Абсолютные w-ретракты и неподвижные точки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

АБСОЛЮТНЫЕ ^-РЕТРАКТЫ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ

П, В, Черников

В статье [1] вводится понятие абсолютного е-ретракта в классе метрических компактов, обобщающее понятие абсолютного ретракта. Приведем соответствующие определения.

Замкнутое подмножество А компактного метрического пространства X называется е-ретрактом X, если для всякого 3 > 0 существует такое непрерывное отображение : X ^ А, что р(х,т$(х)) ^ 3 для всех х € А.

Компактное метрическое пространство У называется абсолютным еА ного метрического пространства X, гомеоморфпое У, является е-рет-рактом X.

е

через е-АД.

Пример 1. Обозначим через Г гребенку

Г = {(х,у) € М2:0 < у < 1, х = 0,1/п, п = 1, 2,...}

и {(х,0) € М2 : О < х < 1}.

Гребенка Г принадлежит е-АД, Г € АД. В [1] доказана

Теорема 1. Если метрический компакт X принадлежит е-АД, то любое непрерывное отображение / : X ^ X имеет неподвижную точку.

© 2012 Черников П. В.

Наша цель — распространить теорему 1 на более широкий класс пространств. Все рассматриваемые далее топологические пространства предполагаются хаусдорфовыми. Сформулируем определение абсолютного и-ретракта в классе бикомпактных пространств.

Пусть X — некоторое множество, У — топологическое пространство. Отображения /, д : X ^ У называются а-блшкими, где а — открытое покрытие пространства У, если для каждого х € X существует элемент и € а такой, что /(х) € и и д(х) € и.

Замкнутое подмножество А бикомпакта X называется и-ретрак-том X, если для всякого открытого покрытия а бикомпакта А существует такое непрерывное отображение га : X ^ А, что отображения га|А и 1 с1а а-близки.

Бикомпакт У называется абсолютным и-ретрактом, если всякое замкнутое подмножество А любого бикомпакта X, гомеоморфное У, является и-ретрактом X.

Совокупность всех абсолютных и-ретрактов обозначим через АЕШ.

Далее потребуется

У

У € е-АД, X — нормальное пространство, А — замкнутое подмножество X, / : А ^ У — непрерывное отображение. Тогда для всякого

6 > 0 существует такое непрерывное отображение /г : X ^ У, что р(/(х), /г(х)) ^ 6 для всех х € А.

У

бертовом кубе Существует непрерывное продолжение д : X ^ Q отображения / : А ^ У. Пусть 6 > 0. Найдется непрерывное отображение г г : Q ^ У такое, что р(х, гг( х)) ^ 6 для всех х € У. Положим /г = ггд, /г : X ^ У. Если х € А, то

р(Лх)> /"Их)) = р(Ях), гг/х)) < 6

Теорема доказана.

Используя теорему 2, покажем, что имеет место

Теорема 3. Справедливо включение е-АД с АДШ.

Доказательство. Пусть У € е-АД. Покоем, что У € АДШ. Пусть X — бикомпактное пространство, А — замкнутое подмножество X, гомеоморфное У. Надо доказать, что А — ш-ретракт X. Пусть а — открытое покрытие метрического компакта А. Обозначим через 3 (> 0) число Лебега покрытия а. Рассмотрим отображение 1с1 А : А ^ А. Так как А € е-АД, по теореме 2 существует такое непрерывное отображение : X ^ А, что р(х, х)) ^ 3 для всех х € А т- е- отображения т$ |А и 1с1а а-близки. Значит, У € АДШ. Теорема доказана.

Замечание. Включение е-АД с АДШ, очевидно, строгое (1т € АДШ, /т € е-АД при больших т, так как при таких г куб Iт неметри-

зуем).

Следующая теорема обобщает теорему 1.

Теорема 4. Если бикомпакт X принадлежит АДШ, то любое непрерывное отображение / : X ^ X имеет неподвижную точку.

Доказательство. Можно считать, что бикомпакт X лежит в тихоновском кубе 1т. Допустим, что непрерывное отображение / : X ^ X те имеет неподвижных точек, т. е. /(х) ф х для всех х € X. Зафиксируем некоторую точку х € X Так как пространство X хаусдор-фово, найдутся окрестность Ух точки х и окрестность точки /(х) в пространстве X такие, что Ух п = 0. Отображение / : X ^ X непрерывно, поэтому существует такая окрестность их точки х, что их с Ух и /(Ц"х) с Ж.. Еспи у € то /(у) € Жх и, значит, /(у) € ^х-

Рассмотрим открытое покрытие а = {Цх}хех бикомиакта X. Так как X € АДШ, существует непрерывное отображение га : Iт ^ X такое, что отображения га|^ и 1 с1х а-близки. Рассмотрим отображение /га : Iт ^ X. Поскольку тихоновский куб обладает свойством неподвижной точки, найдется такая точка а € X, что /(га(а)) = а. Пусть а0 — множество всех элементов покрытия а, содержащих точку га(а). Среди них найдется такой элемент Ц € ао, что га(а), а € иь. Но для любого элемента Ц € а выполнено /(га(а)) € Ц по построению

покрытия а, значит, а € иь; противоречие. Теорема доказана.

Приведем некоторые примеры.

Пример 2. Как было отмечено, /т € АДШ.

Пример 3. Произведение Гх /т принадлежит АДШ, где Г — гребенка, поскольку X х X € АДШ, тел и X, X € АДШ. Отметим, что пространства /я и Г х /т различны в том смысле, что они не гомео-морфны. Если и Г х /т гомеоморфны, то Г € АД, что не так.

Пример 4. Сфера те принадлежит АДШ, так как Яп не обладает свойством неподвижной точки (п > 0).

В связи с теоремой 1 возникает

Вопрос 1. Существует ли компакт X € е-АД, X С Мп (п > 1), обладающий свойством неподвижной точки?

Покажем, что для пространств к >2, ответ на этот вопрос положительный.

Пусть С = С и С\, где

С = {(х,у) € М2 : х = 0, -2 < у < 1},

С = {(х,у) € М : у = вт(1/х), 0 < х < 1}.

Очевидно, что С € е-АД.

Справедлива

Теорема 5. Компакт С обладает свойством неподвижной точки.

Доказательство. Пусть / : С ^ С — непрерывное отображение. Докажем, что существует такая точка хо € С, что /(хо) = хо-При непрерывном отображения компоненты линейной связности переходят в компоненты линейной связности, поэтому возможны следующие четыре случая:

/ С С С / С С С / С С С / С С С / С С С / С С С / С С С / С С С

Если выполняется случай 1 или 2, то отображение f имеет, очевидно, неподвижную точку. Поскольку образ компактного связного

метрического пространства при непрерывном отображении компактен

f

имеет неподвижную точку. Далее дугой будем называть пространство, гомеоморфное отрезку [0,1]. Очевидно, множество f (Co) — или дуга, или точка, именно, компактная связная часть множества C\. Так как p(Co,f(Co)) > 0, существует открытая дуга Го, т. е. дуга без концов, такая, что Г0 С C и Г0 D f (Co). Множество Г0 — открытая окрестность множества f (Co) в пространстве C, поэтому f-1(Го) — открытое подмножество C и f _1(Го) D Co- Найдется такое 5 > 0, что

{u G C:p(C0,u) <5}С f-1(Го).

Отсюда следует, что существует число to G (0,1), для которого

Cio = {(ж, у) G R : у = sin(l/x), О < ж < t0} С f -1(Г0)•

Следовательно,

/(с4о)с/(Г1(Го))сГосГо.

Далее, f(Ci \ Cto) — компактное связное множество, лежащее в Ci. Найдется, очевидно, дуга С Ci, для которой Г! D Г0 U f(C\\Cto), и, значит, D f(Ci). Отсюда f(Fi) С Следовательно, у отображения f |Ti : ^ есть неподвижная точка. Теорема доказана.

Легко видеть, что в случае прямой R1 ответ на вопрос 1 отрицательный.

Отметим, что теорема 4 была доложена на Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, 2009 г.) [2].

Автор благодарен К. В. Сторожуку за ценные советы по доказательству теоремы 5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Nogucbi Я. A generalization of absolute neighborhood retracts // Ködai Math. Sem. Rep. 1953. V. 5, N 1. P. 20-22.

2. Черников П. В. Абсолютный ш-ретракт обладает свойством неподвижной точки / / Междунар. конф. но анализу и геометрии, посвящ. 80-летию Ю. Г. Ре-шетняка. Новосибирск, 14-20 сент. 2009. Тез. конф. Новосибирск, 2009. Доступно на Ьйр://math.nsc.ru/conference/cag09.

г. Новосибирск

1 сентября 2011 г.