Аксиоматическое обоснование новых операторов значения для игр с коалиционной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.833.5

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ НОВЫХ ОПЕРАТОРОВ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ИГР С КОАЛИЦИОННОЙ СТРУКТУРОЙ

© 2011 г. А.Б. Зинченко

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Рассматриваются кооперативные игры с трансферабельной полезностью и коалиционной структурой. Вводятся операторы значения, использующие консенсус-значение и значение Шепли. Эти операторы эффективны, но не удовлетворяют аксиоме нулевого игрока. Для аксиоматического обоснования предложенных операторов значения формулируются свойства, определяющие выигрыши нулевых игроков. Доказывается, что каждый оператор однозначно определяется стандартными аксиомами эффективности, аддитивности, внешней симметричности, внутренней симметричности и одной из новых аксиом.

Ключевые слова: коалиционная структура, коалиционное значение, консенсус-значение, значение Шепли, аксиоматизация.

Cooperative games with transferable utility and coalition structure are considered. The value operators using the consensus value and the Shap-ley value are introduced. These operators are efficient, but do not satisfy to dummy axiom. For axiomatic characterization of the suggested value operators the properties defining playoffs of null players are formulated. It is proved, that each operator is uniquely defined by standard axioms of efficiency, additivity, external symmetry, internal symmetry and one of new axioms.

Keywords: coalition structure, coalition value, consensus value, Shapley value, axiomatization.

Экономическое сотрудничество (кооперация) позволяет получить дополнительную прибыль или сократить расходы, но индивидуальные интересы участников объединения могут не совпадать, поэтому возникает неантагонистический конфликт, математической моделью которого является кооперативная игра. Кооперативная игра с трансферабельной полезностью (ТП-игра) есть пара N,у), где N = {} - множество

игроков; V е GN = {£ :2N ^ Я|я(0) = 0 } - характеристическая функция. При фиксированном N игра ^, V) отождествляется с V . Игрок / е N нейтрален в ^, V), если v(S и г) - v(S) = v(i) , 5 с N \ I. Игрок / е N нулевой в ^, V) , если v(S ^ г) = v(S) , 5 с N \ г. Оператор значения (или просто значение) ТП-игры ^, V) - отображение р, ставящее в соответствие каждой функции V е GN вектор р^, V) е Я" . Пусть Ф^, V) - множество значений игры ^V) ; Nu(N, V) и , V) - множества нулевых и нейтральных игроков; 5 - мощность множества 5 , х(5) = хг . Будем использовать 5и¡ед С1 вместо

5 ^ и/едС/ . Приведем необходимые аксиомы для реФ^^) .

Аксиома 1 (эффективность). ^^ Рг ^, V) = v(N).

Аксиома 2 (аддитивность).

р(Ы, v + ю) = р(Ы, V) + р^, ю) .

Аксиома 3 (симметричность). Если г, ] е N симметричны в (^ V) , т.е. v(S ^ /') = v(S ^ ]) , 5 с N \ {г, ] }, то р ^, V) = рJ N V).

Аксиома 4 (свойство нулевого игрока). Если г е , V), то рг ^, V) = 0 .

Аксиома 5 (свойство нейтрального игрока). Если

г еN6^,V), то р, (Н, V) = v(i) + ^) ) .

2"

Игра с коалиционной структурой ^V, С) состоит из ТП-игры ^, V) и коалиционной структуры С = {С\,...,Ст} , являющейся разбиением N . Существует 2 основных способа разыгрывания ^, V, С).

1. Вес v(Cp) каждой коалиции Ср е N распределяется между ее участниками, причем доля игрока г е Ср не зависит от разбиения N \ Ср.

2. Все игроки объединяются, но внутри главной коалиции N образуются подкоалиции, действующие при дележе v(N) как единый игрок. Выигрыш каждой коалиции Ср е N распределяется затем между игроками из Ср. Таким образом, ^, V, С) распадается на внешнюю игру (МVс ) между компонентами структуры С , где М = {\,...т} , vc(<2) = v(\JlеQCl), 0 с М, и игры внутри коалиций Ср .

Будем рассматривать игры ^V, С) 2-го типа. Оператор значения / игры с коалиционной структурой ^V, С) (или просто коалиционное значение) определяется аналогично значению ТП-игры. Предполагается, что в качестве концепции решения внешней игры (МVс ) выбрано значение ре Ф(М,vc), а

во внутренних играх (Ср V') - реФ(СрV'), т.е.

^(Иу,С) = ф1 (СруР) , i е Ср еN . Для обоснования новых коалиционных значений будут нужны следующие обобщения аксиом 1 - 4.

Аксиома 6 (эффективность). /г (И,у,С) = у (И).

Аксиома 7 (аддитивность). / (И, у+ ю, С) = = Г (И у, С) + Г (С).

Аксиома 8 (внешняя симметричность). Если г,е еМ симметричны в (М,Ус) , то

ТгеСг 1г (И, У, С) = ТгеСе 1г (И, У, С) .

Аксиома 9 (внутренняя симметричность). Если г, ] е Ср симметричны в (С руР)

vSph (S) = Shp (M, vc s ), S с Cp e С , где vcs (Q) = v(S\JieQXpCj) , если p e Q

(2)

K (N у) = -

2

(3)

балансирующее 2 крайних принципа распределения дохода от кооперации: эгалитарного, реализуемого равномерным значением Е е Ф(И у),

E N у) У) +V(N)-^NV(l) ;

(4)

то

и утилитарного принципа, отраженного в Бк . Как будет доказано ниже, эти значения эффективны, не удовлетворяют аксиоме 10 и учитывают возможности игроков вне их структурных компонент. Консенсус-значение К однозначно определяется аксиомами 1-3 и 5.

Коалиционное консенсус-значение, КБк -значение и БкК -значение имеют вид

(И у, С) = (И у, С) .

Аксиома 10 (свойство нулевого игрока). Если г е Ии(И, у), то (И, у, С) = 0.

Исторически первым и до сих пор наиболее популярным эффективным, т.е. удовлетворяющим аксиоме 6, коалиционным значением является значение Оуэна

[1] (Иу, С) = Бк1 (Ср ур1) , г е Ср е С , обобщающее значение Шепли Бк е Ф(Иу),

Бкг (И у) = Т Рп,з (у(Б и г) - у(Б )), (1)

Б с И

где рп!, = ^^—^——. Значение Бк однозначно опре-

, п\

деляется аксиомами 1-4. Согласно От, вес коалиции Б с Ср во внутренней игре (С р урк) равен ее значению Шепли во вспомогательной игре (м, у ^) между ком-

СБ

понентами структуры СБ = {С1,...,Ср-1,Б,Ср+1,...Ст],

полученной из С удалением игроков, принадлежащих

Ср \ Б,

KKi (N у,С) = K (Cp уК )

КБк (И, у, С) = Бкг (С р у К), БкК (Иу, С) = К, (Ср урк), где г е С р е С, функция урк определена (2) и у К (Б) = Кр (М ,усб ). Лемма 1. Если г е Ср ш Ии(Иу) ф0 , то г е Ии(Ср, ур) тогда и только тогда, когда Ар(Мус) = 0, где Ар(мус) = у(И\ср) - Ту(С).

1еМ\р

Доказательство. Пусть г е С р ш Ии(Иу) Ф0 .

К к

Покажем, что ур (г и Б) = ур (Б) для всех Б с С р \ г тогда и только тогда, когда Ар (М, ус ) = 0. Из (8), (3),

(1), (4) и определения игры (М, у_Б) имеем

ср

Бк р (М, у„ б ) + Е р (М, У„ б ) ур (Б) =- р р -

(5)

(6)

(7)

(8)

2

Рг

= Z ljmrl у г s (Q v p) -v s (Q)) +

QcM \ p

2

у г б (в) = ус (0) для остальных Q с М . Внутренняя

ср

игра (С р у Р), учитывающая «внешние» возможности участников коалиции Ср , называется редуцированной.

После значения Оуэна были введены другие эффективные коалиционные значения (ссылки даны, например, в [2]). Большинство из них, как и От , удовлетворяет аксиоме 10. Однако для некоторых ситуаций аксиома нулевого игрока является слишком «жесткой» [3]. Известные эффективные коалиционные значения, не удовлетворяющие аксиоме 10 [4, 5], не используют редуцированные игры, аналогичные

(С р урк), что может отрицательно влиять на устойчивость коалиционной структуры С .

В данной статье предлагаются 3 коалиционных значения КК, КБк и БкК, при вычислении которых используется консенсус-значение [6] Е( И у) + Бк(И у)

у г s (p) VCsb (M) -.Z/cs (j)

+ -+2

CS

jeM Cp

2m

= Z ^mL y(S и ct)-у( и с )) +

Qc M \ p

2

leQ leQ

(т - 1)у(Б) + у(( И \ Ср) и Б) - Ту (С)

_1еМ \ р

2т

р р

Для 0 ф Б с Ср \ г очевидно ур (г и Б) = ур (Б) .

Из г е Ии(И, у) и определения игры (М, у_г) следу-

ср

ет, что г е Ии(М, у г) . По аксиоме 4

ср

Бкр (М, угг) = 0 . Используя полученное выше выра-

ср

р

жение для ур (Б) и учитывая нейтральность игрока г

гм л К,л Ер(МуСгр} Ар(Мус)

в (И, у) , имеем ур (г) =--—— = - .

2m

к

Равенство у„ (г) = 0 , а следовательно, и доказывае-

n

и

мое утверждение справедливо тогда и только тогда, когда А р (М, ус ) = 0.

Введем новые аксиомы, определяющие выигрыши нулевых игроков.

Аксиома 11. Пусть г е Ср ш Ми(И,у) Ф0 . Если

А р (М у ) = 0, то

Кр (Му) - 2 Кр(МуСр ) }еС„ СР /г (NУ,С) =-^-. (9)

К К

аксиомы 5, вложения Ыи(Ср,ур ) с Ыв(Ср,ур ) и

получаем

равенств ур (i) = 0 , i е Nu(Cp, ур )

Кл

КК, (N,y, C) =

УКР (Cp) SjeCy УК (j)

2c„

р>-р

Р

р р

Так как

2c „

Если Np с Nu(N, у) , то ft (n, у, c) =

Kp (M у с)

Аксиома 12. Пусть г е Ср ш Ии(И,у) Ф0 . Если А р (М ,уС) = 0 , то (N, у, С) = 0 . Если

Кр (М ус)

Йр с т^, у) , то £ (N, у, С) = -—.

Аксиома 13. Если ieCp nNu(N,у)/0

то

fi (N,У,C) =

Shp (M y) - S Shp (M yCj )

__jeCp ^ Cp

2c„

уК (Ср) = Кр (Му) и урр (р) = Кр (М,у,) , то для

КК выполняется (9). Следовательно, КК удовлетворяет аксиоме 11.

Пусть £ - коалиционное значение, удовлетворяющее аксиомам 6-9, 1. Вычислим К (М,(аит) р) ,

р Ср

р е Ср, и Кр (М ,(аит )С). В ^, ит ) каждая пара игроков из Т и N \ Т симметрична. Если г = 1 , то ) = N. Согласно аксиоме 5, Кг ^, ит) = 1 для г е Т , Кг ^, ит) = 0 для г е N \ Т . Если г > 2 , то ) = Ш^,ит) = N \ т . По аксиоме 5 имеем ит (N - 2 ит (р)

Кг ^,ит) = ит(г) +--= — , г е N \т .

2п

2n

Учитывая аксиомы 1 и 3, получаем Кг ^, ит) =

n +t 2nt

г е т . Игра (М,(аит)й) совпадает с (М,аип) , где Б = {I еМ С1 шт Ф0} , поэтому

Кр (М,(аит )С ) = Кр (М,аиБ ). (10)

Используя формулы для К^, ит) и инвариантность консенсус-значения относительно стратегической эквивалентности [6], имеем

'0, р £ Б, ё = 1, а, р е Б, ё = 1,

Kp (M ,auD) =

bv _ , _

-, p g D, d > 2,

2m

a(m + d) ^ , v ' p е D, d > 2.

(11)

2md

Если j е Cp и (Cp n T)\ j = 0

т.е. структура

Из доказательства леммы 1 следует, что

К

у р (&) = 0 для всех с Ср при одновременном выполнении условий Ар(Му/С) = 0 и Йр с ^^,у) .

Следовательно, Кр (М, ус ) = УК (Ср) = 0 и

Кр (М, УСу) = УК О) = 0, у е Ср , т.е. обе формулы в

аксиомах 11 и 12 совпадают.

Теорема 1. Коалиционное консенсус-значение КК однозначно определяется аксиомами 6 - 9, 1.

Доказательство. Будем использовать стандартную схему обоснования коалиционного значения, удовлетворяющего аксиоме аддитивности. Вначале доказывается выполнение всех перечисленных в теореме аксиом. Затем рассматривается произвольное коалиционное значение, удовлетворяющее этим аксиомам, и доказывается его единственность для

(^,аит, С), где 0^ т с N , ае Я , ит е О1^ - игра единогласия, т.е. ит (5) = 1 , если т с 5 , и ит (5) = 0 в остальных случаях. Утверждение теоремы будет следовать из того, что система {иг}0ФтсN -

базис в ОN.

Консенсус-значение К е Ф^,у) удовлетворяет аксиомам 1 - 3 [6], поэтому коалиционное значение КК удовлетворяет аксиомам 6-9 [2]. Докажем выполнение аксиомы 11. Если Йр с Nu(N,аит), то все

ср

~ К

игроки из Йр симметричны в (Ср,УК) . Из Кр(М,(аит)С) однозначно определено (10) и (11),

следовательно, значение £ ^,аит, С) также однозначно определено для всех г е Ср .

2. Пусть р е Б и Б ФМ . Тогда

С ]р получена из С удалением игроков, не принадлежащих т , то (М,(аит )гр) совпадает с (М,(аит )с )

Ср

и (М,аиБ) . В противном случае (М,(аит)гр) -нулевая игра. Таким образом,

кр(Ма)0,) ==\Кр(М,аиБи=0, (12)

где и = (Ср ш т)\ р. Рассмотрим 3 случая.

1. Пусть р £ Б . Тогда Йр с ^^,аит). По ак-

сиоме 11 f, (N ,auT ,C) =

Кр (M ,(auT )c )

i е Cr

К

Ур (Ср) = Кр (М,ус ) , (5) и аксиомы 9 следует

КК (N, у, C) =

Kp (M у )

i е C

Если

р

Аp(Myc) = 0 , то по лемме 1 i е Nu(Cp,Ур ). Из (5)

(auT )(N \ C ) = 0 , (auT XC ) = 0 , l е M \p

c

c

и

A p (M ,(auT )с ) = 0 . Обозначив £ = Kp (M ,(auT )c ) ,

имеем 2 2 f (N,auT, C) = (m - d)Ç . Согласно

peM\D ieCp

аксиомам 6 и 8,

a- (m - d

S f ( N ,auT, C) = -

ieC„

d

(13)

Если мр с Т , то ^ (И,аит, С) = , г е Йр .

В противном случае (9)-(12) и аксиома 11 однозначно определяют (И,аит, С) для г е Ср ш Ии(И,аит) .

Каждая пара г,] е Ср шИи(И,аит) и каждая пара

г, ] е Ср ш Т симметрична, следовательно, (9) - (13)

однозначно определяют (И ,аит, С) для всех

г е ср.

3. Пусть р е Б и Б = М . Тогда Ар(М,(аит)с) = 0 и все игроки в (М,(аит)с) сима

метричны. Из аксиом 6, 8 Т Л (И ,аит, С) = — . Од-

геСр т

нозначная определенность Л(И,аит,С), г еNp , доказывается аналогично случаю 2.

Теорема 2. Коалиционное значение КБк однозначно определяется аксиомами 6 - 9 и 12.

Доказательство. Значения К е Ф( И у) и РкеФ(И,у) удовлетворяют аксиомам 1 - 3, поэтому КБк удовлетворяет аксиомам 6 - 9 [2]. Докажем выполнение аксиомы 12. Если Ср сИи(И,аит) , то, аналогично доказательству теоремы 1, получаем

KKi (N y,C) = А _ (M ус ) = 0

Kp (M ус )

i e C„

Доказательство. Пусть г е Ср ш Ии(Иу) Ф0 .

Используя (2), (1) и определение игры (М у Б ) , имеем

ср

урк (Б) = Т Рт,я(у(Б ис) -у( ис)) , Б с Ср е С .

всМ\р 1ев 1ев

Для 0 ф Б с Ср \ г справедливо уррк (г и Б) = уррк (Р) и

Т Рт,ч у(г и С) - у( ис)) = 0 . Тогда из (2) и (1)

всМ \ р 1ев 1ев

следует урк (г) = 0, т.е. нулевой в (И, у) игрок г является также нулевым во внутренней игре (Ср, урк).

Теорема 3. Коалиционное значение БкК однозначно определяется аксиомами 6 - 9 и 13.

Доказательство. Используя схему доказательства теоремы 1, достаточно показать, что БкК удовлетворяет аксиоме 13. Пусть г е Ср ш Ии(Иу) ф 0, тогда

по лемме 2 г е Ии(Ср ур) . Из вложения

Ии(Ср урк) с Ие(Ср урк) , аксиомы 5 и равенств

р

yph (i) = 0

"P' p

i e Nu(Cp yph )

yph (Cp ) - S yph (j)

K (Ng,ypk) = — JeCp

2cr

имеем

Так как

Если

то по лемме 1 из

г е Ср ш Ии(И у) ф 0 следует г е Ии (С р ,ур ) . По

аксиоме 4 Рк (Ср ур) = 0 . Учитывая (6), имеем

КБкг (Иу, С) = 0 , г е С р ш Ии (Иу) ф0 . Таким

образом, КБк удовлетворяет аксиоме 12. Единственность коалиционного значения, удовлетворяющего аксиомам 6 - 9 и 12, доказывается аналогично соответствующей части теоремы 1. □

Лемма 2. Если г е С р ш Ии(Иу) ф0 , то

г е Ии(Ср урк) .

yph1 (Cp) = Shp (M,Ус ) и yph (Cj ) = Shp (MycJp ) , то,

используя (7), получаем, что ShK удовлетворяет аксиоме 13.

Литература

1. Owen G. Values of games with a priory unions. Essays in mathematical economics and game theory. Berlin, 1977. P. 76-88.

2. Gomez-Rua M., Vidal-Puga J. The axiomatic approach to three values in games with coalition structure // MPRA paper. 2008. № 8904. P. 1-30.

3. Brink R., van den. Null or nullifying players: the difference between the Shapley value and equal division solutions // J. of Economic Theory. 2007. Vol. 136. P. 767-775.

4. Kamijo Y. A collective value: a new interpretation of a value and a coalition structure // 21COE-GLOPE Working Paper Series. 2007. № 27. P. 1-23.

5. Kamijo Y. A two-step Shapley value for cooperative games with coalition structures // International Game Theory Review. 2009. Vol. 11. P. 207-214.

6. Ju Y., Born P., Rays P. The consensus value: a new solution concept for cooperative games // Social Choice and Welfare. 2006. Vol. 28, № 4. P. 85-703.

Поступила в редакцию

15 марта 2010 г.

c