Аффинные представления трехмерных алгебраических торов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

АФФИННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ

© 2007 Ю.Ю.Крутиков1

Для всякого трехмерного алгебраического к-тора T, мы находим минимальное натуральное n(T), для которого существует регулярное вложение T в GLn(T)k• Мы описываем это вложение и получаем реализацию T как аффинного многообразия в А^^

1. Линейные алгебраические группы, алгебраический тор

Данный раздел носит вводный характер и содержит все необходимые для дальнейшего изложения сведения из теории алгебраических групп и, в частности, из теории основного объекта исследования данной статьи — алгебраических торов. За основу изложения взят цикл статей [2]. Напомним некоторые общие сведения об алгебраических группах. В данной работе исследуются алгебраические группы, а именно трехмерные алгебраические торы, определенные над незамкнутым полем к. Если зафиксировать какую-нибудь группу Go, определенную над к, мы можем рассмотреть все группы G, определенные над полем к и изоморфные Go над к. Более точно, рассмотреть k-группы G с условием Gк = Go. Такие группы G называются k-формами группы Go. Типичным примером служат алгебраические торы. Всякий тор над к является диагональной группой D(n), однозначно определенной размерностью тора (в нашем случае n = 3). Группы более сложной геометрии являются следствием именно незамкнутости поля к. Формы T группы D(n) определяются одномерными когомологиями Галуа группы Га-луа G = Galios ¡к) со значениями в группе GL(n, Ж), здесь кц — сепарабельное замыкание поля к. Очевидно, что описание к-форм тора D(n) с ростом размерности n становится весьма нелегкой задачей. В ситуации незамкнутого поля очень удобна теория схем Гротендика. В основном нам понадобится лишь часть этой огромной области, а именно, теория аффинных схем. Приведем для удобства читателя ряд важных результатов из области групповых схем.

1 Крутиков Юрий Юрьевич (yuri@magices.com), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Пусть S — схема [7], G — групповая S-схема. Это означает, что мы имеем три морфизма

m : G х sG —> G, i : G —> G, e : S G,

называемых морфизмами умножения, обращения и единицы соответственно и удовлетворяющих стандартным аксиомам ассоциативности, свойствам обратного элемента, свойствам единицы. Если T — произвольная S-схема, то множество G(T) является обычной группой и схема G представляет функтор T ^ G(T). Пусть теперь R — коммутативное кольцо с единицей и S = SpecR. Групповая S-схема G называется аффинной S-группой, или R-группой, если G = SpecA, где A есть R-алгебра. Групповая структура аффинной R-группы G = SpecA полностью описывается в терминах ее кольца A. Морфизмам m, i, e соответствуют гомоморфизмы R-алгебр

m* : A —> A <8>rA (коумножение), i* : A —> A (кообращение),

e* : A —> R (коединица),

которые удовлетворяют соответствующим аксиомам, полученным по двойственности из аксиом умножения. Алгебра A с операциями m*, i*, e*, удовлетворяющими аксиомам когруппы, называется алгеброй Хопфа. Вопросы классификации аффинных R-групп и R-алгебр Хопфа равносильны.

Пример 1. Мультипликативная группа Gm. Пусть Gm(B) = B*, где B* — мультипликативная группа обратимых элементов кольца B. Функтор Gm представим аффинной схемой SpecZ[T, T-1],

ибо Homring(Z[T, T 1], B) = B*. Когрупповые операции:

' m

т-И вл —

т*(Г) = T ® T,

е*(т) = т-1,

г(т) = 1.

Аффинная группа От называется мультипликативной группой. Имеем матричное представление

Ь 0 0 Ь~

Gm(B) = •) | п и-1

ЪеВ*

Пример 2. Полная линейная группа GLn. Рассмотрим функтор GLn(X). Этот функтор представим аффинной схемой

GLn = SpecZ[Tn.., Tnn, D-1], D = det(Tj),

m*(Tlj) = 2 Tk ® Tkj;

e*(Tij) = bij,

i*(Tij) = (-1)i+JD-1 det(T„), r Ф i, s Ф j.

Нас будут интересовать k-группы, где k — поле. Наиболее изучены в этой категории алгебраические группы, то есть гладкие групповые k-схемы конечного типа над k.

Пример 3. Диагональные группы. Пусть M — коммутативная абстрактная группа, Z[M] — ее групповое кольцо. Рассмотрим Z-схему D(M) = Spec Z[M]. Изучим группу точек D(M)(R) для любого коммутативного кольца R с единицей. Используя определение группового кольца, получаем

D(M)(R) = Homring(Z[M], R) = Homgr (M, R*).

Очевидно, что множество D(M)(R) обладает структурой коммутативной группы, причем последняя функториальна по R. Таким образом, схема D(M) является коммутативной групповой схемой. Группа D(M) называется диагональной группой. Групповые операции в группе D(M) на языке алгебры Хопфа Z[M] выглядят следующим образом:

m*(g) = g ® g, e*(g) = 1, i*(g) = g-1, g e M.

Пусть f: M —> N — гомоморфизм абелевых групп, он продолжается до гомоморфизма абелевых колец f : Z[M] —> Z[N]. Гомоморфизм f, в свою очередь, определяет групповой гомоморфизм схем D(f) : D(N) ^ D(M). Таким образом, соответствие M —> D(M) есть контравариантный функтор из категории абелевых групп в категорию групповых аффинных схем. Очевидно, что D(M X N) = D(M) X D(N).

Замечание. Мультипликативная группа Gm есть частный случай диагональной группы, а именно, Gm = D(Z), где группу Z рассматриваем в мультипликативной записи с образующим элементом t. Если M = Zn, то D(M) = D(Zn) = Gnm.

Пусть G — произвольная групповая S-схема. Рассмотрим коммутативную группу

G(S) = Homs -gr (Gs , Gm,s). Назовем эту группу группой S -характеров группы G. Для всякого морфиз-ма u : T —> S имеем гомоморфизм групп G(u) : G(S) —> G(T). Получаем контравариантный функтор G из категории групповых схем в категорию коммутативных абстрактных групп. Пусть f : Gi —> G2 — гомоморфизм групповых схем. Тогда мы имеем однозначно определенный гомоморфизм коммутативных абстрактных групп f: (j2(S) —> Gi(S). Заметим также, что

(GTxG2)(S ) = Gi(S) x G2(S).

Теперь мы можем определить основной объект исследования в данной работе — алгебраический тор.

Определение. Групповая k-схема T называется алгебраическим тором, если

T ®kk = D-k(!T) = Gnm-k. (1)

Другими словами, алгебраический тор есть k-форма диагональной группы Dk(Z") с G-модулем рациональных характеров T = Zn. Категория k-торов дуальна категории G-модулей конечного Z-ранга без кручения. Условие разложения тора (1) выполняется на конечном уровне, то есть существует конечное расширение Галуа Ljk такое, что T <S>kL = Gnm L. Поле

Ь называется полем разложения тора. Пересечение всех полей разложения называется минимальным полем разложения тора Т. Пусть Ь — минимальное поле разложения тора Т, тогда Т Ь = Оь(Жп), где Жп есть П-модуль, П=Оа!(Ь/к), и действие группы П определяется представлением к : 0 —> Аш(Жп). Алгебра Хопфа тора Т совпадает с А = (Ь^ЖТ]^. Тор Т как аффинная к-схема представляется в виде Т = 8рее(Ь[Жп])п. Следуя этому определению, тор задается двумя объектами: расширением Галуа Ь/к с группой Галуа П = Оа1(Ь/к) и П-модулем Т, что эквивалентно заданию целочисленного представления группы П, то есть реализации П матрицами из ОЬ(п, Ж).

Пример 4. Важную роль в теории алгебраических торов играют так называемые квазиразложимые торы, то есть торы, у которых ТТ является пермутационным П-модулем. Пусть П действует на базисе Т транзитивно. В этом случае тор обозначается как Яр/к(Ощ), где Г/к — промежуточное расширение степени ё, Яр/к — функтор ограничения Вейля. В общем случае квазиразложимый тор является прямым произведением таких торов. Пусть XI, Х2,..., Хё — базис Т. Предположим, что орбита О(ц) = {/1, Х2,..., Х<Л, П = = StaЬ(xl), Р = ЬП, и пусть в1, в2,..., е^ — к-базис р как векторного пространства, дополняемый элементами е^+1, е^+2,..., еп до базиса Ь/к. Для произвольного тора, вследствие того, что Ь ®кк\Т] = Ь\Т], любой элемент х е Ь\Т] представим в следующем виде:

X = /е + ¡2в2 + ... + /пвп,/г е к\Т], г = 1,...,п,

в частности

Х1 = Х1в1 + %2в2 + ... + хаеа, хг е к\Т ], г = 1,..., ё.

В статье [5] доказано, что для квазиразложимого тора кольцо регулярных функций к\Т] имеет вид

к\Т] = к\х1, Х2, ..., хё, у'1], (2)

где у = /(х1, Х2,..., Хё) — норменный многочлен расширения Р/к. Как видно из (2), простейший квазиразложимый тор можно рассмотреть как открытое подмножество в А^, также этот тор является максимальным тором в группе ОЬё,к.

2. Задача оптимизации

Всюду в дальнейшем приняты следующие обозначения: к — основное поле, Т или Тг — алгебраический к-тор, Ь — минимальное поле разложения тора, П = Оа!(Ь/к), Т или Тг — группа характеров тора.

Алгебраический тор как линейную алгебраическую группу можно вложить в ОЬп,к для подходящего п, то есть рассмотреть регулярное вложение

ф : Т ^ ОЬп,к.

Тогда T можно рассматривать как подгруппу в общей линейной группе, а следовательно, существует максимальный тор S в GLn,k, содержащий T, то есть вложение T в GLn,k пропускается через S. Известно [3], что dim S = n и S является квазиразложимым k-тором. Это вложение по двойственности равносильно существованию эпиморфизма ф* : S ^ T, где S — пермутаци-онный П-модуль. Таким образом, вычислительные аспекты теории алгебраических торов диктуют постановку следующей задачи оптимизации:

Для данного k-тора T найти наименьшее значение n = n(T) такое, что существует вложение T в GLn,k.

В силу рассуждений выше эта задача может быть переформулирована следующим образом:

Для данного П-модуля T найти наименьшее значение n, такое что T допускает эквивариантное накрытие пермутационным П-мо-дулем ранга n.

Мы получили полное решение данной задачи для трехмерных торов, этому посвящена первая часть настоящей работы.

Заметим, что в случае рассмотренных выше квазиразложимых k-торов n(T) = dim T.

3. Решение задачи оптимизации для трехмерных алгебраических торов

Одномерные и двумерные торы являются хорошо изученными объектами (см. [3]). В частности, поставленная выше задача оптимизации для них решена, хотя и не была выделена как самостоятельная проблема. Бирацио-нальная геометрия трехмерных торов изучалась в работах В.Е. Воскресенского, Б.Э. Кунявского, С.Ю. Попова. Но задача оптимизации для них не решалась. Мы будем рассматривать только те трехмерные торы, которые не представимы в виде прямого произведения торов меньшей размерности, то есть их модули рациональных характеров неразложимы. Известно, что получить все конечные подгруппы в GL(3,Z) можно следующим образом: в евклидовом пространстве R3 выберем ортонормированный базис ei, e2, ез. Тогда можно рассмотреть 3 стандартных решетки в R3, введенные в [1]: Lo =< ei, e2, e3 >, Li =< ei + e2, ei + e3, ei -e2 >, L2 =< 1/2(ei + e2 + e3), i/2(-—ei -e2 + e3), i/2(ei -e2 -e3) >. Рассмотрим группу симметрий координатного октаэдра. Известно, что эта группа 48 порядка, изоморфная S4 X Z2. Группа ортогональных преобразований R3 естественно действует на всех трех решетках. Вычисляя матрицы операторов из группы октаэдра в базисах всех трех решеток, получаем 3 максимальные подгруппы в GL(3, Z) (см. [6]). Остальные конечные неразложимые подгруппы в GL(3, Z) являются подгруппами найденных. Известно (работа К.Тахары [8]), что существует 73 конечных попарно несопряженные подгруппы в GL(3, Z). В работе Б.Э. Кунявского [4] были выделены из них все неразложимые — таких

Таблица

Тор Образующие Обозна- Тор Образующие Обозна-

группы чение Тахары группы чение Тахары

Ti Ъъ g1 > №2 Tu В6 =< -guge > Щ

т2 = < g2 > 1¥ъ Tl9 Ал =<gi,g8 > 1Г9

Тз Х4 > ]¥4 Т2о А4 =<gug9 Ж10

ТА Х2хХ2 =<gз,g4> 1¥и Т2\ Ал =<gi,gio >

т5 Х2 х Ъ2 g3, > т3 т22 D4 X Z2 =< g2, -g7,go > ¡¥2

т6 Х2хХ2 =<gз,g5 > 1¥ы Т2з A4xZ2 ^<gugs,go > 1¥х

т7 Ъ2 х Ъ2 g3, > Ж15 Т24 A4xZ2 si<gug9,g0 >

=< > ]¥л Т25 A4xZ2 ^<gi,gio,go > 1¥з

т9 ^з =<ЯиЯб > ]¥9 Т26 S4 =<gll,-g7 >

Тю Яз =<Яи~Яб > т0 T2i S4 =< -gll,g7 > )¥-,

Tu Х4хХ2 =<g2,g0 > ¡¥2 со £ >">4 =< gl2, -gl3 > т

Tu 12хХ2хХ2 ^<gз,gл,go > 1Г5 Т29 S4 =< -gl2,gl3 > )¥9

Тгз Ъ2 хХ2 хХ2 =<gз,gí,gь > 1Гб Тзо S4 =<gi4,gl0 > Ж10

Tu В4 =< > Г и Тз1 S4 -g14, -g10 > Г и

Tis £>4 = <g2,g^ > 1¥и Тз2 S4xZ2 =<gn,-gi,go > 1У\

Tie В4 =< > Г13 Тзз S4xZ2 =<g!2, -gl3,g0 > w2

Tn В4 =< > 1¥14 Тз4 S4xZ2 =<g!4, -gio.go > \¥з

всего 34. Воспользуемся результатами Тахары и Кунявского и перечислим все рассматриваемые нами трехмерные торы (в удобных нам обозначениях):

g0 =

g3 =

gl2 =

-10 0 0 -10 0 0 -1 -10 0 0 0 1 0 10, 0 0 -1 0 -10 -10 0 0 -1 1 0 -10 1 -10, 0 -10 1 1 1 -10 0

> g1 =

g4 =

g7 =

> g10 =

> g13 =

0 1 0 s

0 0 1

.10 0,

-10 0

1 0 -1

-1 -1 0

1 0 0 s

0 0 1 .010,

-1 -1 -1

0 0 1

0 1 0

1 1 0 0 -10

0 0 1

> g2 =

g5 =

> g11 =

> g14 =

1 0 1

0 0 -1 0 10,

' -1 1 -1

0 0 -1

, 0 -10

-10 0

0 1 0

0 0 -1

0 0 1

0 1 0

-10 0,

1 1 0

-2 -1 -1

0 0 1

Заметим, что приведенная в табл. 1 нумерация торов будет сохраняться до конца данной работы.

Перейдем к решению задачи оптимизации для трехмерных торов. В качестве "первого приближения" найдем какой-то пермутационный модуль, эквивариантно накрывающий Т для тора Т. Пусть Х1, Х2, Хз — базис Т.

Рассмотрим орбиты 0(х/) = {^ц = X/, ъ/, • ••, ?т,Л, / = 1,2,3. Для фиксированного / рассмотрим свободную абелеву группу < /ц, /2ь •••, /т/ >, на которой П действует по правилу о(/г) = /г, где о(^/г) = Прямая сумма таких пермутационных П-модулей и есть искомое "первое приближение". Ранг найденного модуля обозначим и'. Для поиска возможного улучшения накрытия рассмотрим естественное вложение решетки характеров 1з в V = = К3 и продолжим действие П на линейное пространство V. Рассмотрим подгруппы Н в П такие, что \Н\ > \П\/и'. Для каждой такой подгруппы определим инвариантное подпространство VH. Элементы этого подпространства обладают тем свойством, что длины их орбит под действием группы П меньше и'. В качестве базиса VH возьмем базис подгруппы 1з Р| VH. Запишем любой элемент этого подпространства как линейную комбинацию базисных элементов с не более чем тремя вещественными параметрами. Выпишем его орбиту, элементы которой будут зависеть от тех же параметров. Далее выберем объединения орбит, сумма длин которых меньше и'. Для каждого объединения проверим, порождают ли элементы объединения решетку Т. Для этого выпишем матрицу, состоящую из элементов объединяемых орбит, и, рассматривая ее миноры 3 порядка, ищем минор, равный ±1, что приводит нас к решению уравнений в целых числах. Если решение есть, то мы получаем улучшение и' и нижняя граница улучшений и дает ответ. Все эти рассуждения приводят нас к следующему алгоритму решения поставленной задачи.

Алгоритм решения задачи оптимизации.

1) Построить накрытие Т, получающееся из орбит базисных элементов. Длину орбиты или сумму длин орбит обозначаем и'.

2) Для подгрупп Н с П : \Н\ > \П\/и' определить VH, выписать общий элемент VH и его орбиту.

3) Проверить, порождают ли объединения орбит решетку Т, при условии что сумма длин объединяемых орбит меньше и'.

4) По результатам проверки 3) сделать вывод.

Заметим, что при решении задачи оптимизации использовалась аддитивная запись П-модуля Т. Продемонстрируем работу алгоритма на следующем примере.

Пример 5. Рассмотрим тор Т5 из нашего списка (см. Таблицу 1). Выпишем группу П:

П=< gз, —§4 > =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

-10 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 -1 0 1 1 1 0

-10 0 1 1 0 -1 0 1

Пусть Х1, Х2, Хз — базисные элементы группы характеров Т.

1. Рассмотрим орбиты 0(Х2) = {Х2, Хз)_и 0(хО = {±Х1, ±(Х1 - Х2 + Хз)}. Модуль, накрывающий Т выглядит так: Т =< /±1, /±4 > ф < /, /3 >, где накрывающий гомоморфизм задается на базисе Т так /±1 ^ ±Х1, /±4 ^ ±(Х1 - Х2 + Хз), /2 ^ Х2, /з ^ Хз. Получаем и' = 6.

2. Возможные варианты H: Hl =< gз >, H2 =< ^4 >, Hз =< -gзg4 >,

Н4 = П. Имеем следующие инвариантные подпространства: УН1 = УН4 = < (0, а1, аО >, УНг = < (а2 - |32, Р2, а2) >, УНз = < (0, а3, Рз) >. Соответствующие орбиты

01 = 0(0, а1, а1) = {(0, а1, а1)},

0г = 0(а2 - вг, Рг, аг) = {(аг - Рг, Рг, а2), (-а2 - р2, а2, -р2)}, 0з = 0(0, аз, Рз) = {(0, аз, Рз), (0, Рз, аз)}.

3. Рассмотрим 0^ и 0г:

0 аг - Рг -аг - Рг М = а1 Рг аг а1 аг -Рг

Определитель равен 0. Также в случае 0^ У 0з. Рассмотрим 0г У 0з:

аг - Рг -аг - Рг 0 0

М= Рг аг аз Рз

Ч а2 -Рг Рз аз ,

Поиск минора приводит к уравнению

(аг - Рг)(а2 - Р2) = 1.

Имеем решение в целых числах: аг = 1, аз = 1, Рг = 1, Рз = 1.

4. Так как есть решение, следовательно п(Т) = 4, а модуль, накрывающий Т, имеет вид: 5" =< /1, /4 > ф < /г, /з >, где накрывающий гомоморфизм задается так: /1 ^ Х1 + Хз, /4 ^ -Х1 + Хг, /г ^ Хг, /з ^ Хз.

Следуя описанному алгоритму, были рассмотрены все торы из табл. 1. Принималось во внимание, что если на первом шаге мы получали накрывающий модуль ранга 3 или 4, то он и давал ответ. Отметим, что во всех случаях, кроме тора Т5, если и рассматривались уравнения, то они не имели решения в целых числах и ответом являлось п'.

Результаты вычислений позволяют сделать вывод, что справедлива следующая

Теорема. Для неразложимых трехмерных алгебраических торов Т наименьшее значения п(Т), для которого существует регулярное вложение

ф : Т ^ ОЬп{т), к

определяется следующей таблицей (используем нумерацию торов из табл. 1)

Таблица 2

Торы п{Т)

П, Т10 3

ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 12, 1ъ, 15 , 16, 1-1, 1\Ъ, 1\в, ¿20, 129 4

ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 1%, 19, 1 18, 1\9, 123, 126, 121, 132 6

ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 14, 1ц, 1 12, 1 13, 1 14, 1 17, 122, 124, 128, 133 8

ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 1 21, 1 25, 1 30, ^31, 134 12

4. Аффинная реализация произвольного тора

Применим полученные результаты к решению следующей проблемы: для данного трехмерного алгебраического £-тора найти его аффинное представление как подмногообразия в Ап(Т\ Для этого рассмотрим точную последовательность

0 л N Л 5 Л Т л 0,

где а — эквивариантное накрытие, найденное при решении задачи оптимизации. Эта последовательность, в свою очередь, индуцирует по двойственности следующую точную последовательность алгебраических торов

аь вЬ

1 л т Л5 Лы л 1,

где 5 и N — торы, с группами характеров Т и N соответственно. Напомним, что 5 является открытым подмножеством в Ап(Т). В [5] доказано, что идеал тора Т, то есть Кегв*ь, как аффинного многообразия в Ап(Т) порождается элементами — 1, где — базисные элементы Кега. В результате мы можем записать искомый тор так:

вь

Т = кег(Б Л Ы).

Таким образом, метод нахождения аффинного представления тора Т заключается в следующем:

1. Находим пермутационный П-модуль Т, который накрывает группу характеров искомого тора Т, определяем а (полностью аналогично решению задачи оптимизации в пункте 3).

2. Находим ядро N отображения а, определяем вложение в.

3. Пользуясь двойственностью, определяем искомый тор как ядро отображения вЬ, то есть фактически описываем уравнения, задающие Т в

Самым простым примером записи тора в таком виде является нормен-ный тор. По определению он задается так:

Т = кег\Я1/к(От) Л Оп

где L/k — расширение степени d + 1, NL/k, как и всюду далее, — нормен-ное отображение. Такой тор является подгруппой в GLd+i,k и обозначается RL/k(Gm). Заметим, что задача оптимизации дает для норменного тора ответ n(T) = dim T + 1.

Рассмотрим пример работы алгоритма, а затем представим результаты для всех торов из табл. 1.

Пример 6. Рассмотрим тор T4. Выпишем группу П:

G =< g3, g4 > =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

-10 0 0 0 1 0 1 0

-10 0 1 0 -1 -1 -1 0

1 0 0 -1 -1 0 1 0 -1

В данном случае Т4 =< Х1, Х2, Хз > накрывается прямой суммой двух пермутационных модулей 51 =< /±1, /±4 > и 52 =< /±2, /±з >, где накрывающий гомоморфизм а задается так /±1 ^ х±1, /±2 ^ Х±1, /±з ^ Хз1, /±4 ^ (Х1Х-1Хз)±1. Порождающие элементы ядра N отображения а такие:

ll-t, i = 1, 2, 3, 4,

(3)

Пусть ^21) = 1<ёз>, ^22) = Ь<ёзё4>, ^ = 1<ё4>, здесь ^ /к — нормальные расширения степени 2, ]'=1, 2 или 3. Действие П на элементах /1, /1 /-1 и /2, /2/-2 показывает, что решеткам 51 и 52 соответствуют торы, полученные из норменных путем ограничения основного поля— Я^м.^Я1 т(От))

и -Кр(,2)/£(^/^©(^т)). Рассмотрим теперь / = /1 /-2/з/-4 — элемент ядра Т

ёз(/) = /-1, ё4(/) = /,ёз§4(/) = /-1, следовательно, N соответствует тору

R

1

42)/k

(Gm). Найдем |3L. Так как

./,/:./,/, 44 ^С Л'

L/F

(3) *

N

/2/4 f2fg4

то PL = Nl/f(3) *N-1^), и тор T4 есть ядро этого отображения. Окончательно

имеем:

T4 = ker

R

F21)/k(RL/F(1)(Gm)) X Rf/k(RL/F2)(Gm))

N (3) *N 1 LFf L/F®

R1

F23)/k

(3),SGm)

По аналогии с примером 6 мы рассмотрели все торы из таблицы 1, результаты следующие:

1) T1 = RL/k (Gm)

2) T2 = ker

L/F2 L/k 1

RL/k(Gm) -» Rf,, /k (Gm)

F2/k m

где F2 = L<g2>, F2/k — нормальное расширение степени 2. 3) T3 = RlL/k(Gm).

1

4) Т4 = кег

[^т)) X Яфт))

N (3) 1 ,,, ЬР^ ь/г®

2 Я1

-г?/к

(От)

Г^ = Ь<^>, г22) = Ь<^4>, Г^ = ь<84>, Г?/к — нормальные рас-

где г2 ь , Г 2 ь , Г 2 ширения степени 2, 7=1, 2 или 3

5) Т5 = кег

Я,

Г<1)/к(От) Х Яр?)/к(От)

N (1) ,1-, Г2 /к г(2)/к

о„

где -1 2

пени 2, 7=1 или 2.

Г21) = Ь< g4>, Г22) = Ь< ^4>, г2) /к — нормальные расширения сте-

I 2, 7=1 1

Т6 = ЯЬ/к (°т). Т7 = кег

N2^ Ы

"Ь/Г2 Ь/к 1 ЯЬ/к(От) -» ЯГ2/к (От)

\

где Р = Ь<3> — нормальное расширение степени 2.

8) Т8 = ЯРз/к(я1/Рз(От)),

где Гз = Ь<~^> — нормальное расширение степени 3.

9) Т9 = ЯРз/к(я1/гз(От)),

2

где Гз = Ь<ё1ё6>, Гз/к — ненормальное расширение степени 3.

10) Т10 = ЯГз /к^т)-,

2

где Гз = Ь<~ё1ё6>, Гз/к — ненормальное расширение степени 3.

11) Т11 = ЯГ4/к (Я\1Рл(От)) П ЯГ2/к (Я\1Р1(От)),

где Г2 = а>, Г4 = Ь<0>, Г7/к — нормальные расширения степени 7, 7=2 или 4.

12) Т12 = кег

Я4>/к (ЯГ<1)/Г(1)(Ст^ Х ЯГ2)/к (ЯГ(2)/Г(2)(^т)|

Г4 /Г2 Г4 /Г2

Я

г2з) /к

(От)

где Г(1) = Ь<ё0>, Г2 = g0>, Г(з) = Ь<^4, g3g0>, Г(1) = [<«зЙ0>,

Г42) = , г27)/к — нормальное расширение степени 2, 7=1, 2 или

3, г4/)/к — нормальные расширения степени 4, 7=1 или 2.

13) Т1з = ЯГ4/к (Я^От)) П Яг2/к (Я[/г2(От)),

где Г2 = Ь<g3' ®>, Г4 = >, Г7/к — нормальные расширения степени 7, 7=2 или 4.

14) Т14 = ЯГ4/к (Я[/г4(От)) П Яг2/к (Я[/г2(От)),

где Г2 = , Г4 = Ь< ■?7®>, Г2/к — нормальное расширение сте-

пени 2, Г4/к — ненормальное расширение степени 4.

15) Т15 = кег

N2 ,1

Г2 / к Г4 / к 1 ЯГ4/к (От) -> ЯГ2/к (От)

где Г2 = Ь<^7' g7g2>, Г4 = >, Г2/к — нормальное расширение степени 2, Г4/к - ненормальное расширение степени 4, к с Г2 с Г4 сЬ.

16) Т16 = Яр4 /к (От),

где Г4 = Ь<7^>, Г4/к — ненормальное расширение степени 4.

17) Т17 = ЯГ4/к (Я[/г4(От)) П Яг2/к (Я[/г2(От)),

где Г2 = Ь<—^>, Г4 = , Г2/к — нормальное расширение степени

2, Г4/к — ненормальное расширение степени 4.

18) Т18 = ЯГз /к(ярб /гз(От)),

з2

где Гз = Ь<-^' glg6>, Г6 = Ь<-^й>, Г7/к — ненормальные расширения степени 7, 7=3 или 6, к с Гз с Гб с Ь.

19) Т19 = ЯГз /к(ЯГ6 /гз(От)),

22

где Гз = Ь<^' g1 ^1>, Г6 = Ь<^^1>, Гз/к — нормальное расширение степени 3, Гб/к - ненормальное расширение степени 6, к с Гз с Гб с Ь.

Т20 = ЯГ4 /к (От),

2

где Г4 = Ь<^ g9>, Г4/к — ненормальное расширение четвертой степени.

20)

21)

Т21 = Ягб1)/к (ЯЬ/Г(1)(От^ П кеГ

N (1)

ЯЬ/к (От) -* ЯГ(1) /к (От)

П

кег

ЯЬ/к (От)

N (2)

Яг42)/к (От)

кег

ЯЬ/к (От)

ЯГ®/к (От)

Г(1) = Ь^^ю>, Г(2) = Ь^^ю>, Г(з) = Ь<аЬ>, Г(1) = Ь^0>, Г(2) = Г47)/к — ненормальные расширения степени 4, 7=1, 2 или

<аЬаЬ2>

где = Ь

3, Гбу)/к — ненормальные расширения степени 6, /=1 или 2.

22) Т22 = ЯГ4/к (ЯГ8/Г4(От^^ ЯГ2/к (ЯГ8/Гг(От^,

где Г2 = Ь<^2' »»», Г4 = Ь<^2'^>, Г8 = Ь<^2>, Г2/к — нормальное расширение степени 2, Г7/к — ненормальные расширения степени 7, 7=4 или 8.

23) Т2з = Ягз /¿(461Ръ(°т)),

где Рз = Х<ё1ё8ё1' ё8' ё0>, Р6 = Ь<ё8ё0' ё1ё8ё1>, Рз/к — нормальное расширение степени 3, Рб/к — ненормальное расширение степени 6, к с Рз с Рб с Ь.

24) Т24 = /к (48/^т)) П ^2/к (Я^ (^т)),

где Р2 = Ь<^' ё9>, Р4 = Ь^9' ё0>, = Ь<ё2ё9>, Р2/к — нормальное расширение степени 2, Р7/к — ненормальные расширения степени 7, 7=4 или 8.

25)

Т25 = К^/к^/Ро№т)) П

кег

N (1)

Ь/^1-1

ЯЬ/к (^т)

Я^/к (°т)

П

кег

ЯЬ/к (^т)

V.®

Яр82)/к (°т)

МР4/к

Пкег (Яь/к(^т) -> Яр(2)/к^т) |,

4 6 6 8 р82) = Ь<ё1ё10>, Р12 = Ь<ё10ё0>, Р4/к

— ненормальное расширение степени 4, Р(у)/к — ненормальные расширения степени 7, 7=6 или 8, 7=1 или 2, р12/к — ненормальное расширение степени 12.

26) Т26 = Ярз /к(46 !Ръ(От)),

где Рз = Ь<ё11' -ё7>, Р6 = Ь<-ё21 ё7>, Р7/к степени 7, 7=3 или 6, к с Рз с р6 с Ь.

ненормальные расширения

27) Т27 = Ярз /к«1Ръ(От)),

где Рз = Ь<ё11' ё7>, Р6 = Ь<ё7' ёиё7ёи>, Рз/к, Р6/к — ненормальные расширения степени 7, 7=3 или 6, к с Рз с р6 с Ь.

28) Т28 = /к (ЯР8/^С^) П ЯР2/к ,

29)

где Р2 = Ь<ёп' -ё1зё12>, Р4 = Ь<-ё1зё12, >, Р8 = Ь<-ё12ё1з>, Р2/к —

нормальное расширение степени 2, Р7/к — ненормальные расширения степени 7, 7=4 или 8.

Т29 = /к (^т),

22

где ^4 = Ь<-ё1зё12' ё12ё1зё12>, ^4/к — ненормальное расширение степени 4.

Тз0 = ЯР61)/кЯР12 /Р<1)(Ст^кег

ЯЬ/к (^т)

N т

кег

N т

ЯЬ/к (^т) -8 ЯР(2)/к (^т)

кег

ЯР81)/к (Ст)

N т

п

Яь/к (^т) -» Я^Д (^т)

8

где

Г (1) = Ь^М' g14g10 gl4g10 > Г(2) = Ь^10' <^1^10)2> Г(1) = Ь<g10g14 > Г(2) =

= ь<g14g10^4>, Г12 = Ь<g14g10>, Г(/)/к — ненормальные расширения степени 7, 7=6 или 8, /=1 или 2, Г12/к — ненормальное расширение степени 12.

31)

Тз1 = Ягб1)/к (ЯГ12Г1)(От^ П кег

N

Ь/Г

(1)

ЯЬ/к(От) -* ЯГ(п/к(От)

п

кег

%г(2)

ЯЬ/к(От)

Я

г82)/к (От)

кег

N <2)

ЯЬ/к (От) -6 ЯГ(2)/к (От)

где

Г^ = Ь^м' gl4gl0gl4gl0> Г(2) = [<—^10> Г<1) = Ь^ти> Г(2) = 6 '6 '8 '8

= ь<g14g10^4>, Г12 = Ь<^14g10gl4g10>, Г<7)/к — ненормальные расширения степени 7, 7=6 или 8, /=1 или 2, Г12/к — ненормальное расширение степени 12.

32) Тз2 = ЯГз /к(ЯР6 /Гз(От)),

где Гз = Ь<7' gll' g0>, р = Ь<7' gll®>, Г7/к — ненормальные расширения степени 7, 7=3 или 6, к с Г3 с Г6 с Ь

33) Тзз = ЯГ4/к (ЯГ8/рА(От))Г\ ЯГ2/к (Яр8/Г2(От)),

где Г2 = Ь^2' —'§1з>, Г4 = Ь<^1зg12' gl2g13g12g0>, Г8 = Ь<^1зg12' gl2g13g12>, Г2 /к — нормальное расширение степени 2, Г7/к — ненормальные расширения степени 7, 7=4 или 8.

34) Т34 = ЯГ61)/кЯГ12 /Г(1)(От^кег

N

ЯЬ/к(От)

Ь/Г

(1)

кег

N <2)

ЯЬ/к(От)

ЯГ(26)/к (От)

кег

Я^/к (От)

V«2)

п

ЯЬ/к (От) -6 Яр2')/к (От)

где Г<? = Ь^^Ю' gl4gl0g¡4gl0>, Г6 = Ь<gl4' gl4gl0' go>, Г<16) = Ь<gl0gl4>

Г(<26) = Ь<g14g10^4>, Г(2) = Ь<gl4g10g0>, Г6/к — ненормальное расширение степени 6, Г<у)/к — ненормальные расширения степени 7, 7=12 или 16, /=1 или 2.

16

16

Литература

[1] Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Системы корней / Н. Бурбаки. - М.: Мир, 1972.

[2] Воскресенский, В.Е. Бирациональная геометрия и арифметика линейных алгебраических групп / В.Е. Воскресенский // Вестник СамГУ, 1997. - №2(4). - С. 18-99; 1997. - №4(6). - С. 5-69; 1998. - №2(8). -С. 5-55; 1997. - №2(12) С. 5-48.

[3] Воскресенский, В.Е. Алгебраические торы / В.Е. Воскресенский. - М.: Наука, 1977.

[4] Кунявский, Б.Э. Бирациональная классификация трехмерных алгебраических торов / Б.Э. Кунявский // Куйбышев: Куйбышевский ГУ, 1981 (рукопись депонирована в ВИНИТИ).

[5] Попов, С.Ю. Стандартная целая модель алгебраического тора / С.Ю. Попов // Вестник СамГУ. - 2001. - №4(22). - С. 85-109.

[6] Рышков, С.С. Максимальные конечные подгруппы целочисленных n X n матриц / С.С. Рышков // Труды МИАН им. В.А.Стеклова. - 1972. -Т. 128. - С. 183-211.

[7] Grothendieck, A. Schemas en groupes. I. / A. Grothendieck, M. Demasu-re. - Berlin: Springer-Verlag, 1977. - 565 pp.

[8] Tahara, K. On the finite subgroups of GL(3, Z) / K. Tahara // Nagoya Math. J. - 1971. - V. 41. - P. 169-209.

Поступила в редакцию 17/IX/2007; в окончательном варианте — 17/IX/2007.

AFFINE REPRESENTATIONS OF 3-DIMENSIONAL ALGEBRAIC TORI

© 2007 Yu.Yu. Krutickov2

For an arbitrary three-dimensional algebraic k-torus T we found the the minimal natural n(T) such that there exists a regular embedding of T to GL„(T)i. We describe this embedding obtain a realization of T as affine variety in A^(T).

Paper received 17/IX/2007. Paper accepted 17/IX/2007.

2Krutickov Yuriy Yurievich (yuri@magices.com), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.