CC BY
0ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №6
3
Математика
УДК 004.06, 004.8, 512
10 ЛЕТ КАФЕДРЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ
С. Т. Главацкий1
В статье сообщается об основных достижениях кафедры теоретической информатики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова в научных исследованиях, учебном процессе и в реализации прикладных проектов за 10 лет развития.
Ключевые слова: наука о данных, искусственный интеллект, алгоритмы обработки данных, полугруппы, кольца, модули, компьютерная графика, машинное обучение, компьютерное зрение.
The paper describes the main achievements of the Chair of Theoretical Informatics of the Faculty of Mechanics and Mathematics of Lomonosov Moscow State University in scientific research, educational process and in the implementation of applied projects over the 10 years of its evolution.
Key words: data science, artificial intelligence, data processing algorithms, semigroups, rings, modules, computer graphics, machine learning, computer vision.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-6-1
Кафедра теоретической информатики была создана на механико-математическом факультете МГУ в ноябре 2013 г. Ее первым заведующим стал доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Александр Васильевич Михалёв (годы жизни: 1940-2022 гг.).
На кафедре проводились исследования в рамках научной темы "Математические методы и алгоритмы теоретической информатики" по ряду направлений:
1) основания теоретической информатики;
2) алгебраическая теория кодирования;
3) исследования по комбинаторной и алгебраической теории графов, актуальных для когнитивных систем, искусственного интеллекта и эпигенетических перестроек;
4) гомоморфное шифрование и параллельные вычисления;
5) большие данные: методы и алгоритмы;
6) исследования в компьютерной графике: построение трехмерных моделей изоповерхностей, построение оптимальных тетраэдрических сетей;
7) исследования в области искусственного интеллекта (ИИ), включая разработку нейронных сетей и методов глубокого обучения для решения задач распознавания образов в условиях неполной или нечеткой визуальной информации; исследования в области компьютерного/машинного зрения, машинного обучения, компьютерной графики и сжатия данных;
8) реализация прикладных проектов в рамках студенческого конструкторского бюро.
В основаниях теоретической информатики получен ряд фундаментальных результатов. Издана монография В. К. Захарова, А. В. Михалёва, Т. В. Родионова по основаниям современной математики [1]. В ней получили развитие работы авторов по решенной ими проблеме Рисса-Радона.
A. В. Михалёвым с соавторами для главных выпуклых направленных идеалов в интерполяционных псевдоупорядоченных кольцах доказан аналог третьей теоремы о порядковых изоморфизмах колец, исследованы свойства множества всех выпуклых направленных идеалов частично псевдоупо-рядоченных алгебр над частично упорядоченными полями [2].
Проведены исследования в топологической алгебре.
B. И. Арнаутовым, С. А. Алещенко, С. Т. Главацким [3] доказано, что множество всех обобщенно-нильпотентных элементов псевдонормированного коммутативного кольца является замкнутым идеалом и что факторкольцо по нему не содержит ненулевых обобщенно-нильпотентных элементов.
1 Главацкий Сергей Тимофеевич — канд. физ.-мат. наук, доцент, и.о. зав. каф. теоретической информатики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Glavatsky Sergei Timofeevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Acting Head of the Chair of Theoretical Informatics.
© Главацкий С. Т., 2024 © Glavatsky S.T., 2024
(cc)
4
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №6
Вопрос о связи свойства полноты кольца и полноты его факторкольца является важным в теории топологических колец. В. И. Арнаутовым, С. Т. Главацким, Г. Н. Ермаковой, А. В. Михалёвым [4] доказано, что любое локально ограниченное кольцо с хаусдорфовой топологией изоморфно факторкольцу некоторого полного топологического кольца.
С. Т. Главацким, А. Ю. Голубковым и А. В. Михалёвым [5] заложены основы теории топологических радикалов Джекобсона для неассоциативных алгебр в квазирегулярном и модульном вариантах определения. Это продвижение продолжает более ранние исследования авторов по топологическим радикалам ассоциативных колец.
В. В. Тензиной [6] рассмотрена топологическая первичность колец, доказан ряд свойств топологически первичных идеалов. Разработана криптосхема на основе коммутативных топологически простых колец с единицей [7].
И. Б. Кожуховым и А. В. Михалёвым [8] получен ряд новых результатов в алгебраической теории автоматов.
Изучались полигоны над полугруппами (И. Б. Кожухов, А. В. Михалёв [9]). Исследовались решетки конгруэнций полигонов над полугруппами. Доказано, что решетка конгруэнций полигона над конечной полугруппой удовлетворяет нетривиальному решеточному тождеству в том и только в том случае, если полигон конечен [10]. Изучались полигоны с различными условиями конечности. Получены описания строения полигонов с такими условиями [11]. Монография И. Б. Кожухова, А. В. Михалёва, А. В. Тищенко [12] содержит описание результатов исследований последних 20 лет в этих актуальных направлениях.
Р. Р. Айдагуловым [13] продолжено изучение бигрупповых алгебр и их приложений в различных областях математики, физики, обобщена теорема Поттера. Разработана теория преобразований Фурье в алгебре матриц. Исследованы понятие равномерности и связь с ^-суммами. Рассмотрены гиперболические геометрии, изучены их связи с релятивистской физикой.
В алгебраической теории кодирования получен ряд фундаментальных результатов. Рассмотрены применения алгебраических систем (включая квазигруппы, неассоциативные кольца и их представления) в возможных системах кодирования (в том числе квантовые). Продолжено изучение криптосистем на основе квазигрупповых колец. Решен вопрос о классификации квазигрупповых колец по числу элементов с нулевым левым аннулятором (В. Т. Марков, А. В. Михалёв, Е. С. Кислицын [14]). Продолжен анализ систем кодирования с использованием алгебраических систем (включая контекст квантовых кодов).
В области исследований по комбинаторной и алгебраической теории графов, актуальных для когнитивных систем, искусственного интеллекта и эпигенетических перестроек, был получен ряд новых результатов. Изучено соответствие между простыми сборными графами и матрицами. Найден общий вид матрицы инцидентности такого графа. На языке матриц описаны процедуры полной петельной подстановки и композиции сборных графов. Изучен индекс цикличности графа и связанной с ним матрицы. Получена новая характеризация этого индекса в терминах к-раскрашивания графа. Вычислена алгоритмическая сложность нахождения индекса цикличности графов и матриц [15].
Гомоморфное шифрование и параллельные вычисления. Продолжено исследование методов гомоморфной криптографии. Исследованы схемы шифрования, базирующиеся на моделировании шахматных партий. Проанализированы основы теории распределенных вычислений в интересах задач гомоморфной криптографии. Рассмотрена задача построения гомоморфной системы шифрования своими обратимыми элементами исходя из частично гомоморфных схем (Г. Г. Араке-лов, А. В. Михалёв [16]).
Большие данные: методы и алгоритмы. Кластерный анализ имеет очень широкий спектр применения при интеллектуальном анализе данных, его методы используются во многих сферах человеческой деятельности. Цель кластеризации состоит в объединении в группы схожих объектов, и эта задача является одной из фундаментальных в области анализа данных. Продолжены исследования в области осреднения и получения осредненных уравнений, учет эффектов нелокальности. Достигнуто лучшее понимание конфигурационной размерности в больших наборах данных, ее связи с осреднением. Разработан новый метод кластеризации данных в многомерном пространстве, основанный на использовании связности элементов данных, исходя из осредненных значений плотности распределения точек данных в метрическом пространстве. Продолжено изучение больших многомерных данных с помощью представления в виде непрерывных объектов малой размерности (Р. Р. Айдагулов, С. Т. Главацкий, А. В. Михалёв [17, 18]).
Р. Р. Айдагуловым разработаны новые алгоритмы быстрого умножения [19], исследованы методы градуированных вычислений (совместно с С. Т. Главацким [20]).
А. Б. Ивановым проведены исследования в области оптимизации целочисленного сжатия с использованием SIMD-расширений современных процессоров с целью снижения объема памяти для хранения и обработки разреженных векторов. Реализованы соответствующие структуры данных, существенно снижающие объем необходимой памяти.
Продолжены исследования в области анализа больших данных и разработки эффективных методов и алгоритмов искусственного интеллекта. В частности, И. Г. Бурыкиным и С. Т. Главацким были исследованы возможности применения векторных баз данных в крупномасштабных приложениях искусственного интеллекта, включая индексирование с помощью алгоритмов, основанных на деревьях (к — d-деревьях) и на построении специального графа близости на объектах выборки (hierarchical navigable small world); с помощью расширения Pgvector (version 0.5.X) для системы управления базами данных PostgreSQL разрабатывалась и адаптировалась к методам ИИ концепция, которая включает в себя представление объектов, таких, как слова, документы или сущности, в виде векторов в многомерном пространстве (Word2Vec, GloVe, Doc2Vec).
В рамках научно-образовательной школы МГУ "Мозг, когнитивные системы, искусственный интеллект" И. Г. Бурыкиным и С. Т. Главацким разрабатывались модели и алгоритмы создания генеративных моделей машинного обучения для оценки устойчивости моделей предсказания временных рядов с использованием архитектуры Temporal Fusion Transformers в PyTorch. Велись исследования в области оптимизации реализации алгоритмов машинного обучения с помощью использования векторизации вычислений (в частности, SIMD-расширений современных процессоров) для улучшения сходимости и скорости работы численных методов оптимизации. Реализованы прототипы для задач регрессии и классификации.
Исследования в компьютерной графике: построение трехмерных моделей изопо-верхностей, построение оптимальных тетраэдрических сетей. Исследовались алгоритмы трехмерного восстановления изоповерхностей с субпиксельной точностью (с приложениями в области медицины). Для восстановления поверхности нужных участков трехмерной модели кровеносной системы человека применялась комбинация ранее известных алгоритмов. Для получения сглаженной триангуляции внутренней поверхности артерий использовалось сочетание воксельной модели и тетраэдрической сети Хан-Пуризма-Скала. Трехмерная модель внутренней поверхности коронарных артерий строилась по воксельной модели, выделенной в результате сегментации полной модели кровеносной системы (В. В. Борисенко, Т.Н. Веселова, С. К. Терновой, А.М. Чеповский [21]).
В рамках проекта по созданию неинвазивного метода исследования кровоснабжения сердца пациента на основе результатов томографического обследования разрабатывалось и внедрялось программное обеспечение для практического решения этой задачи. Проводилась работа в рамках проекта по созданию гидродинамической модели кровообращения в области сердца по данным компьютерной томографии пациента. Главной целью было определение параметра ФРК (фракционный резерв кровотока), на основе которого в медицине решается вопрос о необходимости установки расширителя артерии (стента) в области стеноза. Исследовалась возможность определения параметра ФРК на основании только трехмерной геометрии сосудов без необходимости численного решения уравнений гидродинамики [22].
Исследования в области искусственного интеллекта. В рамках научно-образовательной школы МГУ "Мозг, когнитивные системы, искусственный интеллект" проведены исследования по применению методов и средств искусственного интеллекта в решении широкого круга задач [23-25]. Был осуществлен ряд прикладных проектов с использованием современных методов искусственного интеллекта. В результате внедрения новых разработок получены два свидетельства о регистрации прав на программное обеспечение, базу данных. Разработаны и включены в учебный процесс ряда факультетов МГУ специализированные учебные курсы по математическим моделям и методам в технологиях искусственного интеллекта (см. ниже).
Разработка нейронных сетей и методов глубокого обучения для решения задач распознавания образов в условиях неполной или нечеткой визуальной информации. Исследования в области компьютерного/машинного зрения, машинного обучения, компьютерной графики и сжатия данных. Созданы нейронные сети и развиты методы глубокого обучения для решения задач распознавания образов в условиях неполной или нечеткой визуальной информации [26]. Разработан проект решения ряда задач по выявлению дефектов в лопатках авиационного двигателя/турбины и отслеживанию положения измерительного элемента по визуальной информации. Завершена работа над проектом по определению вирусов и сортовой однородности по визуальной и спектральной информации. Написан отчет по теме "Обзор подходов машинного обучения и традиционных методов применительно к анализу видеоинформации с целью развертывания 2D/3D решений".
В рамках проекта разработки методов компьютерного зрения реализовано наблюдение за животным миром как крупных животных (парнокопытных и подобных), так и мелких (крылатых насекомых). В 2022 г. программное обеспечение было закодировано на базе ЭБ-студии Maya (автоматизированная система рендеринга млекопитающих и других объектов). В 202Э г. был написан код по автоматическому формированию разметки по задачам определения положения объектов (животных) на изображении. Были запущены нейросетевые методы на базе такой разметки.
В рамках разработки проекта по спектральному анализу изображений изучались данные, полученные многоспектральной (от 4 до 12 каналов) и гиперспектральной (сотня каналов) камерами, а также спектрометром (несколько сотен спектральных поддиапазонов). К многоспектральной съемке относится и спутниковая съемка Земли [27].
Продолжено исследование общих принципов построения роботов, их функционирования, в частности применительно к искусственному интеллекту, а также к программированию микроэлектроники. Доработаны открытые программные системы по робототехнике [28].
Разработка прикладных проектов в рамках студенческого конструкторского бюро (СКБ). В рамках СКБ студенты совместно разрабатывают различные аппаратные изделия. В частности, реализуются методы обработки аудио- и визуальной информации, которые переносятся на печатные платы. К ним относятся методы машинного обучения, компьютерного зрения и методы сжатия данных. В рамках СКБ студентами была создана "умная колонка" на базе микроконтроллера "raspberry pi". Данная колонка подключается к облачным сервисам/серверам для выполнения распознавания и синтеза речи, а также для самого непосредственного общения, т.е. формирования ответов по текстовым репликам пользователя. Набор создан при поддержке "Наносемантики" в формате обучающего конструктора.
В 202Э г. был выигран конкурс грантов с проектом "Исследование интеллектуальной робото-технической системы, оснащенной ветроэнергетической установкой и предназначенной для работы в удаленных локациях". Изучена и настроена система симуляции для проведения исследований в ее рамках, а не в реальности.
На кафедре разработано и читается для студентов, магистрантов и аспирантов механико-математического факультета и ряда других (факультет космических исследований, факультет фундаментальной физико-химической инженерии, филиалы МГУ) множество общих и специальных курсов, межфакультетских курсов и курсов научно-естественного содержания. Среди них:
"Аналитика больших данных: основные алгоритмы";
"Аналитика больших данных: дополнительные главы";
"Базы данных (лекции и семинарские занятия)";
"Модели данных и основы систем баз данных";
"Базы данных: дополнительные главы" (курс научно-естественного содержания);
"Алгоритмы и структуры данных";
"Современные управляемые языки программирования";
"Формальные языки и грамматики";
"Теория компиляции";
"Алгоритмы дискретной оптимизации" (курс научно-естественного содержания);
"Алгебраические структуры в информатике";
"Полугруппы и автоматы";
"Основные алгоритмы в алгебре и теории чисел";
"Эллиптические кривые в алгоритмах";
"Математическое моделирование в естественных науках";
"Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями";
"Математические основы цифровой обработки изображений";
"Введение в компьютерное зрение";
"Введение в машинное обучение";
"Методы анализа визуальных и звуковых данных";
"Информатика, экономика, бизнес-консалтинг" (межфакультетский курс);
Математический практикум.
С. Т. Главацким, И. А. Алешковским, А. И. Андреевым и др. [29] разработан и размещен на сайте "Открытое образование" учебный курс "Основы искусственного интеллекта", рассчитанный на слушателей вузов различных специальностей.
За 10 лет сотрудниками, студентами и аспирантами кафедры опубликованы 4 монографии, более 120 научных статей, сделано более 100 докладов на российских и международных конференциях,
получены 2 регистрационных свидетельства на программное обеспечение, защищены 2 и подготовлены к защите 4 кандидатские диссертации.
В планах дальнейшего развития научных исследований на кафедре основной акцент делается на исследование математических моделей, методов, структурных, геометрических и алгебраических характеристик и зависимостей при интеллектуальном анализе больших наборов данных, а также на разработку эффективных алгоритмов искусственного интеллекта.
Междисциплинарный синтез методов высшей алгебры, компьютерной алгебры и геометрии с использованием достижений теории дифференциальных уравнений и современного программирования может быть эффективно применен для решения задач математического моделирования сложных процессов, в частности в разработке методов и эффективных алгоритмов ИИ. Полученные результаты могут быть использованы в широком кругу приложений, работающих с большими данными (психология, медицина, робототехника и множество теоретических и практических подходов к ИИ, включая интеллект на основе больших данных).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zakharov V.K., Rodionov T.V., Mikhalev A.V. Sets, Functions, Measures. Vol. II: Fundamentals of Functions and Measure Theory. Berlin: Walter de Gruyter, 2018.
2. Михалёв А.В., Ширшова Е.Е. Интерполяционные псевдоупорядоченные кольца // Фунд. и прикл. матем. 2022. 24, № 1. 177-191.
3. Алещенко С.А., Арнаутов В.И., Главацкий С.Т. Свойства обобщенно-нильпотентных элементов псевдо-нормированных коммутативных колец // Фунд. и прикл. матем. 2020. 23, № 3. 3-11.
4. Арнаутов В.И., Главацкий С. Т., Ермакова Г.Н. О фактор-кольцах полных топологических колец // Фунд. и прикл. матем. 2022. 24, № 3. 3-9.
5. Главацкий С.Т., Голубков А.Ю., Михалёв А.В. Топологические радикалы Джекобсона, III // Фунд. и прикл. матем. 2022. 24, № 3. 39-103.
6. Тензина В.В. Пересечение степеней и топологическая размерность Крулля // Фунд. и прикл. матем. 2016. 21, № 2. 235-243.
7. Тензина В.В. Применение топологически простых колец в криптографии // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2022. 26, № 1. 116-120.
8. Кожухов И.Б., Михалёв А.В. Об алгебраической теории автоматов // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2021. 25, № 4. 45-51.
9. Kozhukhov I.B., Mikhalev A.V. Acts over semigroups // J. Math. Sci. 2023. 269, N 3. 362-401.
10. Kozhuhov I.B., Pryanichnikov A.M. Acts with identities in the congruence lattice // Algebra Universalis. 2022. 83, N 2. Article 16. 1-18.
11. Кожухов И.Б., Сотов А.С. Об условиях канторовости полигонов над полурешеткой // Матем. заметки.
2021. 109, № 4. 581-589.
12. Кожухов И.Б., Михалёв А.В., Тищенко А.В. Избранные вопросы теории полугрупп: представления и многообразия полугрупп. М.: Интуит, 2021.
13. Айдагулов Р.Р. Бигрупповые алгебры и теорема Поттера // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2022. 26, № 1. 140-145.
14. Марков В.Т., Михалёв А.В., Кислицын Е.С. Неассоциативные структуры в гомоморфной криптографии // Фунд. и прикл. матем. 2020. 23, № 2. 209-215.
15.Власов А.В., Гутерман А.Э., Крейнес Е.М. Линейные отображения, сохраняющие минимальные значения индекса цикличности тропических матриц // Зап. науч. семинара Санкт-Петербург. отд-я Матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 2023. 524. 18-35.
16. Аракелов Г.Г., Михалёв А.В. Комбинация частично гомоморфных схем шифрования // Электрон. инф. системы. 2020. 3, № 26. 83-92.
17. Айдагулов Р.Р., Главацкий С.Т., Михалёв А.В. Методы осреднения в задачах кластеризации больших данных // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2021. 25, № 4. 12-18.
18. Aidagulov R.R., Glavatsky S.T., Mikhalev A.V. Clustering models // J. Math. Sci. 2022. 262, N 5. 603-616.
19. Айдагулов Р.Р. Алгоритмы быстрого умножения // Интеллектуальные системы. Теория и приложения.
2022. 26, № 1. 134-139.
20. Айдагулов Р.Р., Главацкий С. Т. Градуированные вычисления // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2019. 15, № 2. 274-282.
21. Борисенко В.В., Веселова Т.Н., Терновой С.К., Чеповский А.М. Реконструкция трехмерной геометрии коронарных артерий // Фунд. и прикл. матем. 2020. 23, № 2. 37-56.
22. Веселова Т.Н., Терновой С.К., Чеповский А.М. и др. Оценка фракционного резерва кровотока по данным компьютерной томографии: сравнение расчетных показателей с результатами инвазивных измерений // Кардиология. 2021. 61, № 7. 28-35.
23. Михалёв А.В., Главацкий С.Т., Бурыкин И.Г. Об исследованиях кафедры теоретической информатики мехмата МГУ в области искусственного интеллекта // Мат-лы Междунар. науч.-практ. конф. "Современные проблемы математики и ее приложений". Душанбе, Таджикистан: Филиал МГУ им. М.В. Ломоносова в г. Душанбе, 2022. 114-118.
24. Главацкий С.Т., Михалёв А.А., Бурыкин И.Г. Методы теории алгебраических структур и компьютерной алгебры в информатике и разработке эффективных алгоритмов искусственного интеллекта // Вестн. Филиала МГУ им. М.В. Ломоносова в г. Душанбе. Серия естественных наук. 2023. 1, № 2 (31). 22-26.
25. Главацкий С.Т., Бурыкин И.Г. Преподавание фундаментальных основ искусственного интеллекта как реализация концепции нового научного знания // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2022. 26, № 1. 146-151.
26. Шокуров А.В. Машинное зрение: от задачи до аппаратной реализации // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2022. 26, № 1. 62-81.
27. Slavskiy V., Matveev S., Sheshnitsan S., Litovchenko D., Larionov M.V., Shokurov A., Litovchenko P., Durma-nov N. Assessment of phytomass and carbon stock in the ecosystems of the central foreststeppe of the East-European plain: integrated approach of terrestrial environmental monitoring and remote sensing with unmanned aerial vehicles // Life. 2024. N 14. Article 632. 1-29.
28. Залилов Э.И., Долгий А.С., Шокуров А.В. Планирование движения автономного робота в лабиринте с препятствиями // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2022. 26, № 1. 267-272.
29. Главацкий С.Т.. Алешковский И.А., Андреев А.И. и др. Основы искусственного интеллекта // Открытое образование (URL: https://openedu.ru/course/msu/IINTELLIGENCE/?session=fall_2024).
Поступила в редакцию 24.05.2024
УДК 519.6
АКТУАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Г. М. Кобельков1
Изложены основные направления в научной работе и в наукоемкой компьютерной инженерии, развиваемые сотрудниками кафедры вычислительной математики. Описаны решаемые задачи и достигнутые результаты, указывается связь с учебно-методической деятельностью кафедры на механико-математическом факультете.
Ключевые слова: мелкая вода, инвариантные многообразия, полудинамические системы, численная стабилизация, седловые операторы, релаксационные методы, кильватерные волны в плазме, фильтрации многофазной многокомпонентной смеси, гибридные MPI-многопоточные вычислительные процессы, корреляции разрезов скважин, криптографические алгоритмы на основе квазигрупп.
The main directions in scientific work and in high-tech computer engineering developed by the staff of the Chair of Computational Mathematics are described. In addition to describing the tasks to be solved and presenting the results achieved, the connection with the educational and methodological activities of the department at the Faculty of Mechanics and Mathematics is indicated.
Key words: shallow water, invariant manifolds, semi-dynamic systems, numerical stabilization, saddle operators, relaxation methods, wake waves in plasma, filtration of a multiphase multicomponent mixture, hybrid MPI-multithreaded computational processes, correlations of well sections, cryptographic algorithms based on quasi-groups.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-6-2
Фундаментальная наука. Численное решение системы дифференциальных уравнений мелкой воды является одной из актуальных проблем вычислительной математики. Решение данной
1 Кобельков Георгий Михайлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Kobelkov Georgii Mikhailovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of the Chair of Computational Mathematics.
© Кобельков Г. М., 2024 © Kobelkov G.M., 2024
(cc)
