CC BY
9
3) математика может быть перефразирована в модальных терминах (эквивалентное описание без утверждения существования математических объектов);
4) мы должны верить, что существуют математические объекты тогда и только тогда, когда нет эквивалентных описаний, апеллирующих к существованию математических сущностей;
5) мы не должны верить, что есть математические объекты (рассуждение от противного (modus tollens) в пунктах 3 и 4) (с. 167).
Следовательно, математика истинна, хотя и не существует математических объектов. Таким образом, согласно Патнэму, математика не должна восприниматься за «чистую монету», так как существуют ее эквивалентный модальный парафраз.
В заключение автор делает вывод, что в свете обеспокоенности Патнэма тем, как объяснить применимость математики, его реконструкция является более предпочтительной (как дающая более удачное объяснение), чем рассмотренная фикционалистская позиция. Оценка же применимости математики, вытекающая из аргумента Патнэма, может быть названа «фикционалистским» взглядом на прикладную математику (с. 179).
Р. С. Гранин
2019.02.008. БУЭНО О. ПЕРЕСМОТРЕННЫЙ, ПЕРЕОЦЕНЕННЫЙ И ВОЗРОЖДЕННЫЙ АРГУМЕНТ НЕУСТРАНИМОСТИ ПАТНЭМА.
BUENO O. Putnam's indispensability argument revisited, reassessed, revived // Theoria: An international journal for theory, history and foundations of science. - San Sebastián, 2018. - Vol. 33, N 2. - Р. 201218.
Ключевые слова: незаменимость; онтологическое обязательство; объективность; платонизм; модализм; Патнэм.
Автор статьи - Отавио Буэно - профессор философии, заведующий кафедрой философии в Университете Майами. Его исследования сосредоточены в области философии науки, философии математики, философии логики, эпистемологии и отчасти философии искусства. Он является автором и редактором нескольких книг, в том числе книги «Прикладная математика: погружение,
умозаключение, интерпретация» (в соавторстве со Стивеном Френчем).
В своей статье Буэно реконструирует и переоценивает аргумент Хилари Уайтхолла Патнэма о неустранимости математики и проводит его отличие от более известной версии - аргумента Уил-ларда Ван Ормана Куайна. Критической для реализма Патнэма в философии математики является сохранение объективности математики без апелляции к существованию математических объектов. Аргумент неустранимости Патнэма был разработан как часть этой концепции. Хотя Буэно и утверждает, что подход Патнэма в конечном итоге терпит неудачу, автор статьи разрабатывает альтернативный способ реализации его реализма в математике, который, используя ресурсы отличные от тех, которыми пользовался Пат-нэм, избегает трудностей, с которыми тот столкнулся.
Аргумент неустранимости Хилари Патнэма, в отличие от версии аргумента У. Куайна (имплицитно содержащего его предпосылки), не предназначался для установления онтологического существования математических объектов1. Он был направлен на поддержку реалистического понимания математики, на сохранение объективности математической практики без принятия существования математических объектов, одновременно дистанцируясь от платонизма (с. 202).
1 Для пояснения проблемы аргументации по неустранимости математики в естественно-научных теориях, обратимся к истории вопроса: «Современные дебаты в области онтологии математики являются подтверждением заявленной связи онтологии, эпистемологии и семантики языка математики. Так, большая часть дискуссий группируется вокруг трех аргументов. Первые два из них восходят к П. Бенацеррафу и представляют собой аргумент о неопределенности теоретико-множественной экспликации натуральных чисел и аргумент о проблематичности эпистемологического доступа к математическим сущностям, если они понимаются как существующие независимо от познающего субъекта. Третий аргумент восходит к У. Куайну и связан с неустранимостью математических терминов из языка наиболее успешных естественно-научных теорий» (Хлеба-лин А.В. Онтологические обязательства неустранимости математики // Вестник Томского государственного университета. - Томск, 2009. - № 4 (8). - С. 60-61). Первые два аргумента говорят в пользу антиреализма в математике, последний рассматривается как один из наиболее весомых доводов в пользу реалистской позиции в онтологии математики.
Чтобы противостоять платоническому, метафизическому, инфляционному исчислению математики, Патнэм продвигает конкретную форму модализма в математике. С этой точки зрения математические утверждения интерпретируются на модальном языке второго порядка (с. 207). Модальная логика (от лат. modus - способ, мера) - логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы). Логика первого порядка, называемая иногда логикой или исчислением предикатов - формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Она расширяет логику высказываний, в свою очередь является частным случаем логики высших порядков. Логика второго порядка в математической логике - формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.
Рассмотрим далее, пишет автор, заявление о том, что существует бесконечное множество простых чисел. В модалистской интерпретации это переводится на два утверждения: (1) если бы существовали структуры, удовлетворяющие аксиомам арифметики Пеано, то было бы верно, что для этих структур существует бесконечное множество простых чисел; (2) возможно, что существуют структуры, удовлетворяющие аксиомам арифметики Пеано1. Утверждение (2) требуется для того, чтобы утверждение (1) не повисло в пустоте. Если высказывание (2) ложно, а высказывание (1) верно, то схема перевода оказывается ложной. В результате модальной интерпретации, или, согласно языку аргументов, возможно дать интерпретацию математике, в которой содержание математических утверждений сохраняется (в этом смысле вербальное согласование с платонизмом сохраняется). В свете математического модализма автор выделяет четыре особенности математическо-
1 Аксиомы Пеано - одна из систем аксиом для натуральных чисел, введенная в XIX в. итальянским математиком Джузеппе Пеано. Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.
го реализма Патнэма, которые, по его мнению, могут быть сохранены:
- (R1) Математические утверждения имеют истинностные значения: согласно модализму каждый модальный перевод верен, пока оригинальное (немодальное) утверждение верно. Модальные переводы, в конце концов, сохраняют истинность.
- (R2) Истинность математических утверждений не требует существования математических объектов: как отмечено выше, учитывая модальные переводы, модальные утверждения верны из-за возможности определенных структур, а не существования математических связей. Таким образом удается избежать платонизма в математике.
- (R3) Данная точка зрения обеспечивает объективность математики без существования математических объектов: после того, как модальные переводы осуществлены, будь то определенное утверждение или нет, для соответствующих структур уже не важно, кто делает данные заявления. Это обеспечивает объективность математики, без какой-либо апелляции к математической онтологии, как то показано в утверждении (R2).
- (R4) Математическая истина отличается от доказуемости: с этой точки зрения истинность или ложность математического утверждения не следует отождествлять с тем, является ли оно доказуемым или нет. Скорее математическая истина возникает из того, что содержится или, напротив, не может содержаться, в подходящих возможных структурах. Математическая истинность и доказуемость, таким образом, оказываются разведенными (с. 208).
По этим причинам, пишет автор, математический модализм в конечном итоге позволяет Патнэму сформулировать вид математического реализма, который его устраивает и очевидно удовлетворяет каждому из четырех вышеприведенных критериев (с. 208).
Р. С. Гранин
2019.02.009. МАРЧЕЗИНИ П. КОНЕЦ ВРЕМЕНИ ИЛИ ВОЗРОЖДЕНИЕ ВРЕМЕНИ? АНРИ БЕРГСОН И МЕТАФИЗИКА ВРЕМЕНИ В СОВРЕМЕННОЙ КОСМОЛОГИИ.
MARCHESINI P. The end of time or time reborn? Henri Bergson and the metaphysics of time in contemporary cosmology // Philosophy & cosmology. - Kiev, 2018. - Vol. 21. - P. 140-152.
