Адаптивное управление динамической системой на основе обратных задач динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы

Анализ результатов численного моделирования изгибных колебаний плат показал:

Знание форм собственных колебаний, полученных по результатам компьютерного моделирования, позволяет наиболее точно определить необходимые места расположения измерительных виброустройств на плате при проведении динамических испытаний для экспериментального анализа виброрельефа плат.

Из анализа напряженно-деформированного состояния платы и её элементов, соответствующего каждой из форм собственным колебаний, можно прогнозировать наиболее вероятные зоны возникновения и

развития латентных дефектов (непреклеи, пепро-паи, микротрещины и т.п.). Это в свою очередь позволяет научно обоснованно назначать режимы технологической вибрации для выявления возможных скрытых производственных дефектов.

Предложенная математическая модель рекомендуется к практическому использованию на ранних стадиях проектирования конструктивных элементов РЭС для обеспечения динамической виброустойчивости плат и приборных устройств в целом в реальных условиях вибрационного нагружения изделий различного назначения.

ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хади,О. Ш. Анализ динамики контактных систем приборов/ О.Ш.Хади // Надежность и каче-ство:Тр.Междунар.симп.Т.2.-Пенза:Изд-во ПГУ,2014.С.223-225.

2. Литвинов,А.Н. Применение слоистых структур для повышения виброустойчивости конструкций различного назначения/А.Н.Литвинов, Д.В.Артамонов, М.А.Литвинов, Н.К.Юрков// Надежность и качество:Тр. Междунар. симп.Т.2.-Пенза:Изд-во ПГУ,2013.С.14 9-151.

3. Хади,О. Ш. исследование динамических характеристик микросборок приборных устройств при вибрационных воздействиях / О. Ш.Хади , А.Н. Литвинов //Известия вузов. Поволжский регион. Технические науки :Изд-во ПГУ,2 015.-№3.-С. 134-143

4. Хади,О. Ш. Исследование влияния конструктивных особенностей плат на их динамические характеристики/ О. Ш.Хади , А.Н. Литвинов, Г.В. Гуральник // Надежность и качество: Тр.Между-нар.симп.Т.1.-Пенза:Изд-во ПГУ,2 015.-С.245-250.

УДК 62-52 Харьков В. П.

ООО «Экспериментальная мастерская НаукаСофт», Москва, Россия

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ НА ОСНОВЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

Рассмотрен алгоритм синтеза оптимального адаптивного управления на основе концепции обратных задач динамики, обеспечивающий системе инвариантные свойства по отношению к действующим на нее контролируемым возмущениям. Ключевые слова:

динамические системы, внешние возмущения, обратные задачи динамики, оптимальное управление, адаптивные системы.

Существует достаточно широкий класс динамических систем, на которые воздействуют контролируемые возмущения. Если цель управления заключается в отработке некоторого заданного процесса, то возникает задача непосредственного учета возмущений в законе управления [1].

Представляет определенный интерес синтезировать управление на основе концепции обратных задач динамики [2,3], позволяющей учесть все контролируемые воздействия непосредственно в законе управления.

Пусть динамическая система в пространстве состояния описывается дифференциальным уравнением вида

х (г) =Ах (г) +Ви (г)+V (г),

(1)

где X(t) - п-мерный вектор состояния; и(1) - д-мерный вектор управления, V (\) - вектор контролируемых внешних возмущений; А, В - известные матрицы.

Процесс, предназначенный для отработки, определяется как

хт (1) =Г (1), (2)

где f (1) - Б-мерная векторная функция, дифференцируемая требуемое число раз, удовлетворяющая

условию

8 ^ Я,

требуется найти вектор и (1)сигналов управления, обеспечивающий минимум функционала.

1=Шп | [( Ех-хТ ) д (Ех-хт ) +итКи

5)

в котором 0),К - матрицы штрафов за точность и величину сигналов правления.

Из (5) следует, что целью управления является выполнение условия (4). Введем дополнительное ограничение [4]

Иш[Рх-хт ], (6)

которое, как следует из [5], позволяет перейти от минимизации функционального уравнения к минимизации параметрического уравнения. Кроме того оно учитывает, что в некоторый момент ^ условие (4) может не выполняться, например, из-за воздействия неконтролируемых возмущений. Приближение к нулю условия (6) может быть осуществлено по различным траекториям, например как в [6] где конкретный вид которых определяется как исходной моделью объекта управления (1), так и требованиями к замкнутой системе управления. С учетом (1) будем полагать, что замкнутая система управления должна быть также линейной.

Если ввести обозначение р (х) =Ех-хт, то условие (6) можно представить в виде дифференциального уравнения [2, 3]:

Условие (3) удовлетворяет свойству управляемости на бесконечности, при ^ < t < . Под управляемостью на бесконечности понимается возможность выполнения условия

% (1) =Ех(1),при 1 е <х], ( 3 )

где Г - матрица размером р X п , состоящая из нулей и единиц.

Из условия (4) следует, что компоненты вектора хт(1) имеют тот же физический смысл, что и

некоторые компоненты вектора состояния (1).

В математическом плане задача управления формулируется следующим образом. Для системы (1)

р(Ш) (х) +Сш-1р(Ш-1) (х) +...+С1р(1) (х) +С0р(х) =0, (7)

где С^=0...Ш-1 - любые положительно определенные

матрицы, обеспечивающие устойчивость решения (7); ш < П - порядок дифференциального уравнения.

Полагая, что для управляемых координат известны не только значения, но и их первые т производных, получаем после подстановки (1) в (7) либо алгебраическое, либо дифференциальное уравнение относительно неизвестного вектора управления [6].

Для управляемой системы уравнение (7) с учетом (5) можно представить в виде уравнения Коши относительно вектора управления:

0

U0=D0U0+R0z0>

где

е u0 -[q(m -1)] -

мерный вектор, первый q ком-

понент которого соответствуют искомому управлению; - матрицы, а г0- вектор соответствующих размерностей, полученные после преобразования системы (7).

Отметим одну характерную особенность уравнения (8). Если матрица Б имеет хотя бы один столбец, у которого все элементы кроме одного равны нулю, то соотношение (8) будет представлять собой совокупность как дифференциальных, так и алгебраических уравнений. Причем, если матрица Б содержит строго q ненулевых элементов, то эти уравнения будут алгебраическими.

При анализе свойств замкнутой системы управления и оценке ее инвариантности по отношению к возмущениям будем полагать, что система (1) имеет вид

х (1 ) = х2 (I)+V, (I), (д)

Х2 (1) = а12Х1 (1) + а22Х2 (1)+ Ьи (1) + V (1),

где V, (1 (1) - контролируемые возмущения, непрерывно дифференцируемые по аргументу ^

Требуется определить такое управление и(1) , которое обеспечивало бы отслеживание заданной траектории Хт (1) . В этом случае функционал (5) Т

примет вид I = тт II (Х1-Х1Т

)2+ки2 Ъ,

(10)

а ограничение (7) запишется как

(Х1 - Х1Т )(2) + С1 (Х1 - Х1т )(1) + Со (Х1 - Х1т ) = 0,

где матрицы С^Совырождаются в скаляры.

Так как для системы (9) матрица В=(0,Ь)т имеет только один ненулевой элемент, тогда уравнение (10) будет алгебраическим. Подставляя (9) в (10) получаем

и = Ь-1 [-(а21 + С0)х1 - (а22 + С^Хз - С^рУрУз + СдХ^С^^ + х1Т

(И)

Замкнутая система (9) с управлением (11) преобразуется к виду

x1(t) = x2(t) + V1(t);

x2(t) = -CoXl(t) - ClX2(t) - kj© + k2(t),

(12)

^(1) = С^! (I) + V; (I); к2(1) = С0х1Т (I) + С^ (I) + х1Т (I), (13)

Коэффициенты С1?С0определяются из необходимых условий экстремума скалярной функции многих переменных, т. е. из решения системы:

51(С1,Со)_0. э1(С1,Со) 0

з е„

(14)

.0 SCi

при условии, что Vi = 0,V2 = 0, a Xit = const.

Рассмотрим свойства системы (12). Непосредственно из (12), (13) видно, что возмущение V2(t) не влияет на процесс X(t). Для оценки точности отслеживания процесса Xit (t) определим передаточную функцию Wi(p) для Х1(р) от Х1т(р).

Применив преобразование Лапласа к (12) при нулевых начальных условиях, получим:

-p -1 ] xi(p) _[ 1 ]l 0 Co p+CoJ|_x2 (p)J [_-P-CiJ 1W Lp2+CiP+C

15)

Тогда передаточная функция W1(p) имеет вид

( p) •

Wi (p)_

p2+CIP+CO _ p2+Cip+Co

= 1.

(16

Равенство Wl(p)=l означает, что при начальных условиях Х (1о)=Хц (1о) входной сигнал Х1Т (^ будет отрабатываться точно, т.е. справедливо

Xi (t ) = XiT (t ),t e[0,T].

Анализ влияния возмущения У2 (^ на процессы управления будем проводить по передаточной функции W2(p) для ошибки, обусловленной возмущением У2(р). Из (12) имеем

(p)_ p+Ci-(p+Ci) _0. 2W p2+Cip+Co

(17)

Следует отметить, что условие (р) = 0 вы-

полняется в случае измерения только У2^).

Из (16) и (17) следует, что система (12) обладает инвариантными свойствами по отношению к возмущениям VI (^ и V2 (t) и астатизмом второго порядка по отношению к входному задающему сигналу.

Рассмотрим свойства системы (12) в предположении, что контролируется только V2 (t). В этом случае имеем передаточную функцию И2(Р) для ошибки вида

W2 ( p )_

p +С

p2+Cip+Co

(18

Если возмущение Ev (1) представляет собой медленно меняющуюся функцию времени, т.е. ширина спектра которого существенно меньше полосы пропускания системы, то ошибку Ev (1) можно представить в виде ряда ошибки с неизвестными коэффициентами [4] . Тогда ошибка Еу (Ч) , обусловленная действием возмущения Еу (1) , определяется выражением

C

Следует отметить, что «вклад» каждого последующего слагаемого в общую ошибку будет уменьшаться пропорционально коэффициенту Со.

Из полученных выражений для передаточных функций и ошибки для замкнутой системы управления следует, что замкнутая система управления обладает инвариантными свойствами по отношению к постоянному возмущению V2 (t). Кроме того, для компенсации действия возмущения Vl(t) необходимо измерять не только её величину, но и производную. Если измерения возмущений отсутствуют, то в замкнутой системе управления возникают ошибки в достижении цели управления, величины которых в Со или в С2 раз меньше возмущений.

Работа выполнена при поддержке РФФИ грант № 16-08-00210-а

ЛИТЕРАТУРА

1. Меркулов В.И., Харьков В.П. Синтез адаптивного регулятора для радиоэлектронных следящих систем - Радиотехника. 2007, №1.

2. Харьков В.П. Адаптивное управление динамическими системами на основе обратных задач динамики

- Известия Российской академии наук. Теория и системы управления, 1994, №4, С. 256.

3. Канащенков А.И., Меркулов В.И., Харьков В.П. и др. Авиационные системы радиоуправления, т. 3

- М.: Радиотехника, 2004.

4. Кочетков Ю.А. Основы автоматики авиационного оборудования. - М.: ВВИА им. Н.Е.Жуковского, 1995.

5. Меркулов В.И., Харьков В.П. Оптимизация радиоэлектронных систем управления. Методы и алгоритмы синтеза оптимального управления (обзор). Радиотехника. 1998. № 9.

6. Харьков В.П., Халютин С.П. Управление вектором скорости полета летательного аппарата на основе энергетического подхода. Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. 2015. № 213 (3). С. 73-80.