Аксиоматическое введение мер сходства, различия, совместимости и зависимости для компонентов биоразнообразия в многомерном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

С • I а 1

УДК 51-76

Б.И. Семкин, М.В. Горшков

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ МЕР СХОДСТВА, РАЗЛИЧИЯ, СОВМЕСТИМОСТИ И ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ КОМПОНЕНТОВ БИОРАЗНООБРАЗИЯ В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

В статье рассматривается система аксиом субаддитивных симметричных функций многих переменных, на основе которой определяются меры конвергенций и дивергенций. Она обобщает ранее предложенную систему аксиом для двумерного случая. Даны четыре интерпретации относительных мер конвергенций и дивергенций - множественная, дескриптивная, вероятностная и информационная.

Ключевые слова: меры сходства, меры различия, меры совместимости, меры взаимозависимости, сравнительный анализ, биоразнообразие, многомерные коэффициенты.

B.I. Semkin, M.V. Gorshkov

AXIOMATIC INTRODUCTION OF THE MEASURES OF SIMILARITIES, DISSIMILARITIES, COMPATIBILITY AND INTERDEPENDENCE FOR THE BIODIVERSITY COMPONENTS IN THE MULTIDIMENSIONAL CASE

The article considers the system of axioms of subadditive symmetric functions of many variables on the basis of which the convergences and divergences measures are defined. It generalizes the earlier offered axiom system for the two-dimensional case. Four interpretations of the relative convergences and divergences measures such as plural, descriptive, possibilistic and information are given.

Key words: similarity measures, dissimilarity measures, compatibility measures, interdependence measures, comparative analysis, biodiversity, multidimensional coefficients.

В исследованиях различных компонентов биологического разнообразия (сообществ, флор, фаун и др.) производится оценка сходства (различия) сразу целой серии описаний [1; 8], представляемых в виде конечных множеств [2-3]. В дальнейшем были предложены меры сходства п дескриптивных (весовых) множеств, мер совместимости п событий и мер взаимозависимости п случайных величин [4]. Было установлено, что меры сходства, совместимости, зависимости и двойственные к ним меры имеют одинаковую аналитическую форму для многомерного случая. В связи с этим было предложено дать общее аксиоматическое определение для таких мер через введение новых понятий конвергенции и двойственному к нему понятия дивергенции [7]. Такое определение необходимо для установления новой терминологии, исследования общих свойств этих мер и установления единства в разнообразии приложений к различным задачам прикладной информатики в области биологии. При таком подходе меры сходства совместимости, взаимозависимости и двойственные к ним меры рассматриваются как множественная, дескриптивная, вероятностная и информационная интерпретации мер конвергенции и дивергенции.

В настоящей статье рассматривается система аксиом для определения мер сходства, совместимости и зависимости п переменных и двойственных к ним мер, обобщающая ранее предложенную систему аксиом [7] на многомерный случай.

1.Субаддитивные симметричные функции многих переменных

Субаддитивные симметричные функции многих переменных вводятся с целью разработки общего подхода к введению мер, измеряющих л-арные отношения сходства, различия, совместимости и зависимости. Свойства этих функций (обозначим их через ■ ->х„ J являются обобщением свойств 5-функций

двух переменных на многомерный случай.

Определим систему аксиом для 5-функций многих переменных.

Определение 1. Пусть £ - некоторое множество. Функция 5 есть отображение произведения ЕхЕх хЕ в множество Я действительных чисел, обладающее при любых х1,...,хп е Е еле-

П

дующими свойствами (аксиомами):

I. Б^1,...,хп У 0 (неотрицательность).

II. Я*;,.^ где н,..., /„ - любая перестановка чисел 1, п (симметричность).

III. 8^1,...,х1 >Х< , ,х{п , если среди индексов и,..., п есть хотя бы два, совпадающих («целое больше части»),

IV. 5'^,.. .,хп 5'^,.. .,х1 . . + 5'^:и,.. .,хп ^ (субаддитивность).

Приведённая система аксиом непротиворечива. Например, функция 'и... 'и Хп ^ где X/, ...,Хп- конечное семейство множеств, а п(Х) - число элементов множества X, удовлетворяет аксиомам (I)—(IV).

Для целей упрощения записи формул введём сокращения:

8^1,...,х1У... + 8^„,...,хпУт,

Тогда из аксиомы (III) следуют следующие неравенства:

(1)

Суммируя неравенства (1), получим:

п8 > Т или п5 — Т > О. (2)

Аксиому (IV) можно записать в виде:

8<Т или Г-^>0. (3)

2.. Дивергенция и конвергенция

На основе аксиомы (III) для 5-функций многих переменных можно определить неотрицательные функции, которые назовём направленными дивергенциями.

Определение 2. Функция

сНу С1,...,х.;х.+1,...,хи>^С1,...,хи>^<:.+1,...,хи' (4)

называется направленной дивергенцией элементов . .,х1 ^от 4М,.. -,хп^.

Кратко будем записывать направленные дивергенции многих переменных в следующем виде:

сКу С1?.. .,х.;х.+1,.. .,хп > 5^,.. .,х. | х.+1,.. .,хп

Сумма односторонних дивергенций каждого элемента со всеми остальными даёт взаимную дивергенцию или просто дивергенцию совокупности элементов.

Определение 3. Функция

ды <:1?.. .,хя У ды С2,-. .,хп\х1'у.. .+Шу . .,хи+1;хи (5)

называется дивергенцией 4^1,...,хп__ элементов. Выражение (5) можно преобразовать к следующему виду:

дм41,...,х„У84(2,...,хп\х1У...+841,...,хп¥1\хпУ84;1,...,хпУ841,...,х1У...

4п,...,хпУп8-Т.

(6)

Обобщить конвергенции двух элементов на случай конвергенций многих элементов (п > 2) можно многими способами. Мы рассмотрим три способа.

Определение 4. Функция

0^...,хпУТ-8 (7)

...+8%1,...,хп-8^п,...,х=п8%1,...,хп-8%1,...,х1

называется в-конвергенцией элементов х1,...,хп е Е.

Из аксиомы (IV) следует положительность функции (7), т.е. С ^,..., хп у. 0.

Определение 5. Функция

«7^,.. .,хп У 5^ У-.- + ^СИ х2 У-.Уб4(1,х2,х3 У...

+ £ €и_2 , ^и_1, У■ ■ ■+ <-1Т 8 ^1 > • • •>х« I (8)

называется ^-конвергенцией п элементов х15..хп.

Определение 6. Функция

С 41,...,х„УЛс1,х2У... + Л;п_1,хп1 (9)

называется С-конвергенцией п элементов хххп. Все три приведённые конвергенции (7), (8) и (9)

удовлетворяют следующему равенству:

С = С-^41,х],хк У ^1/(г,х7,х^хе^-...+ <-1^1/С1,...,хй^. (10)

Следует отметить, что в случае п=2 все три конвергенции совпадают, т.е.

J4^,y^=G4^,y^=C4^,y^. С помощью ^-конвергенции определим направленные конвергенции. Определение 1. Функция

сопу^1,...,х1',хм,...,хпУсош^1,...,х1Усош^1,...,хп^, 2<1<п

называется направленной конвергенцией элементов х1,...,х1 кэлементам х1+1,...,хп.

В дальнейшем изложении будем использовать более удобные обозначения для направленных конвергенций: СОПУ^,. . ,,хпх1+1,.. .,хп «/^1,- • ,,х11 х1+1,.. .,хп

3. Относительные дивергенции и конвергенции многих переменных

Относительные дивергенции и конвергенции вводятся посредством системы аксиом, обобщающих свойства дивергенции двух элементов на случай многих переменных.

Определение 8. Функция . .,хп ___ называется относительной дивергенцией элементов

Х1,...,ХП1 если справедливы следующие свойства:

I. 0<Е^...,Хп<\ (аксиомаограничения).

II. Е^,,... ,Хп е4. . .,х. , где н, /„-любая перестановка чисел 1, п (аксиома

1 п —/у ^

симметрии).

III. Е^р.. .,Хп О ОХ1, = .. .,=Хп (аксиома минимальной дивергенции).

\\/.Е^1,...,хпУ 1 <^сош^1,х2У0,сот^1,х3У=0,...,сот^п1,хпУ0

(аксиома максимальной дивергенции).

Аксиому (IV) можно представить в виде:

IV'. Е^р.. .,Хп = 1 <=> С 4$р. • -,Хп = 0 (аксиома максимальной дивергенции). Действительно, если С^1,...,ХпУ= J^1,x2У... + J 4$п,Хп_1 У 0 , то

J^1,х2 = 0,.. ^„,хп_1 0. Верно и обратное равенство.

Относительные конвергенции многих переменных определяются как функции, дополняющие до 1 относительные дивергенции многих переменных.

Определение 9. Функция

к41,...,хпУ=1-г41,...,хп^ (11)

называется относительной конвергенцией элементов х1,хп .

Относительная конвергенция К^1,...,хп ^ удовлетворяет следующим свойствам:

I. 0<К^1,...,хп^г<\ (аксиомаограничения).

II. , где и, /„-любая перестановка чисел 1, п (аксиома симметрии).

III. К.. .,Хп = 1 <=>х;=,.. .,=Хп (аксиома максимальной конвергенции).

IV. . ,,хп'^= О . ,,хп^=0 (аксиома минимальной конвергенции).

Понятия конвергенции и дивергенции двойственны друг другу, а меры относительной конвергенции дополняют до 1 меру относительной дивергенции. В связи с этим только по соображениям личного предпочтения мы начали изложение аксиоматического подхода с мер дивергенций. В конкретных случаях всегда легко осуществить переход от меры дивергенции к соответствующей мере конвергенции и обратно. Теоремы, доказанные для мер дивергенций, автоматически переносятся (как двойственные) на меры конвергенций.

4. Конкретные меры дивергенций и конвергенций многих переменных

Обозначим меру дивергенции многих переменных как сЗху" , тогда

£> = «£-Г и£><С-13<^-1>.

Определим функцию Д= ^-(рт 'ртак+(Рт А где И =4}-\ 'у, Фт=-Л-----------------------------.

I + т

— 1<г<оо или Пт= ^—(рт'У} — \у1+д)т^8 — Т^=4} — \У1 — п(рт^ — 8^.0чдтр)ло неравенство -1<Г<+сО.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Функция т 4^1,...,хп ~~> гДе С> — п8 — Т, От= 4} — !^ + п(рт С- $ ^

— 1<т< +со удовлетворяет аксиомам относительной меры дивергенции.

Доказательство для частного случая (множественной и дескриптивной интерпретации) приводится в работе Б.И. Сёмкина [3]. В общем случае доказательство можно провести аналогичным способом. Следствие. Функция

КТ 4^,...,хп3=1-^ 4^,...,хп^ при -1<т<оо (12)

является относительной мерой конвергенций п переменных.

Относительную меру конвергенций многих переменных можно построить и на основе С Легко проверить, что функция

15 ’ с-1>

удовлетворяет аксиомам мер относительных конвергенций. Можно также привести семейство мер конвергенций, упорядоченных параметром т:

—__________<*-> , —1<г<00.

5. Эквивалентность относительных мер конвергенции многих переменных

Строгое определение эквивалентности мер сходства дано в работе Б.И. Сёмкина и В.И. Двойченкова [6]. Данная теорема утверждает, что эквивалентные относительные меры конвергенций сохраняют отношение совершенного порядка на совокупности из п элементов.

Определение 10. Пусть .,хп ^ и К2 . .,хп ___ две относительные меры конвергенции,

определённые на Еп = ЕхЕх...хЕ ^ раз . Если существует монотонно возрастающая функция ср,

т.е. Кх=ср то меры К-! и Кг называются эквивалентными.

Определение 11. Если К относительная мера конвергенции, а £ - относительная мера дивергенции такие, что существует строго монотонная убывающая функция К = ц/ ^ , то меры К и £ называются коэквивалентными.

Рассмотрим конкретные примеры эквивалентных и коэквивапентных мер. Меры

г - К0 г 1

----------— при -1< т <00, где л-о эквивалентны. Меры К щ Е К

\ + т — т % —

соответственно коэквивалентны. Аналогично эквивалентны меры семейства а коэквивалентны меры

к*:« /'«

Приведём примеры неэквивалентных мер. Две относительные меры конвергенций Ко и Кп-1 неэквива-

Г _ К о г ..

лентны, так как связаны зависимостью лй_1 —-------- —^ , которая включает кроме Ко еще и пере-

п-Чц-1

менную п. При п = 2 эти меры эквивалентны и принимают следующий вид.

х2^ ь%1^ь%2^ищ1,х2^

6. Интерпретации мер

Рассмотрим четыре интерпретации 5-функций многих переменных: множественную, дескриптивную, вероятностную и информационную.

1) Множественная интерпретация Элементы, семейства множеств ^1,...,Хп .

Операции: пересечения п множеств ^ п... п Хп , объединение п множеств 4^ и... и Хп . Отношения: равенства Х1 = ... = Хп \ непересечения

X, Г\...Г\Х =0»Х;п1 =0,...,! . слХ =0,

1 п I 2 1 1 п—1 п ’

где 0 - пустое множество.

Функции Б: и...'и Хп ^ - число элементов объединения п множеств;

Т41,--;Х„Уп4С1У... + п4Сп^ ^

К4(1,...,хп - мера сходства п множеств; Е^,..хп ^ - мера различия п множеств.

Первая мера сходства п множеств Кп-1 была предложена Л. Кохом [8], мера сходства п множеств Ко была предложена Б.И. Сёмкиным [3; 5].

2)Дескриптивная интерпретация

Элементы, семейства дескриптивных множеств (наборов) х . .,х .

Операции: дизъюнкция - х*^ч ...х? х*^= 4рах^\^---,х^^..,тах.4$^,...,х?^ конъюнкция - Х^А.^АХ^ ^Ш1 . .,Х^^ . .,ГШП 4*?-',.. .,х^ .

«С

1 , • •

.,хг = ... = хнепересечения

х^лх(>= ©,...,Х* 7'

'АХ

0, где

г

Функции а ^ , • • •, *„ 3= т ( *Л/... V х € ^= ^ шах ...,

2= 1

X

П.

7 = 1 7 = 1

х41-'^... + т

Следует отметить, что для булевых дескриптивных множеств (компоненты которых принимают только два значения - 0 или 1) дескриптивная интерпретация совпадает с множественной.

3) Вероятностная интерпретация

Элементы, серия событий .

Операции: теоретико-множественные операции над событиями: пересечение, объединение п событий.

Отношения: теоретико-множественные отношения: равенство п событий; непересечение событий Х1ПХ2 =0,.. ;ХпА ПХИ = 0 , где 0 - пустое множество.

Функции а £ ^ХП Р ^ ^ Хп ___ - вероятность объединения п событий;

С*1....,х.ур$1пх1%... + р^1п х,;; л,......кУр 4, У-+р$„Ур г,х,ур «г, пх,пх,у... + РЪп_1глХп_,глХпУ...+ <:1У'Р4С,гл...глХп1

К4^1,---,хп - мера совместимости п событий; мера несовместимости п событий.

Среди мер совместимости п событий наибольший интерес представляют меры:

Т.РХ.УРХ ...и X,

п

К0 ^1,..., Хп^=

п

п- 1ХРХ,

»^„-1 .5=

к

<-К'’

2=1

которые при п-2 совпадают с индексами ассоциации Дайса и Иверсена [1]:

, 2Р$,пХ22 . -,_Р$,пХ2У Р«,пх2

Л-0™1’Л2_> ,, ^ 1 “1 ’ 2___________<

р^ур^,

р^ур^2ур^пх2^

4) Информационная интерпретация

Элементы: конечные вероятностные схемы (распределения вероятностей)

|-, ](С2 3 . |Г„ 2Ь„Х,_ 2 ■ ; Ьп^Хп Ц . ■, |Г„. ■ ;Х, ; или таблицы сопряжённости п призна-

ков.

Операции: нет.

Отношения: отношения независимости, функциональной взаимной зависимости п признаков.

Функции а 5 ^хп __ = Н ^Хп ^ - информационная функция п переменных.

_ с<1,...,х„>/С1,а-2>...+/С'„-„х,1

К4^х,.. .,хп - мера взаимной зависимости п случайных величин; ¥^х,...,хп^~ мера взаимной независимости п случайных величин.

г п

2 = 1

Меры K0 и K1 являются обобщением на многомерный случай, предложенных Сёмкиным (K0) [4], Райским (Кх) [9-10], соответственно:

■> 21

^ я«г,>я«г2:

Г «Г у 1*1,X*Z 1*1,

1 " H^J-H^2yi^,X2Z

Система аксиом S-функций многих переменных позволила ввести в рассмотрение меры сходства (различия) n дескриптивных множеств, меры совместимости (несовместимости) n событий и меры взаимной зависимости (независимости) n случайных величин, которые в случае двух переменных совпадают с соответствующими мерами, рассмотренными нами раннее [7].

Наиболее разработанными оказались детерминистские интерпретации (множественная и дескриптивная). Стохастические интерпретации (вероятностная и информационная) соответственно менее разработаны и ждут дальнейших исследований. Нами также впервые предлагаются многомерные меры, основанные на осреднении совокупности парных мер.

Литература

1. Василевич, В.И. Статистические методы в геоботанике I В.И. Василевич. - Л.: Наука. 1969. - 232 с.

2. Сёмкин, Б.И. Дескриптивные множества и их приложения I Б.И. Сёмкин II Исследование систем. Т. 1.

Анализ сложных систем. - Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1973. - С. 83-94.

3. Сёмкин, Б.И. Об аксиоматическом подходе определению мер различия и квазиразличия на семействах множеств I Б.И. Сёмкин II Информационные методы в системах управления измерения и контроля. - Владивосток: ДВНЦ АН СССР. - 1972. - Т.1. - С. 23-26.

4. Сёмкин, Б.И. Об информационных мерах и метриках I Б.И. Сёмкин II Исследование систем. Т. 1. Анализ сложных систем. - Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1973. - С. 105-117.

5. Сёмкин, Б.И. Общие принципы введения мер различия, сходства и разнообразия в биоценологии I Б.И. Сёмкин II Принципы и методы экспериментального изучения растительных сообществ. - Л.: Наука, 1972. - С. 12-16.

6. Сёмкин, Б.И. Об эквивалентности мер сходства и различия I Б.И. Сёмкин, В.И. Двойченков II Исследо-

вание систем. Т.1. Анализ сложных систем. - Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1973. - С. 95-104.

7. Сёмкин, Б.И. Система аксиом симметричных функций двух переменных и меры, измеряющие отношения сходства различия, совместимости и зависимости для компонентов биоразнообразия I Б.И. Сёмкин, М.В. Горшков // Вестн. ТГЭУ. - 2008. - №4. - С. 31-46.

8. Koch, L.F. Index of biotal dispersity / L.F. Koch // Ecology. - 1957. - Vol. 38. - № 1. - P. 145-148.

9. Raijski, C. A metric space of discrete probability distributions / C. Raijski// Information and Control. - 1961. -Vol. 4. - № 4. - P. 371-377.

10. Raijski, C. Entropy and metric spaces / C. Raijski // C. Cherry (ed.). Information Theory. - London: Butter-worths, 1961. - P. 41-45.