Аберрационные свойства отражающих поверхностей второго порядка Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.317

Л. Н. Андреев, Ю. А. Комарова

АБЕРРАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрены коррекционные возможности в области Зейделя отражающих поверхностей второго порядка: параболы, гиперболы и эллипса. На основе выражений для коэффициентов аберраций третьего порядка сформулирована теорема об аберрационных свойствах этих поверхностей.

Ключевые слова: асферические отражающие поверхности, аберрации третьего порядка, аберрационные свойства.

Уравнения кривых второго порядка имеют вид [1, 2]

y2 = 2r0 z - (1 - e2) z2,

(1)

где г0 — радиус в вершине кривои, е — эксцентриситет кривои второго порядка.

2 2 2 2 Для окружности е =0, для параболы е =1, для эллипса 0< е <1 и для гиперболы е >1: см.

рисунок, где приведены схемы соответствующих асферических отражающих поверхностей.

а) . б)

e2 = 1 n = —n' = 1

0<e2< 1 n = —n' = 1

1 ,Jr z

F 1 —f = -s'/

На основе фокальных свойств кривых второго порядка [3] установлено, что оба фокуса являются сопряженными. Поэтому при расположении точки предмета в одном из фокусов отражающих поверхностей изображение находится в другом, и при этом гомоцентричность пучков лучей не нарушается, т.е. сферическая аберрация отсутствует [4—9].

Рассмотрим коэффициенты (¿1—5у) аберраций третьего порядка отражающих поверхностей второго порядка.

Коэффициенты аберраций третьего порядка, выраженные через параметры Р, Ж, п [1], определяются следующим образом:

Аберрационные свойства отражающих поверхностей второго порядка

67

SI = h(P + AP); Sn = H (P + AP) - IW;

Siii = ^ (P + AP) - 2IHW -12 Ф; h h

Sjv = n = -

An

-1

= Ф;

0

H3 H 2 H

Sv = —(P + AP) - 3I—W - 212— Ф,

(2)

^ ^ Л

где Л и Н — высота пересечения соответственно 1-го и 2-го параксиальных лучей с асферической поверхностью; п = - п' = 1; при этом

P =

( Aa_

. 1 Aa . 1 , а'-а . n 2 Aan Aa—; W =-rAa-; Ф =-, AP =-e

3

.An v n An 1 n' h Anz

Для параболоида (см. рисунок, а) при P = -0,25; W = 0,50; AP = 0,25 и а1 = 0; а' = 1; h = /' = 1; ß1 = 1, I = -1 уравнения (2) принимают следующий вид:

Sj = 0,

Sil = W = 0,5; siii = -H -1 = -sp -1; siv =1;

SV = 3 H2 + 2 H = - s2 + 2sP, v 2 2 p p

где sp — приведенное положение входного зрачка относительно вершины поверхности.

Для эллиптической и гиперболической отражающих поверхностей (см. рисунок, б, в)

(3)

уравнения (2) при а1 = -ßx; \ = sа = -sßx; H = sp; I = ща^ = -(sp - s)

1 - e 1 + e

имеют вид

SI = s

(1 - e)

2 e

2 el

Sii =-

(1 + e)

2(Sp - s)(1 - e)e

(1 + e)3 (1 + e)3

= 0;

(1 + e)3

siii =

4(s„ - s)s„e 2(s„ - s)2(1 - e)

s(1 + e)

s(1 + e)

SIV = n = -

An

-1

= Ф;

Sv =-

6e(sp - s)s2 p 4(sp - s)2 sr

(1 - e2) s2

s2(1 + e2)

(4)

где ^ и sp — расстояние от предмета и входного зрачка до вершины поверхности. Для эллипсоида и гиперболоида

s = •

1-e

или s =•

1 + e

(5)

r

0

r

r

0

0

Анализ выражений (2)—(5) и фокальных свойств кривых второго порядка позволяет вывести следующую теорему.

Теорема. Отражающие поверхности второго порядка (параболоидальная, эллипсоидальная и гиперболоидальная) характеризуются следующими свойствами:

1) при расположении предмета в одном из фокусов сферическая аберрация исправлена (^¡=0), при этом гомоцентричность пучка лучей не нарушается;

2) при выполнении п. 1 кома третьего порядка не зависит от положения входного зрачка (¿р);

3) при выполнении п. 1. астигматизм третьего порядка зависит от положения входного зрачка (р): при расположении предмета и входного зрачка в сопряженных фокусах и ¥2 соответственно он исправлен;

4) при выполнении п. 1 дисторсия третьего порядка зависит от положения входного

2г0

зрачка: при sp= 0 и sp = —— исправлена;

2 + е

5) кривизна поверхности изображения не зависит от положения входного зрачка (р) и эксцентриситета (е), так как 81У =Ф = 2/Го .

В заключение следует отметить, что приведенные результаты исследования коррекци-онных свойств отражающих асферических поверхностей второго порядка в области Зейде-ля могут быть полезны при проектировании зеркальных и зеркально-линзовых оптических систем.

список литературы

1. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 379 с.

2. РусиновМ. М. Композиция оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 383 с.

3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Гостехтеориздат, 1956. 608 с.

4. Русинов М. М. Несферические поверхности в оптике. М: Недра, 1965. 195с.

5. Чуриловский В. Н. Теория оптических приборов. М. — Л.: Машиностроение, 1966. 564 с.

6. Панов В. А., Андреев Л. Н. Оптика микроскопов. Л.: Машиностроение, 1976. 432 с.

7. Зверев В. А. Основы геометрической оптики. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2002. 218 с.

8. Зверев В. А., Точилина Т. В. Оптотехника проектирования оптических приборов. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. 457 с.

9. Андреев Л. Н. Прикладная теория аберраций. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2002. 96 с.

Сведения об авторах

Лев Николаевич Андреев — д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный

университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики Юлия Александровна Комарова — студентка; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

прикладной и компьютерной оптики 19.03.08 г.