CC BY
55
126 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. №6(40).
УДК 539.125
АДРОННОЕ РОЖДЕНИЕ ТЯЖЕЛЫХ КВАРКОНИЕВ В ПОДХОДЕ КВАЗИ-МУЛЬТИ-РЕДЖЕВСКОЙ КИНЕМАТИКИ
© 2005 Д.В. Васин, В.А. Салеев1
В рамках нерелятивистской квантовой хромодинамики в лидирующем порядке по_ as и v рассмотрено адронное рождение тяжелых кваркониев (cc, bb) в реджевском пределе при высоких энергиях в подходе квази-мульти-реджевской кинематики. Произведено фитиро-вание рт-спектров различных S -и ^-волновых состояний кваркониев при энергиях коллайдера Tevatron (run I и run II), и получены наборы октетных непертурбативных матричных элементов для трех различных неколлинеарных функций распределения глюонов в протоне.
Введение
Процессы рождения тяжелых кваркониев (cc, bb) при высоких энергиях в pp-взаимодействиях на коллайдере Tevatron [1-4] представляют значительный интерес для проверки реджевского предела квантовой хромодинамики (КХД).
Хорошо известно, что в процессах рождения тяжелых кваркониев в столкновениях протонов при высоких энергиях доминирующую роль играет глюон-глюонное слияние. Взаимодействие в начальном состоянии в случае рассматриваемых процессов описывается в рамках моделей, основанных на теории возмущений КХД. В коллинеарной партонной модели [5] динамика глюонов в начальном состоянии описывается уравнением ДГЛАП [6], при этом предполагается, что S > [i2 » ^-gcD’ гДе Лу^" — полная энергия сталкивающихся протонов, а ^ — характерный масштаб жесткого процесса. При этом в уравнении эволюции ДГЛАП в лидирующем логарифмическом приближении (ЛЛП) учтен лишь вклад больших логарифмов типа log(^/Лдсо), и используется коллинеарное приближение, при котором поперечный импульс начальных глюонов отсутствует.
При высоких энергиях, в так называемом реджевском (S » \t\ ~ ^2) пределе, начинают доминировать процессы с обменом глюоном в t-канале, по-
1 Васин Дмитрий Валериевич (vasin@ssu.samara.ru), Салеев Владимир Анатольевич
(saleev@ssu.samara.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
этому в рамках ЛЛП необходимо учитывать вклады больших логарифмов нового типа log( Vs/|i), что приводит к неколлинеарной динамике глюонов, которая описывается уравнением эволюции БФКЛ [7]. При этом необходимо учитывать поперечный импульс и виртуальность взаимодействующих t-канальных глюонов. Учет этих эффектов может быть выполнен в подходе кт-факторизации [8] или в рамках подхода квази-мульти-реджевской кинематики (КМРК) [9], который основан на эффективной квантово-полевой теории с неабелевым калибровочным взаимодействием [10, 11], являющейся высокоэнергетическим пределом КХД.
В последнее десятилетие для описания процессов распада и рождения тяжелых кваркониев был развит формализм, основанный на нерелятивистской КХД (НРКХД) [12], который позволяет представить сечение рождения кваркония в партонном подпроцессе как сумму членов, в которых факторизуются жесткие амплитуды рождения тяжелых кварков и непертурба-тивные матричные элементы, описывающие переход системы (QQ) в конечный кварконий. НРКХД является пертурбативной теорией с двумя малыми параметрами: as — константа сильного взаимодействия на масштабе массы тяжелого кварка и v — относительная скорость тяжелых кварков в кварко-нии.
Отметим, что рождение кваркониев при энергиях рр-коллайдера Tevatron изучалось ранее в коллинеарной партонной модели (см., например, [13]) и в подходе кт-факторизации [14, 15]. В настоящей работе, основанной на подходе КМРК, впервые применена последовательная процедура фитирования полного набора экспериментальных данных коллаборации CDF [1-4] для трех различных неколлинеарных (неинтегрированных) функций распределения глюонов в протоне.
1. Подход КМРК
В подходе квази-мульти-реджевской кинематики рассматриваются доминирующие в реджевском пределе процессы с обменом реджезованным глюоном в t-канале. Для вычисления матричных элементов процессов с участием реджезованного глюона недавно были сформулированы правила Фейнмана для индуцированных и ряда эффективных вершин взаимодействия в эффективной квантово-полевой теории с неабелевым калибровочным взаимодействием [11].
Индуцированная вершина перехода реджезованного глюона в глюон R± ^ g (PR-вершина, рис. 1,а) имеет вид:
r±?(q) = ibabq2(n±)v, (1.1)
где
(n+)v = P\/EU (n~)v = P2/E2, (n+n~) = 2, (n±n±) = 0,
(1.2)
(1.3)
а, ± Ь, V
Ч
(а)
а, ц Ь, V ф.-----»----•
т
(б)
а, ц Ь, V к
(в)
к, т (г)
а, ц
с, ±
г|«
Ь, V
(д)
Ь, ц
1*
а, Л
Т2
(е) Ь, ц
и-
^г' ЧЛ
с, +
I
Ь, ц
а, Л |к'1
кз
ё, V
+
(ж) Ь, ц
Ь
(з) Ь, ц
’*'<2
а, — с, +, п а, — , V с, +, п а, — с, + а, —, V
(и)
Рис. 1. Правила Фейнмана
Р\,2 — 4-импульсы сталкивающихся протонов, £1,2 — их энергии, S = 4Е\Е2. По определению для любого 4-вектора к^: к± = (кп±). Нетрудно видеть, что 4-импульсы реджезованных глюонов могут быть представлены в виде:
Ч.\ + ^2 - + - А
<71 = </1Г + —п , <72 = </2Г + —и , (71 = <72 =
(1.4)
Индуцированная вершина взаимодействия реджезованного глюона с двумя янг-миллсовскими глюонами (РРИ-вершина, рис. 1,д) есть:
Р^кисьЬ) = -8^с^_(п±)Чп±у
к1
2
(1.5)
Пропагатор реджезованного глюона (рис. 1,б) определяется следующим образом:
1
0*1(17) = -(ЬаЬ^\(п+Пп~У + (п+У(п~Г].
(1.6)
Лагранжиан теории [10] помимо индуцированной части, отвечающей за реджезованное глюон-глюонное взаимодействие, также включает в себя стандартную янг-миллсовскую часть, отвечающую за кварк-глюонное и
3
глюон-глюонное взаимодействия. Приведем для полноты изложения стандартные правила Фейнмана для этой части лангранжиана: глюонный пропагатор (рис. 1,в)
С>"(4) = (1.7)
кварковый пропагатор (рис. 1,г)
к + т .
И(к, т) = I—--(1.8)
к2 - т2
кварк-глюонная вершина (рис. 1,е)
^(рь к, р2) = 18,Гау^, (1.9)
3-глюонная вершина (рис. 1,ж)
^(кь к2, кз) = -8sfabd х
Х[(к1 - к2)У8Х'1 + (к2 - кз)У" + (кз - кО^], (1.10)
4-глюонная вершина (рис. 1,з)
уаП(к1, кг, кз, к4) = -182[Г^Г^(8Ь8а° - 8Х°8П +
+^се^е(8^8Уа - 8^8^) + ^е^Ье($^8^а - 8}'^8°У)]. (1.11)
Используя правила Фейнмана для индуцированных вершин взаимодействия (1.1), (1.5), можно получить эффективные вершины, например эффективную вершину рождения одиночного глюона двумя реджезованными глюонами Я+Я~ — 8 (РИИ-вершина, рис. 1,и) [11]:
Гь-(Яь к, 42) = УСЦ(^1, -42, к)(п+)п(п~У +
42, к)(п+)п ;Г>2,41, к)(п~) = (1.12)
22
саЬ (41’42, к)(п ) ■ ± асЬ ' “ " "
= 28,ГЪа1(пПЧ+2 + % - (п+У(д- + %) + (91 - 92)1*) V 41 4+ )
где при выводе учтено, что
Г±1(4)0:ь (4) = (п±)а. (1.13)
В нашей статье рассматриваются процессы лишь в лидирующем порядке по а3. Учет следующих по а3 поправок лежит вне рамок представленной работы.
Требование калибровочной инвариантности эффективной теории [10] приводит к следующему условию для амплитуд процессов в КМРК:
11ш |Адмкк(Я ; Я — Н; Х)|2 = 0. (1.14)
|Ч1Г,2Г |—>0
В КМРК, адронное сечение рождения da кваркония Н в процессе
Р ; р — Н; X (1.15)
связано с сечением рождения da в подпроцессе с участием реджезованных глюонов
я ; я — Н; X (1.16)
следующим образом:
(1о(р + р > + X) = Г— Га Ч1ГФ(хь|Шг|2,^2)х
3*13 П
2
X Г — Г ^-^Ф(х2, |q2r|2, \i2)da(R + R^(H + Х), (1.17)
J Х2 J П
где Ф(х, |qT|2, ^2) — неколлинеарная функция распределения глюонов в протоне, xi,2 — доля импульса протона, уносимая реджезованным глюоном, xi =
q~ q2 I---------
= ----, X2 = ----, [i ~ Mj = \M2 + |рг|2 — характерный масштаб жесткого
2E1 2E2
процесса, рт — поперечный импульс конечного кваркония (рт £ XOZ). При этом неколлинеарная функция распределения реджезованных глюонов нормирована на стандартную коллинеарную функцию распределения глюонов в протоне:
xG(x, [I2) = Г^-^Ф(х, |q2r|2,^2), (1-18)
а сечение подпроцесса (1.16) в пределе qiT = q2T = 0 переходит в сечение подпроцесса глюон-глюонного слияния, таким образом востанавливает-ся факторизационная формула коллинеарной партонной модели:
da{„ + р X) = ,2) х
xdo(g + g + X). (1.19)
Дифференциальное сечение подпроцесса слияния реджезованных глюонов (1.16) представлено в виде:
da(R + R^>tH + X)= „ N o |^qmrk(^ + R -» К + X)dd>, (1.20)
2x1x2S
где dФ —дифференциальный фазовый объем конечных частиц, N — нормировочный фактор, обеспечивающий правильный переход к коллинеарному партонному пределу,
N= {X'X2Sf . (1.21)
16|q,rl l42rl '
На стадии численных вычислений были использованы следующие неинтегрированные функции распределения глюонов в протоне Ф(х, |qy |2, ^2): JB [17], JS [18] и KMR [19].
2. Формализм НРКХД
В рамках подхода НРКХД сечение рождения тяжелого кваркония Н в партон-партонном взаимодействии а(а;Ь — Н+Х) может быть представлено
как сумма членов, в которых факторизуются коэффициенты, определяемые физикой жесткого взаимодействия, и матричные элементы, описывающие эффекты физики больших расстояний [12]:
do(H) = ^ da(QQ[n])<OH [n]>. (2.1)
П
Здесь n обозначает набор цветовых, спиновых и орбитальных квантовых чисел QQ-пары, сечение рождения которой o(QQ[n]). Непертурбативный переход QQ-пары в конечный кварконий Н описывается матричным элементом (OH [n]>, который может быть рассчитан в рамках непертурбативных методов КХД или извлечен из экспериментальных данных.
В случае рождения //у-мезонов волновая функция физического орто-чармония может быть представлена как суперпозиция фоковских состояний:
|//у> = O(v0)|cc[3S ((1)]> + O(v()|cc[3 p/8)]g> +
+O(v2)|cc[3S ((’8)]gg> + O(v2)|cc[(S 08)]g> + ..., (2.2)
где для определения квантовых чисел cc-пары используются обычные спектроскопические обозначения, а верхние индексы (1,8) в круглых скобках обозначают синглетное или октетное по цвету состояние.
В модели цветовых синглетов [20] в разложении (2.2) учитывается только первое слагаемое ~ v0, где v — относительная скорость тяжелых кварков в кварконии. В этом случае непертурбативный матричный элемент, например для //у -мезона, (O//y[3S 1()]> напрямую связан с квадратом модуля волновой функции кваркония в нуле |¥(0)|2, который может быть рассчитан в рамках потенциальной кварковой модели [21]:
<O//V [3S ((()]> = 2Nc(2/ + 1)|^(0)|2, (2.3)
где Nc = 3 и / = (.
Аналогично и для P-волновых чармониев имеем:
(OXc/ [3 p/1}]> = 2Nc(2/ + ()|Г (0)|2, (2.4)
где |¥'(0)|2 — квадрат модуля производной волновой функции Х/-мезона в нуле.
В общем случае сечение рождения кваркония Н через образование QQ-пары с квантовыми числами n = 2S +(l/1,8) связано с сечением рождения состояния [n] в жестком подпроцессе и непертурбативным матричным элементом перехода (OH[2S +(l/1>8)]> следующим образом [12, 22]:
a(a + b ^ QQ[2S +(l/1’8)] ^Я) =
ЮН [2S +Ы(-8)]\
= a(a + b^ Qa2S^L(}’*>])—----------=^-Д (2.5)
J ^oliVpol V ;
В случае синглетного по цвету состояния Ncoi = 2Nc, а в случае октетного Ncoi = 8, Npoi = 2/ + (
Амплитуда рождения ((-пары в состоянии [п] = [2$ ;1 Ь|у1’8'1] может быть получена проецированием амплитуды рождения ((-пары с произвольными квантовыми числами.
Проекторы на состояние со значением спина 0 и 1, соответственно, имеют вид [23]:
п°= (2-б)
П? = у=(§(2.7)
где р = уара, ра — 4-импульс ((-пары, 4 = Уа4а, 4а — 4-импульс относительного движения тяжелых кварков, т = у— масса тяжелого кварка, М —
масса тяжелого кваркония.
Амплитуды рождения ((-пары в синглетном и октетном по цвету состоянии получаются сверткой исходной амплитуды с проекционными операторами:
С1 = -У=, (2.8)
с8 = У2 Ц. (2.9)
Проецирование на состояние с определенным значением орбитального момента Ь ((-пары выполняется путем Ь-кратного дифференцирования спроецированной на требуемое спиновое и цветовое состояние амплитуды по
4-импульсу относительного движения кварков, затем 4 полагается равным
нулю. Для интересующих нас случаев с Ь = 0 и Ь = 1 можно записать:
А(а ; Ь — 0<2[1Б 01,8)]) = Тг [с^ПхЖа ; Ь — (
Жа + Ь -> о0[35(1,8)]) = Тг [с, ,8ПаЛ(а ; Ь ^ 00)
Я(а + Ъ -> !2!2[3К1,8)]) = --Тг |С1,8П“Л(а + й ->
7 d4^ L 1
Я(а + Ъ -» б^1^1’8^) = ^Тг [С1,8ПоЛ(а + й -> 2®
где А(аЬ — <2(2) — стандартная КХД-амплитуда рождения (<2-пары с ампутированными кварковыми линиями спиноров.
Суммирование по поляризациям частиц в конечном состоянии можно осуществить при помощи тензора
РаГАр) = -8аР + Е^. (2.14)
Суммирование по поляризациям в случае состояний [3$ 1] и [^1], описываемых 4-векторами поляризации еа, дает:
d
4=0, (2.10
4=0, (2.11
4=0, (2.12
4=0, (2.13
2^' = Раса'. (2.15)
В случае [3Р7] состояний, для 7 = 0, 1 и 2, соответствующие тензоры поляризации сворачиваются по правилам:
«3*15 = (*•!«)
= 5(п<,р№--’>М <2-17)
Л
еа|Зеа'Р' = 2 + ^сф'^аф) — '^Ра$ГРа'$' ■ (2.18)
Л
3. Адронное рождение тяжелых кваркониев
Для описания процесса рождения тяжелых кваркониев (сс, ЬЬ) на коллайдере Теуа^оп в лидирующем порядке по V необходимо учесть вклад следующих состояний в соответствующие волновые функции: [п] = = [3$ 11), 3$ 18),1 $ 08), 3р78'1] если Н = у(п$), Т(п$), или [п] = [3Р1,3518)], если
Н = Хс7, ХЬ7, где 7 = 0, 1 или 2. Другими словами, учесть вклад следующих
партонных подпроцессов:
я + я — Н[3$ (18), 1$ 08),3 рУ\3 р78)], (3.1)
Я + я — Н[3$ (11)] + g. (3.2)
Проведенные нами расчеты в рамках подхода КМРК показали, что квадраты модулей амплитуд процессов (3.1), (3.2) с точностью до нормировочного фактора N (1.21) совпадают с соответствующими квадратами модулей амплитуд, полученными ранее в подходе кт-факторизации [15], а именно:
|Мкт|2 = N 1Адмяк I2. (3.3)
Аналитические формулы для квадрированных амплитуд процессов (3.1), (3.2) в подходе кт-факторизации представлены в наших работах [16] и здесь не приводятся.
Определим кинематические переменные для процесса рождения тяжелого кваркония в рр-взаимодействиях: р = (р0, рт, р3) — 4-импульс кваркония, у и п — быстрота и псевдобыстрота кваркония,
л-ИпМ (3.4)
2 \р0 - р3) 2 \|р|- р3 /
Ро + Рз Ро- Рз _ч
?1 = 1ЁГ' ?2 = ~2ЁГ' (3'5)
Учитывая кинематику подпроцесса 2 — 1 (3.1) и определение (1.17), дифференциальное сечение адронного рождения кваркония Н записывается в
виде:
йа(р + р -> 'Н + X) _ |рг| Г Л2д1Т Г (12ц2т
^1Рг14у 8 J \Ч\т\2 J 1Ч2г12
хб(Ч1г + Ч1г - Рг)Ф(?2,1Ч2г|2, И-2)1^дмкк(^ + К Т/)!2- (3.6)
В случае подпроцесса 2 — 2 (3.2) дифференциальное сечение записывается несколько иначе
da(p + р — Н + X) |рт | Г d2q1T Г ^^2т Г dx2
Г dzq1T Г d д2т Г
J Iqirl2 J 1Ч2г12 J ■
-х
dlprldy 128л3 J Iqirl2 J \Ц_2т\2 J *2 ~ Ъ
хФ(хь |qir|2, [12)Ф(х2, |q2r|2, ^2)|ЛдМкк(Я + Я -> 'И + g) |2, (3.7)
где
Xl _ 7----1-Tcr(('(lir + ^2Г _ P7’-*2 - M2 ~ IPrl2 + x2?iS)• (3.8)
C-^2 - S2)S v 7
Экспериментальные данные для рт-спектров чармониев, полученные Коллаборацией CDF (run I) [1] (Vs" = 1.8 ТэВ, 5 < рт < 20 ГэВ, |_у| < 0.6), включают в себя спектры //у-мезонов от распадов В-мезонов, от распадов Хс/-мезонов, y(2S )-мезонов, а также рт-спектры прямых (direct) //у. Данные CDF (run II) при энергии л[& = 1.96 ТэВ [2] включают более широкую область поперечных импульсов //у-мезонов: 0 < рт < 20 ГэВ. Однако, на сегодня выделены только два вклада в спектр //у-мезонов: от распадов В-мезонов и суммарный (prompt) вклад от прямых //у-мезонов, и //у от распадов Хс/ и у(25).
В настоящее время Коллаборацией CDF опубликованы данные по ^г-спектрам S -волновых боттомониев Т(15), Т(25), Т(35) при л[& =
= 1.8 ТэВ [3] и рт-спектры Y(1S )-мезонов в различных интервалах по быстроте при V^" = 1.96 ТэВ [4]. При этом Т(35) рождаются только напрямую, а спектры Y(2S) и Y(1S) включают в себя прямой вклад и вклад от распадов более высоко лежащих S -и .Р-волновых состояний боттомония, включая каскадные переходы, например: Y(3S) ^ Хм(2Р) ^ Y(1S).
4. Результаты расчетов
В результате фитирования полного набора данных по рт-спектрам //у-и Y-мезонов мы определили значения октетных матричных элементов для трех неколлинеарных функций распределения глюонов в протоне: JB [17], JS [18] и KMR [19]. Синглетные непертурбативные матричные элементы не фитируются, т.к. могут быть извлечены из измеренных ширин распадов у(^) ^ l+l-, Y(«S) ^ в+в~ и хс2 ^ YY [13, 24], а если это невозможно, то используются значения, полученные теоретически в потенциальной кварковой модели [21].
В табл. 1 представлены результаты фитирования непертурбативных матричных элементов для чармониев, полученные при фитировании в кол-линеарной партонной модели (ПМ) [13] и в КМРК при использовании JB [17], JS [18], и KMR [19] неинтегрированных функций распределения глюонов в протоне. Данные Коллаборации CDF по прямому рождению //у-мезонов для run I [1] и run II [2] были исключены из процедуры фитирования для функции распределения JB, т.к. учет этих данных приводит
Таблица 1
Непертурбативные матричные элементы для J/y-, у'- и /cJ-мезонов
н / н ПМ [13] Фит JB Фит JS Фит KMR
«9'/Л|'[35(11)]>, ГэВ3 <0'/Л|'[35(18)]>, ГэВз ГэВ3 (O^t3^8)]), ГэВ5 1.3 4.4 • 10“3 4.3 • 10“2 2.8 • 10-2 1.3 1.5- 10“3 6.6 • 10“3 0 1.3 6.1 • 10“3 9.0 • 10“3 0 1.3 2.7 • 10“3 1.4 10“2 0
<0'i/‘[35,(i1)]>, ГэВ3 6.5 • 10-1 6.5- 10-1 6.5- 10-1 6.5 • 10-1
ГэВ3 4.2 • 10“3 3.0- 10“4 1.5- 10“3 8.3 • 10“4
<<9v'[15q8)]>, ГэВ3 6.9 • 10“3 0 0 0
ГэВ5 3.9 • 10“3 0 0 0
ГэВ5 8.9 • 10“2 8.9- 10“2 8.9- 10-2 8.9 • 10“2
<№°[3s(8)]>; ГэВ3 4.4 • 10“3 0 2.2 • 10“4 4.7 • 10“5
X2/d.o.f - 2.2 4.1 3.0
к значениям x2/d.o.f > 20. На рис. 2 показаны рассчитанные рт-спектры прямых //\|/-мезонов при V5 = 1.8 ТэВ, а на рис. 3 суммарный спектр (prompt) //\|/-мезонов при V^" = 1.96 ТэВ.
На рис. 2 показан рт-спектр рождения прямых (direct) J/y-мезонов при V5 = 1.8 ТэВ и |г|| < 0.6. Кривая 1 —вклад R + R —» /Л|/[35®], 2—сумма R + R ^ J/y[1S08)] и R + R ^ J/y[3pJ8)], 3 — R + R ^ g + J/y[3S(11)], 4-сумма вкладов 1, 2 и 3. B означает относительную ширину лептонного распада J/y. Теоретические результаты получены с использованием неинтегрированных глюонных распределений: JB [17]—рис. 2,(а), JS [18]—рис. 2,(б) и KMR [19] — рис. 2,(в). На рис. 2 видно, что при больших |рт| > 10 ГэВ основной вклад в прямое (direct) рождение J/y-мезонов дает октет-ное состояние (OJ/y[3S 18)]), так же как и в коллинеарной партонной модели [13]. Причем среднее по различным функциям распределения значение непертурбативного октетного матричного элемента {OJ/y [3S ®]) очень близко к значению, полученному ранее в коллинеарной партонной модели. В то же время вклад непертурбативного синглетного матричного элемента (OJ/y [3S(11)]) не так мал, как в коллинеарной партонной модели, особенно в области малых рт.
Фитирование данных для J/y-мезонов, рожденных в радиационных распадах Xj-мезонов наиболее простое, т.к. имеется лишь один свободный параметр (OXc0[3S 18)]). Мы подтвердили вывод работы [14], что в подходе кт-факторизации спектры P-волновых чармониев могут быть описаны только в рамках синглетного механизма рождения. Наилучший фит получается, когда значение непертурбативного октетного матричного элемента (OXc0[3S 18)]) полагается равным нулю. В случае функции распределения JB [17] при фитировании возникают нефизические отрицательные значе-
gej/ндн dp/op g gej/ндн dp/op g gej/ндн dp/op g
рт, ГэВ
Рис. 3. Суммарный (prompt) /^-спектр рождения .//\|/-мезонов при yfS = 1.96 ТэВ и |y| < 0.6
ния {OXc0 [3 S 18) ]), так как вклад синглетного непертурбативного матричного элемента превышает экспериментальные данные при |рт | < 8 ГэВ. Это приводит к большим значениям функции х2, указывающим на невозможность достоверного описания данных с неколлинеарным распределением JB [17].
На рис. 3 представлен суммарный (prompt) рт-спектр J/y-мезонов при V5 = 1.96 ТэВ. Кривая 1 — это вклад прямых (direct) J/y-мезонов, 2 — вклад J/y-мезонов, полученных из распадов у', 3 — вклад J/y-мезонов, полученных из распадов %cj, 4 — сумма вкладов 1, 2 и 3. B означает относительную ширину лептонного распада J/y. Теоретические результаты получены с использованием неинтегрированных глюонных распределений: JB [17]—рис. 3,(а), JS [18] —рис. 3,(б) и KMR [19]—рис. 3,(в). Мы получили, что в области малых |рт | < 5 ГэВ преобладает вклад от распадов Xj-мезонов, а в области |рт| > 5 ГэВ преобладает вклад прямого (direct) рождения. Вклад от распадов y'-мезонов не превышает нескольких процентов при всех значениях рт. Рис. 3 показывает хорошее согласие между теоретическими предсказаниями и экспериментальными данными [2] в случае неколлинеарных функций распределения глюонов в протоне JS [18] и KMR [19]. В случае функции распределения JB [17] имеется существенное превышение в области малых |рт| < 5 ГэВ, и это невозможно исправить выбором непертурбативных октетных матричных элементов. Причина расхождения — в быстром росте функции распределения Ф(х, ^т |2, ^2) при ^т | ^ 0 для JB [17]. В отличие от функции распределения JB [17], функции распределения JS [18] и KMR [19] предсказывают меньшие значения Ф(х, q|2, ^2 ), слабо зависящие от ^т| в этой области.
Результаты фитирования октетных матричных элементов для боттомо-ниев представлены в табл. 2. Фитирование производилось в коллинеарной партонной модели (ПМ) [24] и в КМРК при использовании JB [17], JS [18] и KMR [19] неинтегрированных функций распределения глюонов в протоне. На рис. 4 показаны рассчитанные нами с функцией распределения KMR [19] ^г-спектры Т(15,2S, 35)-мезонов при л/S = 1.8 ТэВ. Кривая 1 — вклад октетных матричных элементов, 2 — вклад синглетных матричных элементов, 3 — сумма вкладов 1 и 2. B означает относительную ширину лептонного распада Y-мезона, для Y(1S) — рис. 4,а, Y(2S) — рис. 4,б, и Y(3S) — рис. 4,в. А на рис. 5 показаны /^-спектры Y(1S) при = 1.96 ТэВ в различных интервалах по быстроте. Полученный в результате фитирова-ния данных с функцией распределения JS [18] набор октетных матричных элементов не позволяет с удовлетворительной достоверностью (х2 = = 27) описать данные по спектрам боттомониев, хотя спектры чармони-ев описывались только немного хуже, чем для функции распределения KMR [19]. Для функции распределения JB [17] ситуация обратная: в отличие от рт-спектров чармониев, спектры боттомониев описываются удовлетворительно (х2 = 2.9).
При расчетах использовались следующие значения парциальных ширин распадов [25]: B(Y(3S) ^ + ^-) = 0.0181, B(Y(2S) ^ + ^-) = 0.0131,
Таблица 2
Непертурбативные матричные элементы для Т(15)-, Т(25)-, Т(35)-,
ХьЛ1р)~ и Хы (2Р)-мезонов
н / н ПМ [24] Фит № Фит ^ Фит КМИ
<0Т(15)[35(11)]>, ГэВ3 И 11 11 И
<0Т(15)[35(18)]>, ГэВ3 2.0 • 10-2 5.3 • 10“3 0 0
<0Т(15)[15(8)]>) ГэВ3 1.4 10-1 0 0 0
«Я15>[Уо8)]>, ГэВ5 0 0 0 9.5 • 10“2
(Оо(1Р)[Зр(1)]) ГэВ5 2.4 2.4 2.4 2.4
(0^о(1^[35(8)]) ГэВ3 1.5 10“2 0 0 0
<От(2Х)[35(11)]>, ГэВ3 4.5 4.5 4.5 4.5
«9Т(2Х)[35(18)]>, ГэВ3 1.6 ю-1 0 0 3.3 • ю-2
<0Т(25)[15(8)]>) ГэВ3 0 0 0 0
<0Т(25)[Зр(8)]>) ГэВ5 0 0 0 0
<№о(2Р)[Зр(1)]) ГэВ5 2.6 2.6 2.6 2.6
ГэВ3 СО 1 О О 00 1.1 • 10-2 0 0
<0Т(М)[35(11)]>, ГэВ3 4.3 4.3 4.3 4.3
<0Т(М)[35(18)]>, ГэВ3 3.6 • 10“2 1.4 10“2 5.9 • 10“3 1.1 • 10“2
<0Т(35)[15(8)]>) ГэВ3 5.4 • 10“2 0 0 0
«ЭТ(35)[У08)]>, ГэВ5 0 2.4 • 10“2 3.4 • 10“3 5.2 • 10“2
Х2/±о1 — 2.9 27 0.5
Таблица 3
Вероятности переходов между различными состояниями боттомония с учетом всевозможных каскадных процессов
Нач. \ Кон. Т(35) ХЬ2(2Р) ХЬ1(2Р) Хьо (2Р) Т(2^) ХЬ2(1Р ) ХЬ1(1р) Хьо(1Р ) Т(15)
Т(3^) 1 0.114 0.113 0.054 0.106 0.007208 0.00742 0.004028 0.102171
ХЬ2(2Р) — 1 — — 0.162 0.011016 0.01134 0.006156 0.129565
Хы(2Р) — — 1 — 0.21 0.01428 0.0147 0.00798 0.160917
ХЬ0(2Р) — — — 1 0.046 0.003128 0.00322 0.001748 0.0167195
Т(2^) — — — — 1 0.068 0.07 0.038 0.319771
ХЬ2(1Р ) — — — — — 1 — — 0.22
ХЫ(1Р) — — — — — — 1 — 0.35
Хьо(1Р) — — — — — — — 1 0.06
Т(15) — — — — — — — — 1
B(Y(wS)^^+^ ) x (d2a/dpjdy)y<04, пбн/ГэВ
Pj, ГэВ
Рис. 4. Суммарный (prompt) /^-спектр рождения Т-мезонов, усредненный по |у| < 0.4 при VS = 1.8 ТэВ. Теоретические результаты получены с использованием неинтегрированного глюонного распределения KMR [19]
B(Y(7£)^ц+ц ) x d2o/dpjdy, пбн/ГэВ
рТ, ГэВ pj, ГэВ
Рис. 5. Суммарный (prompt) /^-спектр рождения Y( 15)-мезонов при разных обрезаниях по у при VS = 1.96 ТэВ. Обозначения такие же, как и на рис. 4
B(Y(1S) ^ ^ ) = 0.0248, В(//у ^ ^ ) = 6.01 X 10 2, В(у' ^ //у + X) =
= 0.576, В(хсо ^ //у + у) = 0.012, B(Xc1 ^ //у + у) = 0.318 и B(Xc2 ^ //у + + у) = 0.203. Массы составляющих кварков: mc = 1.55 ГэВ и ту = 4.77 ГэВ. Вероятности переходов между различными состояниями боттомония с учетом всевозможных каскадов представлены в табл. 3.
Заключение
Анализ полученных в результате Фитирования экспериментальных данных, октетных непертурбативных матричных элементов НРКХД для рассмотренных неколлинеарных функций распределения глюонов в протоне показывает, что, во-первых, функции распределения JB [17] и JS [18] не позволяют с удовлетворительной достоверностью фитировать полный набор экспериментальных данных, напротив, KMR [19] позволяет непротиворечиво фитировать рт-спектры чармониев и боттомониев (х2 = 3.0 и 0.5); во-вторых, непертурбативные переходы из промежуточного октетного состояния в конечное синглетное приближенно удовлетворяют условию: AL - 0 и AS - 0, т.е. являются дваждыхромоэлектрическими, и сохраняют спин и орбитальный момент тяжелых кварков, как это и предсказывается принципами спиновой симметрии процессов с участием тяжелых кварков.
Авторы благодарны Б.Книлю, Э. Кураеву и О.Теряеву за интерес к работе и полезные дискуссии, а также благодарит Международный центр теоретической физики в Москве и Фонд ’’Династия” за финансовую поддержку.
Литература
[1] CDF, AbeF. et al. //у and y(2S) production in pp collisions at л/s = 1.8 TeV // Phys. Rev. Lett., 1997. V. 79. P. 572; ibib. 1997. V. 79. P. 578; CDF, AffolderT. et al. Measurement of //у and у(2S) polarization in pp collisions at л/s = 1.8 TeV // Phys. Rev. Lett., 2000. V. 85. P. 2886.
[2] CDF, Acosta D. et al. Measurement of //у meson and b-hadron production cross section in pp collisions at л/s = 1960 GeV // Phys. Rev., 2005. V. D71. P. 032001.
[3] CDF, AbeF. et al. T production in pp collisions at л/s = 1.8 TeV // Phys. Rev. Lett., 1995. V. 75. P. 4358; CDF, AcostaD. et al. T production and polarization in pp collisions at л/s = 1.8 TeV // Phys. Rev. Lett., 2002. V. 88. P. 161802.
[4] CDF, AbazovV.M. et al. Measurement of inclusive differential cross section for Y(1S) production in pp collisions at л/s = 1960 GeV // Phys. Rev. Lett., 2005. V. 94. P. 232001.
[5] CTEQ, Brock R. et al. Handbook of perturbative QCD: version 1.0. // Rev. Mod. Phys., 1995. V. 67. P. 157.
[6] GribovV.N., Lipatov L.N. Deep inelastic e p scattering in perturbation theory // Sov. J. Nucl. Phys., 1972. V. 15. P. 438; DokshitserYu.A. Calculation of the structure functions for deep inelastic scattering and e+ e- annigilation by perturbation theory in quantum chromodynamics // Sov. Phys. JETP., 1977. V. 46. P. 641; AltarelliG., ParisiG. Asymptotic freedom in parton language // Nucl. Phys., 1977. V. B126. P. 298.
[7] KuraevE.A., Lipatov L.N., FadinV.S. Multi - reggeon processes in the Yang-Mills theory // Sov. Phys. JETP, 1976. V. 44. P. 443; Balitskii Y.I., Lipatov L.N. The pomeranchuk singularity in quantum chromodynamics // Sov. J. Nucl. Phys., 1978. V. 28. P. 822.
[8] GribovL.V., LevinE.M., Ryskin M.G. Semihard processes in QCD // Phys. Rep., 1983. V. 100. P. 1; Collins J.C., Ellis R.K. Heavy quark production in very high-energy hadron collisions // Nucl. Phys., 1991. V. 360. P. 3; CataniS., CiafoloniM., HautmannF. High-energy factorization and small x heavy flavor production // Nucl. Phys., 1991. V. B366. P. 135.
[9] FadinV.S., Lipatov L.N. Next-to-leading corrections to the BFKL equation from the gluon and quark production // Nucl. Phys., 1996. V. B477. P. 767.
[10] Lipatov L.N. Gauge invariant effective action for high-energy processes in QCD // Nucl. Phys., 1995. V. B452. P. 369.
[11] AntonovE.N., LipatovL.N., KuraevE.A., CherednikovI.O. Feynman rules for effective regge action // Nucl. Phys., 2005. V. B721. P. 111.
[12] BodwinG.T., BraatenE., LepageG.P. Rigorous QCD analysis of inclusive annihilation and production of heavy quarkonium // Phys. Rev., 1995. V. D51. P. 1125.
[13] BraatenE., KniehlB.A., LeeJ. Polarization of prompt //у at the Teva-tron // Phys. Rev., 2000. V. D62. P. 094005.
[14] HaglerP. et al. Heavy quark production as sensitive test for an improved description of high-energy hadron collisions //P. Phys. Rev., 2000. V. D62. P. 071502; YuanF., ChaoK.-T. Color singlet direct //у and у' production at Tevatron in the kj-factorization approach // Phys. Rev., 2001. V. D63. P. 034006; YuanF., ChaoK.-T. Polarizations of //у and у' in hadroproduction at Tevatron in the kj-factorization approach // Phys. Rev. Lett., 2001. V. 87. P. 022002; HaglerP. et al. Towards a solution of the charmonium production controversy: kj-factorization versus color octet mechanism //P. Phys. Rev. Lett., 2001. V. 86. P. 1446; Baranov S.P. Highlights from the kj-factorization approach on the quarkonium production puzzles // Phys. Rev., 2002. V. D66. P. 114003.
[15] SaleevV.A., VasinD.V. Direct //у and у' hadroproduction via fragmentation in the collinear parton model and kj-factorization approach // Phys. Rev., 2003. V. D68. P. 114013; СалеевВ.А., Васин Д.В. Адронное рождение прямых //у- и у'-мезонов в процессах фрагментации
глюонов и c-кварков при высоких энергиях jj Яд. физ., 2005. Т. 68. С. 95;
[16] KniehlB.A., SaleevV.A., VasinD.V. Charmonium production at high energy in the ^-factorization approach jj в печати; SaleevV.A., VasinD.V. On the direct //у-meson hadroproduction at high energies jj In Proc. First Int. Workshop "HSQCD 2004 2004. P. 73.
[17] BlumleinJ. On the ^ dependent gluon density of the proton jj DESY-95-121, 1995.
[18] JungH., SalamG. Hadronic final state predictions from CCFM: the
hadron level Monte Carlo generator CASCADE jj Eur. Phys. J., 2001. V. C19. P. 351.
[19] KimberM.A., MartinA.D., RyskinM.G. Unintegrated parton distributions jj Phys. Rev., 2001. V. D63. P. 114027.
[20] BergerE.L., Jones D. Inelastic photoproduction of //у and Y by
gluons jj Phys. Rev., 1981. V. D23. P. 1521; BaierR., RiicklR. Hadronic production of //у and Y: transverse momentum distributions jj Phys. Lett., 1981. V. B102. P. 364; Gershtein S.S., Likhod-
edA.K., Slabospitsky S.R. Charmed particle inclusive spectra in photoproduction processes jj Sov. J. Nucl. Phys., 1981. V. 34. P. 128;
Картвелишвилли В.Г., ЛиходедА.К., Слабоспитский С.Р. Рождение D-и у-мезонов в адронных взаимодействиях jj Яд. физ., 1978. Т. 28. С. 1315.
[21] EichtenE.J., QuiggC. Quarkonium wave function at the origin jj Phys. Rev., 1995. V. D52. P. 1726; LuchaW., SchoberlF.F., GromesD. Bound states of quarks jj Phys. Rep., 1991. V. 200. P. 127.
[22] MaltoniF., ManganoM.L., PetrelliA. Quarkonium photoproduction at next-to-leading order jj Nucl. Phys., 1998. V. B519. P. 361.
[23] KuhnJ.H., Kaplan J., SafianiE.G.O. Electromagnetic annihilation of e+e-— into quarkonium states with even charge conjugation j j Nucl. Phys., 1979. V. B157. P. 125; GuberinaB., KuhnJ.H., PecceiR.D., RiicklR. Rare decays of the Z0 jj Nucl. Phys., 1980. V. B174. P. 317.
[24] BraatenE., Fleming S., Leibovich A.K. Nonrelativistic QCD analysis of bottomonium production at the Fermilab Tevatron j j Phys. Rev., 2001. V. D63. P. 094006.
[25] EidelmanS. et al. Review of particle physics jj P. Phys. Lett., 2004. V. B592. P. 1.
Поступила в редакцию 10jX/j2005; в окончательном варианте—10jX/j2005.
HADROPRODUCTION OF HEAVY QUARKONIA IN QUASI-MULTI-REGGE KINEMATICS
© 2005 V.A. Saleev, D.V. Vasin2
The quarkonia (cc, bb) hadroproduction in framework of the quasi-multi-Regge kinematics and the nonrelativistic QCD at leading order in as and v is studied. The Tevatron data (run I and run II) for pt-spectra are fitted to obtain the S- and P-wave. The color octet nonperturbative matrix elements at the different choice of the unintegrated gluon distribution function in a proton are obtained.
Paper received 10jX/j2005. Paper accepted 10jXIj2005.
2Saleev Vladimir Anatolievich (saleev@ssu.samara.ru), Vasin Dmitriy Valerievich (vasin@ssu.samara.ru), Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
