CC BY
22
Паймушин В.Н., Фирсов В.А., Газизуллин Р.К., Шишкин В.М. Аэродинамическая составляющая демпфирования консольно закрепленных тест-образцов при колебаниях вблизи жесткого экрана // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2018. - № 2. - С. 62-71. БО!: 10.15593/регш.шесЬ/2018.2.06
Paimushin V.N., Firsov V.A., Gazizullin R.K., Shishkin V.M. The aerodynamic component of the damping of cantilevered test specimens oscillating near a rigid shield. PNRPUMechanics Bulletin, 2018, no. 2, pp. 62-71. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.2.06
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 2, 2018 PNRPU MECHANICS BULLETIN
http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/inf/
БО1: 10.15593/регш.шесЬ/2018.2.06 УДК 531.121.1: 539.3
АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ДЕМПФИРОВАНИЯ КОНСОЛЬНО-ЗАКРЕПЛЕННЫХ ТЕСТ-ОБРАЗЦОВ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ ВБЛИЗИ ЖЕСТКОГО ЭКРАНА
19 1 1
В.Н. Паймушин1'2, В.А. Фирсов1, Р.К. Газизуллин1, В.М. Шишкин3
1
Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, Казань, Россия
2
Казанский федеральный университет, Казань, Россия Вятский государственный университет, Киров, Россия
О СТАТЬЕ АННОТАЦИЯ
Разработана численная методика обработки опытной виброграммы затухающих изгибных колебаний тест-образцов для определения экспериментальной низшей частоты и амплитудной зависимости логарифмического декремента колебаний (ЛДК), определяющего демпфирующие свойства тест-образца. Для определения ЛДК используется экспериментальная огибающая затухающих изгибных колебаний свободного конца тест-образца с аппроксимацией ее суммой двух экспонент с четырьмя независимыми параметрами. Они определяются прямым поиском минимума целевой функции, зависящей от указанных параметров. Проведены численные эксперименты, показывающие достоверность и достаточную точность разработанной методики. Показано, что для надежного определения экспериментальной аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца необходимо, чтобы его материал имел стабильные и низкие демпфирующие свойства. Таким требованиям в полной мере удовлетворяет дюралюминий. Определены экспериментальные амплитудные зависимости ЛДК серии изготовленных из него тест-образцов, расположенных на различных расстояниях от абсолютно жесткого экрана. На их основе предложен теоретико-экспериментальный метод определения аэродинамической составляющей демпфирования путем модификации структурной формулы, полученной ранее для определения аэродинамической составляющей демпфирования тонкой прямоугольной в плане удлиненной пластины (тест-образца) при отсутствии экрана. В нее введены три дополнительных параметра, определяемые из условия минимума целевой функции, представляющей квадратичную невязку между расчетными и экспериментальными значениями аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца при нескольких значениях длины его рабочей части и расстояния до жесткого экрана. Для поиска минимума целевой функции используется метод Хука-Дживса, не требующий вычисления ее градиента в текущей точке пространства искомых параметров. Построены полиномиальные зависимости найденных параметров от безразмерной низшей частоты колебаний тест-образца и относительного расстояния до жесткого экрана. Проведены численные эксперименты, подтверждающие достоверность разработанного метода.
©ПНИПУ
Получена: 18 апреля 2018 г. Принята: 19 июня 2018 г. Опубликована: 29 июня 2018 г.
Ключевые слова: тест-образец, затухающие изгибные колебания, эксперимент, аэродинамическое демпфирование, логарифмический декремент колебаний, целевая функция, прямой поиск.
© Паймушин Виталий Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected] Фирсов Вячеслав Анатольевич - доктор технических наук, профессор, e-mail: [email protected]
Газизуллин Руслан Камилевич - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, e-mail: [email protected] Шишкин Виктор Михайлович - доктор технических наук, профессор, e-mail: [email protected]
Vitaly N. Paymushin - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, e-mail: [email protected] Vyacheslav A. Firsov - Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: [email protected] Ruslan K. Gazizullin - CSc in Physical and Mathematical Sciences, Researcher, e-mail: [email protected] Viktor M. Shishkin - Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: [email protected]
Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
THE AERODYNAMIC COMPONENT OF THE DAMPING OF CANTILEVERED TEST SPECIMENS OSCILLATING NEAR A RIGID SHIELD
V.N. Paimushin1'2, V.A. Firsov1, R.K. GazizuNin1, V.M. Shishkin3
Kazan National Research Technical University A.N. Tupolev, Kazan, Russian Federation Kazan Federal University, Kazan, Russian Federation Vyatka State University, Kirov, Russian Federation
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Received: 18 April 2018 Accepted: 19 June 2018 Published: 29 June 2018
Keywords:
test specimens, damping bending vibrations, experiment, aerodynamic damping, logarithmic decrement of oscillations, objective function, direct search.
A numerical technique has been developed to process the experimental vibrogram of damped flexural vibrations of test specimens to determine the experimental lower frequency and the amplitude dependence of the logarithmic decrement of oscillations, which determines the damping properties of the test specimen. To determine the logarithmic decrement, the experimental envelope of damped flexural oscillations of the specimen's free end has been used. The experimental envelope was approximated by the sum of two exponents with four independent parameters, which was determined by the direct search for the minimum of the objective function that depends on these parameters. Numerical experiments were performed to show the reliability and sufficient accuracy of the developed procedure. It is shown that to determine the experimental aerodynamic component of the damping of a test specimen reliably, it is necessary that a test material has stable and low damping properties. Such requirements are fully met by duralumin. The experimental amplitude dependences of the logarithmic decrement for a series of duralumin test samples located at different distances from an absolutely rigid shield have been determined.
On their basis, a theoretical-experimental method for determining the aerodynamic component of damping has been proposed by modifying the structural formula obtained earlier for determining the aerodynamic component of the damping of a thin rectangular planar elongated plate (test specimen) in the absence of a shield. Three additional parameters determined from the condition of a minimum objective function representing a quadratic discrepancy between the calculated and experimental values of the aerodynamic component of the damping of the test sample for several values of the length of its working part, and the distance to the rigid shield has been introduced into the formula. To find the minimum of the objective function, the Hook-Jeeves method has been used. This method does not require calculating its gradient at the current point in the space of the required parameters. Polynomial dependences of the found parameters on the dimensionless lower vibration frequency of the test specimen and the relative distance to the rigid shield are constructed. Numerical experiments have been carried out to confirm the validity of the developed method.
©PNRPU
Введение
В последние десятилентия повысился интерес к исследованиям механических колебаний пластин в неподвижной вязкой жидкости (газе). Это обусловлено множеством практических приложений, охватывающих разнообразные области знаний, включая атомную микроскопию [1, 2], датчики и приводы головок на микромеханических генераторах [3], охлаждающие устройства [4], морскую и шельфовую технику [5, 6]. Второе направление связано с развиваемым в последнее время подходом к определению демпфирующих свойства материалов на основе исследования затухающих изгибных колебаний консольно-закрепленных плоских тест-образцов [7-9]. При этом тест-образцы находятся в воздухе, что приводит к необходимости исключения аэродинамической составляющей демпфирования с целью получения параметра внутреннего демпфирования тест-образца.
Одной из основных задач в этом классе проблем является прогнозирование сил, действующих на колеблющуюся пластину со стороны жидкости (газа). Считается, что аэродинамическое взаимодействие может быть
сведено к инерционному эффекту присоединенной массы и аэродинамическому демпфированию (см., например, [10-13]). Инерционный эффект приводит к снижению частоты, а аэродинамическое демпфирование -к росту декремента колебаний пластины по сравнению с ее колебаниями в вакууме. В работе [14] теоретико-экспериментальным методом построена структурная формула для определения аэродинамической составляющей демпфирования консольно-закрепленных тест-образцов прямоугольного сечения при изгибных колебаниях по низшей моде. В качестве материала тест-образцов использовался дюралюминий. У тест-образцов из такого материала внутреннее демпфирование практически не зависит от амплитуды колебаний вплоть до очень больших деформаций [15-18], что позволяет легко выделить аэродинамическую составляющую демпфирования из полного уровня демпфирования тест-образца. При этом тест-образцы находились на значительном расстоянии от окружающих предметов, чтобы они не могли повлиять на результаты эксперимента.
Однако колебания конструкций возможны вблизи большеразмерных объектов, которые могут создавать
экранирующий эффект, увеличивая таким образом влияние аэродинамических сил на демпфирование конструкции. С целью оценки данного эффекта актуально проведение параметрических экспериментальных исследований затухающих изгибных колебаний дюралюминиевых консольно-закрепленных тест-образцов, расположенных на различном расстоянии от абсолютно жесткого экрана. Это позволяет ставить и решать самостоятельную задачу построения методики определения аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца (прямоугольной в плане удлиненной пластины) при наличии жесткого экрана. Однако следует заметить, что решение задачи определения сил аэродинамического сопротивления при колебаниях удлиненной пластины наталкивается на серьезные трудности (даже при отсутствии экрана), обусловленные сложностью моделирования трехмерных течений газа, вызванных колебанием пластины. Известные подходы [1, 10] к ее решению основываются на предположении, что длина пластины существенно превышает ее ширину и толщину. В этом случае на низких структурных модах колебаний длина вибрационной волны значительно больше отклонений пластины, в силу чего она может рассматриваться как локально плоская. При этом трехмерными явлениями, относящимися к течению газа вдоль длины пластины, в том числе сходом вихрей с ее торца, пренебрегают, определяя аэродинамические силы в каждом сечении пластины путем изучения плоского движения газа, вызванного гармоническими осцилляциями тонкой жесткой пластины. Однако даже в плоском приближении задача определения аэродинамических сил, действующих на гармонически колеблющуюся пластину, в полном объеме не решена. Поэтому реальным будет подход, основанный на модифицировании отмеченной в работе [14] структурной формулы с использованием экспериментальных данных о демпфирующих свойствах тест-образцов, расположенных на различных расстояниях от жесткого экрана.
Для реализации данной возможности проведена модернизация разработанной ранее экспериментальной установки [7] с введением в нее абсолютно жесткого экрана, ширина которого значительно превышает ширину тест-образца (рис. 1).
Установка состоит из основания 1 и силовой стойки 2, жестко соединенных между собой. На стойке неподвижно закреплена консоль 3 с захватом 4 на конце. Защемление тест-образца 5 осуществляется с помощью разнесенных жестких планок, соединенных с консолью болтовыми соединениями и исключающих поворот тест-образца в сечении заделки. На стойке установлена подвижная платформа 6 для установки лазерного датчика перемещений 7, положение которой вдоль стойки может изменяться для измерения прогиба w свободного конца тест-образца при изменении его стрелы вылета. Вблизи тест-образца расположен жесткий экран 8. Расстояние от недеформированного тест-образца до экрана может меняться. Колебания совершаются после начального отклонения свободного конца тест-образца до контакта его с жестким экраном.
В установке используется триангуляционный лазерный датчик фирмы RIFTEK (RF603-X/100), обеспечивающий точность измерения амплитуды колебаний
0.01мм в цифровом формате. Разработанное математическое обеспечение позволяет осуществлять до 2000 замеров прогиба в секунду, что обеспечивает высокую точность описания экспериментальных виброграмм затухающих колебаний исследуемых тест-образцов.
1. Обработка результатов эксперимента
Демпфирующие свойства тест-образца при колебаниях в воздухе определяются логарифмическим декрементом колебаний (ЛДК) 8(4), зависящим от амплитуды колебаний А его свободного конца. Учитывая малость сил внутреннего трения и аэродинамических сил по сравнению с упругими силами, можно считать [8], что полный ЛДК тест-образца складывается из двух независимых частей, отвечающих механическому (внутреннее+конструкционное) 8т(А) и аэродинамическому 8а(А) демпфированию:
6(A) = Ът (A) + 5„ (A).
(1.1)
Рис. 1. Принципиальная схема экспериментальной установки Fig. 1. Schematic diagram of the experimental setup
Внутреннее демпфирование обусловлено необратимым рассеянием энергии в материале [19-28], а конструкционное - потерями энергии в узле крепления тест-образца. Проведенные авторами экспериментальные исследования при различной степени зажатия тест-образцов показали, что их демпфирующие свойства остаются при этом практически неизменными. Поэтому далее считается, что параметр внутреннего демпфирования 8т(А ) тест-образца определяется только рассеянием энергии (внутренним трением) в материале.
Обработка результатов испытаний тест-образца имеет своей целью нахождение по экспериментальной виброграмме w(t) затухающих изгибных колебаний тест-образца зависимости 8(А) и низшей циклической частоты / = 1/Т , где t - текущее время; Т - период колебаний тест-образца. Обработка состоит из двух этапов. На первом этапе из записанной экспериментальной
виброграммы w(t) колебаний свободного конца тест-образца выбирается рабочий диапазон изменения амплитуд [Amax; Amin] и находятся моменты времени tl5t2,...,tm, соответствующие нулевым прогибам w в указанном диапазоне амплитуд. По значениям t\ и tm находится осредненный полупериод колебаний T/ 2 = (tm — tx )/(m — 1), что дает возможность определить циклическую частоту f = 0,5/(Г/2). На втором этапе находятся амплитуды колебаний Ab A2,..An в выбранном диапазоне [Amax; Amin] в области положительных значений w(t) и соответствующие им моменты времени t,t2,...,tn, в результате чего получается экспериментальная дискретная зависимость Д (tt) (i = 1, 2, 3,...,n). Полученная зависимость аппроксимируется суммой двух экспонент:
A(t) = axe а' + аъе
(1.2)
Параметры ab a2, a3, a4 зависимости (1.2) определяются из условия
Ф(а, а, а, а ) = ^ (i_ Al A )2 = min •
(1.3)
где Ai - значения A(t), найденные по зависимости (1.2) в моменты времени ti.
Для нахождения данных параметров можно использовать необходимое условие существования минимума целевой функции Ф(а, а2, a, а ) •
дФ
да.
= 0;
дФ
да0
= 0;
дФ
да,
= 0;
дФ
даЛ
= 0.
Однако это приводит к системе нелинейных уравнений относительно параметров а1, a2, а3, а4, для решения которой необходимо использовать итерационные методы: метод простой итерации, метод Ньютона и др. [29, 30]. При этом необходимо иметь начальные значения параметров a1, a2, a3, a4. Однако проведенные численные эксперименты показали, что выбрать данные параметры так, чтобы они обеспечивали сходимость отмеченных методов, довольно проблематично. Поэтому более подходящими являются прямые методы поиска, основанные на целенаправленном движении к минимуму целевой функции с использованием какой-либо шаговой процедуры. Из них предпочтительными будут прямые методы поиска нулевого порядка (симлекс-метод, метод Хука-Дживса, метод Розенброка) [31, 32], в которых, в отличие от градиентных методов, достаточно располагать лишь возможностью вычисления целевой функции в любой точке ее определения. Наиболее простым и удобным является метод Хука-Дживса, который легко реализуется при любой размерности пространства поиска.
Для практической реализации процедуры метода Ху-ка-Дживса предлагается использовать матрицу поиска
P
а1,0 а2,0 аз,0 а4,0
1о+ d а2,0 аз,0 а4,0
1,0 _ d а2,0 аз,0 а4,0
а1,0 а20 + d аз,0 а4,0
а1,0 а Q d аз,0 а4,0
а1,0 а2,0 а0 + d а4,0
а1,0 а2,0 а Q d а4,0
а1,0 а2,0 аз,0 а4,0 +d
а1,0 а2,0 аз,0 а4,0 d
(1.4)
Первая строка матрицы Р содержит координаты al,0, а2,0, а3,0, а4,0 базовой точки. Остальные строки содержат координаты точек, отстоящих на расстоянии шага d от базовой точки по каждому искомому параметру. Поиск осуществляется определением целевой функции Ф^, а, а, а) по содержимому каждой строки матрицы Р и выбором строки, которая дает минимальное значение Ф . Содержимое этой строки переписывается в первую строку матрицы Р и становится новой базовой точкой. Затем формируются все остальные строки матрицы Р, как показано в выражении (1.4), и описанная процедура повторяется. Если текущее минимальное значение Ф в процессе поиска соответствует первой строке матрицы Р, то элементы данной строки принимаются за искомые параметры a1, a2, a3, a4 зависимости (1.2).
Обработаны экспериментальные виброграммы затухающих изгибных колебаний вертикально закрепленных дюралюминиевых тест-образцов с длинами L = 200, 300 и 500 мм при расстоянии до экрана = 70, 21, 14 и 7 мм (по два замера на каждом тест-образце). Ширина и толщина тест-образцов: Ь = 20 мм, И = 0,95 мм. Выбор дюралюминия продиктован тем, что данный материал обладает стабильно низкими и практически не зависящими от уровня деформации демпфирующими свойствами [15-18], что позволяет просто и надежно выделить из полного (экспериментального) ЛДК тест-образца необходимую аэродинамическую составляющую демпфирования 8а(Л).
Поиск минимума целевой функции Ф^, а, а, а) осуществлялся методом Хука-Дживса в три этапа с уменьшением шага поиска в 10 раз после достижения очередного минимума целевой функции. Начальный шаг поиска по каждому из параметров составлял величину d = 0,001. Координаты базовой точки определялись по зависимости (1.2) при / = /ь / = 4 и условиях а,о = «1,0, а,о = а,о, что дает формулы для вычисления значений а20 и а10:
а _ in(д/ a ). а _ A e
а2,0 ; а1,0 A1 'n ~ 'l
2
С целью получения ЛДК тест-образцов приблизительно в одинаковом диапазоне амплитуд (при различ-
1=1
ных расстояниях до экрана) отсчет времени в аппроксимации (1.2) осуществлялся от момента, соответствующего экспериментальной амплитуде А = 7 мм. При поиске параметров а, а, а, а учитывалось ограничение-равенство А(0) = а + а = а .
В табл. 1 приведены длины Ь тест-образцов, соответствующие им экспериментальные частоты /, рас-
стояния 5 до экрана, номера замеров виброграммы колебаний w(t) и полученные из условия (1.3) параметры а, а, а, а зависимости (1.2). На рис. 2 приведена огибающая колебаний свободного конца тест-образца длиной Ь = 200 мм при 5 = 14 мм (по первому замеру), показывающая хорошее качество поиска параметров
Таблица 1
Длины L тест-образцов, экспериментальные частоты f расстояния S до экрана, номера замеров виброграммы w(t)
и найденные параметры a1, a2, a3, a4 аппроксимации (1.2)
Table 1
The length L of the test specimens, the experimental frequencies f the distances S to the shield, the measurement numbers of the vibrogram w(t) and the found approximations (1.2) parameters a1, a2, a3, a4
L, мм f Гц S, мм Замер a1 a2 a3 a4
1 3,51335 1,06177 3,40665 0,24345
7 2 3,73477 1,13263 3,25523 0,21404
1 3,34917 0,99389 3,66083 0,23672
14 2 3,60104 0,90660 3,27896 0,18927
1 3,08032 0,95682 3,80968 0,25265
21 2 4,03986 0,83692 2,88014 0,17525
1 3,63186 0,79979 3,28814 0,19317
70 2 3,12104 0,90040 3,73896 0,20828
1 3,29020 0,52347 3,06980 0,08382
7 2 3,58239 0,54937 3,36761 0,09576
1 3,76819 0,38612 3,14181 0,06693
14 2 3,59732 0,40716 3,36268 0,07628
1 3,59148 0,36400 3,26852 0,06407
21 2 3,71410 0,35826 3,26590 0,06789
1 3,49727 0,33585 3,36273 0,05893
70 2 3,56620 0,33794 3,35380 0,06463
1 3,17450 0,18051 3,70540 0,03102
7 2 2,94610 0,23521 3,88390 0,03806
1 3,16135 0,13636 3,71865 0,02591
14 2 2,90944 0,17703 3,90056 0,02932
1 2,90499 0,15037 3,95501 0,02550
21 2 2,75360 0,15857 4,11641 0,02701
1 2,66436 0,14355 4,27565 0,02623
70 2 2,67970 0,13021 4,31031 0,02937
A, мм 6 4 2
0
0
1
2
3
4
5
6
t, c
Рис. 2. Огибающая колебаний свободного конца тест-образца длиной L = 200 мм при S = 14 мм (по первому замеру): точки - эксперимент; линия - аппроксимация (1.2) Fig. 2. The envelope of free end oscillations of a test specimen with a length L = 200 mm at S = 14 mm (according to the first measurement): points show the experiment; the line shows the approximation (1.2)
Для определения ЛДК тест-образца использовалась формула [7]
6(t) = -
1 d ln A(t) f dt
1 dA(t) fA(t) dt
После подстановки сюда аппроксимации (1.2) получается зависимость
5(t) =
- at , - a,t
aae + aae
f (ae at + аъе
t)
(1.5)
Выражения (1.2) и (1.5) в параметрическом виде (через время 0 дают необходимую амплитудную зависимость 8(А) ЛДК тест-образца. Однако это вызывает затруднения при построении усредненных по замерам зависимостей 8(А) тест-образцов, обусловленные невозможностью исключения времени t из зависимостей (1.2) и (1.5) с целью получения явной зависимости 8(А) на каждом замере виброграммы затухающих колебаний тест-образца. Для получения такой зависимости предлагается использовать аппроксимацию
5(A) = c0 + сД + c2A2 +... + ckAk.
(1.6)
Коэффициенты полинома (1.6) определяются из условия
n
£[5, -(с0 + clAi + c2A* +... + ckAk)]2 = min . (1.7)
i=i
Значения 5,- и A, находятся соответственно по зависимостям (1.5) и (1.2) при t = t,-.
Реализация условия (1.7) приводит к системе линейных алгебраических уравнений
И Hc = И 5,
где
И
Ai Af
1 A A2
Ak Ak
Ak
c =
5 =
Численные эксперименты показали, что наилучшее приближение к исходной зависимости (1.5) получается при использовании полинома восьмой степени (к = 8). Таким образом, можно построить аппроксимирующий степенной полином (1.6) при каждом замере виброграммы колебаний тест-образца. Усреднение полученных зависимостей достигается усреднением соответствующих коэффициентов полиномов.
С целью получения зависимостей 5(4) при различных замерах в одинаковых диапазонах амплитуд [Д; Ап ] диапазон времени ; /и ] при каждом замере необходимо назначать так, чтобы выполнялись условия
-Д = 0, ae
-A = 0. (1.8)
Решение уравнений (1.8) необходимо итерировать. Для этого проще всего использовать метод половинного деления с последовательным уменьшением вдвое интервала поиска до выполнения условий
t, -t <e, t -t . < e,
1,max 1,min ' n ,max n ,min
(1.9)
где е - заданная точность.
На рис. 3 приведены зависимости 5(4) для тест-образца длиной Ь = 300 мм при расстоянии до экрана = 21 мм (замер 1) в диапазоне амплитуд [7; 0,86] мм, полученные при п = 20 и е = 110-6: точки - зависимость (1.5); линия - полином (1.6) при к = 8. На рис. 4 приведены исходные при замерах и усредненная по ним зависимости 5(4) для тест-образца длиной Ь = 200 мм при 5 = 14 мм, полученные с использованием аппроксимации (1.6): 1 - замер 1; 2 - замер 2; 3 - усредненная зависимость. На рис. 5 приведены усредненные по замерам зависимости 5(4) для тест-образца длиной Ь = 300 мм при расстоянии до экрана 5 = 7, 14, 21 и 70 мм. Видно, что по мере возрастания расстояния 5 ЛДК тест-образца существенно падает.
0,02
0,01
0
1
2
3
4
5
6 A, мм
Рис. 3. Зависимости 8(A) для тест-образца длиной L = 300 мм при расстоянии до экрана S = 21 мм, замер 1:
точки - зависимость (1.5); линия - полином (1.6) Fig. 3. Dependences of 8(A) for the test specimen of length L = 300 mm at a distance to the shield S = 21 mm, measurement 1: points show the dependence (1.5); the line shows the polynomial (1.6)
5
0,03
0,02
0,01
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 A, мм
Рис. 4. Исходные при замерах и усредненная по ним зависимости 8(A) для тест-образца длиной L = 200 мм при S = 14 мм: 1 - замер 1; 2 - замер 2; 3 - усредненная зависимость Fig. 4. Initial measurement values and averaged 8(A) dependencies for the test specimen of length L = 200 mm at S = 14 mm: 1 is the measurement 1; 2 is the measurement 2; 3 is the averaged dependence
5
0,03
0,02
0,01
1
2 ^
4
0
1
2
3
4
5
6
A, мм
Рис. 5. Усредненные по замерам зависимости 8(A) для тест-образца длиной L = 300 мм при различных расстояниях S до экрана: 1 - S = 7 мм; 2 - S = 14 мм; 3 - S = 21 мм; 4 - S = 70 мм Fig. 5. Dependences of 8(A) averaged over the measurements of the for the test specimen with the length L = 300 mm at different distances S to the shield: 1 - S = 7 mm; 2 - S = 14 mm;
3 - S = 21 mm; 4 - S = 70 mm
2. Построение структурной формулы для определения аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца при наличии жесткого экрана
В работе [14] при исследовании затухающих изгиб-ных колебаний дюралюминиевых пластин теоретико-экспериментальным методом построена структурная
5
0
ae
аъв
аъв
0
формула для определения аэродинамической составляющей демпфирования тонкой консольно-закрепленной пластины постоянной толщины при колебаниях ее по низшей моде вдали от экранирующих объектов:
5„ =
Pab
Pmh
6,14 5,1 k"+0'42 + ■
Ф
0,12 + к"
; ß = b 2f/v;
к = Ab ; a = 1,03 + 16,61ß-
(2.1)
Здесь ра, V - соответственно плотность и кинематическая вязкость воздуха; рт - плотность материала; Ь -ширина пластины. Первое слагаемое в скобках отражает вклад в 8а вязкой составляющей аэродинамического сопротивления пластины, которая зависит только безразмерной частоты (параметра Стокса) р. Его влияние на величину 8а сказывается главным образом при малых амплитудах колебаний пластины. Второе слагаемое определяет вклад в 8а вихревой компоненты аэродинамического сопротивления, которая зависит в основном от безразмерной амплитуды к.
Для определения аэродинамической составляющей ЛДК тест-образца при наличии абсолютно жесткого экрана предлагается использовать теоретико-экспериментальный подход, состоящий в подходящем модифицировании формулы (2.1) при минимальном расхождении между расчетными и экспериментальными значениями 8а при нескольких амплитудах колебаний А,- (г = 1, 2,...,п) в заданном диапазоне амплитуд
[Атах; Атп]. Для учета влияния на 8а жесткого экрана в формулу (2.1) предлагается вести дополнительно параметры х1, х2, х3:
5„ =
РаЬ р h
6,14х 5,1 х„ к а+0'42^
0,12х + ка
определяемые из условия
F(х1, Х2, хз) = £(1 -ôaJ8", )2 = min :
(2.2)
(2.3)
где о*- экспериментальная аэродинамическая составляющая демпфирования тест-образца при амплитуде колебаний А, получаемая вычетом из полного ЛДК параметра внутреннего демпфирования, обусловленного внутренним трением в материале тест-образца. В работе [33] показано, что в случае независимости демпфирующих свойств материала от уровня деформации параметр внутреннего демпфирования тест-образца является тождественным ЛДК 8т материала. Для дюралюминия эта величина составляет значение 8т = 0,0051 [17].
В табл. 2 приведены длины Ь тест-образцов, расстояния 5 до жесткого экрана и найденные из условия (2.3) параметры х1, х2, х3. Поиск минимума функции Г (х, X, X) осуществлялся методом Хука-Дживса с шагом ё = 0,0001 по каждому искомому параметру.
Имея параметры х1, х2, х3 при четырех значениях 5, можно построить кубические полиномы (при имеющихся в эксперименте длинах Ь тест-образцов):
3 3 3
х =X ад'; х2 = X; хз = Xсл'; = УЬ). (2.4)
I=0 I=0 1=0
В табл. 3 приведены длины Ь тест-образцов, соответствующие им низшие частоты / и полученные коэффициенты а, Ь,-, с{ (/ = 0, 1, 2, 3) полиномов (2.4).
Таблица 2
Длины L тест-образцов, расстояния S до экрана и найденные из условия (2.3) параметры xb x2, x3
Table 2
The length L of the test specimens, the distance S to the shield and the parameters xb x2, x3 found from condition (2.3)
S, мм L = 200 мм L = 300 мм L = 500 мм
Xi X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X3
7 1,8061 1,2311 0,7104 0,8222 1,4708 0,6980 0,7062 1,2660 0,4924
14 1,7127 0,9879 0,7037 0,4616 1,0173 0,6033 0,4339 0,9036 0,4526
21 1,6791 0,8587 0,4594 0,3507 0,9257 0,6205 0,3795 0,9922 0,6931
70 1,6170 0,8277 0,6586 0,2823 0,8866 0,7321 0,4852 0,6938 0,5559
Длины L тест-образцов, соответствующие им низшие частоты f и полученные коэффициенты ai, bi, ci (i = 0, 1, 2, 3) полиномов (2.4)
The length L of the test specimens, the corresponding lower frequencies f and the resulting coefficients a, bi, ci (i=0, 1, 2, 3) of the polynomials (2.4)
Таблица 3
Table 3
i L = 200 мм, f = 17,670 Гц L = 300 мм, f = 8,237 Гц L = 500 мм, f = 3,148 Гц
ai bi Ci ai bt Ci ai bi Ci
0 1,9772 1,6159 0,3776 1,5073 2,3997 0,9420 1,2632 2,2407 0,9276
1 -0,6168 -1,3280 1,5331 -2,4923 -3,4411 -0,9461 -2,0620 -3,8130 -1,9179
2 0,3900 0,6906 -1,8019 1,6298 2,4034 0,7621 1,4350 3,1573 2,0837
3 -0,0695 -0,1073 0,3962 -0,2908 -0,4411 -0,1454 -0,2598 -0,6269 -0,4475
i=1
0.627
По значениям а,, Ь,, с, (■ = 0, 1, 2, 3) при трех частотах/ построены квадратичные полиномы, определяющие зависимость а, Ь,, с, от безразмерной частоты в = Ь1 //у :
1 i'
at = U T ■ ß •; bi = vt ■ ß
fß2 ß2.
с,. = WT
(2.5)
(i = 0,1,2,3),
где Ui, V,-, WI■ - векторы, содержащие коэффициенты данных полиномов (табл. 4).
Таблица 4
Элементы векторов U,, V,, W,- (i = 0, 1, 2, 3)
Table 4
Elements of vectors U,, V,-, W, (i = 0, 1, 2, 3)
U> 1,1155x10° 1,7444 x10-3 1,7898x10-7
Ui -1,2898x10° -1,1502x10-2 2,7441 x10-5
U2 1,0115x100 6,4248 x10-3 -1,6434x10-5
U3 -1,8786 x10-1 -1,0972x10-3 2,8617x10-6
V0 1,9382x100 4,5330x10-3 -1,1072x10-5
V1 -3,7736 x100 -1,6968x10-3 1,4616x10-5
V2 3,5640x100 -4,5725 x10-3 -3,2374x10-6
V3 -7,4384x10-1 1,4022 x10-3 -1,0882x10-6
W0 8,0860x10-1 1,9483 x10-3 -6,0679x10-6
W1 -2,3907x100 5,0484x10-3 6,9587x10-6
W2 2,8796x100 -9,3825x10-3 -1,1731x10-6
W3 -6,3785 x10-1 2,2834 x10-3 -1,8862x10-7
Подставляя полиномы (2.5) в равенства (2.4), получаем аппроксимации, определяющие зависимость параметров х1, х2, х3 структурной формулы (2.2) от относительного расстояния д = Б/Ъ до экрана и безразмерной частоты р:
«1 =х U t
q ;
= Z VT
= Z W
(2.6)
q.
На рис. 6 представлены зависимости 8а(Л) для тест-образца длиной Ь = 200 мм, расположенного на расстоянии = 14 мм от жесткого экрана: пунктирная линия - эксперимент; сплошная линия - структурная формула (2.2). Наблюдается достаточная близость расчетной зависимости к экспериментальной кривой. Аналогичная ситуация наблюдается и при всех других участвующих в экспериментах значениях Ь и 5, что свидетельствует о возможности использования формулы (2.2) для вычисления аэродинамической составляющей демпфирования консольных тест-образцов, расположенных вблизи абсолютно жесткого экрана.
0,02
0,01
0
1
2
3
4
5
6 A, мм
Рис. 6. Зависимости 5JA) для тест-образца длиной L = 200 мм, расположенного на расстоянии S = 14 мм от жесткого экрана: пунктирная линия - эксперимент; сплошная линия -
структурная формула (2.2) Fig. 6. 5a(A) dependences for the test specimen of length L = 200 mm located at a distance S = 14 mm from the rigid shield: the dashed line shows the experiment; the solid line shows the structural formula (2.2)
Выводы
1. Разработана простая и удобная в практическом применении методика обработки виброграммы затухающих изгибных колебаний консольно-закрепленных тест-образцов для определения экспериментальной низшей частоты f и амплитудной зависимости ЛДК 5 тест-образца. Проведены численные эксперименты, подтверждающие достоверность разработанной методики.
2. Проведены экспериментальные параметрические исследования, показывающие значительное увеличение демпфирующих свойств тест-образца при уменьшении расстояния S до жесткого экрана.
3. Разработан теоретико-экспериментальный метод построения структурной формулы для вычисления аэродинамической составляющей демпфирования 5a тест-образца в зависимости от его низшей частоты колебаний и расстояния до жесткого экрана, основанный на модификации формулы, полученной ранее для тонкой пластины постоянной толщины при отсутствии экрана, путем введения в нее трех дополнительных параметров, определяемых из условия минимума квадратичной невязки между экспериментальными и расчетными значениями аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца. Получены соотношения, определяющие зависимости отмеченных параметров от относительного расстояния q = S/b до экрана и безразмерной частоты колебаний тест-образца. Проведены численные эксперименты, подтверждающие достоверность разработанного метода.
Благодарности
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-19-00667).
Acknowledgments
This study was financially supported by a grant of the Russian Science Foundation (project No. 14-19-00667).
5
0
i=0
Библиографический список
1. Sader J.E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope // Journal of Applied Physics. - 1998. - Vol. 84(1). - P. 64-76.
2. Kirstein S., Mertesdorf M., Schoenhoff M. The influence of a viscous fluid on the vibration dynamics of scanning near-field optical microscopy fiber probes and atomic force microscopy cantilevers // Journal of Applied Physics. - 1998. - Vol. 84 (4). -P. 1782-1790.
3. Kimber M., Lonergan R., Garimella S.V. Experimental study of aerodynamic damping in arrays of vibrating cantilevers // Journal of Fluids and Structures. - 2009. - Vol. 25. - P. 1334-1347.
4. Nonlinear aerodynamic damping of sharp-edged flexible beams oscillating at low Keulegan-Carpenter numbers / R.A. Bidkar, M. Kimber, A. Raman, A.K. Bajaj, S. Garimella // Journal of Fluid Mechanics. - 2009. - Vol. 634. - P. 269-289.
5. Tao L., Thiagarajan K. Low KC flow regimes of oscillating sharp edges. 1. Vortex shedding observation // Applied Ocean Research. - 2003. - Vol. 25 (2). - P. 21-35.
6. Tao L., Thiagarajan K. Low KC flow regimes of oscillating sharp edges. 2. Hydrodynamic forces // Applied Ocean Research. - 2003. - Vol. 25 (2) - P. 53-62.
7. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 1. Experimental Basis / V.N. Paimushin, V.A. Firsov, I. Gunal, A.G. Egorov // Mechanics of Composite Materials. - 2014. - Vol. 50. - No. 2. - P. 127-136.
8. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 2. Aerodynamic Component of Damping / A.G. Egorov, A.M. Kamalutdinov, A.N. Nuiiev, V.N. Paimushin // Mechanics of Composite Materials. - 2014. - Vol. 50. - No. 3. - P. 267-278.
9. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 3. Identification of the Characteristics of internal Damping / V.N. Paimushin, V.A. Firsov, I. Gunal, A.G. Egorov, R.A. Kayumov // Mechanics of Composite Materials. - 2014. - Vol. 50. - No. 5. - P. 633-646.
10. Aureli M., Basaran M.E., Porfiri M. Nonlinear finite amplitude vibrations of sharp-edged beams in viscous fluids // Journal of Sound and Vibration. - 2012. - Vol. 331. - P. 1624-1654.
11. Aureli M., Porfiri M. Low frequency and large amplitude oscillations of cantilevers in viscous fluids // Applied Physics Letters. - 2010. - Vol. 96. - Art. 164102.
12. Sarpkaya T. Force on a circular cylinder in viscous oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter numbers // Journal of Fluid Mechanics. - 1986. - Vol. 165. - P. 61-71.
13. Keulegan G.H. Carpenter L.H. Forces on cylinders and plates in an oscillating fluid. // Journal of Research of National Bureau of Standards. - 1958. - Vol. 60. - No. 5. - P. 423-440.
14. Theoretical-Experimental Method of Determining the Drag Coefficient of a Harmonically Oscillating Thin Plate / A.G. Egorov, A.M. Kamalutdinov, V.N. Paimushin, V.A. Firsov // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 2016. - Vol. 57. - No. 2. -P. 275-282. DOI: 10.1134/S0021894416020103
15. Adams R.D. The damping characteristics of certain steels, cast irons and other metals // Journal of Sound and Vibration. - 1972. - Vol. 23. - No. 2. - P. 199-216.
References
1. Sader J.E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope // Journal of Applied Physics. 1998. Vol. 84(1). pp. 64-76.
16. Felicity J.G. Property-microstructural relationships in GFRP // PhD Thesis. Plymouth Polytechnic, 1978.
17. Identification of the Elastic and Damping Characteristics of Soft Materials Based on the Analysis of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens / V.N. Paimushin, V.A. Firsov, I. Gynal, V.M. Shishkin // Mechanics of Composite Materials. -2016. - Vol. 52. - No. 4. - P. 435-454.
18. Egorov A.G., Kamalutdinov A.M., Nuriev A.N. Evaluation of aerodynamic forces acting on oscillating cantilever beams based on the study of the damped flexural vibration of aluminium test samples // Journal of Sound and Vibration. - 2018. - Vol. 421. -P. 334-347.
19. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. - М.: Физматгиз, 1960. - 193 с.
20. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. - Киев: Наукова думка, 1970. - 377 с.
21. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. - М.: Госстройиздат, 1960. - 129 с.
22. Давиденков Н.Н. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал технической физики. - 1938. - Т. 8. - Вып. 6. -С. 483-499.
23. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г. Рассеяние энергии при колебаниях тонкостенных элементов конструкций. - Киев: Вища школа, 1977. - 252 с.
24. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Вибро-поглощающие свойства конструкционных материалов: шрав. - Киев: Наукова думка, 1971. - 375 с.
25. Постников В.С. Внутреннее трение в металлах. - М.: Металлургия, 1969. - 330 с.
26. Василенко Н.В. Учет несовершенной упругости материала при использовании метода конечных элементов для исследования резонансных колебаний деформируемого твердого тела произвольной формы // Проблемы прочности. -1980. - № 10. - С. 25-27.
27. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г. Рассеяние энергии при деформировании в условиях сложного напряженного состояния материала. - Киев: Вища школа, 1981. - 168 с.
28. Яковлев А.П. Диссипативные свойства неоднородных материалов и систем. - Киев: Наукова думка, 1985. - 248 с.
29. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1966. - 664 с.
30. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 466 с.
31. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: практ. руководство / пер. с англ. - М.: Мир, 1982. - 238 с.
32. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: учебник для вузов / под ред. В.С. Зарубина,
A.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. -440 с.
33. Теоретико-экспериментальный метод определения аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца ромбовидного поперечного сечения / В.Н. Паймушин,
B.А. Фирсов, И. Гюнал, В.М. Шишкин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 4. - С. 200-219.
2. Kirstein S., Mertesdorf M., Schoenhoff M. The influence of a viscous fluid on the vibration dynamics of scanning near-field optical microscopy fiber probes and atomic force microscopy cantilevers // Journal of Applied Physics. 1998. Vol. 84 (4). pp. 1782-1790.
3. Kimber M., Lonergan R., Garimella S.V. Experimental study of aerodynamic damping in arrays of vibrating cantilevers // Journal of Fluids and Structures. 25 (2009). pp. 1334-1347.
4. Bidkar R.A., Kimber M., Raman A., Bajaj A.K., Garimella S. Nonlinear aerodynamic damping of sharp-edged flexible beams oscillating at low Keulegan-Carpenter numbers // Journal of Fluid Mechanics. 634 (2009). pp. 269-289.
5. Tao L., Thiagarajan K. Low KC flow regimes of oscillating sharp edges. 1. Vortex shedding observation // Applied Ocean Research. 25 (2) (2003). pp. 21-35.
6. Tao L., Thiagarajan K. Low KC flow regimes of oscillating sharp edges. 2. Hydrodynamic forces // Applied Ocean Research. 25 (2) (2003). pp. 53-62.
7. Paimushin V.N., Firsov V.A., Gunal I., Egorov A.G. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 1. Experimental Basis // Mechanics of Composite Materials. 2014. Vol. 50. No. 2. pp. 127-136.
8. Egorov A.G., Kamalutdinov A.M., Nuriev A.N., Paimushin V.N. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 2. Aerodynamic Component of Damping // Mechanics of Composite Materials. 2014. Vol. 50. No. 3. pp. 267-278.
9. Paimushin V.N., Firsov V.A., Gunal I., Egorov A.G., Kayumov R.A. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flex-ural Vibrations of Test Specimens. 3. Identification of the Characteristics of internal Damping // Mechanics of Composite Materials. 2014. Vol. 50. No. 5. pp. 633-646.
10. Aureli M., Basaran M.E., Porfiri M. Nonlinear finite amplitude vibrations of sharp-edged beams in viscous fluids // Journal of Sound and Vibration. 2012. Vol. 331. pp. 1624-1654.
11. Aureli M., Porfiri M. Low frequency and large amplitude oscillations of cantilevers in viscous fluids // Applied Physics Letters. 2010. Vol. 96. Art. 164102.
12. Sarpkaya T. Force on a circular cylinder in viscous oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter numbers // Journal of Fluid Mechanics. 1986. Vol. 165. pp. 61-71.
13. Keulegan G.H. Carpenter L.H. Forces on cylinders and plates in an oscillating fluid. // Journal of Research of National Bureau of Standards. 1958. Vol. 60, No. 5. pp. 423-440.
14. Egorov A.G., Kamalutdinov A.M., Paimushin V.N., Firsov V.A. Theoretical-Experimental Method of Determining the Drag Coefficient of a Harmonically Oscillating Thin Plate // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2016. Vol. 57. No. 2. pp. 275-282. DOI: 10.1134/S0021894416020103
15. Adams R.D. The damping characteristics of certain steels, cast irons and other metals // Journal of Sound and Vibration. 1972. Vol. 23. No. 2. pp. 199-216.
16. Felicity J.G. Property-microstructural relationships in GFRP // PhD Thesis. Plymouth Polytechnic, 1978.
17. Paimushin V.N., Firsov V.A., Gynal I., Shishkin V.M. Identification of the Elastic and Damping Characteristics of Soft Materials Based on the Analysis of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens // Mechanics of Composite Materials. 2016. Vol. 52. No. 4. pp. 435-454.
18. Egorov A.G., Kamalutdinov A.M., Nuriev A.N. Evaluation of aerodynamic forces acting on oscillating cantilever
beams based on the study of the damped flexural vibration of aluminium test samples // Journal of Sound and Vibration. 421 (2018). pp. 334-347.
19. Panovko Ia.G. Vnutrennee trenie pri kolebaniiakh uprugikh system [Internal friction under oscillations of elastic systems]. M.: Fizmatgiz, 1960. 193 p.
20. Pisarenko G.S. Kolebaniia mekhanicheskikh sistem s uchetom nesovershennoi uprugosti materiala [The vibrations of mechanical systems taking account of imperfect elasticity of the material]. Kiev: Naukova dumka, 1970. 377 p.
21. Sorokin E.S. K teorii vnutrennego treniia pri kolebaniiakh uprugikh system [On the internal friction theory in the oscillations of elastic systems]. M.: Gosstroiizdat, 1960. 129 p.
22. Davidenkov N.N. O rasseianii energii pri vibratsiiakh [On the dissipation of energy in vibrations]. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki, 1938, Vol. 8, iss. 6, pp. 483-499.
23. Khil'chevskii V.V., Dubenets V.G. Rasseianie energii pri kolebaniiakh tonkostennykh elementov konstruktsii [Energy dissipation during oscillations of thin-walled structural elements]. Kiev: Vishcha shkola, 1977. 252 p.
24. Pisarenko G.S., Iakovlev A.P., Matveev V.V. Vibropogloshchaiushchie svoistva konstruktsionnykh materialov: Spravochnik [Vibration-absorbing properties of structural materials: Handbook]. Kiev: Naukova dumka, 1971. 375 p.
25. Postnikov V.S. Vnutrennee trenie v metallakh [Internal friction in metals]. M.: Metallurgiia, 1969. 330 p.
26. Vasilenko N.V. Uchet nesovershennoi uprugosti materiala pri ispol'zovanii metoda konechnykh elementov dlia issledovaniia rezonansnykh kolebanii deformiruemogo tverdogo tela proizvol'noi formy [The account of imperfect elasticity of a material at use of a finite element method for research of resonant oscillations of a deformable rigid body of any form]. Problemy prochnosti. 1980. № 10. pp. 25-27.
27. Khil'chevskii V.V., Dubenets V.G. Rasseianie energii pri deformirovanii v usloviiakh slozhnogo napriazhennogo sostoianiia materiala [Scattering of energy during deformation under conditions of complex stress state of the material]. Kiev: Vishcha shkola, 1981. 168 p.
28. Iakovlev A.P. Dissipativnye svoistva neodnorodnykh materialov i system [Dissipative properties of inhomogeneous materials and systems]. Kiev: Naukova dumka, 1985. 248 p.
29. Demidovich B.P., Maron I.A. Osnovy vychislitel'noi matematiki [Fundamentals of Computational Mathematics]. M.: Nauka, 1966. 664 p.
30. Porshnev S.V., Belenkova I.V. Chislennye metody na baze Mathcad [Numerical methods based on Mathcad]. Spb.: BKhV-Peterburg, 2005. 466 p.
31. Shup T. Reshenie inzhenernykh zadach na EVM: prakticheskoe rukovodstvo [Solving engineering problems using computers: a practical guide]. Moscow: Mir, 1982, 238 p.
32. Attetkov A.V., Galkin S.V., Zarubin V.S. Metody optimizatsii: Ucheb. dlia vuzov [Optimization methods: Proc. for universities] / Pod red. V.S. Zarubina, A.P. Krishchenko. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2003. 440 p.
33. Paimushin V.N., Firsov V.A., Gyunal I., Shishkin V.M. Theoretical-experimental method for determination of aerodynamic damping component of test samples with diamond-shaped cross-section. PNRPU Mechanics Bulletin, 2016, no. 4, pp. 200-219. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.12
