CC BY
23
2000.01.007. ДИТЕРЛ Д. ЮЛИЙ ЦЕЗАРЬ И ЧИСЛО 2. DIETERLE J. Julius Caesar and the number 2//http://www.phil.indiana.edu/ ejap/1997.spring/dieterle976.html
EJAP - «Электронный журнал аналитической философии», издаваемый на некоммерческой основе в университете штата Индиана (Блумингтон, США). Автор реферируемой статьи весеннего выпуска журнала за 1997 г. - Джил Дитерл (Восточно-Мичиганский университет, США). Текст получен по сети Интернет.
Автор рассматривает работу Г.Фреге «Основания арифметики» («Die Grundlagen der Arithmetik»), посвященную рассуждению о том, что есть число. Так как в свое время окончательная версия труда Фреге потерпела неудачу из-за найденного Б.Расселом парадокса, автор пытается выяснить, можно ли каким-либо образом сохранить хотя бы часть этого труда.
Для ответа на вопрос о том, что есть число, Фреге использовал контекстуальный принцип: «Никогда не спрашивать о значении слова в отдельности, но только в контексте высказывания». Иными словами, для определения числа как объекта надо рассматривать и анализировать истинные высказывания, в которых число встречается в качестве сингулярного термина.
Фреге формулирует три условия функционирования некоего выражения как единичного термина, именующего объект:
1. Имя собственное, определенное описанием, личным или указательным местоимением; по терминологии Фреге, это - насыщенное выражение.
2. Мы ожидаем, что этому выражению предшествует определенный артикль.
3. Это выражение может законно находиться рядом со знаком тождества в значащих утверждениях тождественности.
Аргументация утверждения Фреге о том, что числа суть объекты, основывается на том, что для числовых выражений выполняются вышеприведенные условия. Далее Фреге пытается определить, к какому типу объектов относятся числа, и рассматривает следствия из этого.
В первом разделе статьи «Числа Фреге» автор обсуждает, почему Фреге заключил, что числа суть некоторый вид предложений. Во втором разделе «Фреге и структурализм» он показывает, какие части работы Фреге могут быть сохранены.
Фреге предварительно предлагает следующие определения:
1. Число 0 принадлежит понятию ¥, если предположение, что а не подпадает под это понятие, всегда верно, чем бы а ни было.
2. Число 1 принадлежит понятию ¥, если предположение, что а не подпадает под ¥, всегда ложно, чем бы а ни было, и если из предположений «а принадлежит ¥» и «Ь принадлежит ¥» всегда следует, что а и Ь совпадают.
3. Число (п+1) принадлежит понятию ¥, если существует объект а, подпадающий под ¥ и такой, что число п принадлежит понятию «подпадает под ¥, но не а».
Однако в дальнейшем Фреге отклоняет эти определения, так как они не определяют числа как самостоятельные объекты, а характеризуют их как прилагательные.
В качестве второй попытки понять, что же за объект есть число, Фреге использует контекстуальный принцип. Для этого надо обратиться к смыслу высказываний, в которых числовые выражения встречаются. Если мы сможем установить смысл этих высказываний, то мы объясним, что значит для них быть истинными и как мы способны понять такие высказывания. Затем при помощи контекстуального принципа мы будем способны определить ссылку на числовые выражения.
Если доказано, что числа суть объекты, то тогда тождественные высказывания, в которых встречаются числовые выражения, должны иметь смысл. Для этого необходимо сначала определить, что есть тождественность, и условия тождественности. Если отказаться от терминологии Фреге, задача состоит в том, чтобы найти способ объяснить значение высказывания «число ¥8 - такое же, как число Оя» без использования выражения «число». Сам Фреге использует для этого принцип Д.Юма: «Когда два числа сочетаются так, что одно всегда имеет составляющую, отвечающую каждой составляющей другого, мы объявляем их равными».
Это дает:
1. Число ¥&• - такое же, как число Оs, является ему эквивалентным.
2. Имеется так же много ¥^\ как и Об.
Второе высказывание определено контекстуально в терминах условий тождественности для чисел.
Контекстуальное определение устанавливает смысл тождественности высказываний, в которых встречаются числовые выражения, а контекстуальный принцип, казалось бы, позволяет
определить ссылку на числовые выражения. Однако оно не позволяет решить проблему «Юлия Цезаря», иначе говоря, мы не способны определить истинность высказывания вида «число ¥&• = д», где д не имеет вид «числа О^». Так что мы не можем определить, является ли номер ¥б Юлием Цезарем.
Таким образом Фреге приходит к своему заключительному определению: «Число, которое принадлежит понятию ¥ как его расширение, равно понятию ¥». Другими словами, число, которое принадлежит понятию ¥, - это класс всех классов, которые являются равночисленными понятию ¥.
С точки зрения Фреге, продолжения (или классы) - это объекты, так что заключительное определение не противоречит утверждению, что числа являются объектами. Однако понятие продолжения ведет к парадоксу Рассела. Аксиома 5 формальной системы Фреге говорит, что для любого понятия ¥ продолжение ¥ - такое же, как продолжение О, если и только если для любого объекта х ¥х равно и только равно Ох. Часть проблемы с этой аксиомой заключается в том, что некоторые продолжения находятся в диапазоне переменной х, а высказывание для любого объекта х включает продолжения. Рассмотрим понятие Я, продолжения которого не являются элементами самих себя. Пусть х -продолжение этого понятия. Принадлежит ли х Я? Если это так, т.е. он элемент себя, то он - не элемент себя. Но если он не элемент себя, тогда он - элемент себя.
Именно этот парадокс оказывает разрушающее воздействие на систему Фреге. Тут и возникает вопрос, можно ли каким-либо образом сохранить эту систему, хотя бы частично.
Исходя из структуралистской точки зрения, Фреге зашел слишком далеко, ибо для контекстного определения числа достаточно охарактеризовать только структуру естественных чисел. Отсюда Г. фон Врихт выводит постулаты Пеано во вторичной логике с принципом Юма в качестве дополнительной аксиомы. Буль доказал, что все принципы Фреге, фактически используемые в его труде, последовательны. Для преодоления разрушительного парадокса необходимо наложить ограничения на допустимые продолжения: единственные продолжения, которые могут быть допущены, - это те, которые разрешают нам включить числа.
С точки зрения Фреге, все тождественные утверждения должны иметь определенные истинностные значения; если термин имеет объектную ссылку, то он может законно располагаться рядом со знаком
тождества в любом выражении тождественности. Кроме того, для Фреге «все объекты» ссылаются на домен, который включает все объекты. Объекты и выражения, которые замещают их, насыщенны, в то время как функции и выражения, которые замещают их, - нет. В целях
сохранения многого из системы Фреге и преодоления проблемы Юлия Цезаря идеи Фреге следует несколько изменить. Проблему Юлия Цезаря можно разрешить, представив идею насыщения как относительную к когерентной теории или области рассуждения (автор называет это «неофрегеанской» позицией). Так как насыщение влечет за собой связанные понятия сингулярной терминологичности и объектности, эти последние тоже становятся относительными. С точки зрения неофрегеанства, то, что, с одной стороны, является объектом, с другой -оказывается функцией. Иными словами, предложение неофрегеанства состоит в том, чтобы заменить принцип Фреге (Б): «Если выражение функционирует в истинных высказываниях как единичный термин, то существует объект, обозначаемый этим выражением», принципом неофрегеанства (КБ): «Если выражение функционирует как единичный термин в истинных высказываниях относительно теории Т, то существует объект, обозначаемый этим выражением». На неофрегеанский взгляд, выражение «все объекты» не имеет смысла, если «все» действительно означает все, потому что объектность относительна.
Далее обновленный принцип демонстрируется на ряде примеров. Рассматриваются высказывания, составленные в контексте некоторой теории, т.е. ограниченные выразительными ресурсами этой теории, ее концепциями и соответствующими предикатами, константами и общими индивидуализирующими инструментами. Делается вывод, что неофрегеанцы избегают проблемы Юлия Цезаря тем, что даже в контексте, в котором может формулироваться вопрос «Является ли Юлий Цезарь числом два?», «два» оказывается функцией (а не объектом), которая берет объекты в качестве аргументов. Говорить, что Юлий Цезарь является числом два, из этой перспективы не значит делать утверждение тождественности.
Таким образом, изменяя некоторые идеи Фреге, можно преодолеть созданные им же самим противоречия. Однако встает вопрос, какая же часть работы Фреге была сохранена? Автор дает следующий ответ на этот вопрос.
С неофрегеанской точки зрения, числа суть объекты. Это -центральное утверждение работы Фреге, и оно сохранилось. Кроме того, сохранился его синтаксический тезис. Единственным фундаментальным
изменением оказывается релятивизация насыщения и соответствующих понятий сингулярной терминологичности и объектности.
А.С.Козлов, А.И.Панченко, В.А.Яковлев
