АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА С ЯВНО-НЕЯВНЫМ ЭТАЛОНОМ И СТАЦИОНАРНЫМ НАБЛЮДАТЕЛЕМ ДЛЯ ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ВЕСТН/КТОГУ 2011. № 2 (21)

УДК 681.513.675

© Е. Л. Еремин, Л. В. Чепак, 2011

АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА С ЯВНО-НЕЯВНЫМ ЭТАЛОНОМ И СТАЦИОНАРНЫМ НАБЛЮДАТЕЛЕМ ДЛЯ ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ1

Еремин Е. Л. -д-р техн. наук, проф., проректор по научной работе и информатизации, тел. (4212) 22-44-19, e-mail: [email protected] (ТОГУ); Чепак Л. В. - канд. техн. наук, доц. кафедры «Информационные и управляющие системы», e-mail: [email protected] (АмГУ)

Рассматривается синтез адаптивной системы с явно-неявной эталонной моделью для динамического объекта со скалярными входом и выходом, обладающего запаздыванием по управлению. Для компенсации в системе запаздывания по управлению применяется дополнительное устройство в виде упредитель-компенсатора. В структуре адаптивного регулятора используются восстановленные с помощью стационарного наблюдателя недоступные непосредственному измерению переменные состояния объекта. Задача синтеза системы управления для априорно неопределенного объекта в работе решена в рамках критерия гиперустойчивости.

The article considers the synthesis of an adaptive system with its explicit-implicit reference model for a dynamic object with a scalar both input and output, which has the delay control. In order to compensate for the control delay in the system the additional device such as the predictor-compensator is employed. In the structure of an adaptive regulator the not-accessible to direct measurement variable conditions of an object restored with a stationary observer are used. The problem of synthesis of control system for aprioristic indefinite object is solved within the hyperstability criterion.

Ключевые слова: запаздывание по управлению, упредитель-компенсатор, явно-неявная эталонная модель, наблюдатель, критерий гиперустойчивости.

Введение

Задача построения устойчивых систем управления априорно неопреде-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2011-2012 гг.)» в рамках проекта «Адаптивные и робастные системы управления сложными динамическими объектами с запаздыванием» (регистрационный номер: 2.1.2/9255).

ВЕСТНИКТОГУ 2011. № 2 (21)

ленными объектами со скалярными входом и выходом, переменные состояния которых недоступны для прямого измерения, по-прежнему остается одной из актуальных в современной теории управления [1-3]. Для решения этой проблемы используются различные подходы: разрабатываются наблюдатели полных и пониженных порядков [1, 4], строятся схемы расширения сигналов рассогласования [2] и т. д.

С практической точки зрения кроме априорной параметрической неопределенности объекты управления могут обладать различными запаздываниями. Наиболее распространенным является класс объектов с задержкой в управлении, но задача компенсации такого типа запаздывания нетривиальна. Существуют различные способы нейтрализации отрицательного влияния запаздывания по управлению на устойчивость системы в целом, как правило, это различные дополнительные устройства: прогнозирующее устройство [5], эталонный упредитель [6], предиктор [7] или упредитель-компенсатор [6].

В работе для оценки недоступных переменных состояния применяется подход, связанный с построением стационарного наблюдателя полного порядка и использованием для компенсации запаздывания упредитель-компенсатора в явно-неявной форме. Авторами выполнено сопоставление результатов имитационного моделирования системы, синтезированной в рамках данного исследования, и системы адаптивного управления, построенной с применением концепции расширения ошибки слежения [6].

Математическая модель системы управления

Динамический объект управления описывается уравнением:

dx() = A ■ x(t) + B ■ u(t - h) + f(t), y(t) = LT x(t), (1)

dt

x(0) = x0, u(0) = ф{в), 6>e[-h,0], где: x(t) e Rn - вектор состояния; u(t) e R - управляющее воздействие, y(t) e R - выход объекта; h - известное запаздывание, h = const > 0, ft) - постоянно действующее возмущающее воздействие, fT(t) = [0, ..., 0, fn(t)], \fn(t) I <fo, fo = const >0, LT = [1, 0, ..., 0].

Функционирование объекта (1) происходит в условиях априорной неопределенности его параметров:

A = A(a B = B(#), f (t) = f (t), # e E , (2)

где: ^ - набор неизвестных параметров, принадлежащих известному множеству E.

Для задания желаемой динамики поведения объекта в теории управления используются различные эталонные модели: явная модель, которая физически включается в структурную схему системы управления; неявная модель, которая определяется некоторым аналитическим выражением, описывающим свойства объекта в установившемся режиме; явно-неявная модель - представляет собой технический блок, имеющий минимальный порядок.

АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА С ЯВНО-НЕЯВНЫМ ЭТАЛОНОМ И СТАЦИОНАРНЫМ НАБЛЮДАТЕЛЕМ ДЛЯ ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ

ВЕСТН/КТОГУ 2011. № 2 (21)

В данной работе для определения желаемых свойств объекта (1) в систему вводится явно-неявная эталонная модель [8], которая реализуется в системе в виде инерционного звена первого порядка:

dxM (t)

• Xm (t) + км • r(t), (t) = Xm (t), (3)

dt

где: xM(t) e R - желаемое состояние объекта; r(t) e R - задающее воздействие, r(t) - кусочно-непрерывная, ограниченная функция; aM, км = const > 0.

Расширим пространство состояний эталонной модели (3) до n-го порядка. Для этого числитель и знаменатель передаточной функции эталона умножим на гурвицев полином g(s), компоненты которого выбираются специальным образом:

км _ км • g (s) _ км • G (sEn - Am )+ Bm _

W (s) ______

s + ам (s + ам)• g(s) (s + ам)• GT(sEn - Am)+ Bn

_ GT (sEn - Am )+ Bm

- KM '

(4)

а* - лт)

где: - гурвицев полином степени п - 1, ^Еп - Лт)+ - присоединенная матрица, Еп - единичная матрица порядка п, компоненты вектора G выбираются из условия гурвицевости полинома

Тогда в расширенном пространстве состояний уравнение эталонной модели примет следующий вид:

^^ = Лт • Хт (Г) + ^Вт • Г (Г), у т (Г) = И Хт Ц), ^т (0 = (Г) , (5)

где: хт(0 е К1 - переменные состояния; ут(0 е R - выход эталона, zm(t) е R -обобщенный выход эталона, Лт - гурвицева матрица, Вт - вектор управления.

Для матриц состояния и векторов управления объекта (1) и эталона (5) выполняются условия структурного согласования:

Л - Лт = ВтС0 , В = Вт + 1) , (6)

где: С0, ko - неизвестные вектор и скаляр.

Для преодоления негативного влияния на поведение системы запаздывания в канале управления, следуя работе [6], в основной контур вводится уп-редитель-компенсатор. Это дополнительное устройство с целью уменьшения порядка системы и упрощения технической реализации может быть задано, аналогично эталону (3), в явно-неявном виде:

= -ам • Хк ^) + ^) - п^ - И), zk ^) = Хк (t) . (7)

Передаточную функцию упредитель-компенсатора можно преобразовать, учитывая (4), к явному виду:

ЦТ = 1-=_£ - е - )= ^ (Е - Лт )+ Вт (1 - е-)

s + ам ^ + ам )• У ' К - Лт) У 1

Тогда в пространстве состояний уравнение упредитель-компенсатора запишется следующим образом:

ВЕСТНИКТОГУ 2011. № 2 (21)

ШХк^ = Ат • Хк(О + Вт-(«(О-«(*-й)), ук= Ихк(Г), ^(О = (0, (8)

Ш

где: хк(?) е К1 - переменные состояния дополнительного устройства; ук(0 е К - выход, zk(t) е К - обобщенный выход упредитель-компенсатора.

Для придания системе желаемых свойств в рассмотрение вводится адаптивный регулятор следующей структуры:

ы(0 = ^) - СТ ^)х^) - к^)ы(t - И), (9)

где: %((), C(t), k(t) - параметры регулятора, алгоритмы настройки которых подлежат определению в процессе синтеза системы.

В случае полностью измеряемого вектора состояния реализация предложенного закона управления (9) вполне осуществима. Однако на практике подобные ситуации достаточно редки. Как правило, переменные состояния объекта управления измерению не доступны, и тогда в законе управления может использоваться текущая информация о входе и выходе объекта.

Таким образом, в законе управления (9) вместо переменных состояния х(0 будут использоваться их оценки х„(0, полученные с помощью стационарного наблюдателя [3]:

= Ат • Х„ ^) + Вт • Ы ^ - И) + N • ^) - у„ ^)), (10)

Ш (10)

у„ (t) = ^хп ^), zn (t) = 0Тхп ^),

где: xn(t) е Rn - переменные состояния наблюдателя, yn(t) е R - выход, zn(t) е R - обобщенный выход наблюдателя, N - постоянный вектор, обеспечивающий желаемую скорость устранения разности выходов объекта и наблюдателя.

Выбор значений вектора N осуществляется из условия желаемого распределения корней характеристического полинома наблюдателя (10), которые обычно удовлетворяют неравенству:

min Re(- Sj ) > Л max Re(- sf),

где: Sj, Sj - характеристические числа матриц Am и (Am - NLT) соответственно, Л = const - скаляр, который определяет расположение полюсов на комплексной плоскости, обеспечивая тем самым справедливость предельного равенства:

lim xn (t) = x(t). (11)

t ^^

Выполнение соотношения (11) позволяет в процессе синтеза системы и формирования закона управления вместо переменных состояния объекта (1) использовать доступные измерению переменные состояния наблюдателя (10), т. е. x(t) = xn(t), а уравнения объекта (1) и регулятора (9) примут вид:

= A • Xn (t) + B • «(t - h) + f(t), yn (t) = LTXn (t), zn (t) = GTXn (t), (12)

dt

«(t) = X(t )r (t) - CT (t) xn (t) - k (t )«(t - h). (13)

АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА С ЯВНО-НЕЯВНЫМ ЭТАЛОНОМ И СТАЦИОНАРНЫМ НАБЛЮДАТЕЛЕМ ДЛЯ ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ

ВЕСТН/КТОГУ 2011. № 2 (21)

Постановка задачи. Требуется для системы (1), (3), (7), (9), (10), (12), (13) синтезировать алгоритмы настройки коэффициентов регулятора (13) таким образом, чтобы при любых начальных условиях и любом уровне априорной неопределенности (2) обеспечивалось достижение целей управления и адаптации:

lim Iy (t) - ym (t)| < а, а = const > 0, (14)

lim x(t) = lo, lim C (t) = Coi, i = 1, n, lim k(t) = ko. (15)

t t t

Синтез системы управления

Разработка системы управления выполняется с помощью критерия гиперустойчивости [9], поскольку он определяет условия устойчивости системы и позволяет синтезировать набор алгоритмов, являясь одним из продуктивных методов синтеза адаптивных систем управления. Проектирование системы осуществляется в предположении отсутствия возмущений и в соответствии с выделенными В. М. Поповым стадиями: нахождение эквивалентного математического описания исследуемой системы управления, разрешение интегрального неравенства, решение проблемы положительности, проверка достижимости поставленных целей управления и адаптации.

Для получения эквивалентного математического описания вводится сигнал ошибки e(t) = xn(t) - (x(t) + xk(t)) и относительно него для (1), (5), (8)-(10), (12), (13) записывается система: de(t)

= Am-e(t) + Bm• МО, КО = GTe(t), dt (16)

V(t) = (С(t) - C0)T xn (t) + (k(t) - k0 )u(t - h) - (Z(t) - kM )r(t),

где первая строка описывает линейную стационарную часть эквивалентной системы, а вторая - нелинейную нестационарную часть.

Согласно критерию гиперустойчивости, интегральное неравенство В. М. Попова имеет вид:

t

т;(0,t) = -J^O9)v(d)dd > -y0, y0 = const > 0, Vt > 0 . (17)

o

Для системы (16) этот интеграл запишется следующим образом:

t t

t](0, t) = - J(С(в) - C0 )T xn (0)v(0)de - J(k(0) - k0 )и(в - h)v0)d0 + t 0 0 (18)

-j(z(0) - kM )r(вУ(в№

+

0

Определяя алгоритмы настройки параметров регулятора (13), для (18) обеспечивается выполнение неравенства (17).

Настройка коэффициентов регулятора (13) может быть задана в следую-

ВЕСТНИКТОГУ. 2011. № 2 (21)

щем виде:

^ = Гх„(ОКО, ^ = W(t" ¿МО, ^ = -y2r(t)v(t), (19) dt at dt

где: Г = Гг = const > 0; у1, у2 = const > 0.

Решение проблемы положительности заключается в обеспечении такого

выбора коэффициентов вектора G, чтобы для линейной стационарной части

системы (16) выполнялось неравенство:

ReW^v(jd) > 0, Vd > 0. (20)

Передаточная функция системы (16), с учетом (4), имеет вид:

W(s) = GT К - Am )-1 Bm = G((SEn- Am)+ Bm = —

det (sEn - Am)

s + a

(21)

M

Очевидно, что для (21) неравенство (20) всегда выполняется, а значит, проблема положительности решена.

На заключительном этапе проверяется достижимость поставленных целей управления (14) и адаптации (15). Поскольку для рассматриваемой системы управления (1), (5), (8), (10), (12), (13), (19) справедливы частотное (20) и интегральное (17) неравенства, то, согласно критерию В. М. Попова [9], синтезированная система является гиперустойчивой в заданном классе S и выполняется предельное соотношение:

lim[xm (t) -(Xn (t) + Xk (t ))]= 0, (22)

t -^ш

а, следовательно, учитывая (19), и равенства:

,• dr(t) _ dC (t) _ dk (t) _ lim Л 7 = 0, lim-— = 0, lim —— = 0,

t^ш dt tdt tdt

обеспечивающие достижение целей адаптации (15).

Из равенства (22) следует выполнение неравенства:

lim Iyn (t) - ym (t)| <8, 8 = const > 0 ,

t ^ш1

которое, с учетом (11), совпадает с целью управления (14).

Отметим, что синтез системы управления осуществлялся в предположении отсутствия возмущений. Если на объект управления будут оказывать влияние постоянные помехи, то синтезированная система управления потеряет свою работоспособность.

Для построения контура самонастройки, работоспособного в условиях постоянного действия помех, обычно проводят регуляризацию алгоритмов настройки параметров регулятора [10]. Работоспособность полученных алгоритмов адаптации (18) обеспечивается введением зоны нечувствительности:

'0, y\v(t)| < А,

TXn (t)(v(t) + А), V v(t) < -А, TXn (t )(v(t) -А), V v(t) > А,

dC (t)

dt

АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА С ЯВНО-НЕЯВНЫМ ЭТАЛОНОМ И СТАЦИОНАРНЫМ НАБЛЮДАТЕЛЕМ ДЛЯ ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ

ВЕСТН/КТОГУ 2011. № 2 (21)

dk (t)

dt

dx(t)

dt

0, V|v(t)| < A,

yu(t - h)|(t) + A), V v(t) < -A, yu(t - h)(v(t) - A), V v(t) > A,

'0, V|v(t)| < A,

-y2r(t)|(t) + A), V v(t) < -A, -y2r (t)|(t) -A), V v(t) > A,

(23)

где: A = const > 0 - зона нечувствительности.

Отметим, что проведена только процедура аналитического синтеза системы управления, т. е. параметры контура адаптации (23) требуют уточнения, в частности, это числовые значения коэффициентов y, y2 и матрицы Г, значения которых назначаются окончательно лишь в процессе имитационного моделирования синтезированной системы управления.

Имитационное моделирование

Проверка работоспособности и выбор значений параметров контура самонастройки системы управления (1), (3), (7), (10), (13), (23), синтезированной в работе, осуществлялись в процессе имитационного моделирования, которое выполнялось в среде Simulink пакета МаАаЬ. В ходе вычислительного эксперимента проводилась серия сеансов моделирования для разного набора параметров объекта управления (1) из следующего множества Н:

( 0 1 0 ^ ( 0 ^

A =

0

0

1

0,1 < a < 1 - 7,5 < a2 < -0,5 - 6 < a3 < -2

B =

0

V1 < ¿3 < 2,

Ьт = (1 0 0).

Известно запаздывание по управлению h = 0.4 сек. и верхняя граница внешней помехи Т0 = 0,2. Параметры эталона (3) и упредитель-компенсатора (7): ам = 1, ^ = 1,15. Задающее воздействие г(0 = 0,5 + 0,3 sin(0.1t) - sin(0,3t). Определив полином в виде = s2 + 5s + 6, получим следующие матрицу и векторы:

( 0 1 0 ^ (0 ^ (6 ^

Am =

00

1

v- 6 -11 - бу

Bm =

0 1

G =

5 1

На основе полученных Ат, Вт и G был вычислен вектор N стационарного наблюдателя (10): N = [1094, 343425, 22927410]. В качестве характеристических чисел матрицы Ат - NLT были выбраны Sj = - 500, поскольку эти числа лежат существенно левее собственных чисел матрицы Ат.

Параметры адаптивного регулятора были выбраны следующим образом: Г = diag{3000, 100, 150}, у = 0,11, = -50000.

ВЕСТНИКТОГУ 2011. № 2 (21)

На рисунках 1, 2 представлены динамические процессы в системе (1), (3), (7), (10), (13), (23), полученные в ходе имитационного моделирования при

следующих значениях исходных данных: а\ = 1, сн = -6, а3 = -4, = 1.

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0 20 40 60 80 100 120 140 160

10

8 6 4 2 0 -2 -4 -6

0 20 40 60 30 100 120 140 160 Рис. 2. Сигнал рассогласования между выходами объекта и явно-неявного эталона в системе со стационарным наблюдателем

На рисунках 3 и 4 приведены результаты имитационного моделирования системы, синтезированной с использованием схемы расширения ошибки [6] при исходных данных рассматриваемого примера. На рисунке 3 приведен сигнал рассогласования между выходом объекта и эталона, на рисунке 4 приведен фрагмент рисунка 3, позволяющий оценить точность функционирования системы в установившемся режиме.

y(t) -— ym(t) -

Рис. 1. Выходы объекта управления и эталонной модели

х 10"3

i i i i i y(t)-ym(t) "

АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА С ЯВНО-НЕЯВНЫМ ЭТАЛОНОМ И СТАЦИОНАРНЫМ НАБЛЮДАТЕЛЕМ ДЛЯ ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ

ВЕСТН/КТОГУ 2011. № 2 (21)

i 1 y(t) - ym(t)

.....*

1

11

i i

О 20 40 Б0 80 100 120 140 160 Рис. 3. Разность между выходами объекта и эталона в схеме с расширенной ошибкой х 10"3

Рис. 4. Фрагмент рисунка 3

Как показывают результаты вычислительного эксперимента, величина рассогласования между выходами объекта управления и эталона для системы с наблюдателем состояния составляет 2,5 %, для системы с расширенной ошибкой - 0,8 %. При этом порядок системы, полученной в данной работе, равен 3п + 4, а порядок системы с расширенной ошибкой равен 7п + 1. Таким образом, обладая более простой структурой по сравнению со схемой расширения ошибки слежения, система управления со стационарным наблюдателем сохраняет достаточно хорошее качество функционирования.

ВЕСТНИКТОГУ 2011. № 2 (21)

Заключение

В данной работе при синтезе системы адаптации для объекта с запаздыванием по управлению, функционирующего в условиях априорной параметрической неопределенности и под действием постоянных помех, ключевую роль играют два принципа: первый принцип - компенсации запаздывания путем подключения в основной контур управления дополнительного устройства - упредитель-компенсатора; второй принцип - оценки недоступных измерению переменных состояния объекта с помощью стационарного наблюдателя. Указанные принципы позволяют разработать эффективные алгоритмы настройки коэффициентов регулятора, работоспособные и в условиях воздействия внешних неконтролируемых возмущений.

Применение наблюдателей в адаптивной системе для объектов с запаздыванием по управлению позволяет существенно упростить структурную сложность контура управления по отношению к адаптивным системам управления, построенным по схемам с использованием расширенной ошибки.

Анализируя значения показателей качества функционирования адаптивных систем со стационарным наблюдателем и с расширенной ошибкой, по результатам вычислительного эксперимента можно сделать выводы о том, что системы с наблюдателем обладают более высоким быстродействием и незначительным перерегулированием, а системы с расширенной ошибкой имеют более высокую точность в установившемся режиме.

Библиографические ссылки

1. Краснова С. А. Каскадный синтез наблюдателя состояния для нелинейных систем при наличии внешних возмущений // АиТ. - 2003. - № 1.

2. Никифоров В. О. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой // АиТ. - 1994. - № 9.

3. Еремин Е. Л., Кван Н. В., Семичевская Н. П. Робастное управление нелинейным объектом со стационарным наблюдателем и быстродействующей эталонной моделью // Информатика и системы управления. - 2008. - № 4 (18).

4. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МайаЬ. - СПб.: Наука, 2000.

5. Паршева Е. А., Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектом с запаздывающим управлением со скалярным входом-выходом // АиТ. - 2001. - № 1.

6. Еремин Е. Л., Чепак Л. В., Теличенко Д. А. Синтез адаптивных систем для скалярных объектов с запаздыванием по управлению. - Благовещенск: АмГУ, 2006.

7. Мееров М. В. Адаптивные компенсирующие регуляторы с предиктором Смита // АиТ. - 2000. - № 10.

8. Еремин Е. Л. Робастные алгоритмы нестационарных систем управления с явно-неявной эталонной моделью // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2001. - № 3.

9. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. - М.: Наука, 1970.

10. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. - М.: Наука, 1981.