фундаментальность вращательных движений при описании любых физических объектов и объяснении известных физических явлений [5, 7-10]. Это удобно, т.к. можно циклически получать кватернион из матрицы и обратно матрицу из кватерниона. В этом случае мы получим интегрирование вращения без использования тригонометрических функций или квадратных корней. Крайне интересным обстоятельством является то, что в работе [5] автор формулирует четыре своеобразные аксиомы, из которых следует, что первые три из них обосновывают специальную теорию относительности, а при отказе от четвертой - Пуанкаре-инвариантности, мы получаем кватернионное описание пространства-времени. Но в [6] перспективные результаты получены именно при аналогичном отказе от всепоглощающего преклонения перед 10-параметрической группой Пуанкаре в квантовой теории.

4. Использование целочисленных алгебр Галуа, диофантовых уравнений и кватернионов в физическом моделировании космо- и микромира [6, 10].

Литература

1. Mантyров О.В. и др. Толковый словарь математических терминов / под ред. проф. В.А.Диткина. M.: «Просвещение». - 1965. - 539 с.

2. Hamilton W.R. On quaternions; or on a new system of imaginaries in algebra. Philos. Mag., 1844, v.25. - P.10-13.

3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. M.: Наука, 1973. - 144 с.

4. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел. M.: Наука, 1986. - 120 с.

5. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и динамика движения. M.: ФИЗMАТГИЗ. 2006. - 289 c.

6. Mирмович Э.Г., Лев ФМ. Некоторые аспекты Де-Ситтер-инвариантной динамики / Деп. в ВИНИТИ № 6099-84. 06.09.84 г. Хабаровск: СВ КНИИ ДВНЦ АН СССР. 1984. - 33 с. (Lev F.M. and Mirmovich E.G., VINITI No 6099 Dep.; Lev F.M. A possible mechanism of gravity Artwork Conversion Software Inc., 1201 Morningside Drive, Manhattan Beach, CA 90266, USA. arXiv:hep-th/0307087 v1 9 Jul 2003).

7. Ефремов А.П. Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. M.: ЫГТУ им. Н.Э.Баумана. №1. 2004. - С. 112-122 (www.hypercomplex.ru).

8. Чуб В.Ф. Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени // Там же. № 1(7). 2007. - С. 133-140.

9. Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике. Mинск: Наука и техника. 1989. - 211 c.

10. Кассандров В.В. Алгебродинамика: кватернионный код Вселенной. В сб.: Mетафизи-ка. Век XXI / Ред. Ю.С.Владимиров. M.: . Лаборатория знаний. БИНОM. 2006. - С. 142.